介值定理及其应用

邯郸学院本科毕业论文

题目介值定理及其应用

学生姚梅

指导教师王淑云教授

年级2008级本科

专业数学与应用数学

二级学院数学系

（系、部）

邯郸学院数学系

2012年6月

郑重声明

本人的毕业论文是在指导教师王淑云的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．

毕业论文作者（签名）：

年月日

介值定理及其应用

摘要

介值定理是闭区间上连续函数的重要性质之一，在《数学分析》教材中，一般应用有关实数完备性定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明．本课题通过构造辅助函数，应用区间套定理、致密性定理、柯西收敛准则、确界原理对介值定理进行证明．介值定理应用非常广泛，应用介值定理能很巧妙的解决一些问题．如利用介值定理可证明根的存在性、证明不等式、证明一些等式以及解决实际问题等．此外本文还对介值定理进行了推广，并且列举了一些具体的例题来展示推广的介值定理的应用．

关键词：介值定理连续函数根的存在定理应用

Intermediate value theorem and its application

Yao Mei Drected by Professor Wang Shuyun

ABSTRACT

Intermediate value theorem is a continuous function on a closed interval in an important properties. In" mathematical analysis" textbook, general application about real number completeness theorem of supremum principle, the monotone bounded theorem, nested interval theorem, finite covering theorem to prove. This topic through the construction of auxiliary function, application of nested interval theorem, compact theorem, Cauchy convergence criterion, principle of supremum and infimum proves that intermediate value theorem. Intermediate value theorem is widely used and this theorem can be very cleverly to solve some problems. Such as the use of intermediate value theorem can be proof of the existence of the root, the proof of inequality, that some equation and solving practical problems. In addition to the intermediate value theorem is generalized and lists some specific examples to demonstrate the wide application of intermediate value theorem.

KEY WORDS：Intermediate value theorem Continuous function The existence theorem of root Application

目录

摘要..............................................................I 外文页.............................................................II 前言.. (1)

1介值定理及其证明方法 (2)

1.1介值定理的内容 (2)

1.2介值定理的四种证明方法 (2)

1.2.1应用确界原理 (2)

1.2.2应用区间套定理 (3)

1.2.3应用致密性定理证明 (4)

1.2.4应用柯西收敛准则证明 (6)

2介值定理的应用 (7)

2.1利用介值定理判断方程根的存在性 (7)

2.2介值定理在解不等式中的应用 (9)

2.3介值定理在证明等式中的应用 (11)

2.4介值定理在实际问题中的应用 (13)

3介值定理的推广 (15)

3.1一元函数介值定理的推广 (15)

3.1.1推广介值定理的内容 (15)

3.1.2推广的介值定理的一个应用 (16)

3.2二元函数的介值定理 (19)

3.2.1 二元函数介值性定理的内容 (19)

3.2.2 二元函数介值定理的应用 (20)

参考文献 (22)

致谢 (22)

前 言

介值定理是闭区间上连续函数的一个重要性质．这一定理虽然简单，但应用却异常广泛，微积分理论中有不少定理的证明要用到该定理．介值定理（Intermediate value theorem ）首先由伯纳德·波尔查诺提出和证明．对波尔查诺来说有点不幸的是：他的数学著作多半被他的同时代的人所忽视，他的许多成果等到后来才被重新发现，但此时功劳已被别人抢占或只能与别人分享了.

华东师范大学版的《数学分析》对介值定理的描述是：设函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且)()(b f a f ≠.设μ为介于)(a f 与)(b f 之间的任何实数（)()(b f a f <<μ或

)()(b f a f >>μ）,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得μ=)(0x f ．介值定理是闭区间上连续

函数的重要性质之一，在《数学分析》教材中一般应用有关实数完备性的6个基本定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明．在这里我们通过巧妙地构造辅助函数，应用区间套定理，致密性定理，柯西收敛准则以及确界原理来证明．介值定理在连续函数中具有广泛的应用性．比如判断方程根的存在性、求解不等式、证明一些等式、解决实际问题等．

当然还有其它许多关于介值定理的研究，他们多数都是针对介值定理的某一方面而进行的，例如叶国柄发表在陕西工学院学报的一篇文章《介值定理的推广及其应用》，一方面他把闭区间推广为任意区间，另一方面从常数)(a f 和)(b f 入手，)(a f 和)(b f 也可以为

∞-或∞+．利用推广的介值定理，得到了求一类方程绝对误差为)(1.0N m m ∈的近似解的一种好方法．

此外二元函数介值定理的介绍，拓宽了研究范围，加深了学习难度．使我们能够更加努力地学习．