华东师大版数学八年级下册17.1《变量与函数》知识总结

《变量与函数》知识总结

一知识梳理

1 变量与常量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量.

2函数；设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就说x是自变量，y是自变量x的函数.函数实际上是变量之间的某种对应关系.

3 自变量的取值范围：函数中自变量的取值应使函数有意义，且不能使实际问题失去意义.

4 函数值：当自变量取某一数值时所对应的函数的值叫做这个函数当自变量取该值时的函数值.

5 函数关系表示法：

(1)解析法：用数学式子表示变量间的函数关系的方法叫做解析法.

(2)列表法：用表格表示变量间的函数关系的方法叫做列表法.

(3)图象法：有图象表示变量间的函数关系的方法叫做图象法.

已知一个函数的解析式，通过列表、描点、连线，可以画出这个函数的图象，这种方法叫做描点法。在画一个函数的图象时要注意自变量的取值范围.

6 注意的问题

(1) 变量和常量是相对的,并不是一成不变的.在一个过程中是常量,而在另一

s=,当速度一定时,则速个过程则可能是变量.例如在某一运动过程中有关系式vt

度v就是常量,而时间t和路程s则是变量;当时间一定时,则时间t是常量,而速度v 和路程s则是变量;同样若路程一定,则路程s是常量,而时间t和速度v就是变量.

特别提醒字母π,它是一个常量.

(2)判断两个变量是否具有函数关系,不能只看是否存在关系式,还要看对于x 的每一个值,y是否都有唯一确定的值和它对应.满足则具有函数关系,不满足则

不具有函数关系.

(3)要表明两个函数解析式是同一个函数,必须同时满足:①自变量的取值范

围相同;②从自变量到函数的对应规律相同.

二 典范分析

例1 一天老王骑摩托车外出旅游,刚开始行驶时,油箱中有油9升,行驶了1小时后发现已耗油1.5升.

(1)求油箱中的剩余油量Q(升)与行驶的时间t (小时)之间的函数关系统式,并求出自变量t 的取值范围;

(2)画出这个函数的图象;

(3)如果摩托车以60千米/小时的速度匀速行驶,当油箱中的余油量为3升时,老王行驶了多少千米?

分析: 根据油箱中原有油9升,1小时耗油1.5升,则t 小时耗油1.5t 升,得到行驶t 小时后油箱中余油量为(9-1.5t )升,由此可得出函数关系式.

解: (1)Q=9-1.5t , 由9-1.5t =0,得到t =6,故t 的取值范围为0≤t ≤6.

(2)列表、描点、连线,画出函数图象.

(3)由3=9-1.5t 得到t =4

所以240460=⨯==vt S (千米)

所以老王行驶了240千米.

评析 根据实际问题列出函数关系式,根据关系式画函数图象时,

一定要注意函数自变量的取值范围,不能使实际问题失去意义.

例2 张华上午8点骑自行车外出办事,如图表示他离家的距离S(千米)与所用时间t (小时)之间的函数图象.根据这个图象回答下列问题:

(1)张华何时休息?休息了多少时间?这时离家多远?

(2)他何时到达目的地?在那里逗留了多长时间?目的地离家多远

? (3)他何时返回?何时到家?返回的平均速度是多少?

分析:函数图象中,纵轴表示离家的距离S(千米),横轴表示所用时

间t (小时);图中水平线段,即随着时间的增加,路程并没有增加,说明人在休息;返回的平均速度为返回路程与返回时间之比.

解:(1)从图中可以看出休息时间是从9:00到9:30;休息了半个小时;这时离家15千米.

(2)同样从图中可以得到张华11:00到达目的地;在那里逗留了1个小时,目的地离家30千米.