实验三十七 用动态悬挂法测定杨氏模量

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实验三十七 用动态悬挂法测定杨氏模量

杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。“静态拉伸法”由于受弛豫过程等的影响不能真实地反映材料内部结构的变化，对脆性材料无法进行测量。本实验用“动态悬挂法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。

一 实 验 目 的

（1）悬挂法测定金属材料的杨氏模量。

（2）培养学生综合应用物理仪器的能力。

（3）设计性扩展实验，培养学生研究探索的科学精神*。

二 实 验 原 理

棒的振动方程为（如图1）： 02244=∂∂+∂∂t y EJ ps x y (1)

解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）。

用分离变量法：令

)()(),(t T x X t x y = 代入方程（7-1）得 2

244d d 1d d 1t T T EJ s x X X ρ-= 等式两边分别是x 和t 的函数，这

只有都等于一个常数才有可能，该常数设为4K ，得：

0d d 444=-X K x

X 0d d 42

2=+T s EJ K t T ρ 这两个线形常微分方程得通解分

别为

Kx B Kx B shKx B chKx B x X sin cos )(4321+++=

)cos()(ϕω+=t A t T

于是解振动方程式得通解为

)cos()sin cos (),(4321ϕω++++=t A Kx B Kx B shKx B chKx B t x y 其中 21

4

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=s EJ K ρω (2） 称为频率公式。对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数K ，并将其代入特定截面的转动惯量J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。

如果悬线悬挂在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力：

033=∂∂-=∂∂-=x

y EJ x M F 弯距 022=∂∂=x

y EJ M 即 0d d 033==x x X ， 0d d 33==l x x X ， 0d d 022==x x X ， 0d d 22==l x x X 将通解代入边界条件，得到1cos =⋅chKl Kl

用数值解法求得本征值K 和棒长l 应满足 Kl =0，4.730，7.853，10.966… 。

由于其中一个根“0”对应于静态情况，故将第二个根作为第一个根，记作l K 1。一般将l K 1所对应的频率称为基频频率。在上述l K m 值中，1，3，5…个数值对应着“对称形振动”,第2、4、6…个数值对应着“反对称形振动”。可见试样在作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面分别为l 224.0和l 776.0

图1

158 处。将第一本征值l K 730.4=

代入（2）式，得到自由振动的固有频率（基频）： ()2144730.4⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=s l EJ ρω 解出杨氏模量 24310

9978.1ωρJ s l E -⨯=232108870.7f J m l -⨯= 对圆棒： ⎰==22)4

(d d s s y J 式中d 为圆棒的直径。得到2436067.1f d

m l E = 上式即为（1）式的解。式中l 为棒长，d 为棒的直径，m 为棒的质量。如果在实验中测定了试样（棒）在不同温度时的固有频率f ，即可计算出试样在不同温度时的杨氏模量E 。在国际单位制中杨氏模量的单

位为（N ·m -2）。

本实验的基本问题是测量试样在不同温度时的共振频率。为了测出该频率，实验时可采用如图7-1所示装置。

由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传感器I （激振）上。通过传感器I 把电信号转变成机械振动，再由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。试样另一端的悬线把试样的振动传给传感器II （拾振），这时机械振动又转变成电信号。该信号经放大后送到示波器中显示。当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。当信号发生器的频率等于试样的共振频率时，试样发生共振。这时示波器上的波形突然增大，这时读出的频率就是试样在该温度下的共振频率。根据（7-1）式，即可计算出该温度下的杨氏模量。

三 实 验 仪 器

杨氏模量实验仪（包括试样、杨氏模量测试台、型信号发生器（图2）），ST16示波器（图3）。

四 实 验 内 容

（1）测定试样的长度l 、直径d 和质量m ，每个物理量各测5次。

（2）在室温下，不锈钢和铜的杨氏模量分别为2×1011（N ·m -2）和1.2×1010（N ·m -2

），先由（1）式估算出共振频率f ，以便寻找共振点。

（3）把试样棒用细钢丝挂在测试台上，悬挂点的位置约距离端面l 224.0和l 776.0处。

（4）把信号发生器的输出与测试台的输入相连，测试台的输出与放大器的输入相接，放大器的输出与示波器的Y 输入相接。

（5）把示波器触发信号选择开关置于“内置”（①②都置于左边），y

轴增益④置于最小档（左边第二

⑤图3 ST16示波器

159 档），y 轴极性置于“AC”。

（6）因试样共振状态的建立需要有一个过程，且共振峰十分尖锐，因此在共振点附近调节信号频率时，必须十分缓慢地进行，直至示波器的示波屏上出现最大的信号。

（7）记下室温下的共振频率f ，求出材料的杨氏模量E 。

（8）本实验用铜棒和钢棒各做一次。

[杨氏模量实验仪的使用]

（1）使用前先将约1kz 、1V 的音频信号直接输入耳机检查，应该能听到轻微的声音。

（2）杨氏模量实验仪的电压表指示输出的电压幅值，其值由幅度调节旋钮调节。信号由输出1、输出2两路并联输出，可用专用导线和传感器、示波器等相连接。

（3）频率调节分为频率粗调和频率细调，在实验室中两者必须配合使用，频率的值由五位数码显示管显示。

五 数 据 与 结 果

（1）估算金属棒的长度l 、直径d 、和质量m 的测量值及其不确定度。

)mm (l l ∆±；)mm (d d ∆±；)g (m m ∆±

（2）由（7-1）式分别求出钢棒和铜棒的杨氏模量 )(2-∆±Nm E E （设信号发生器的频率不确定度为0.1Hz ）。其中

2222)2()()4()3(f

f m m d d l l E E ∆+∆+∆+∆=∆

六 思 考 题

（1）试讨论：试样的长度l 、直径d 、质量m 、共振频率f 分别应该采用什么规格的仪器测量？为什么？

（2）估算本实验的测量误差。提示：可从以下几个方面考虑：（1）仪器误差限；（2）悬挂点偏离节点引起的误差。