第二单元第6讲函数的性质(一)

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的定义域是{1}， （1）因为 的定义域是 ， ）因为f(x)的定义域是 不关于原点对称， 不关于原点对称， 所以f(x)为非奇非偶函数. 为非奇非偶函数 所以 （2）（方法一）由f(x)=-f(-x) ） 方法一）
a 则f(x1)-f(x2)=x1+ x1 a
-x2-
=(x1-x2)(1- x x ). 当0<x1<x2≤
1 2
a x2
a 时，恒有
a >1, x1 x2
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1 1 x =-(a- − x ) ⇒ 2 +1 2 +x1 1 2 =1 a= 1 + x 2a= x ⇒ ⇒ 2 2 +1 2 +1 1
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方法二） （方法二）由f(0)=0 a= ⇒
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因为奇、 因为奇 、 偶函数的定义域关于 原点对称，所以p+q=0. 原点对称，所以 2.给出下面四个函数： 给出下面四个函数： 给出下面四个函数 ①f(x)=x3; ②f(x)=sinx+tanx;
1− x +x. 1+ x
③f(x)=ax2+bx+c(ab≠0)；④f(x)=lg ；
利用定义判断奇偶性，易知①② 利用定义判断奇偶性，易知①② 其中是奇函数的有( 其中是奇函数的有 C ) 是奇函数， 个 ④是奇函数 C.3个 A.1个 B.2个 ，选C. D.4个 个 个 个
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4.函数奇偶性 函数奇偶性 一般的，如果⑦ 对于函数 的定义域 . 一般的，如果⑦ 对于函数f(x)的定义域 内任意一个x 都有 内任意一个 (1)都有⑧ f(-x)=-f(x) ,那么函数 都有⑧ 那么函数 f(x)就叫做奇函数；(2)都有⑨ f(-x)=f(x) ,那么 就叫做奇函数； 都有 都有⑨ 那么 就叫做奇函数 函数f(x)就叫做偶函数 就叫做偶函数. 函数 就叫做偶函数 奇函数的图象是关于⑩ 奇函数的图象是关于⑩ 原点 成 11 中心 对 称的图形.若奇函数的定义域含有数 则必 称的图形 若奇函数的定义域含有数0,则必 若奇函数的定义域含有数 轴 有12 f(0)=0 ;偶函数的图象是关于 13 y轴 成 偶函数的图象是关于 14 轴 对称的图形 偶函数对定义域内的任 对称的图形.偶函数对定义域内的任 15 的值， 意x的值，则必有 f(-x)=f(x)=f(|x|) . 的值
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（方法一）定义法. 方法一）定义法 由于函数的定义域为{x|x∈R且 x≠0},且 ∈ 且 由于函数的定义域为 且 f(-x)=-f(x),所以函数 所以函数f(x)为奇函数，因 为奇函数， 所以函数 为奇函数 此可先讨论f(x)在 上的单调性. 此可先讨论 在(0,+∞)上的单调性 上的单调性 设0<x1<x2，
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定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x) 定义域在数轴上关于原点对称是函数 条件;在 为奇函数或偶函数的 16 必要不充分 条件 在 定义域的公共部分内， 定义域的公共部分内 ， 当 f(x),g(x)均为奇函 均为奇函 数时， 是奇函数； 数时 ， 有 f(x)±g(x)是奇函数 ； f(x)g(x)是偶 ± 是奇函数 是偶 函数.当 均为偶函数时， 函数 当 f(x),g(x)均为偶函数时， 有 f(x)±g(x) 均为偶函数时 ± 是17 偶函数 ;f(x)g(x)是 18 偶函数 . 是
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题型二 函数的单调性
讨论函数f(x)=x+ax(a>0)的单调性 的单调性. 的单调性 例2 讨论函数
分析 注意到该函数解析式的结构特
点是“ 增函数+减函数 的形式， 减函数” 点是 “ 增函数 减函数 ” 的形式 ， 不 能直接确定增减性，需一边分析、 能直接确定增减性，需一边分析、讨 一边论证， 论，一边论证，所以可考虑使用函数 单调性的定义或求导数的办法来判断. 单调性的定义或求导数的办法来判断
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x
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(1)显然递增区间为 3 ,+∞). 显然递增区间为[ 显然递增区间为
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(2)函数 函数f(x)=|2x2-3x+1|的图象如图 递 的图象如图,递 函数 的图象如图 1 3 增区间是[ 增区间是 2 , 4 ]和[1,+∞). 和 (3)对于 对于f(x)= 2 x 2 − 3x + 1 ,定义域是 对于 定义域是 1 [1,+∞)∪(-∞, 2].利用复合函数的单 ∪ 利用复合函数的单 调性知，递增区间是[1,+∞). 调性知，递增区间是
f ( x1 − f ( x2 ) <0 x1 − x2
或减） 其几何意义:⑤ 增（或减）函数图象上任意. 其几何意义 ⑤ 两点的连线斜率都大于（或小于） 两点的连线斜率都大于（或小于）零 . (2)(x1-x2) ［ f(x1)-f(x2) ］ >0 f(x) 在 区 间 ⇔ ［ a,b］ 上是增函数 ； (x1-x2)［ f(x1)-f(x2)］ ］ 上是增函数； ［ ］ <0 f(x)在区间［a,b］上是减函数 在区间［ ］上是减函数. 在区间 ⇔
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要点指南
① <;②>;③ 增函数 ； ④ 减函数 ； ⑤ 增 ② ③ 增函数； 减函数； 或减） （或减）函数图象上任意两点的连线 斜率都大于（或小于） 斜率都大于（或小于）零；⑥同增异 对于函数f(x)的定义域内任意 减 ； ⑦ 对于函数 的定义域内任意 一 个 x;⑧f(-x)=-f(x);⑨f(-x)=f(x);⑩ 原 ⑧ ⑨ ⑩ 11 12 14 15 点 ； 中 心 ； f(0)=0; 13 y 轴 ； 轴 ； f(17 18 x)=f(x)=f(|x|);16 必要不充分；偶函数； 必要不充分；偶函数； 偶函数
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(1)
③ 增函数 ; ④ 减函数 .
f ( x1 − f ( x2 ) >0 x1 − x2
在区间［ ］ 在区间 ⇔ f(x)在区间［a,b］上是 在区间［ ］ 在区间 ⇔ f(x)在区间［a,b］上是
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4.(2010· 惠 州 模 拟 ) 给 出 下 列 四 个 函 数 ： ① 1 f(x)=x+1;②f(x)= ;③f(x)=x2;④f(x)=sinx. ② ③ ④ 其中在(0,+∞)上是增函数的有 C 上是增函数的有( ) 其中在 上是增函数的有 A.0个 B.１个 C.２个 D.３个 个 １ ２ ３ 5.(1) 函 数 f(x)=2x2-3x+1 的 单 调 递 增 区 间 [ 3 ,+∞) ； 是 (2) 函 数 f(x)=|2x2-3x+1| 的 单 调 递 增 区 间 [ 1 , 3 ]和[1,+∞) ； 和 是 (3)函数 函数f(x)= 2 x 2 − 3x + 1 的单调递增区间 函数 . 是 [1,+∞)
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1.函数的单调性及其几何意义 函数的单调性及其几何意义 一般的，设函数 的定义域为 的定义域为I: 一般的，设函数f(x)的定义域为 如果对于定义域I内某个区间 上 如果对于定义域 内某个区间D上 内某个区间 的任意两个自变量的值x1、 x2,当x1<x2 的任意两个自变量的值 当 若都有f(x ① 则称f(x) 时，(1)若都有 1)① < f(x2),则称 若都有 则称 在区间D上是增函数 上是增函数； 若都有 若都有f(x 在区间 上是增函数 ； (2)若都有 1) 在区间D上是减函 ② > f(x2)，则称 在区间 上是减函 ，则称f(x)在区间 它的等价形式,即若 数.它的等价形式 即若 1、x2∈［a,b］, 它的等价形式 即若x ］ 那么
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3.下面四个命题： 下面四个命题： 下面四个命题 轴相交； ①偶函数的图象一定与y轴相交； 偶函数的图象一定与 轴相交 ②奇函数的图象一定过原点； 奇函数的图象一定过原点； 轴对称； ③偶函数的图象关于y轴对称； 偶函数的图象关于 轴对称 ④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R). ∈ 其中正确命题的个数是( 其中正确命题的个数是 A ) A.1 B.2 C.3 D.4
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2.单调函数及单调区间 单调函数及单调区间 如果函数y=f(x)在区间 上是增函数 或 在区间D上是增函数 如果函数 在区间 上是增函数(或 减函数),我们就说 我们就说f(x)在这个区间上具有严格 减函数 我们就说 在这个区间上具有严格 的单调性,区间 叫做f(x)的增区间 或减区间 区间D叫做 的增区间(或减区间 的单调性 区间 叫做 的增区间 或减区间), 统称为单调区间. 统称为单调区间 3.复合函数的单调性 复合函数的单调性 复合函数y=f［ 复合函数 ［g(x)］由内、外两层 分别 ］由内、外两层(分别 函数构成， 是 u=g(x)和 y=f(u))函数构成 ， 其单调性可按 和 函数构成 的原则进行判断，即内、 ⑥ 同增异减 的原则进行判断，即内、外两 层函数在公共定义域上， 层函数在公共定义域上，若同是增函数或同 是减函数， ［ 是减函数，则f［g(x)］为增函数；若是一增 ］为增函数； 一减， ［ 一减，则f［g(x)］为减函数 ］为减函数. 9
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第6讲
函数的性质（一） 函数的性质（
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1.若偶函数 若偶函数f(x)的定义域是 ，q]，则p+q= 0 . 的定义域是[p， ， 若偶函数 的定义域是
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典例精讲
题型一 函数的奇偶性 例1 1）函数 （ ）函数f(x)=1-x+x-1的奇 的奇
偶性是 非奇非偶函数 ；
1 （2）已知函数f(x)=a- x 是奇函 ）已知函数 2 +1 1
数，则a=
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是错的， 举反例： ① 是错的 ， 举反例 ： f(x)=x-2 是 偶函数， 图象关于y轴对称 但与y轴 轴对称， 偶函数 ， 图象关于 轴对称 ， 但与 轴 1 没有交点;②是错的,举反例 举反例： 没有交点 ②是错的 举反例：f(x)= 是 x 奇函数,图象不过原点 图象不过原点； 是正确的;④ 奇函数 图象不过原点；③是正确的 ④ 是错的,举反例 举反例:f(x)=0，x∈［ -1,1］既 是错的 举反例 ， ∈ ］ 是奇函数又是偶函数， 是奇函数又是偶函数 ， 但是只要定义 域不同,就是不同的函数 就是不同的函数. 域不同 就是不同的函数