三角形重要线段

三角形中的重要线段
【知识要点】
1．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

2．三角形的中线，在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

3．三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边画垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

4．三角形的中位线：是指三角形中两边中点的连线。

【典型例题】
例1已知△ABC中D是AB边的中点，BC=10cm，AC=7cm,求△BCD与△ACD的周长差是多少？
例2 如图1所示，在△ABC中，D、E分别是AB边和AC边的中点。

求证：S△ADE=1
4
S△ABC
例3 在图2的三角形内画线段，将三角形分成面积相等的四部分（答案尽可能多）。

例4 如图3所示,已知：△ABC中，AB=AC，BD是中线，求证：3AB>2BD.
图2
图
1
例5 如图4所示,在△ABC中,已知∠B>∠C,AH为BC边上的高,AD为∠BAC的平分线,则∠HAD与
∠B,∠C的数量之间有何关系.
例6 如图5所示，△ABC中点O是角平分线AD、BE、CF的交点，OG⊥BC于点G则：（1）∠BOC与∠BAC的数量有何关系？
（2）∠BOD与∠COG的数量有何关系？请说明理由。

三角形中的重要线段练习题
一、填空题
1．如图6，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，△BCH的三条高是_______、_______、_______，这三条高所在直线相交于点________.
D E
D G
图
5
D H
图4
图
10
2．如图7，△ABC 中，AD 、AE 分别是高和角平分线，若∠B=35
°，∠C=65°，则 ∠CAD=___ °；∠EAD=______ °.
4．如图8所示，∠A=60
°，CE 、BF 是△ABC 的两条高，则∠CHB=_________。

5．如图9，△ABC 中，AD ⊥BC ，E 、F 是BC 上的点，则以AD 为高的三角形有_________个. 6．如图10，在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是高，DE 是△ABD 的高，则与∠B 互余的角是_______； 与∠C 相等的角是__________.
7.如图11，AB=7，AC=5，AD 是中线，那么△ABD 和△ADC 的周长差是_______； 二、解答题
1.如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，且∠B=3∠BAD ，求∠ADC 的度数。

2．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AB 、DF ∥AC ，EF 交AD 于点O ，试问：DO 是否是△DEF 的角平分线？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。

F
D 图9
D 图11
3.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,△ADC 的周长比△ABD 的周长多5cm,AB 与AC 的和为11cm,求AC 的长.
4.如图,△ABC 中,∠B=34°,∠ACB=104°,AD 是BC 边上的高,AE 是∠BAC 的平分线,求∠DAE 的度数.
5.如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，则ABC S ∆（△ABC 的面积）、ABC S ∆与ABC S ∆的面积大小的关系如何？
三角形中的重要线段作业
一、选择题(每题3分,共24分)
1．三角形的三条高所在直线的交点有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．以上都不对 2．三角形的三条中线的交点在此三角形的（ ）
A ．内部
B ．外部
C ．一边上
D ．以上情况都有可能 3．三角形的角平分线是（ ）
A ．直线
B ．射线
C ．线段
D ．射线或线段 4．三条高所在的直线的交点在三角形的外部，此三角形是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．不能确定 5.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 6．下图为四位同学所画的△ABC 的高AD ，错误的有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7．下面说法错误的是（ ）
A ．三角形的三条角平分线交于一点
B ．三角形的三条中线交于一点
C ．三角形的三条高交于一点
D ．三角形的三条高所在的直线交于一点 8．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（ ）
A ．中线
B ．角平分线
C ．高线
D ．三角形的角平分线 二、解答题
1.如图，已知△ABC 中，AD 是高，DE ∥AB ，求∠B+∠1的度数。

(5分)
2.在△ABC 中，∠A=75°，AC 、AB 边上的高BE 、CF 所在直线交于H ，(6分)
（1）若△ABC 是锐角三角形，求∠BHC ；（2）若△ABC 是直角三角形，求此两条高的夹角 ； （3）若△ABC 是钝角三角形，求此两条高所在直线的夹角.
B
A B
C
D
A
C
B
D
D B
3.如图,AB=6cm,中线CD=5cm,求BC的取值范围. (5分)
B C
4.若DC是AB上的中线，且DC=2.5，△ABC与△BCD的周长差是8，求△ACD的周长。

(5分)
5.如图，已知：△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD⊥AC，垂足D,求证：∠A=2∠DBC. (5分)。