高考数学一轮复习坐标系课件

即ρsinθ＋π4＝
2 2.
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⊙考点3 求曲线的极坐标方程 求简单曲线的极坐标方程的方法
(1)设点M(ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角 形，利用三角函数及正、余弦定理求解|OM|与θ的关系．
(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变 换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．
12
圆心为 r，π2 ，半径为 r的圆 过极点，倾斜角为α的 直线
13
__ρ_＝__2_r_si_n_θ_(_0_≤__θ_＜__π_)__
θ＝α(ρ∈R) 或θ＝α＋π(θ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂 直的直线 过点α，π2，与极轴平 行的直线
14
ρ_c_o_s__θ_＝__a_－__π2_＜__θ_＜__π2 _ρ_si_n__θ_＝__a_(0_＜__θ_＜__π_)_
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[一题多解](2019·江苏高考)在极坐标系中，已知两点 A3，π4，B 2，π2，直线l的方程为ρsinθ＋π4＝3.
(1)求A，B两点间的距离； (2)求点B到直线l的距离．
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[解](1)法一：(使用余弦定理)设极点为O，在△AOB中，
A3，π4，B 2，π2，
由余弦定理得|AB|＝ 32＋ 22－2×3× 2×cos2π－π4＝ 5.
x2＋y2－2y＝0 [由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 即x2＋y2＝2y.]
22
课堂考点探究
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⊙考点1 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
伸缩变换后方程的求法
平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：
x′＝λxλ＞0， y′＝μyμ＞0
的作用下的变
换方程的求法是将
x＝xλ′， y＝yμ′
代入y＝f(x)，得
把伸缩变换公式φ：xy′′＝ ＝λμxy， (λ，μ＞0)代入上式得： λ22x52＋μ126y2＝1，即5λ2x2＋μ42y2＝1，与x2＋y2＝1
比较系数得5μ4λ22＝ ＝11， ，
所以λμ＝＝54，.
30
应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变 换后的点的坐标(x′，y′)．
31
32
2．极角的确定
由tan θ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．
(1)当x≠0时，θ角才能由tan θ＝yx按上述方法确定． (2)当x＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：
当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y＞0时，可取θ＝
π 2
；
当x＝0，y＜0时，可取θ＝32π.
()
[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)×
15
二、教材改编
1．若点P的直角坐标为(－3， 3)，则点P的极坐标为( )
A.2
3，π6
C.2
3，56π
B.
3，π6
D.－2
3，65π
16
C [因为点P(－3， 3 )在第二象限，与原点的距离为2 3 ，且 OP与x轴所成的角为56π，所以点P的极坐标为2 3，56π.]
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(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，
B
2，π4，C
2，34π，D(2，π)，弧A︵B，B︵C，C︵D所在圆的圆心分别
是(1,0)，
1，π2
，(1，π)，曲线M1是弧
︵ AB
，曲线M2是弧
︵ BC
，曲线M3
︵ 是弧CD.
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(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程； (2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝ 3，求P 的极坐标．
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[解](1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O的直
角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin θ－π4 ＝
2 2
，即ρsin
θ－
ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
(2)将两直角坐标方程联立得
x2＋y2－x－y＝0， x－y＋1＝0，
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，
θ)，则它们之间的关系为：xy＝ ＝ρρcsoins
θ， θ
；
ρ2＝ x2＋y2 ，
tan
θ＝xyx≠0.
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4．常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
圆心在极点，半径为r
的圆
圆心为(r,0)半径为r的
圆
极坐标方程 _ρ_＝__r(_0_≤__θ_＜__2_π_)_ _ρ_＝__2_r_c_o_s _θ_－__π2_≤__θ_＜__π2__
y′ μ
＝f
x′
λ
，整理之后得
到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．
24
1.求双曲线C：x2－
y2 64
＝1经过φ：
x′＝3x， 2y′＝y
变换后所
得曲线C′的焦点坐标．
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[解]
由伸缩变换x2′y＝′＝3xy，
得到x＝13x′， y＝2y′，
代入x2－6y42 ＝1得x9′2－46y4′2＝1，化简得x9′2－1y′62＝1.
法二：(化为直角坐标)点A的直角坐标为
3
2
2，3
2
2
，点B的直
角坐标为(0， 2)，则
|AB|＝
3
2
2－02＋3
2
2－
22＝
5.
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(2)由ρsinθ＋π4＝3得
2 2 ρsin
θ＋
2 2 ρcos
θ＝3，
所以直线l的直角坐标方程为x＋y－3 2＝0，
又点B的直角坐标为(0，
2 )，则点B到直线l的距离d＝
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知
若0≤θ≤π4，则2cos θ＝ 3，解得θ＝π6；
若π4≤θ≤34π，则2sin θ＝ 3，解得θ＝π3或θ＝23π；
若34π≤θ≤π，则－2cos θ＝ 3，解得θ＝56π.
综上，P的极坐标为
3，π6或
3，π3或
3，23π或
3，56π.
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本题易错点有二：一是第(1)问没有对圆的极坐标方程
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐
标系中点与坐标也是一一对应关系．
()
(2)若点P的直角坐标为(1，－ 3 )，则点P的一个极坐标是
2，－π3. (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．
() ()
(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．
(2)将θ＝－152π代入圆C的极坐标方程ρ＝4cosθ＋π6得ρ＝2 2，所 以圆C被直线l所截得的弦长为2 2.
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[解](1)由题设可得，弧
︵ AB
，
︵ BC
，
︵ CD
所在圆的极坐标方程分别
为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.
所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为 ρ＝2sin θπ4≤θ≤34π，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ34π≤θ≤π.
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法二：∵A 2，－π3 ，B 4，23π 的直角坐标系为 A(1，－ 3)，
B(－2,2 3)， ∴|AB|＝ －2－12＋2 3＋ 32＝6.]
21
4．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的 直角坐标方程为________．
|
2－3 2
2|＝2.
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把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后利用平面解 析几何的知识解决问题，这是常用的方法．
37
1.在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l： ρsinθ－π4＝ 22(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程； (2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
A [∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，
∴ρ＝sin
1 θ＋cos
θ0≤θ≤π2.]
19
3．在极坐标系中，A 2，－π3 ，B 4，23π 两点间的距离为 ________．
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6 [法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两 点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.
即曲线C′的方程为
x′2 9
－
y′2 16
＝1，则曲线C′是双曲线，其焦点坐标
为(－5,0)和(5,0)．
26
2．若函数y＝f(x)的图像在伸缩变换φ：
x′＝2x， y′＝3y
的作用下得
到曲线的方程为y′＝3sinx′＋π6，求函数y＝f(x)的最小正周期．
27
[解] 由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sin
进行范围限制；二是写点P的极坐标时，当
π 4
≤θ≤
3π 4
时，只得到θ＝
π3一个结果．
48
的圆．
在极坐标系中，圆C是以点C 2，－π6 为圆心，2为半径
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求圆C被直线l：θ＝－152π(ρ∈R)所截得的弦长．
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[解](1)圆C是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的 圆，所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ＋π6.
⊙考点2 极坐标与直角坐标的互化
1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 (1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ 直接代入直角坐标方程并化简即可． (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘 以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．
9
(2)极坐标 ①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的 极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ， θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
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3．极坐标与直角坐标的互化
所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
因为ρ2－2 2ρcosθ－π4＝2，
所以ρ2－2
2ρcos
θcosπ4＋sin
θsin4π＝2，
所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.
41
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
4
第一节 坐标系
5
[最新考纲] 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩 变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极 坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互 化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
6
课前自主回顾
7
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
17
2．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立
极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝cos
1 θ＋sin
θ，0≤θ≤π2
B．ρ＝cos
1 θ＋sin
θ，0≤θ≤π4
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4
18
3sin2x＋π6， 整理得y＝sin2x＋π6， 故f(x)＝sin2x＋π6. 所以函数f(x)的最小正周期为π.
x′＋π6
得3y＝
28
3．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆
x2 25
＋
y2 16
＝1的一个伸缩变换公式
φ：xy′′＝ ＝λμxy， (λ，μ＞0)，求λ，μ的值．
29
[解] 将变换后的椭圆2x52 ＋1y62 ＝1改写为2x′52＋1y′62＝1，
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
φ：
x′＝λxλ＞0， y′＝μyμ＞0
的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，
称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
8
2．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个 定点O，叫做极点；从极点O引一条 _射__线__Ox，叫做极轴；选定一个单位长度 、一个 角度单位 (通常取弧 度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
第十二章 选修4-4 坐标系与参数方程
全国卷五年考情图解
2
1.考查形式
高考命题规律把握
本章在高考中考查1道解答题，分值10分.
2.考查内容
高考对本章内容的考查主要有以下两个方面
(1)极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化；
(2)极坐标、参数方程的应用.
Hale Waihona Puke Baidu
3
3.备考策略 (1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律 ①极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化问题； ②极坐标的定义及应用问题； ③参数方程的定义及应用问题. (2)重视数形结合、转化与化归思想的应用.
解得
x＝0， y＝1，
即圆O与直线l在直角坐标系
下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为1，π2即为所求．
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2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2 2ρ·cosθ－π4＝ 2.
(1)求圆O1和圆O2的直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
40
[解](1)由ρ＝2知ρ2＝4，