SX2020A098高考数学必修_抽象函数问题解法归纳2

抽象函数问题解法归纳

近几年出现的抽象函数高考题，多数为较难题。其原因在于该类函数问题未给出具体的解析式，但是却深化地考查了学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，综合地考查了学生对数学符号语言的理解和接受能力。再加之抽象函数本身的抽象性及其性质的隐蔽性，常使学生难以理解题意，束手无策。故探讨此种题型的解法无疑是十分必要的。

一、利用函数性质求解

大多是利用函数的奇偶性、周期性、单调性等性质求解。

例1、 设函数()f x 的定义域关于原点对称且满足①121221()()1()()()

f x f x f x x f x f x ⋅+-=- ②存在正常数a ，使()1f a =，求证：（1）()f x 为奇函数；（2）()f x 是周

期函数，且有一个周期是4a

分析：欲证()f x 为奇函数，只需证明对定义域内的任意x 恒有

()()f x f x -=-即可。而为证明(4)()f x a f x +=，可先计算()f x a +，

(2)f x a +，可以采取逼近的方法，逐步达到证明目的。

证明：

（1）令12x x x =-，则21()()f x f x x -=-=1212()()1()()

f x f x f x f x ⋅+=- 12()()f x x f x =--=-，∴()f x 为奇函数

（2）要证(4)()f x a f x +=，可先计算(),(2)f x a f x a ++

()()1()()1()1()[()]()()()()()1

f a f x f a f x f x f x a f x a f a f x f a f x f x -+-+-+=--===----+ ∴()11()11()1(2)[()]()1()1()1()1

f x f x a f x f x a f x a a f x f x a f x f x --+-++=++===--++++ ∴1(4)[(2)2]()(2)

f x a f x a a f x f x a +=++==-+ 故()f x 是周期函数，且有一个周期是4a 。

例2、 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-且方程()0

f x =恰有6个不同的实根，这6个根的和为

A 、18

B 、12

C 、9

D 、0

解析：()y f x =的图象关于3x =对称，故6个根的和为18，可知选A

归纳点评：熟练掌握一些函数图象对称问题的基本特征，有助于迅速而有效地

解决一些抽象函数的问题，请同学们熟记以下两个命题：

（1） 设函数()f x 的定义域为R ，且()()f x a f b x +=-，则函数()f x 的图象关于直线2

a b x +=对称。 （2） 设函数()f x 的定义域为R ，函数()y f x a =+与()y f b x =-的图象关于直线2

b a x -=对称。 二、赋值法求解

赋值法的基本思路是：将所给函数的性质转化为条件等式，在条件等式中对

变量赋予一些具体的值，构造出所需要的条件或发现某些性质，其中(0),(1)f f 常常起到桥梁作用。

例1、 函数()f x 定义在[]0,1上，满足()2()2

x

f x f =且(1)1f =，求11(0),(),()24f f f 的值，并归纳出1()(1,2,)2

i f i =的表达式。 分析：欲求11(0),(),()24

f f f 的值，只需将所给函数方程中的x 代换为相应的特殊值0、1、12，由(0)2(0)f f =，得(0)f =0；由1(1)2()2

f f =及(1)f =1，得111()(1)222

f f ==； 同理，1111()()4224f f ==；故可归纳得11()22

i i f =(1,2,)i = 例2、 已知函数()f x 满足：对任意,x y R ∈都有22

()()2()f x y f x f y +=+且(1)0f ≠，则(2007)f =

解：在22()()2()f x y f x f y +=+中，取0,0x y ==，则(0)0f =

再取0,1x y ==代入可得2(1)(0)2(1)f f f =+

即(1)0f =或1(1)2f =，又由(1)0f ≠，故1(1)2

f =

令,1x n y ==，则得递推式1(1)()2

f n f n +-= ∴数列{()}f n 是首项为0.5，公差为0.5的等差数列

∴(2007)1003.5f =

三、特殊模型法

例、已知函数()f x 对一切实数x 、y 满足(0)0f ≠，()()()f x f y f x y ⋅=+，且当0x <时，()1f x >，求证：

（1） 当0x >时，0()1f x <<；

（2） ()f x 在x R ∈上是减函数。

分析：由()()()f x f y f x y ⋅=+，自然可联想到指数函数。并由0x <时，

()1f x >，故可借助()(01)x f x a a =<<来理解题意，使所解证问题与指

数函数来类比，从而找到了解题的敲门砖。

解：

（1） 令0x y ==得2

(0)(0)f f =，又(0)0f ≠ (0)1f ∴=，再令y x =-得()f x ()(0)1f x f -==

当0x >时，()1f x ->，由()f x 1()

f x =- ∴0()1f x <<

（2） 受指数函数的单调性启发得： 0x <时，()1f x >，0x >时，0()1f x <<

0x ≠时，(0)0f ≠

∴()0f x >， 又()()()f x f y f x y ⋅=+ ∴()()()

f x f x y f y -= 任取12,,x x 使12,

x x <1122()()1()f x f x x f x =->，即12()()f x f x > 故()f x 在x R ∈上是减函数。