一道高考选择题的多种解法

一道高考选择题的多种解法

题目：两个可视为质点的小球a 和b ，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图所示。已知小球a 和b 的质量之比为3，细杆长度是球面半径的2倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是（ ）

A. 45

B. 30

C. 5.22

D.

15

解法一：力矩平衡

辅助线如图所示，其中ON 垂直ab ，OM 垂直水平虚线，则θ=∠MON 。又由于R ab 2=，所以三解形aOb 为等腰直角三角形。以O 点为转轴，用力矩平衡原理有（图中未做出转轴到力的作用线的距离）： ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-θπθπ4sin 4sin gR m gR m b a 整理得

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-θπθπ4sin 4sin 3…………………………（1） 将四个选项代入可知，选项D 正确。

附：若将上面的（1）式展开来看，可以直接求出关于关于θ的三角函数值，但从下面的计算可以看出，这样做来选择正确选项，并不是容易的。

θθθθcos 2

2sin 22sin 223cos 223+=⋅-⋅ 整理可得：

32tan -=θ

图2

图1

可以很容易的知道A 和B 是不正确的，但由于我们没有记住C 和D 的角度的正切值，所以说不易找到结果。这说明了解选择题和解答题的解法是不同的。

解法二：共点力平衡——正弦定理

受力分析如图3所示，由于两物体处于平衡状态，所以所受到的三个力将分别构成封闭的三角形。

由两直线平行，同位角相等，可知a 、b 两物体所受支持与直方向的夹角分别为θπ

-4和

θπ

+4。在两个三角形中分别用正弦定理，有

4sin 4sin 1π

θπg m F

=⎪⎭⎫ ⎝⎛- (2)

4sin 4sin 2π

θπg m F

=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ (3)

（2）式除以（3）式，整理可得

34sin 4sin 12==⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+m m θπθπ 将四个选项分别代入上式可以找到正确答案。

解法三：共点力平衡——正交分解法

如图对a 进行受力分析并建立直角坐标系。由共点力平衡条件可知

图4

图3

04cos

sin 11=-+πθN F g m …………………………（4） 0cos 4sin 11=-θπ

g m N (5)

同理对b 受力分析并建立直角坐标系，可得方程

04cos

sin 22=-+F N g m πθ…………………………（6） 0cos 4sin 22=-θπ

g m N (7)

（4）+（5）+（6）-（7）并整理可得：

32tan -=θ

解法四：机械能守恒

假设一开始a 球位于圆弧的最低点，则b 位于与圆弧圆心等高的位置。由静止释放ab ，则二者构成的系统机械能守恒，在运动过程中，当二者的重力势能最小，即动能最大时与平衡时的位置相同。设Ob 转过角ϕ时，系统的动能为k E ，则有：

()

()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=-+=--=13sin 1

cos 3sin cos 13sin πϕϕϕϕϕmgR mgR mgR mgR E k （表达式中m 表示的是b 的质量，m 3表示的是a 的质量。） 由上面的关系式可知，当6π

ϕ=时，即

15=θ时，k E 有极大值。 解法五：虚功原理

理想约束下主动力的虚功之和为零，因此有：

()()[]0cos 13sin =--ϕδϕδR mg R mg

即

()0sin 3cos =-δϕϕϕmgR 解得：6πϕ=

时。即

15=θ时，有极大值。

rongnal

2012年10月19日