第1章 预备知识PPT课件

称P 是可测空间(,F)上的概率测度，简称概率。 称( ,F,P )为概率空间，称F为事件域。
若AF，称A为随机事件，P(A)为事件A的概率。
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概 率 空 间 (Ω ,F ,P )
Ω： 集 合 ， 样 本 空 间 F ： 集 类 ， σ -代 数 P： 完 全 可 加 的 集 函 数 ， 概 率 A： F的 元 素 ， 事 件 P (A )： 事 件 的 概 率
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对于无穷大，“整体大于部分” 的直觉不再成立
• 对于自然数集 N1,2,3,4,5, ，偶数集合是一 个子集 E2,4,6, ，但我们将N 中的 n 和 E 中 的2 n 建立对应关系，就发现这是一个双射。
• 希尔伯特旅馆(自然数旅馆)的“故事”
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无穷大的趣闻——三次数学危机
集合：具有某种特殊性质的个体的聚合
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关于可数和不可数
• 集合的映射：单射、满射和双射
原像集
像集 单射（不同的原
f
像具有不同的像）
f a1f a2
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满射（每一个像都有原像）
原像集
像集
f
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b , a , s .t.
b f a
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双射（既是单射，又是满射）
3. 有限可加性
由P() 0及完全（可列）可即加得性
若A1,A2,...AnF,且AiAj＝(ij),则
n
n
P( Ak) P(Ak)
k1
k1
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4. A, B F P(A \ B) P(A) P(AB) 若B A P(A B) P(A) P(B)
5. P (A B ) P (A ) P (B ) P (A )B
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公理化定义
集类
粗略地说 ，的由子集作为元素的构集成合的 称为集类。 {,}是最简单的集类。
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设（，F）为可测空间,
映射P ：F R， A P（A）满足
(1) A F， 0 P（A） 1
(2) P（）= 1
A (3)
P i 1 i i 1P (A i), (A i A j ,ij)
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• 集函数是测度论中定义的概念
• 设F是Ω上的非空集合类。若对于每一个 A∈F,都有一个实数或者±∞之一与之对应， 记为P(A)，且至少有一个A∈F,使得P(A)取 有限值，称P(A)为定义在F上的集函数。
概率是满足 1）非负性； 2）归一性； 3）可列可加性；
的集函数。
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危机就不可避免。危机的解决给数学带来了许多 新认识、新内容，有时也带来了革命性的变化。
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随机事件 粗略地说，样本空间Ω的子集就是随机事件，
用大写英文字母A、B、C等来表示。
事件的关系与运算
AB：事件A,B同时发生，也记为AB AB：事件A,B中至少有一事件发生。 A\B：事件A发生，但事件B不发生。
是最简单的随机变量 用随机变量来表示事件
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用示性函数的关系及运算来 表示相关事件的关系及运算
min( a , b ) a b ,取下端 max( a , b ) a b ,取上端
I A B ( ) I A ( ) I B ( ) I A B ( ) I A ( ) I B ( ) 若 A B , 则 I A－ B ( ) I A ( )－ I B ( ) A B I A ( ) I B ( ) A B I A ( ) I B ( ) ，
6. 若 A B ,则 P (A )P (B )
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7. AkF, 1kn,n2,
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1 . 古典概型
A
P(A)
(A) ( )
A 中的样本点数目 中的样本点数目
隐含了等可能条件
2 . 几何概型
P(A)
A 点集的面积 点集的面积
隐含了等可能条件
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概率的性质
1. P()0
显然＝ 有 ..， .P()P(), k1
由概率非负性即得
2. P(A)1P(A)
原像集
像集
f
从直觉上承认能建立双射关系的两个集 合，其所含元素的“个数”一样多。
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可数和不可数的定义
• 凡是能和自然数集合或者自然数集合的一 个子集建立双射关系的集合称为可数集合； 否则称为不可数集合。
• 可数和不可数是人类认识“无穷”所产生 的概念，是对无穷的分类。
• 已经证明连续的区间，和实数集等都是不 可数集合：[1,2],(0.1,0.01),R,等等
• 第一次危机：无理数的发现（正方形的对 角线）
• 第二次危机：微积分中的无穷小量（确定 无穷小是运动的量，无限趋于零但不等于 零）
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第三次数学危机
• 罗素悖论
A x is set x x,
if A A, then A A; if A A, then A A.
• 数学中的矛盾既然是固有的，它的激烈冲突——
第1章 预备知识
学习要求
• 不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想 • 学会把抽象的概率和实际模型结合起来
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学习重点
1. 用随机变量表示事件及其分解——基本理论 2. 全概率公式——基本技巧 3. 数学期望和条件数学期望——基本概念
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随机试验
1.1概率空间 随机事件与概率
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事 件 序 列 { A n , n 1}
若 An An1, 称 之 为 单 调 不 减 序 列 。
n 1
An
lim
n
An
若 An1 An , 称 之 为 单 调 不 增 序 列 。
n 1
An
lim
n
An
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示性函数
1, A I A ( ) 0, A 事件 { : I A ( ) 1} A 事件 { : I A ( ) 0} A
要点： • 在相同条件下，试验可重复进行； • 试验的一切结果是预先可以明确的，但每次试
验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。
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样本点
对于随机试验E，以ω表示它的一个可能 出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。
样本空间
样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。
Ω ＝{ω}
数学术语：空间是指一种具有特殊性质及一些额 外结构的集合