湖南省长沙市长郡中学2018年高中理实班招生拔尖试题(含答案)
2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高三(第二次)模拟考试物理试卷+答案解析
2023~2024学年湖南省长沙市长郡中学高三（第二次）模拟考试物理试卷一、单选题：本大题共7小题，共28分。
1.下列说法正确的是()A.图甲粒子散射实验中，粒子与金原子中的电子碰撞可能会发生大角度偏转B.图乙大量氢原子处于的激发态，跃迁过程中能释放出6种频率的光子C.图丙中随着温度的升高，黑体辐射强度的极大值向频率较低的方向移动D.图丁光电效应实验中滑动变阻器的触头向右移动，电流表的示数一定增大2.子弹垂直射入叠在一起的相同固定木板，穿过第9块木板后速度变为0。
如果子弹在木板中运动的总时间是t，可以把子弹视为质点，子弹在各块木板中运动的加速度都相同。
那么子弹穿过第7块木板所用的时间最接近()A.tB.tC.tD.t3.如图所示，导体棒P通过两等长细线悬挂在竖直墙面上等高的两点，并通以恒定电流，另一长直导体棒Q位于AB连线正下方，并与电源、开关、滑动变阻器构成串联电路，闭合开关前滑片位于最左端，已知通电直导线产生的磁场的磁感应强度与通电导线的电流大小成正比，与到通电导线的距离成反比。
只考虑滑动变阻器接入电路的电阻，现闭合开关，将滑动变阻器的滑片自最左端缓慢滑至正中间位置，导体棒P绕AB连线缓慢转动至某一位置，下列说法正确的是()A.导体棒P所受的安培力一定水平向右B.绳子上的拉力大小不变C.两棒间的安培力将变为原来的2倍D.两棒的间距将变为原来的2倍4.在图乙的电路中，电源输出如图甲所示的交变电流不计内阻。
电阻R的阻值为，电表均为理想电表。
下列判断正确的是()A.电压表的示数为10VB.电流表的示数为2AC.若将电阻R替换为一个电容，欲使电路安全运行，其耐压值最少为10VD.电阻R在任意三分之一个周期内产生的热量一定等于5.发射人造卫星的过程要克服引力做功，已知将质量为m的人造卫星在距地球中心无限远处移到距地球中心为r处的过程中，引力做功为，飞船在距地球中心为r处的引力势能公式为，式中G为引力常量，M为地球质量。
中考物理讲义课件 中考考点解读 第十五讲 电功率 第1课时 电能 电功 电功率
类型3 简单电路图类（重点） ☞样题3 （2019·邵阳）如图甲所示的电路中，电 源电压不变，L是标有“6V 3W”的电灯，当S1和S3 闭合，S2断开时，灯L正常发光，电流表的示数如 图乙所示。求： （1）电源电压； （2）定值电阻R的阻值； （3）S1和S3断开、S2闭合时，灯L的实际功率。 （不考虑温度对电阻的影响）
☞样题2 灯泡L1、L2上分别标有“12V
36W”“8V 32W”字样，不考虑温度对灯丝电阻的
影响，请根据以上信息回答下列问题：
(1额)灯定泡电L压2上为标8V有“8V 32W”字样，额其定中功“率8为V”3指2W
的是灯泡L2的___4______________，“32W”指的
是灯泡L2的____4________________，2 通过它的额
额定功率，即两灯亮度相同。故选C。
7.（2016·邵阳）手电筒是人们生活中常用的照明 工具，如图甲是常用手电筒的结构示意图，图乙是 它所用小灯泡的型号。若小灯泡的电阻是10Ω，不 考虑温度对小灯泡电阻值的影响，电源电压是3V。 （1）闭合开关，求通过手电筒小灯泡的电流； （2）求小灯泡的额定功率； （3）闭合开关时，手电筒小灯泡是正常发光吗？ 请简单说明原因。
第十五讲电功率
思维导 图
第1课时电能电功电功率
1 知识梳理素养形成 2 重点难点素养拓展 3 真题自测明确考向
知识梳理素养形成
知识点1电能 电功 1．电能 (1)电能的转化：电能可以转化为其他形式的能量， 用电器工作的过程就是把电能转化为其他形式能的 过程。 焦耳(J) (2)单位：__________；3其.6×他1常06用J 单位：千瓦时 (kW·h)，俗称度。 (3)单位换算：1度＝1kW·h＝__________。
长郡十八校联盟2023届高三第一次联考(全国卷)理科数学试题
长郡十八校联盟2023届高三第一次联考（全国卷）理科数学试题一、单选题 1．已知集合{}21,0,430A y y x xB xx x x ⎧⎫==+>=-+<⎨⎬⎩⎭，则AB =（ ）A ．(1,)+∞B ．[2,3)C ．(1,2]D ．[2,)+∞2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数(2i)i z a =+（其中a ∈R ）为“等部复数”，则复数iz a +在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若x ，y 满足约束条件201030? x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则23zx y=-的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．124．已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是A ．210x -> B ．12x x+<- C ．sinx x -> D ．co s 0x x +>5．希尔伯特在1990年提出了孪生素数猜想,其内容是：在自然数集中,孪生素数对有无穷多个.其中孪生素数就是指相差2的素数对,即若p 和2p+均是素数,素数对(),2p p +称为孪生素数.从16以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为（ ） A ．13B ．15C ．17D ．3286．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列{}n a 的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记(1)nn nb a =-⋅，n *∈N ，则数列{}n b 的前20项和是（ ） A ．110B ．100C ．90D ．807．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．128C ．256D ．3848．八一广场是南昌市的心脏地带，江西省最大的城市中心广场，八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔座正面携刻“八一南昌起义简介”碑文，东､南､西三面各有一幅反映武装起义的人物浮雕.塔身正面为“八一南昌起义纪念塔”铜胎鎏金大字，塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成.八一南昌起义纪念塔的建成，表达了亿万人民永远缅怀老一辈无产阶级革命家创建和培育解放军的丰功伟绩，鼓励国人进行新的长征.现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A 为纪念塔最顶端，B 为纪念塔的基座（即B 在A 的正下方），在广场内（与B 在同一水平面内）选取C ､D 两点，测得C D 的长为m .兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有.A C B∠､A C D∠､B C D ∠､A D C∠､B D C ∠，则根据下列各组中的测量数据，不能计算出纪念塔高度A B 的是（ ）A ．m A CB BCD B D C ∠∠∠、、、 B ．m A C B B C D A C D ∠∠∠、、、 C ．m A C B A C D A D C ∠∠∠、、、 D ．m A C B B C D A D C ∠∠∠、、、9．将函数()c o s 2f x x=的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122fx g x -=的12,xx ，总有12x x -的最小值等于π6，则ϕ=（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π1210．已知R λ∈，函数21,0,()()412lg ,0,x x f x g x x x x x λ⎧+<==-++⎨>⎩，若关于x 的方程(())f g x λ=有6个解，则λ的取值范围为（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭11．双曲线22:13xCy-=的左焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，若过A ，B和点0)M 的圆的圆心在y 轴上，则直线l 的斜率为（ ）A．2±B．C ．1± D ．32±12．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马P A B C D -（如图），P A ⊥平面,1,2,3A B C D P A A B A D ===，点E ，F 分别在,A B B C 上，当空间四边形P E F D 的周长最小时，三棱锥P A D F-外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．11πC ．12πD ．16π二、填空题13．已知7280128(1)(21)x x a a x a x a x-+=++++，则2a 等于___________.14．已知向量()2,1a =r ，()1,0b=，()1,2c=，若()ca mb ⊥+，则m=___________.15．已知ππ,s in 2c o s 2s in c o s 122βαβααβ-<-<+=-=，则πc o s 3α⎛⎫+=⎪⎝⎭___________. 16．设函数1()ln ()f x x a x a x=-+∈R 的两个极值点分别为12,xx .若()()2124124e2e 1fx fx a x x -≤---恒成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题17．在数列{}n a 中，616a =，点()()1,n n a a n *+∈N在直线30x y -+=上.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若2nnnb a =，求数列{}n b 的前n 项和nT .18．基础学科招生改革试点，也称强基计划，强基计划是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x ）和物理成绩（y ），绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B .经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：5015800i i x ==∑，5013900i i y ==∑，501462770i i i x y ==∑，()502128540ii x x=-=∑，()502118930ii y y=-=∑，其中,i i x y 分别表示这50名考生的数学成绩､物理成绩，1i =，2，…，50，y 与x 的相关系数0.45r≈.(1)若不剔除A ，B 两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r .试判断0r 与r 的大小关系（不必说明理由）；(2)求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B 考生加了这次物理考试（已知B 考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到0.1）附：线性回归方程ˆˆˆyab x =+中：()()()121ˆˆˆ,niii nii xxy yb ay b x xx==--==--∑∑.19．如图，在四棱锥P A B C D-中，E 为棱A D 上一点，,P E A D P A P C⊥⊥，四边形B C D E为矩形，且13,,//4B CP E B E P F P C P A ====平面B E F .(1)求证：P A⊥平面P C D ；(2)求二面角FA B D--的大小.20．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知直线5y =与椭圆2222:1(0)x y Ca b ab+=>>交于,P Q 两点（P 在x 轴上方），且65P Q a=，设点P 在x 轴上的射影为点N ，P Q N V 的5抛物线2:2(0)Eyp x p =>的焦点与椭圆C的焦点重合，斜率为k 的直线l 过抛物线E 的焦点与椭圆C 交于,A B 两，点，与抛物线E 交于,C D 两点.(1)求椭圆C 及抛物线E 的标准方程；(2)是否存在常数λ||||A B C D λ为常数？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.21．设函数311()s in c o s 0,()()s in 222f x x x x x g x f x x a x π⎛⎫=-<<=+- ⎪⎝⎭.(1)证明：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 有唯一零点；(2)若任意[0,)x ∈+∞，不等式()0g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系x O y中，直线l 的参数方程为,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴为正半轴建立极坐标，椭圆C 的极坐标方程为2222c o s 2s in 4ρθρθ+=，其右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点. (1)求||||F A F B +的值； (2)若点P 是椭圆上任意一点，求P A B的面积最大值.23．已知函数()|21||3|f x x x =---.(1)求()f x 的最小值m ；(2)若a ，b 为正实数，且20a b m ++=，证明不等式225abba+≥.参考答案：1．B【分析】根据基本不等式求得集合A ，解一元二次不等式得集合B ，即可得集合的交集.【详解】∵10,2x y x x >=+≥=，当且仅当1x =时，等号成立，∴[2,)A =+∞，又∵{}{}()2430|131,3Bxx x x x =-+<=<<=，∴[2,3)AB =.故选：B. 2．D【分析】根据“等部复数”得a 的值，即可得22iz =+，从而得iza +，从而可确定其复平面内对应的点所对应的象限. 【详解】∵(2i)i 2iz a a =+=-+，又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数z 为“等部复数”，∴2a -=，解得2a =-， ∴22i z=+，∴22iz=-，即24iza i +=-，∴复数iza +在复平面内对应的点是(2,4)-，位于第四象限.故选：D. 3．D【分析】如图所示，画出可行域，233z y x =-，3z-表示直线与y 轴的截距，截距最小时，z最大，根据图像得到答案. 【详解】画出可行域，如图所示：23z x y=-，则233z yx =-，3z-表示直线与y 轴的截距，截距最小时，z 最大，当直线过交点，310x x y =⎧⎨+-=⎩，即()3,2-时，6612z=+=.故选：D4．D【分析】利用作差法可判断A 、B 选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】1x <-Q，则()()21110x x x -=-+>，()22112120x x x x xxx+++++==<，又sin x、[]c o s 1,1x ∈-，sinx x ∴->，co s 0x x +<.可得：ABC 成立，D 不成立. 故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题. 5．B【分析】先分析20以内的素数,再分析其中孪生素数的对数,再分别求解所以可能的情况种数以及孪生素数的对数求概率即可.【详解】20以内的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从中任取两个共有15种可能,其中构成孪生素数的有3和5,5和7,11和13共3对,∴16以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率31155P ==.故选：B【点睛】本题主要考查了古典概型的问题,需要根据题意分析总的情况数以及满足条件的基本事件数.属于基础题. 6．A【分析】根据所给数列的项归纳出通项公式，利用分组求和法求和即可. 【详解】观察此数列可知，当n为偶数时，22nna =，当n为奇数时，212nn a -=，因为221,2(1)2nn n n n b a nn ⎧--⎪⎪=-⋅=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数，所以数列{}n b 的前20项和为：(02)++2219120(48)(1218)()22--++-+++-+10(220)246201102⨯+=++++==，故选：A 7．B【分析】根据三视图得到该几何体是一个四棱锥求解. 【详解】解：如图所示：由三视图知：该几何体是一个四棱锥， 其底面积为8864S=⨯=，高为6h=，所以其体积为11283V S h ==，故选：B 8．B【分析】依据解三角形的条件，逐项判断可解三角形求出塔高度A B 的选项即可． 【详解】对于A ：由m ，B C D ∠､B D C ∠可以解B C D △，又tan A B B C A C B=⋅∠，可求塔高度A B ；对于B ：在B C D △中，由,C D m B C D=∠无法解三角形，在A C D中，由,C Dm A C D=∠无法解三角形，在B C A V 中，已知两角A C B A B C ∠∠、无法解三角形，所以无法解出任意三角形，故不能求塔高度A B ； 对于C ：由C Dm=，∠∠A C D A D C 、可以解A C D，可求A C ，又sin A BA C A C B=⋅∠，即可求塔高度A B ；对于D ：如图，过点B 作B EC D⊥于点E ，连接A E ，由c o s ,c o s B C E C A C B B C D A CB C∠=∠=，c o s E C A C E A C∠=，知co s c o s c o s A C E A C B B C D∠=∠⋅∠，故可知A C D∠的大小，由A C D∠､A D C∠､m 可解A C D，可求A C ，又s i n AB A CA C B=⋅∠，可求塔高度A B . 故选：B. 9．C【分析】根据函数图象平移规律可得函数()g x 的图象，由()()122fx g x -=、12m inπ6x x -=设1x=，则2π6=±x ，分别利用πc o s 2216ϕ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭、πc o s 2216ϕ⎡⎤⎛⎫⨯--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求出ϕ可得答案. 【详解】函数()c o s 2f x x=的周期为π，将函数的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()c o s(22)g x x ϕ=-，由()()122fx g x -=可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且12m inπ6x x -=，不妨设1x=，则2π6=±x ，即()g x 在2π6=±x 时取得最小值，由于πc o s 2216ϕ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时ππ,3ϕ=--∈k k Z ，不合题意；πc o s 2216ϕ⎡⎤⎛⎫⨯--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，此时2ππ,3ϕ=--∈k k Z，当1k=-时，π3ϕ=满足题意.故选：C. 10．B【分析】数形结合法，令()g x t =，可得方程()f t λ=的解有3个，对应的一元二次方程各有2个不相等的实数根，利用判别式求解λ的范围. 【详解】令()g x t =，则方程()f t λ=的解有3个，由图象可得，01λ<<，且三个解分别为1231,1,10t t t λλλ=--=-+=，则24121x x λλ-++=--，24121x x λλ-++=-+，241210x x λλ-++=，均有两个不相等的实根， 则1∆>，且2∆>，且3∆>，即164(23)0λ-+>且164(2)0λ-+>，解得203λ<<，当203λ<<时，()316412104(3210)λλλλ∆=-+-=-+，因为203λ<<，所以4203λ-<-<，所以53233λ<-<，且100λ>，所以32100λλ-+>，即3∆>恒成立，故λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选:B. 11．A【分析】利用韦达定理结合P GA B⊥可得283m tm=-，再根据弦长公式表示得A B,结合2221||2rdA B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可求直线l 的斜率.【详解】由题意可知：(2,0)F -，设()11,A x y ，()22,B x y ，A B 的中点为P ， 过点A ，B ，M 的圆的圆心坐标为(0,)G t，则||G Mr==，由题意知：直线A B 的斜率存在且不为0，设直线A B 的方程为：2xm y =-，联立方程组222,1,3x m y x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩化简整理可得，()223410m y m y --+=，则230m -≠，()222164312120mmm∆=--=+>，12122241,33m y y y y mm+==--，故A B 的中点P 的纵坐标122223p y y m y m+==-，横坐标2623pp x m y m=-=-，则2262,33mP mm⎛⎫⎪--⎝⎭，由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，所以222363P Gmtm k m m--==---，化简整理可得：283m tm=-①，则圆心(0,)G t 到直线A B的距离d=)221||3m A B m+===-，2221||2rdA B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()()222222231(2)713mm t tmm+-+=++-，将①代入可得：()()()2222222222282313647133m mm mmmm⎛⎫- ⎪+-⎝⎭+=++--，即()()()()2222222222316436367333mmm mmm+++=+---，整理可得：42560m m -+=，则()()22230m m--=，因为230m -≠，所以220m-=，解得m=∴12km ==±.故选:A. 12．B【分析】把,A P P B 剪开，使得P A B与矩形A B C D 在同一个平面内.延长D C 到M ，使得C MD C=，则四点P ，E ，F ，M 在同一条直线上时，P EE F F D++取得最小值，即空间四边形P E F D 的周长取得最小值.可得122C F PD ==，∴1B F =.∴点E 为A B 的中点.设A F D △的外心为1O ，外接圆的半径为r ，则2s in 45︒=A F r，利用勾股定理进而得出结论. 【详解】如图所示，把,A P P B 剪开，使得P A B与矩形A B C D 在同一个平面内.延长D C 到M ，使得C MD C=，则四点P ，E ，F ，M 在同一条直线上时，P EE F F D++取得最小值，即空间四边形P E F D 的周长取得最小值.可得122C F PD ==，∴1B F=.∴点E 为A B的中点.如图所示，设A F D △的外心为1O ，外接圆的半径为r ，易得45F D A ∠=，则2s in 45==︒A F r设三棱锥PA D F-外接球的半径为R ，球心为O ，连接1O O ，则11122O O P A ==，则222111224R⎛⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎝⎭.∴三棱锥PA D F-外接球的表面积24π11π==R.故选：B. 13．70-【分析】要求2a ，即求展开式中2x 项的系数，进而根据二项式定理求解即可； 【详解】解:因为777(1)(21)(21)(21)x x x x x -+=+-+，对于7(21)x +，其展开式通项为()777177C 22C kkkkkk T x x---+==.所以，7(1)(21)x x -+中含2x 的项为6252772C 2C x x x⋅-，所以展开式中含2x 的项系数为625772C 2C 70⨯-=-.故答案为：70-. 14．4-【分析】用向量的坐标运算即可. 【详解】依题意：()()211211200ca mb ca m cb m +=+=⨯+⨯+⨯+⨯= ，解得m =-4， 故答案为：-4.15．3-【分析】根据已知等式平方后相加可得()1sin 2βα-=-，即()1sin 2αβ-=，根据已知角度范围即可得6παβ-=，从而可得s in3β=πs in 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭得所求.【详解】等式sin 2c o s 2sin c o s 1βααβ+=-=，两边同时平方得22s in 4c o s 4s in c o s 2βαβα++=，24s in c o s 4s in c o s 1αβαβ+-=，两式相加，得414sin c o s 4sin c o s 3βααβ++-=，，整理得()1sin 2βα-=-，即1s i n()2αβ-=，因为ππ22βα-<-<，所以6παβ-=，得π6αβ=+，代入2sin c o s 1αβ-=，得2sin c o s 16πββ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即s in3β=πs in 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭则ππππc o s c o s s in 36263ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：3-16．221e,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭【分析】由函数()f x 有两个极值点分别为12,xx ，可知()f x 不单调，利用导数求得a 的范围，运用韦达定理可得122212ax x x x =+=+>，作差()()12f x fx -，再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数421e 1()ln (1)2eF x x x x x-=-+>，通过求导，判断单调性可得22ex ≥，即可得到a 的范围.【详解】∵函数1()ln ()f x x a x a x=-+∈R 有两个极值点分别为12,x x ，()f x 的定义域为221(0,),()x a x f x x-'++∞=-，令2()1g x x a x =-+，其判别式2Δ4a =-，当22a -≤≤时，Δ0,()0,()f x f x '≤≤在(0,)+∞上单调递减，不合题意.当2a <-时，Δ0,()0g x >=的两根都小于零，在(0,)+∞上，()0f x '<，则()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意. 当2a>时，Δ0>，设()0g x =的两个根12,xx 都大于零，令1212122x x x x =<==，当10x x <<时，()0f x '<，当12xx x <<时，()0f x '>，当2xx >时，()0f x '<，故()f x 分别在区间()10,x ，()2,x +∞上单调递减，在区间()12,x x 上单调递增，则122212a x x x x =+=+>，∴a 的取值范围是(2,)+∞.∵()()1211221211ln ln ⎛⎫-=-+--+=⎪⎝⎭f x fx x a x x a x x x ()()21211212ln ln x x x x a x x x x -+-+-，∴()()121212121212121ln ln ln ln 12fx fx x x x x aax x x x x x x x ---=--+=-+---，若()()2124124e2e 1fx fx a x x -≤---恒成立，则212412ln ln 4e22e 1x x aa x x --+≤---，∴212412ln ln 4ee 1x x x x -≤--，由12x x <，则()412122e 1lnln 4ex x x x --≤-.又121x x =，∴()422221e 12ln4ex x x --≤-，∴()4222221e 1ln 012ex x x x --+≤>①恒成立，记421e 1()ln (1)2eF x x x x x-=-+>，4221e 1()12e F x xx-=--+'，记()0F x '=的两根为4121e 122e x ⎡-⎢=-⎢'⎣，4221e 122e x ⎡-⎢=+⎢'⎣，()F x 在区间()21,x '上单调递增，在区间()2,x '+∞上单调递减，且易知2121e x x <<<<''.又()2(1)0,e0F F ==，∴当()2ex ∈1,时，()0F x >；当)2,e x ⎡∈+∞⎣时，()0F x ≤.故由①式可得，22ex ≥，代入方程()222210g x x a x =-+=，得222211e ea x x =+≥+.又2a>， ∴a 的取值范围是221e,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：221e,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题. 17．(1)32n a n =-；(2)1(35)210n n T n +=-⋅+.【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列定义判断求解作答. （2）利用（1）的结论，利用错位相减法求和作答. 【详解】（1）依题意，130n n a a +-+=，即13n na a +-=，因此数列{}n a 是公差为3的等差数列，则63(6)32na a n n =+-=-，所以数列{}n a 的通项公式是32n a n =-.（2）由（1）得(32)2nn b n =-⋅，则1321242(342)22nnT n =⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅-⨯++，于是23121242(35)2(32)2nn nT n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得1231122()23(222(32)2(3212)22)123n n n n nT n n +-+-=+++⋅⋅⋅⋅+--⋅--⋅-=+-1(53)210n n +⋅=--，所以1(35)210n nT n +=-⋅+.18．(1)0r r<(2)0.36 6.4ˆ32yx =+，估计B 考生的物理成绩约为81.2分【分析】（1）根据已知条件，结合散点图，即可求解．（2）根据已知条件，结合最小二乘法，以及线性回归方程的公式，求出线性回归方程，再将125x =代入，即可求解．【详解】（1）0r r<理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系， ①异常点A ，B 会降低变量之间的线性相关程度，②52个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小， ③50个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大， ④50个数据点更贴近其回归直线l ， ⑤52个数据点与其回归直线更离散． （2）由题中数据可得：50501111116,785050i i i i xx y y ======∑∑，所以()()5050115010370iii i i i x xy yx y x y ==--=-=∑∑，所以()()()501502110370ˆ0.3628540iii ii xxy ybxx==--==≈-∑∑，780.36ˆˆ11636.24a y b x =-=-⨯=，所以0.36 6.4ˆ32y x =+，将125x =代入，得0.3612536.2481.2481.2y =⨯+=≈，所以估计B 考生的物理成绩约为81.2分. 19．(1)证明见解析 (2)π4【分析】（1）连接A C 交B E 于点G ，连接F G ，利用线面平行的性质得//P A F G ，利用平行线分线段成比例可得线段长度，从而由勾股定理得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明线面垂直；（2）利用线面关系，证明线线垂直，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算分别确定平面A B F 与平面A B D 的法向量，根据坐标运算得二面角的余弦值，即可确定二面角大小.【详解】（1）连接A C 交B E 于点G ，连接F G ，因为//P A 平面B E F ，平面P A C 平面B E FF G=，P A⊂平面P A C ，所以//P A F G ，又//B E C D，所以13A F A F A G P F D EB CG CF C====，又3D E=，所以1,4A EA D ==.因为P E A D⊥，所以2P A==，P D==所以222P A P D A D+=，所以P A P D⊥，又,,,P AP C P D P C P P D P C ⊥⋂=⊂平面P C D ，所以P A ⊥平面P C D . （2）因为P A ⊥平面P C D ，C D⊂平面P C D ，所以P AC D⊥，又,A D C D P A A D A ⊥⋂=，,P A A D⊂平面P A D ，所以C D⊥平面P A D ，又P E⊂平面P A D ，所以P EC D⊥，又P E A D⊥，A DC D D =,A D C D ⊂平面A B C D所以P E ⊥平面A B C D .如图建系，则3(1,0,0),(0,0),(3,0,0),,444A B D F ⎛-- ⎝⎭，7333,,,(1,3,0)444A F A B ⎛⎫=-- ⎝⎭，设平面A B F 的一个法向量为(,,)mx y z=，则720044400z y A F m x y z x A B m x ⎧⎧=⎧⋅=-++=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎪⎩-+=⎩，取1y =，得2)m =，又平面A B D的一个法向量为(0,0,1)n=，所以2c o s ,2||||22m n m n m n ⋅〈〉===FA B D--为锐角，故二面角F A B D--的大小为π4.20．(1)2215xy+=，28yx=(2)存在，16λ=-【分析】（1）设()00005P xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由2P Q N P O NS S =△△解得1,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭P ，利用13525O P P Q a====可得a=，再求得b 的值，即可得椭圆C 方程，由抛物线2:2(0)E yp x p =>的焦点与椭圆C 的焦点重合，即可得抛物线E 的标准方程；（2）设直线l 的方程为(2)yk x =-，()()()()11223344,,,,,,,A x yB x yC x yD x y ，分别让直线l 与椭圆、抛物线联立，得交点坐标关系，从而得弦长，即可求得λ的值. 【详解】（1）由题意可设()00005P x x⎛⎫> ⎪⎝⎭，可得2P Q N P O N S S =△△，所以001255P O NS x x =⋅⋅=△，所以01x =，1,5⎛ ⎝⎭P ，所以13525O PP Q a====，所以a=，点P 坐标代入椭圆方程得1b =，所以椭圆C 方程为2215xy+=，所以2c=，即4p=，所以抛物线E 方程为28y x=.（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y .直线l 的方程为(2)yk x =-，与椭圆C 的方程联立()22152x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()222215202050k xk x k+-+-=，则()()()4222Δ4002051412010kkkk=-+-=+>恒成立，所以2212122220205,1515kk x x x x kk-+==++则)221||15kA Bk+==+.直线l 的方程为(2)y k x =-，与抛物线E 的方程联立28,(2),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得()22224840k x k x k -++=.()223434228148,||4kkx x C D x x kk+++==++=.()()()22222215(20)4||||218181k kk A B C D kkkλλλ+++=+=+++.||||A B C D λ+为常数，则204λ+=，得16λ=-.故存在16λ=-||||A B C D λ为常数.21．(1)证明见解析 (2)13a ≥【分析】（1）求导，根据导函数判断函数()f x 的单调性，再根据零点存在法则求解； （2）求导，根据导函数的结构，对a 分类讨论. 【详解】（1）π110,,()s in c o s ,()s in c o s 222x f x x x x f x x x x ⎛⎫∈=-=-' ⎪⎝⎭ ，令'()()h x f x = ，则'3()sin co s 02h x x x x =+> ，则π0,,()2x f x '⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，且''1ππ(0),222f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴'π0,,()02t f t ⎛⎫∃∈= ⎪⎝⎭ ，'(0,),()0,()x t f x f x ∈<单调递减，'π,,()0,()2x t f x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭单调递增，且π1(0)0,022f f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，则()0<f t ，∴存在唯一零点0π,2x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =，即()f x 有唯一零点；（2）3()s in c o s g x x x x a x=--，则'()(s in 3)g x x x a x =- ，又令'()s in 3,()c o s 3h x x a x h x x a=-=- ，①当31a≤-，即13a ≤-时，()0h x '≥ 恒成立，∴()h x 在区间[0,)+∞上单调递增，∴()(0)0h x h ≥=，∴'()0g x ≥ ，∴()g x 在区间[0,)+∞上单调递增， ∴()(0)0g x g ≥=（不合题意）；②当31a≥即13a ≥时，'()0,()h x h x ≤在区间[0,)+∞上单调递减，∴()(0)0h x h ≤=，∴'()0g x ≤ ，∴()g x 在区间[0,)+∞上单调递减， ∴()(0)0g x g ≤=（符合题意）；③当131a -<<，即1133a -<<时，由''(0)130,(π)130h a h a =->=--< ，∴0(0,π)x ∃∈ ，使()'00h x = ，且()00,x x ∈时，''()0,()(0)0,()0h x h x h g x >>=> ，∴()g x 在()00,x x ∈上单调递增，∴()(0)0g x g >=（不符合题意）；综上，a 的取值范围是13a≥；【点睛】本题的函数类型是三角函数与非三角函数组合成的，对于这一类函数往往是在一个周期()2π 内讨论或半个周期()π内讨论 ；如果一次求导不能判断清楚导函数的符号，则需要多次求导，而且每次求导后都要研究导函数的解析式能否判断清楚导函数的符号，直至能判断清楚导函数的符号为止.22．(1)83(2)41)3【分析】（1）根据极坐标方程可得椭圆C 的标准方程，又直线l 经过点椭圆焦点F ，将直线参数方程代入椭圆方程，得坐标关系，即可得||||F A F B +的值；（2）设点P 坐标为(2c o s in )θθ，直线l 的直角坐标方程为0x y --=，由点到直线的距离，结合三角函数的图象性质求得距离最大值，即可求得P A B的面积最大值.【详解】（1）由2222c o s 2s in 4ρθρθ+=得椭圆C 的方程为22142xy+=，其焦点F坐标为答案第16页，共16页0)，由题意得直线l 经过点F，其参数方程为x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），代入椭圆C 的方程整理得23210t t +-=，所以121221,33t t t t +=-=-，所以121282223F A F B t t t t +==+=-===（2）由椭圆方程22142xy+=，可设点P 坐标为(2c o s ,in )θθ，又直线l 的直角坐标方程为0x y --=，∴点P 到直线l的距离d ==ta n 2φ=，所以m a x 1d =+，因为18||,||||||23P A BS A B d A B F A F B =⋅=+=△，所以P A B323．(1)52m=-(2)证明见解析【分析】（1）讨论去绝对值可得()f x 的解析式及最小值；（2）由（1）可得5a b +=，利用基本不等式可得答案.【详解】（1）当12x <时，5()21322=-++-=--≥-f x x x x ，当132x ≤≤时，5()21334,52⎡⎤=-+-=-∈-⎢⎥⎣⎦f x x x x ，当3x >时，()21325=--+=+>f x x x x ，综上，12,21()34,322,3x x f x x x x x ⎧--<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，可知当12x=时，()f x 有最小值52-，所以52m=-；（2）由（1）可得5a b +=，因为a ，b 为正实数，所以222,2abb a a bba+≥+≥，所以225aba b b a+≥+=.。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)调研考试物理试卷(一)(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）调研考试物理试卷（一）一、单选题：本大题共6小题，共24分。
1.如图所示为某地的转盘路，汽车要想直行，到转盘路时，需要先做半径为R=25m的圆周运动，运动半个圆周后再直行。
若汽车甲到达转盘路时，汽车乙恰好通过转盘路进入直行车道，以v z=30km/ℎ匀速行驶。
已知汽车通过转盘路过程的速度不能超过v=30km/ℎ，通过后在直行车道上的速度不能超过v′=72km/ℎ，加速度不能超过a=4m/s2则汽车甲追上汽车乙所用的最短时间约为(假设直行车道足够长，且没有通过红绿灯，另外不考虑汽车的变加速恒功率过程)( )A. 15.7sB. 17.6sC. 19.5sD. 21.4s2.如图，一小孩在玩躲猫猫游戏时，徒手靠摩擦爬上墙壁(地面有保护措施)，已知该屋角两侧的竖直墙壁互相垂直，她爬升墙壁时利用手脚交替即双脚支撑时双手上移，双手支撑时双脚上移的方法，最后靠双脚与墙面作用停在某高度，假设此时双手不受力，双脚两个受力点受力均等，小孩重力为G，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )A. 小孩单只脚受到墙壁的摩擦力大小为G2B. 小孩受到墙壁的摩擦力方向竖直向上C. 小孩脚与墙壁间的动摩擦因数大于1D. 若对称增加脚与墙壁的挤压力，则摩擦力不改变3.如图所示，一足够大的空间内有一无限长的均匀带正电的导体棒水平放置，导体棒所在的竖直平面内放有三个质量相同、电荷量分别为q、2q、3q(q>0)的微粒，通过多次摆放发现，当三个微粒均静止时，它们距导体棒的距离之比总是1:2:3，不考虑微粒间的相互作用。
现撤去该三个微粒，在导体棒所在的竖直平面内距导体棒1.5ℎ、2.5ℎ处分别放有电子A、B(不计重力)，给它们各自一个速度使其以导体棒为轴做匀速圆周运动，则A、B做圆周运动的线速度之比为( )A. 1:1B. 3:5C. 1:2D. 5:34.一列简谐横波沿x轴正方向传播，t=0时刻的波形图如图甲所示，P、A、B、Q是介质中的四个质点，t=0时刻，该波刚好传播到B点，质点A的振动图像如图乙所示，则( )A. 该波的传播速度为2.5m/sB. t=1s时，质点A的位移大小2cmC. 再经过0.4s，质点A刚好运动到B点所在的位置D. 再经过3.8s，质点Q第二次到达波谷5.夏天的雨后经常可以看到美丽的彩虹，古人对此有深刻认识，唐代词人张志和在《玄真子涛之灵》中写道：“雨色映日而为虹”。
长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期中考试文科综合试题(含答案)
长郡中学 学年度高一第一学期期中考试 文科综合
在南半球 向南运动 +( 如果黄赤交角变成 则地球上五带的纬度范围变化情况是 " & ( # & 2 寒带范围变大 热带范围变大 )( 温带范围变大 热带范围变小 * ( 寒带范围变小 温带范围变大 +(
在北半球 向北运动 * ( 在南半球 向北运动 ,(
寒带范围变大 温带范围变大 ,( 右图中的圆表示某一纬线圈 箭头表示地球自转方向 读图完 成" . " '题 若 ) 地的经度为# 则 * 地的经度为 " . ( $ 2 3 )( " 0 $ 2 4 * ( " 0 $ 2 3 +( " % $ 2 4 ,( " % $ 2 3 若非阴影部分为新的一天 阴影部分为旧的一天 那么下列判断 " ' ( 正确的是 )( 5 ) 所在经线为$ 2 * ( 5 * 所在经线为" $ 2 +( 5 * ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ晨线 ,( 5 ) 所在经线的地方时为" $时
文科综合 长郡版 !#
某地有一幢楼 冬至日正午影长与楼房高度相同 据此回答 " 0 " -题 该地冬至日正午太阳高度是 " 0 ( )( # % 1 . 2 * ( & . 2 +( ' ' 1 . 2 ,( / $ 2 该地的纬度可能是 " ( )( # % 1 . 2 6 * ( # " 1 . 2 7 +( # . 1 . 2 6 ,( ' 1 . 2 7 下列节日中 长沙昼长与夜长差值最小的是 " / ( 国际妇女节 国际劳动节 中国教师节 中国国庆节 )( * ( +( ,( 我国北方住宅区的楼房间距理论上应比南方宽 理由是 # $ ( 北方平原多 北方冬季白昼短 )( * ( 南方湿润 北方正午太阳高度比南方低 +( ,( 所谓性价比是指产品本身具有的特性和功能与其单个产品价格之间的比率关系 # " ( 消费者看重商品的性价比 是因为 商品是价值与交换价值的统一体 商品是使用价值与交换价值的统一体 )( * ( 商品是使用价值与价值的统一体 商品是价格与价值的统一体 +( ,( 房地产市场素有 金九银十 的说法 进入十月 各地房产开展系列优惠活动 小王 # # ( 采用银行按揭贷款的方式购买了价格 万元的新房 首付款 # 然后在 " $ . 万元 .年 内付清银行贷款. .万元及利息" .万元 其中的$万元房价 # .万元首付款 " .万 元利息分别体现了货币的 职能 流通手段 价值尺度 支付手段 价值尺度 流通手段 支付手段 )( * ( 价值尺度 支付手段 流通手段 支付手段 流通手段 贮藏手段 +( ,( 在 商品 货币 商品 的流通过程中 商品 货币 阶段的变化 是商品的惊险的 # % ( 跳跃 这个 跳跃 如果不成功 摔坏的不是商品 而是商品所有者这说明 商品生产者需要生产适销对路 质量上乘的商品 )( 商品生产者生产的商品失去了使用价值和价值 * ( 货币作为商品交换的媒介必须是足值的货币 +( 货币作为一般等价物在物物交换中起决定作用 ,( 随着信息技术的发展 电子商务 电子银行 电子政务正在走进人们的生活 人们在 # & ( 购物和旅游时越来越喜欢使用银行信用卡 其原因是银行信用卡 可以作为财富的代表 能够简化收款手续 方便购物消费 是一般等价物 可以增强消费安全 防止金融风险 具有透支功能 可以获得指定数额的贷款 )( * ( +( ,( 小王承包了几公顷山地 种植水果并获得了丰收 他与一家公司签订了合同 该公司 # . ( 给小王签发了一张现金支票 兑换这一张支票的正确方式是 凭这张现金支票去对方所在公司支取现金 )( 凭这张现金支票去证券公司支取现金 * ( 凭这张现金支票到银行去支取现金 +( 凭这张现金支票到交易市场转让 获得所需现金 ,( 近年来 我国劳动力成本不断上涨 为应对劳动力价格上涨的压力 某企业引进先 # ' ( 进设备 提高了生产的自动化程度 使单位产品人工成本不升反降 这从一个侧面 说明了 价格的变动可以调节生产要素的投入 任何商品的价格总是围绕价值上下波 动 劳动力价格上涨对企业既是压力也是动力 只有提高劳动力价格才能促 使企业改进技术 )( * ( +(
2009年湖南省长沙市长郡中学高一自主招生数学试卷
2009年湖南省长沙市长郡中学高一自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色．若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（）A．B．C．D．考点：几何体的展开图．分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．解答：解：选项C中红色面和绿色面都是相邻的，故不可能是一个正方体两个相对面上的颜色都一样，故选C．点评：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．2．（5分）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：设第一季度产值为1，第二季度比第一季度增长了x%，则第二季度的产值为1×（1+x%），那么第三季度的产值是由第二季度产值增长了x%来确定，则其产值为1×（1+x%）×（1+x%），化简即可．解答：解：第三季度的产值比第一季度的增长了（1+x%）×（1+x%）﹣1=（2+x%）x%．故选D．点评：本题考查一元二次方程的应用，关键在于理清第一季度和第二季度的产值增长关系．3．（5分）甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．与a和b的大小无关考点：一元一次不等式的应用．分析：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．解答：解：利润=总售价﹣总成本=×5﹣（3a+2b）=0.5b﹣0.5a，赔钱了说明利润＜0∴0.5b﹣0.5a＜0，∴a＞b故选A点评：解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式．4．（5分）若D是△ABC的边AB上的一点，∠ADC=∠BCA，AC=6，DB=5，△ABC的面积是S，则△BCD的面积是（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质．分析：先根据相似三角形的判定定理求出△ACD∽△ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．解答：解：∵∠ADC=∠BCA，∠A是公共角，∴∠ABC=∠ACD，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AD=AB：AC，∵AB=AD+BD=AD+5，∴AD（AD+5）=36，解得AD=4或﹣9，负值舍去，∴AD=4，△ABC的面积是S，△ACD的面积就是S，△BCD=S．故选C．点评：本题的关键是求得△ACD∽△ABC，根据相似比和已知的条件求得AD的值，然后利用面积比等于相似比的平方求值．5．（5分）（2007•玉溪）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50 B．62 C．65 D．68考点：全等三角形的判定与性质．分析：由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．解答：解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG∴AF=BG，AG=EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．故选A．点评：本题考查的是全等三角形的判定的相关知识．作辅助线是本题的关键．6．（5分）如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a，右图轮子上方的箭头指的数字为b，数对（a，b）所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同个数为m，则等于（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：先用树状图展示所有可能的结果，共有12种等可能结果数，然后找出和为偶数的个数，这样即可得到的值．解答：解：列树状图：∴数对（a，b）所有可能的个数为n=12，其中a+b恰为偶数的不同个数为m=5，∴=，故选C．点评：本题考查了利用树状图展示所有等可能的结果的方法．7．（5分）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边（）A．A B上B．B C上C．C D上D．D A上考点：正方形的性质．专题：动点型；规律型．分析：因为乙的速度是甲的速度的4倍，所以第1次相遇，甲走了正方形周长的×=；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第2次相遇起，5次一个循环，从而不难求得它们第2000次相遇位置．解答：解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的×=；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第2次相遇起，5次一个循环．因此可得：从第2次相遇起，每次相遇的位置依次是：DC，点C，CB，BA，AD；依次循环．故它们第2000次相遇位置与第五次相同，在边AB上．故选A．点评：本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．8．（5分）已知实数a满足，那么a﹣20062的值是（）A．2005 B．2006 C．2007 D．2008考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．专题：计算题．分析：根据负数没有平方根，得到a﹣2007大于等于0，然后根据a的范围化简绝对值，移项后两边平方即可求出所求式子的值．解答：解：由题意可知：a﹣2007≥0，解得：a≥2007，则|2006﹣a|+=a，化为：a﹣2006+=a，即=2006，两边平方得：a﹣2007=20062，解得：a﹣20062=2007．故选C点评：本题考查平方根的定义，化简绝对值的方法，是一道基础题．学生做题时注意负数没有平方根．二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）9．（5分）小明同学买了一包弹球，其中是绿色的，是黄色的，余下的是蓝色的．如果有12个蓝色的弹球，那么，他总共买了96个弹球．考点：一元一次方程的应用．专题：应用题．分析：设买了x个弹球，根据题意列出有关x的一元一次方程解之即可．解答：解：设总共买了x个弹球，根据题意得：（x﹣x﹣x）=12解得：x=96故答案为：96点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是从题目中找到能概括题目含义的相等关系，并正确的设出未知数列出方程．10．（5分）已知点A（1，1）在平面直角坐标系中，在x轴上确定点P使△AOP为等腰三角形．则符合条件的点P共有4个．考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：推理填空题；分类讨论．分析：本题应该分情况讨论．以OA为腰或底分别讨论．当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个，共有4个解答：解：（1）若AO作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个．以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个．故答案为：4．点评：本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定．对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．11．（5分）不论m取任何实数，抛物线y=x2+2mx+m2+m﹣1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是y=﹣x﹣1．考点：待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质．专题：计算题．分析：将抛物线的方程变形为：y=（x+m）2+m﹣1，由此可得出定顶点的坐标，消去m后即可得出函数解析式．解答：解：将二次函数变形为y=（x+m）2+m﹣1，∴抛物线的顶点坐标为．消去m，得x+y=﹣1．故答案为：y=﹣x﹣1．点评：本题考查待定系数法求函数解析式，突破口在于根据抛物线方程得出顶点坐标．12．（5分）将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：（1）黄盒中的小球比黄球多；（2）红盒中的小球与白球不一样多；（3）白球比白盒中的球少．则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是黄，红，白．考点：容斥原理．专题：证明题．分析：由（2）可以判断出，红盒不装白球，由（3）判断出，白盒不装白球，从而推得黄盒装白球；假设白盒装黄球，由（3）知白球比黄球少，而（1）中，白球比黄球多，矛盾，从而得出白盒装红球，红盒装黄球．解答：解：由条件（2）知红盒不装白球，由条件（3）知白盒不装白球，故黄盒装白球．假设白盒装黄球，由条件（3）知白球比黄球少，这与条件（1）矛盾，故白盒装红球，红盒装黄球．故答案为：黄、红、白．点评：本题考查了容斥原理，根据（2）（3）推出其中一个结论，又利用反证法进行证明．13．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则=．考点：梯形；勾股定理的逆定理；梯形中位线定理．专题：计算题．分析：作BE∥AC，从而得到平行四边形ACEB，根据平行四边形的性质及中位线定理可求得DE 的长，根据勾股定理的逆定理可得到△DBE为直角三角形，根据面积公式可求得梯形的高，因为△AOB和△COD的面积之和等于梯形的面积从而不难求解．解答：解：作BE∥AC，∵AB∥CE，∴CE=AB，∵梯形中位线为6.5，∴AB+CD=13，∴DE=CE+CD=AB+CD=13，∵BE=AC=5，BD=12，由勾股定理的逆定理，得△BDE为直角三角形，即∠EBD=∠COD=90°，设S△EBD=S则S2：S=DO2：DB2S1：S=OB2：BD2∴=∵S=12×5×=30∴=．故本题答案为：．点评：此题主要考查梯形的性质及中位线定理的综合运用．难度一般，熟练掌握一些基本图形的性质是解答此类题目的关键．14．（5分）已知矩形A的边长分别为a和b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，则k的最小值为．考点：矩形的性质．专题：计算题．分析：先根据矩形的性质，列出一元二次方程，再利用根的判别式求根即可．解答：解：设矩形B的边长分别为x和y根据题意：xy=kab，x+y=k（a+b），将y=k（a+b）﹣x代入xy=kab中，x2﹣k（a+b）x+kab=0，利用一元二次方程求根公式：x=，△=k2（a+b）2﹣4kab≥0条件下，x才有解，由上面这个不等式推出：k≥，∴k的最小值为．点评：本题的关键是利用面积周长比列出方程组成一个一元二次方程，用根的判别式求根的情况．15．（5分）已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，则x4+x3y+x2y2+xy3+y4=12499．考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：本题须先根据题意求出x2+y2和x2y2的值，再求出x4+y4的值，最后代入原式即可求出结果．解答：解：x2y+xy2=xy（x+y）=66，设xy=m，x+y=n，由xy+x+y=17，得到m+n=17，由xy（x+y）=66，得到mn=66，∴m=6，n=11或m=11，n=6（舍去），∴xy=m=6，x+y=n=11，x2+y2=112﹣2×6=109，x2y2=36x4+y4=1092﹣36×2=11809x4+x3y+x2y2+xy3+y4=11809+6×109+36=12499．故答案为：12499点评：本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意因式分解的灵活应用．16．（5分）（2007•天水）如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O 及半径OM、OP上，并且∠POM=45°，则AB的长为．考点：正多边形和圆．分析：首先得出△CDO为等腰直角三角形，可知CO=CD，在直角三角形OAB中依据勾股定理即可解决．解答：解：∵∠POM=45°，∠DCO=90°，∴∠DOC=∠CDO=45°，∴△CDO为等腰直角三角形，那么CO=CD．连接OA，可得到直角三角形OAB，∴AB=BC=CD=CO，BO=BC+CO=BC+CD=2AB，那么AB2+OB2=52，∴AB2+（2AB）2=52，∴AB的长为．点评：解决本题的关键是构造直角三角形，注意先得到OB=2AB．三、解答题（共2小题，满分20分）17．（10分）甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？考点：二元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：根据题意可让甲班学生从学校A乘汽车akm出发至某处下车步行，汽车空车返回至某处，乙班同学此处上车，此处距离学校bkm，根据汽车接到乙班同学的时间=乙班同学及步行的时间，甲班步行时间=汽车接乙班返回时间+乙班坐车时间列出两个方程，求方程组的解即可．然后根据时间=即可得他们至少需要多少时间才能到达．解答：解：设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行，乘车akm，空车返回至C处，乙班同学于C处上车，此时已步行了bkm．则，解得a=60，b=20．则至少需要（h）=6.75（小时）．答：他们至少需要6.75小时才能到达．点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题根据题意可画出草图，可以较快地列出所需等量关系．18．（10分）如图，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，AP与DM 交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的最大值．考点：面积及等积变换．专题：探究型．分析：连接PM，设DP=x，则PC=4﹣x，根据平行线分线段成比例定理可得=，进而可得到=，利用三角形的面积公式可得到△MEP及△MPF的表达式，根据S=+即可得出结论．解答：解：连接PM，设DP=x，则PC=4﹣x，∵AM∥OP，∴=，∴=，即=，∵=且S△APM=AM•AD=1，∴S△MPE=，同理可得，S△MPF=，∴S=+=2﹣﹣=2﹣=2+≤2﹣=，当x=2时，上式等号成立，∴S的最大值为：．故答案为：．点评：本题考查的是面积及等积变换，能根据题意作出辅助线，把四边形的面积转化为两个三角形的面积是解答此题的关键．。
2024届湖南省长沙市长郡中学高三下学期一模物理试题
2024届湖南省长沙市长郡中学高三下学期一模物理试题一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题有一颗中高轨道卫星在赤道上空自西向东绕地球做圆周运动，其轨道半径为地球同步卫星轨道半径的四分之一。
某时刻该卫星正好经过赤道上某建筑物，已知同步卫星的周期为T 0，则下列说法正确的是（ ）A．该卫星的周期为B．该卫星的向心力为同步卫星的C ．再经的时间该卫星将再次经过该建筑物D ．再经的时间该卫星将再次经过该建筑物第(2)题关于核反应的类型，下列表述正确的是（ ）A ．是α衰变B．是β衰变C．是核聚变D ．是核裂变第(3)题金属钛由于其稳定的化学性质，良好的耐高温、耐低温、抗强酸、抗强碱，以及高强度、低密度，被美誉为“太空金属”。
用频率为2.5×1015Hz 的单色光照射金属钛表面，发生光电效应。
从钛表面放出光电子的最大初动能与入射光频率的关系图线如图所示。
普朗克常数h =6.63×10−34J·s，则下列说法正确的是（ ）A ．钛的极限频率为2.5×1015HzB ．钛的逸出功为6.63×10-19JC ．随着入射光频率的升高，钛的逸出功增大D ．光电子的最大初动能与入射光的频率成正比第(4)题已知金属锌的逸出功为，氢原子能级分布如图所示，氢原子中的电子从能级跃迁到能级可产生a 光，从能级跃迁到能级可产生b 光。
a 光和b光的波长分别为和。
现用a 、b 光照射到金属锌表面均可产生光电效应，遏止电压分别为和。
下列说法中正确的是（ ）A．B．C ．a光的光子能量为D ．b光照射金属锌产生的光电子的最大初动能为2023年10月2日，杭州亚运会蹦床比赛在黄龙体育中心体育场开赛，中国蹦床名将宋雪莹夺得女子个人冠军，实现奥运会、世锦赛、世界杯、亚运会“大满贯”。
比赛中该运动员由最高点自由下落，从开始下落到最低点的过程中，位移—时间图像如图所示，其中为运动员触网的时刻，为运动员运动到最低点的时刻。
湖南省长郡中学2018届高三第三次月考地理试题【解析】
湖南省长郡中学2018届⾼三第三次⽉考地理试题【解析】长郡中学2018届⾼三⽉考试卷（三）地理第I卷选择题（共50分）⼀、选择题（本⼤题共25⼩题，每⼩题2分，共50分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
）2017年10⽉下旬上午10时（北京时间），张亮在长沙市内徒步，甲图为市内某⼗字路⼝附近的导游图，⼄图为张亮拍于此路⼝的照⽚，据此回答1—2题。
1.据图推测张亮去往甲图中洗⼿间的最近路线应选择⼄图中的A.A线路B.B线路C.C线路D.D线路2.此时A.我国各地的昼夜长短状况与4⽉下旬基本相同B.我国各地的昼夜长短变化趋势与2⽉下旬基本相同C.全球与长沙在同⼀天的地区占全球的⼆分之⼀D.张亮远在美国纽约上学（74°W）的姐姐正在晚⾃习湖南某校地理兴趣⼩组于3⽉21⽇前往图⽰区域进⾏地理观测，图中等⾼距为200⽶。
据此完成3—4题。
3.图中Q地的海拔⾼度可能是（）A．160⽶B．380⽶C．680⽶D．980⽶4.15时（地⽅时）Q地的观测者看到太阳在P地落下，据此判断河流⼲流⼤致的流向是（）A．东北流向西南B．西南流向东北C．西北流向东南D．东南流向西北下图为我国某处风蚀蘑菇等⾼线图（实线为上部可见部分，虚线表⽰被上部遮盖的部分）。
据此完成5—7题。
5.图中P等值线的数值为A．813⽶B．814⽶C．815⽶D．816⽶6.若⽤⽊条⽀撑以防⽌该景观悬空部位坍塌，则P处⽊条的长度约为A．0.5⽶B．1.5⽶C．2.5⽶D．3.5⽶7.在岩壁上，可以见到形状各异、⼤⼩不等的孔⽳，远望犹如窗格和蜂窝，这种地貌称为⽯窝。
其中⽯窝最密集地点是A．①B．②C．③D．④⽬前，随着清洁能源的推⼴，我国有部分城市的路灯采⽤风光电互补照明，它是风⼒发电和太阳能板两种发电设备共同组成的新型发电系统（图甲所⽰），图⼄为我国某地区的“风光互补路灯”景观。
据此完成8—9题。
8.我国安装的“风光互补路灯”，⼀年中太阳能板左右摆动幅度最⼤的季节是A．春季 B．夏季C．秋季 D．冬季9.下列城市的“风光互补路灯”，正午时太阳能板倾⾓(即与地平⾯夹⾓)最⼩的是A．哈尔滨 B．呼和浩特C．济南 D．南京下图为某区域某季节⼤⽓中某⼀等压⾯空间分布⽰意图。
竞赛及提前招生长郡中学理科实验班招生考试数学试卷
2011年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考试数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分)1．（4分）函数图象的大致形状是（)A．B．C．D．2．（4分）（2007•临沂）小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为(）A．B．πC．πD．3．（4分）满足不等式n200＜5300的最大整数n等于（）A．8B．9C．10D．114．（4分）甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇后甲行驶1小时到达B站，乙再行驶4小时到达A站．那么，甲车速是乙车速的（）A．4倍B．3倍C．2倍D．1。
5倍5．（4分）图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3,4，那么，阴影三角形的面积为(）A．5B．6C．7D．86．(4分)如图，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α,那么∠CDE与∠ABE的面积之比是（）A．c osαB．s in2αC．c os2αD．1﹣sinα7．(4分）两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油．舀一勺奶油到咖啡杯里,搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里．这时,设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和b的大小为(）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．与勺子大小有关8．（4分）设A，B，C是三角形的三个内角，满足3A＞5B，3C＜2B，这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分)9．(5分）用数字1，2，3，4，5,6，7,8不重复地填写在下面连等式的方框中,使这个连等式成立:1+□+□=9+□+□=8+□+□=6+□+□_________．10．（5分）如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O是正三角形的中心,则四边形OABC 的面积等于_________．11．（5分）计算：=_________．12．（5分)五支篮球队举行单循坏赛(就是每两队必须比赛1场,并且只比赛一场），当赛程进行到某一天时，A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场，那么到这一天为止一共已经赛了_________场，E队比赛了_________场．13．（5分）(2006•无锡）已知∠AOB=30°，C是射线OB上的一点,且OC=4．若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是_________．14．（5分）如图，∠ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC,则∠1_________∠2（填“＞"、“＜”或“=”）三、解答题（共3小题，满分38分)15．（12分）（2009•深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆,乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元,试说明（1)中哪种方案成本最低?最低成本是多少元？16．(12分)如图，∠ABC是∠O的内接三角形，AC=BC,D为∠O中上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求证：AE=BD;（2)若AC∠BC,求证：AD+BD=CD．17．（14分）（2007•河北）如图，在等腰梯形ABCD中,AD∠BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA﹣AD﹣DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK∠BC，交折线段CD﹣DA﹣AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1)当点P到达终点C时，求t的值,并指出此时BQ的长;（2)当点P运动到AD上时,t为何值能使PQ∠DC；(3)设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）∠PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．2011年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题,每小题4分,满分32分)1．（4分）函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象．分析：由题意只需找到图象在x轴下方的不经过原点的函数图象即可．解答：解:由函数解析式可得x可取正数,也可取负数，但函数值只能是负数;所以函数图象应在x轴下方,并且x,y均不为0．故选D．点评:解决本题的关键是根据在函数图象上的点得到函数图象的大致位置．2．（4分）(2007•临沂）小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（）A．B．πC．πD．考点：几何概率．专题：计算题．分析：针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．解答：解:∠如图所示的正三角形，∠∠CAB=60°，设三角形的边长是a，∠AB=a，∠∠O是内切圆，∠∠OAB=30°，∠OBA=90°，∠BO=tan30°AB=a，则正三角形的面积是a2，而圆的半径是a，面积是a2，因此概率是a2÷a2=．故选C．点评:用到的知识点为：边长为a的正三角形的面积为：a2；求三角形内切圆的半径应构造特殊的直角三角形求解．3．（4分）满足不等式n200＜5300的最大整数n等于（）A．8B．9C．10D．11考点:幂的乘方与积的乘方．分析：将不等式左右两边理由幂的乘方运算法则变形为指数相同的两个幂,通过计算可求出n的最大值．解答：解：n200=（n2）100，5300=(125）100，所以n2＜125，最大整数n=11．故选D．点评:本题利用了幂的乘方、积的乘方以及分数的基本性质进行变形而求的．4．（4分）甲、乙两车分别从A,B两车站同时开出相向而行，相遇后甲行驶1小时到达B站,乙再行驶4小时到达A 站．那么，甲车速是乙车速的（）A．4倍B．3倍C．2倍D．1。
长郡中学2024-2025学年高一上学期综合能力检测(入学分班考试)数学试卷(解析版)
长郡中学2024级高一综合能力检测试卷数学时量：90分钟 满分100分一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万1万，1兆1=万1×万1×亿．若1兆10m=，则m 的值为（ ） A.4 B.8C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】1万=410，所以1亿=810， 所以1兆=8816101010×=， 所以16m =. 故选：D2.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）A.12B.112C.16D.14【答案】D 【解析】【分析】根据概率的计算公式即可求解.【详解】从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为61244=， 故选：D3.如图，矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 所表示的数为（ ）A. 2B.1−C.D.1【答案】B 【解析】【分析】利用勾股定理和数轴的知识求得正确答案.【详解】由于AC =，所以点M所表示的数为)231+−=−.故选：B4. 若关于x 的不等式组()532223x x x x a + ≥−+<+恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A. 53a <−B. 5433a −≤<− C. 523a −<−≤D. 523a −<<−【答案】C 【解析】【分析】化简不等式组，由条件列不等式求a 的取值范围. 【详解】解不等式532x x +≥−，得11x ≤， 解不等式()223x x a +<+，得23x a >−， 由已知可得7238a ≤−<， 所以523a −<−≤.故选：C.5. 在ABC ，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A ，B ，P 为圆心画圆，圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离【答案】B 【解析】【分析】由题意条件分析两圆圆心距与两半径和差的大小关系即可得. 【详解】由圆A 与圆P 内切，则312PA =−=，5AB =， 又点P 在ABC 内，则PA PB AB +>，且PB AB <， 所以523PB AB PA >−=−=，且5PB <， 则3232PB −<<+，由圆B 的半径为2，圆P 的半径为3， 所以圆P 与圆B 相交. 故选：B.6. 对于正整数k 定义一种运算：1()[][]44k k f k +=−，例：313(3)[][]44f +=−，[]x 表示不超过x 的最大整数，例：[3.9]3=，[ 1.8]2−=−．则下列结论错误的是（ ） A. ()10f =B. ()0f k =或1C. ()()4f k f k +=D. ()()1f k f k +≥【答案】D 【解析】【分析】根据给定的定义，逐项计算判断即可.【详解】对于A ，11(1)[][]00024f =−=−=，A 正确； 对于B ，取4,1,2,3,4k n i i =+=，n 为自然数， 当4i =时，1()[1][1][1]044f k n n ++−+，当3i =时，33()[1][]1([])144f k n n n n =+−+=+−+=，当1,2i =时，11()[][][]([])04444i i i if k n n n n ++=+−+=+−+=，B 正确； 对于C ，11(4)[1][1]1[](1[])()4444k k k kf k f k +++=+−+=+−+=，C 正确； 对于D ，414313(31)[][]0,(3)[][]14444f f +++=−==−=，即(31)(3)f f +<，D 错误.故选：D7. 如图，点A 为反比例函数()10y x x=−<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例函数()40yx x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值（ ）A.12B.14C.D.13【答案】A 【解析】【分析】设121214,,,A x B x x x −，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ，由AO BO ⊥，得∽∠ AOE OBF ，由==AEEO AO OFBF BO，可得答案. 【详解】设AA �xx 1,−1xx 1�,BB �xx 2,4xx 2�(xx <0,xx 2>0)，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ， 且()()12,0,,0E x F x ，因为AO BO ⊥，所以,∠=∠∠=∠AOE OBF OAE BOF ， 所以∽∠ AOE OBF ，所以AE EO OF BF =，可得112214−−=x x x x ，即22124x x =，所以122x x =−， 所以12121211==−==−=A Ex x x OA BO OFx.故选：A.8. 若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（ ） A. 124q −≤≤ B. 50q −≤≤C. 54q −≤≤D. 123q −≤≤【答案】A 【解析】【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为1x m =+，进而可得412p p m ++=+，由函数图象过点(),p q ，可得2(1)4q m =−−+，可求q 的取值范围.【详解】因为二次函数解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤， 所以二次函数的对称轴为1x m =+，函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，故点(),p q 和点()4,p q +关于直线1x m =+对称， 所以412p p m ++=+，所以1[0,4]p m −∈， 又()()()()2222121223(1)4q p m p m m m m m m =−−=−−−−=−++=−−+， 当1m =，max 4q =，当5m =，min 12q =−，所以124q −≤≤. 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9. 分解因式：432449a a a −+−=______． 【答案】2(23)(1)(3)a a a a −++− 【解析】【分析】根据给定条件，利用公式法及十字相乘法分解因式即可得解.【详解】43222222449(2)9(23)(23)(23)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a −+−=−−=−+−−=−++−. 故答案为：2(23)(1)(3)a a a a −++−的10. 直线1:1l y x =−与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是______．【答案】y =【解析】【分析】先求得2l 的倾斜角，进而求得直线2l 对应的函数表达式. 【详解】直线1:1l y x =−与x 轴交于点 1,0A ， 直线1:1l y x =−的斜率为1，倾斜角为45°，所以2l 的倾斜角为60°所以直线2l 对应的函数表达式是)1y x =−=.故答案为：y=−11. 若关于x 的分式方程22411x a x ax x −−+−=−+的解为整数，则整数a =______． 【答案】1± 【解析】【分析】由分式方程有意义可知1x ≠且1x ≠−，再化简方程求解2x a=，由,a x 均为整数可求.【详解】则方程241x a x −−−1x ≠且1x ≠−. 方程可化为222211x a x ax x −−+−=+−+，即2211a a x x −+=−+， 解得2x a=，由1x ≠且1x ≠−，所以2a ≠且2a ≠−.由a 为整数，且x 为整数，则当1a =−，2x =−，或当1a =，2x =时满足题意. 所以1a =±. 故答案为：1±.12. 如图，已知两条平行线1l ，2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C ，D 分别是1l ，2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为______．【答案】13【解析】【分析】因为BH CD ⊥于点H ，所以点 H 在以BE 为直径的圆上运动, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大，据此在OHA 求解即可. 【详解】12//,//,AC BD l l∴ 四边形 ACBD 是平行四边形 12AE BE AB ∴==A 为定点, 且 2//AB l AE ∴ 为定值,BH CD ⊥ 90BHE ∠∴=, 如图，取BE 的中点O ,则点 H 在以BE 为直径的圆上运动,此时 1123OE BE OA ==, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大1sin 3OH BAH OA ∠∴==故答案为：13.三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a .教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）；平均数中位数众数教师评委 91 91 m 学生评委90.8n93c .评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为______，n 的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ______91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评1评委2评委3评委4评委5甲 93 90 92 93 92 乙9192929292丙 90 94 90 94 k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k （k 为整数）的值为______.【答案】（1）①91；4；②< （2）甲；92 【解析】【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案； （2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可. 【小问1详解】①由题意得，教师评委打分中91出现次数最多，故众数91m =；45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n 的值位于学生评委打分数据分组的第4组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ， 则1(8890919191919292)90.758x =×+++++++=，91x ∴<.【小问2详解】甲选手的平均数为1(9390929392)925×+++=， 乙选手的平均数为1(9192929292)91.85×++++=， 因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数， 因为5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92， 乙选手的方差2221[4(9291.8)(9191.8)]0.165S =××−+−=乙， 5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k ， 所以乙选手的方差小于丙选手的方差，所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴9390929392909490949192929292k ++++≥++++>++++，9291k ∴≥>， k 为整数，的k ∴的值为92.14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC 为椅背，EC 为坐垫，C ，D 为焊接点，且CD 与AB 平行，支架AC ，BD 所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O ．设计方案中，要求A ，B 两点离地面高度均为5厘米，A ，B 两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF ∠=°时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A 时（如图3），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8°≈，cos530.6°≈，tan53 1.3°≈）任务：（1）根据素材求底座半径OA ； （2）计算图3中点B 距离地面的高度；（3）①求椅背FC 的长度范围；（结果精确到0.1m ） ②设计一种符合要求的方案． 【答案】（1）125厘米；（2）19.6厘米 （3）①64.580FC ≤<；②70cm ，90cm （答案不唯一）． 【解析】【分析】（1）根据四边形AHNB 为矩形，35AG BG ==厘米，5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，由勾股定理求出r 即可得出答案；（2）由四边形ANBK 为矩形，进而得AK BN h ==，()125cm,125cm OK h OB =−=，然后在直角三角形中由勾股定理列出关于h 的方程，解方程求出h 即可得出答案；（3）①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，先求出cos cos 0.28QCD OAB ∠=∠=，设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−，即可得0.60.28(160)12x x −−≥，由此解得64.5x ≥，据此可得椅背FC 的长度范围；②在①中椅背FC 的长度范围任取一个FC 的值，再计算出EC 的值即可，例如取70FC =厘米，则1607090EC =−=（厘米）；（答案不唯一，只要在FC 的长度范围内即可）． 【小问1详解】过点A 作AH 垂直地面于H ，过点O 作OG AB ⊥于G ，OG 的延长线于地面交于点M ，如图所示：AB 平行于地面，∴四边形AHNB 为矩形，1352AG BG AB ===厘米， 5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，(5)OG OM GM r ∴=−=−厘米，在Rt OAG ∆中，OA r =厘米，35AG =厘米，(5)OGr =−厘米， 由勾股定理得：222OA OG AG =+，即：222(5)35r r =−+， 解得：125r =，∴底座半径OA 的长度为125厘米；【小问2详解】过点B 作BN 垂直地面于N ，BK OA ⊥于K ，如图所示：设BN h =，底座与地面相切于点A ，OA ∴垂直地面于点A ，∴四边形ANBK 为矩形，AK BN h ∴==，由任务一可知：125cm,125OA OB OK OA AK h ==∴==--， 在Rt ABK △中，cm,=70cm AK h AB =， 由勾股定理得：2222270BK AB AK h =−=−，在Rt OBK 中，()125cm,125cm OK h OB =−=， 由勾股定理得：22222125(125)BK OB OK h =−=−−，222270125(125)h h ∴−=−−，解得：19.6h =，∴点B 距离地面的高度为19.6厘米；【小问3详解】①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，如图所示：//CD AB ，QCD OAB ∴∠=∠，由任务②可知：19.6AK h ==厘米，70AB =厘米， 在Rt ABK △中，19.6cos 0.2870AK OAB AB ∠===， cos cos 0.28QCD OAB ∴∠=∠=，椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米， ∴设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−， 椅背长度小于坐垫长度，160x x ∴<−，解得：80x <，在Rt CQE △中，cos 0.28CQQCD CE∠==， 0.280.28(160)CQ CE x ∴==−厘米，在Rt CFP △中，cos CPOCF CF∠=， cos cos530.6CP CF OCF x x ∴=⋅∠=⋅°≈（厘米）， F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米，12AP AN ∴−≥，即：()12AC CP AC CQ +−+≥，12CP CQ ∴−≥，0.60.28(160)12x x ∴−−≥，解得：64.5x ≥， 又80x < ，64.580x ∴≤≤，即：64.580FC ≤≤，∴椅背FC 的长度范围是：64.580FC ≤<；②由于64.580FC ≤<，故取70cm FC =，则1607090cm EC ==-．15. 定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x +≥ =−+<（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =−++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0−，则m =______．（3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a −，(),C a a −−，(),D a a −，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值； ②若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）1,13,1x x y x x +≥ =−+<（2）m =m =，（3）①3；②()5,1,12−∞−∪−. 【解析】【分析】（1）取点()2,3M ，()3,4N ，求两点关于1x =的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，由此可得结论；（2）判断点()1,0−与函数243y x x =−++的图象的关系，再求()1,0−关于直线x m =的对称点，由条件列方程求m 即可；（3）①求函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定a 的值； ②分别在0n >，0n =，0n <时求函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”解析式，讨论n ，由条件确定n 的范围.小问1详解】在函数1y x =+的图象上位于1x =右侧的部分上取点()2,3M ，()3,4N ， 点()2,3M 关于直线1x =对称点为(0,3)， 点()3,4N 关于直线1x =的对称点为()1,4−，设函数1y x =+，1x >的图象关于1x =对称的图象的解析式为,1y kx b x =+<， 则34b k b = −+=，解得13k b =− = ，所以函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为1,13,1x x y x x +≥ =−+<；【的【小问2详解】取1x =−可得，2431432y x x =−++=−−+=−， 故函数243y x x =−++的图象不过点()1,0−， 又点()1,0−关于直线x m =的对称点为()21,0m +， 由已知可得()()20214213m m =−++++，1m >−，所以m =或m =，【小问3详解】①当0x >或20x −≤<时，函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的图象的解析式为6y x =， 当2x <−时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象上，则点()4,x y −−在函数6y x=的图象上，所以64y x=−−， 所以函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式为[)()()6,2,00,6,,24x xy x x∞∞ ∈−∪+ =∈−− −− ， 作函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象如下：观察图象可得3a =时，函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，②若0n >，当x n ≥时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当0x <或0x n <<时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上，所以62y n x=−， 所以函数6y x =关于直线x n =“迭代函数”的解析式为()()()6,,6,,00,2x n xy x n n x∞∞ ∈+ =∈−∪ − ， 当6n >时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，的当6n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当16n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当1n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有3个公共点，当01n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当0n =时，函数6y x =关于直线xx =0的“迭代函数”的解析式为6,06,0x xy x x> =−< ， 作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，若0n <，当0n x ≤<或0x >时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当x n <时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上， 则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上， 所以62y n x=−，所以函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的解析式为[)()()6,,00,6,,2x n xy x n n x ∞∞ ∈∪+ = ∈− −，当10n −<<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当1n =−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有5个公共点，当512n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有6个公共点，当52n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有5个公共点，当7522n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当72n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当762n −<<−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n =−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n <−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，综上，n 的取值范围为()51,12∞−−∪−，. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16. 已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ．（1）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA ，PB 分别交抛物线于点E ，D ，设PAD △面积为1S ，PBE △面积为2S ，求12S S 的值； （2）如图2，点K 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，过点K 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M ，N ，过抛物线顶点G 作直线//l x 轴，点Q 是直线l 上一动点求QM QN +的最小值．【答案】（1）19（2）【解析】【分析】（1）把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程，解出抛物线的解析式，设(0,)P p ，求出直线AP 解析式为y px p =+，联立方程223y px p y x x =+ =−++， 可得2(3,4)E p p p −−+，同理可得234(,)393p p p D −−+，即可得1S ，2S ，化简可得结果； （2）作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，求出(1,0)K ，设直线MN解析式为y kx d =+，把点K 坐标代入即可知直线MN 的解析式y kx k =−，设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，求出2(,25)N n n n ′−+，可得QM QN QM QN MN ′′+=+≥，结合2(,23)F n m m −++，可得222421780MN MF N F k k =+=++′′，从而得到QM QN +的最小值. 【小问1详解】把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程2y x bx c =−++得：10930b c b c −−+= −++=， 解得：23b c = =， 所以抛物线方程为：223y x x =−++， 设(0,)P p ，直线AP 解析式为11y k x b =+， 把点()1,0A −，(0,)P p 代入得：1110k b b p −+= = ， 所以线AP 解析式为y px p =+，联立223y px p y x x =+ =−++ ，解得：10x y =−=或234x p y p p =− =−+ ， 所以2(3,4)E p p p −−+，设直线BP 解析式为22y k x b =+ 把点()3,0B ，(0,)P p 代入得：22230k b b p+= = ， 直线BP 解析式为3py x p =−+ 联立2323p y x p y x x =−+ =−++ ，解得：30x y = = 或233493p x p p y − = =−+可得234(,)393p p p D −−+， 所以221142()2(3)2939ABD ABP D P p p S S S AB y y p p p =−=⋅−=−+−=− ， ()2221()242(3)2ABE ABP E P S S S AB y y p p p p p =−=⋅−=−+−=− ， 所以2122192(3)92(3)S p p S p p −=−= 【小问2详解】作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，如图：因为2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线223y x x =−++的对称轴为1x =， 所以(1,0)K ，设直线MN 解析式为y kx d =+， 把点(1,0)K 代入得：=0k d +，所以=d k −，所以直线MN 的解析式为y kx k =− 设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，联立223y x x y kx k =−++ =−，可得2(2)30x k x k +−−−= 则2m n k +=−，3mn k =−−，因为N ，N ′关于直线l ：4y =对称，所以2(,25)N n n n ′−+，则QM QN QM QN MN ′′+=+≥，又2(,23)F n m m −++， 所以222()2N F m n m n +−++′，FM m n =−， 在Rt MFN ′ 中，2222222()2()2MN MF N F m n m n m n =+=−++−++ ′ ′，222()4()22()2m n mn m n mn m n =+−++−−++222(2)4(3)(2)2(3)2(2)2k k k k k =−−−−+−−−−−−+ 421780k k =++所以当0k =时，2MN ′最小为80，此时MN ′=所以QM QN +≥，即QM QN +的最小值为。
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题长郡中学2017-2018学年度高一第一学期期末考试数学一、选择题：1.设集合$A=\{1,3\}$，集合$B=\{1,2,4,5\}$，则集合$A\cup B=$（）。
A。
$\{1,3,1,2,4,5\}$B。
$\{1\}$C。
$\{1,2,3,4,5\}$D。
$\{2,3,4,5\}$2.已知$\tan\alpha=-3$，$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$，则$\sin\alpha$的值为（）。
A。
$\frac{1}{2}$B。
$-\frac{3}{2}$C。
$-\frac{1}{2}$D。
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$3.已知$a=4$，$b=3$，且$\vec{a}$与$\vec{b}$不共线，若向量$\vec{a}+k\vec{b}$与$\vec{a}-k\vec{b}$互相垂直，则$k$的值为（）。
A。
$\pm\frac{4}{3}$B。
$\pm\frac{3}{4}$C。
$\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$D。
$\pm2$4.如果奇函数$f(x)$在区间$[2,8]$上是减函数且最小值为6，则$f(x)$在区间$[-8,-2]$上是（）。
A。
增函数且最小值为-6B。
增函数且最大值为-6C。
减函数且最小值为-6D。
减函数且最大值为-65.方程$2x+3x-7=0$的解所在的区间为（）。
A。
$(-1,0)$B。
$(0,1)$C。
$(1,2)$D。
$(2,3)$6.$\triangle ABC$中，内角$A,B,C$所对的边分别是$a,b,c$，若$a^2-c^2+b^2=ab$，则$\angle C=$（）。
A。
$30^\circ$B。
$60^\circ$C。
$120^\circ$D。
$60^\circ$或$120^\circ$7.$\triangle ABC$中，内角$A,B,C$所对边的长分别为$a,b,c$，若$\frac{\cos A}{\cos B}=\frac{b}{a}$，则$\triangle ABC$为（）。
湖南省长郡中学高二上学期开学分班考试物理试卷含答案
湖南省长郡中学高二上学期开学分班考试物理试卷含答案长郡中学2022-2022年度高二上学期分班考试物理试卷选择题（共10小题每题三分，7-10多选题，全部选对得3分，选对但不全对2分）在力学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献。
关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是（）A.伽利略发现了行星运动的规律B.库伦通过实验测出了引力常量C．牛顿最早指出力不是维持物体运动的原因D．笛卡尔对牛顿第一定律的建立做出了贡献2.在如图所示的位移某一t图象和速度v一t图象中，给出的四条图线甲、乙、丙、丁分别代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是()A．甲车做曲线运动，乙车做直线运动B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程C．丙、丁两车在t2时刻相距最远D．0～t2时间内．丙、丁两车的平均速度相等3.如图所示，河的宽度为L，河水流速为u，甲、乙两船均以静水中的速度v同时渡河．出发时两船相距2L，甲、乙船头均与岸边成600角，且乙船恰好能直达正对岸的A点．则下列判断正确的是A．甲船正好也在A点靠岸B．甲船在A点左侧靠岸C．甲乙两船到达对岸的时间不相等D．甲乙两船可能在未到达对岸前相遇4.某工地上,一架起重机将放在地面的一个箱子吊起。
箱子在起重机钢绳的作用下由静止开始竖直向上运动，运动过程中箱子的机械能E与其位移某关系的图象如图所示，其中O～某1过程的图线为曲线，某1～某2过程的图线为直线。
根据图象可知：（）A．O～某1过程中钢绳的拉力逐渐增大B．O～某1过程中箱子的动能一直增加C．某1～某2过程中钢绳的拉力一直不变D．某1～某2过程中起重机的输出功率一直增大5.如图所示，电荷q均匀分布在半球面上，球面的半径为R，CD为通过半球顶点C与球心O的轴线．P、Q为CD轴上在O点两侧，离O点距离相等的二点．如果是带电量为Q的均匀带电球壳，其内部电场强度处处为零，电势都相等．则下列判断正确的是（）A．P点的电势与Q点的电势相等B．P点的电场强度与Q点的电场强度相等C．在P点释放静止带正电的微粒（重力不计），微粒将作匀加速直线运动D．带正电的微粒在O点的电势能为零6.在如右图所示电路中，闭合开关S，当滑动变阻器的滑动触头P向下滑动时，四个理想电表的示数都发生变化，电表的示数分别用I、U1、U2和U3表示，电表示数变化量的大小分别用、、和表示。
长郡中学2021-2022学年高一(上)新生入学考试物理(解析版)
长郡中学高中理实班招生拔尖试题一、单项选择题（每小题3分，共30分）1.下列有关声的说法，正确的是（）A.声音传播速度与声音的频率有关B.一切正在发声的物体都在振动，只要物体振动我们就能听见声音C.在空气中超声波比次声波传播速度大D.声波具有能量，利用超声波可以除去人体内的结石【答案】D【解析】【详解】AC．声音传播速度与介质、温度等有关，与声音的频率无关，故AC错误；B．一切正在发声的物体都在振动，物体振动频率低于20Hz或超过20000Hz，我们就不能听见声音，故B错误；D．声波具有能量，利用超声波可以除去人体内的结石，故D正确。
故选D。
2.下列说法中正确的是（）A.走路时，只有地对脚的作用力大于脚蹬地的力时，人才能往前走B.一匹马拉着车在公路上加速前进，马拉车的力大于车拉马的力C.跳高时，用力蹬地，地对脚的作用力与脚蹬地的力总是大小相等，方向相反D.以卵击石，石头没有损伤而鸡蛋破了，是因为鸡蛋对石头的作用力小于石头对鸡蛋的作用力【答案】C【解析】【详解】A．走路时，地对脚的作用力与脚蹬地的力是作用力与反作用力，则地对脚的作用力大小等于脚蹬地的力，人能往前走是由于地面对前后脚面的摩擦力引起，当后脚摩擦力大于前脚摩擦力时，人加速前进，当后脚摩擦力小于前脚摩擦力时，人减速前进，A错误；B．马拉着车在公路上加速前进，马拉车的力与车拉马的力是作用力与反作用力，则马拉车的力的大小与车拉马的力大小相等，B错误；C．跳高时，用力蹬地，地对脚的作用力与脚蹬地的力是作用力与反作用力，则地对脚的作用力与脚蹬地的力总是大小相等，方向相反，C正确；D．以卵击石，鸡蛋对石头的作用力与石头对鸡蛋的作用力是作用力与反作用力，则鸡蛋对石头的作用力大小等于石头对鸡蛋的作用力，石头没有损伤而鸡蛋破了，是由于鸡蛋的承受力小一些，D错误。
故选C。
3.如图所示，在一辆表面光滑的小车上，放有质量分别为m1、m2的两个球，随车一起匀速运动，当车突然停止运动，其他阻力不计，设车无限长，则两小球（）A.一定相碰B.一定不相碰C.若m1>m2，则肯定相碰D.若m1<m2，则一定不相碰【答案】B【解析】【分析】【详解】小车表面光滑，两个小球在水平方向上不受力的作用，根据牛顿第一定律，两球都保持原速度做匀速直线运动，它们之间的距离不会发生变化，因而它们一定不相碰，与质量的大小无关。
2016年长郡中学高中理实班招生拔尖试题
[20] 2016年长郡中学高中理实班招生拔尖试题（时间：90分钟 满分：120分）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1．对于任意的有理数a ，方程()()2221340x a x a a b ++--+=的根总是有理数，则b 的值为（ ）． A ．1B ．-1C ．2D ．02．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，有以下几个结论： ①“距离坐标”是()0,1的点有1个； ②“距离坐标”是()5,6的点有4个；③“距离坐标”是(),a a （a 为非负实数）的点有4个．其中正确的有（ ）． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．一张等腰三角形纸片，底边长13 cm ，底边上的高为32.5 cm 现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为5 cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）．A ．第3张B ．第4张C ．第5张D ．第6张4．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，分别在BC ，CD 上，且CMN △的周长为2，则M A N△的面积的最小值为（ ）．A 1B ．2C ．D ．15．如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块其中甲、丙为梯形，乙为三角形，根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断正确的是（ ）．A ．乙>丙>甲B ．丙>乙>甲C ．甲>丙>乙D ．无法判断6．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组3,22ax by x y +=⎧⎨+=⎩只有正数解的概率为（ ）． A ．112B ．29C ．518D ．1336二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7=_________．8．已知2x b a --=有四个不同的解，则a b b a a ba b b a a b+-++++-=_________． 9．若抛物线2241y x px p =-++中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为_________． 10．如图，半径为r 的圆O 沿折线ABCDE 作无滑动的滚动，如果2AB BC CD DE r π====，150ABC CDE ∠=∠=︒，120BCD ∠=︒，那么，圆O 自点A 至点E 转动了_________周．11．二次函数22y x ax a =++在12x -≤≤上有最小值-4，则a 的值为_________．12．在平面直角坐标系中，已知1P 的坐标为()1,0，将其绕着原点按逆时针方向旋转30°得到2P ，延长2OP 到3P 使322OP OP =，再将3P 绕原点按逆时针方向旋转30°得到4P ，延长4OP 到5P ，使542OP OP =，如此继续下去，则点2010P 的坐标为_________．三、解答题（本大题共5小题，第13题10分，14~16题各12分，第17题14分，共60分） 13．已知m ，n 是方程2310x x ++=的两根．（1）求162102553m m m m m -⎛⎫+-⋅- ⎪--⎝⎭的值；（214．甲、乙两人从A 地到B 地，甲骑自行车，乙步行已知甲每小时比乙每小时多走8千米，甲、乙同时出发，甲比乙早到5小时，若甲到B 地后立即沿原路返回，则在距B 地15千米处与乙相遇，求A ，B 两地间的距离及甲、乙两人的速度．15．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，2AC AB =，点D ，P 分别是AC ，BC 的中点，ADE △是等腰三角形，90AED ∠=︒，连接BE ，EC ． （1）判断线段BE 和EC 的关系，并证明你的结论； （2）连接PA ，PE ，过点A 作AMPE ，过点E 作EM PA ，AM 和EM 相交于点M ，在图中先补充图形，再判断四边形PAME 的形状，并证明你的结论．16．如图，在□ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠，AC 的延长线与ABD△的外接圆交于点F ，证明：DFE AFB ∠=∠．17．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A ，B 的坐标分别是()5,0，()3,2，点D在线段OA 上，BD BA =，点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是()0,3，设直线PQ 的解析式为y kx b =+． （1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ ，OA ，AB ，BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．。
2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题(含答案)
2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 的模为10，虚部为−8，则复数z 的实部为A. −6B. 6C. ±6D. 362.掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系为( )A. 互斥B. 互为对立C. 相互独立D. 相等3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′ // B′C′，O′A′=2B′C′=2，A′B′=1，则该平面图形的高为A.2 B. 1 C. 22 D. 24.已知一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，则这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是A. 29B. 30C. 31D. 325.已知M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且MN =12ON,AP =34AN ，以OA ,OB ,OC 为基底，则OP 可以表示为( )A. OP =12OA +14OB +14OC B. OP =12OA +13OB +13OC C. OP =14OA +13OB +13OCD. OP =14OA +14OB +14OC6.已知非零向量a ，b 满足|a +b |=|a−2b |，且b 在a 上的投影向量为23a ，则|a ||b |( )A. 12B.32C. 2D.37.如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若点E ，F 分别满足AE =23AB ，AF =23AC ，三棱柱高为3，△ABC面积为3 3，则几何体B 1C 1BCFE 的体积为A.8 33B. 33C.10 33 D.11 338.有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为p ，录用到能力中等的人的概率为q ，则(p,q)=( )A. (16,16)B. (12,16)C. (12,14)D. (12,13)二、多选题：本题共3小题，共18分。
2018-2019学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级(上)期中数学试卷 (含答案和 解析)
2018-2019学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．）1．（3分）下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a4+a3＝a7B．a4•a3＝a12C．（a4）3＝a7D．a4÷a3＝a3．（3分）整式x2+kx+25为某完全平方式展开后的结果，则k的值为（）A．5B．﹣5C．±5D．±104．（3分）下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A．（2x﹣y）（x+2y）B．（﹣2x+y）（﹣2x﹣y）C．（﹣x﹣2y）（x﹣2y）D．（2x+y）（﹣2x+y）5．（3分）当x为任意有理数时，下列分式中一定有意义的是（）A．B．C．D．6．（3分）已知x m＝2，x n＝8，则x m+n＝（）A．4B．8C．16D．647．（3分）若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m+n的值是（）A．2B．﹣2C．12D．﹣128．（3分）下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2﹣1＝x（x﹣）C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xD．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）9．（3分）计算（﹣1）2018×（﹣）2018的结果为（）A．1B．﹣1C．0D．199710．（3分）若等腰三角形的两条边长分别是3厘米和7厘米，则这个三角形的周长为（）A．13厘米B．17厘米C．13厘米或17厘米D．以上结论均不对11．（3分）如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD12．（3分）在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个．A．5B．6C．7D．8二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：a2﹣＝；14．（3分）（﹣a﹣b）（a﹣b）＝．15．（3分）若x+2y﹣2＝0，则5x•25y＝．16．（3分）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为．17．（3分）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为cm．18．（3分）设S＝（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）（1+216），则S+1＝．三、解答题（共66分）19．（8分）（1）计算（12a3﹣6a2+3a）÷3a；（2）计算（x﹣y）（x2+xy+y2）．20．（8分）计算：（1）（2）21．（8分）把下列各式因式分解：（1）4x2﹣8x+4（2）（x+y）2﹣4y（x+y）22．（6分）已知：x+y＝5，xy＝﹣3，求：（1）x2+y2的值（2）（1﹣x）（1﹣y）的值23．（6分）如图，方格子的边长为1，△ABC的顶点在格点上．（1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（2）求△ABC的面积．24．（6分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD．（1）求∠BDA的度数；（2）若AD＝2，求BC的长．25．（8分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．（1）求证：DB＝DE；（2）过点D作DF垂直BE，垂足为F，若CF＝3，求△ABC的周长．26．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连结CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是；（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED 的度数；若不可以，请说明理由．27．（8分）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．2018-2019学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．）1．（3分）下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a4+a3＝a7B．a4•a3＝a12C．（a4）3＝a7D．a4÷a3＝a【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂相除的运算法则逐一计算可得．【解答】解：A、a4、a3不能合并，此选项错误；B、a4•a3＝a7，此选项错误；C、（a4）3＝a12，此选项错误；D、a4÷a3＝a，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂相除的运算法则．3．（3分）整式x2+kx+25为某完全平方式展开后的结果，则k的值为（）A．5B．﹣5C．±5D．±10【分析】根据完全平方公式，即可解答．【解答】解：∵x2+kx+25是完全平方式，∴k＝±2×5＝±10，故选：D．【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．4．（3分）下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A．（2x﹣y）（x+2y）B．（﹣2x+y）（﹣2x﹣y）C．（﹣x﹣2y）（x﹣2y）D．（2x+y）（﹣2x+y）【分析】根据公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的左边的形式，判断能否使用．【解答】解：A、由于两个括号中含x、y项的系数不相等，故不能使用平方差公式，故此选项正确；B、两个括号中，含y项的符号相同，1的符号相反，故能使用平方差公式，故此选项错误；C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，故此选项错误；D、两个括号中，y相同，含2x的项的符号相反，故能使用平方差公式，故此选项错误；故选：A．【点评】本题考查了平方差公式．注意两个括号中一项符号相同，一项符号相反才能使用平方差公式．5．（3分）当x为任意有理数时，下列分式中一定有意义的是（）A．B．C．D．【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：（A）当x2＝0，此时A没有意义；（B）当x2﹣1＝0时，此时B没有意义；（C）由于x2+1≥1，故C有意义；（D）当x+5＝0时，此时D没有意义；故选：C．【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．6．（3分）已知x m＝2，x n＝8，则x m+n＝（）A．4B．8C．16D．64【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加．依据同底数幂的乘法法则进行计算即可．【解答】解：∵x m＝2，x n＝8，∴x m+n＝x m•x n＝2×8＝16，故选：C．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，解决问题的关键是逆用同底数幂的乘法法则．7．（3分）若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m+n的值是（）A．2B．﹣2C．12D．﹣12【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．【解答】解：∵点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，∴m＝5，n＝7，则m+n的值是：12．故选：C．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．8．（3分）下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2﹣1＝x（x﹣）C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xD．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）【分析】直接利用因式分解的意义分别判断得出答案．【解答】解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，是多项式乘法，故此选项错误；B、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；C、x2﹣4+3x＝（x+4）（x﹣1），故此选项错误；D、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），正确．故选：D．【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．9．（3分）计算（﹣1）2018×（﹣）2018的结果为（）A．1B．﹣1C．0D．1997【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣1）2018×（﹣）2018＝[（﹣1）×（﹣）]2018＝1．故选：A．【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．10．（3分）若等腰三角形的两条边长分别是3厘米和7厘米，则这个三角形的周长为（）A．13厘米B．17厘米C．13厘米或17厘米D．以上结论均不对【分析】分两种情况讨论：当3厘米是腰时或当7厘米是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去．【解答】解：当3厘米是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；当7厘米是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17（厘米）．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．11．（3分）如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD【分析】根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A、∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，故本选项不符合题意；B、∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ADB和△ADC中∴△ADB≌△ADC（ASA），∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，故本选项不符合题意；C、∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，故本选项不符合题意；D、根据AD⊥BC和∠BAD＝∠ACD不能推出△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、线段垂直平分线性质等知识点，能熟记等腰三角形的判定定理是解此题的关键．12．（3分）在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个．A．5B．6C．7D．8【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA ＝CB）讨论，通过画图就可解决问题．【解答】解：①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，∵A（0，0），B（2，2），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有8个．故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：a2﹣＝（a+）（a﹣）；【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：a2﹣＝（a+）（a﹣）．故答案为：（a+）（a﹣）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．14．（3分）（﹣a﹣b）（a﹣b）＝b2﹣a2．【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．【解答】解：（﹣a﹣b）（a﹣b）＝（﹣b﹣a）（﹣b+a）＝b2﹣a2．故答案为：b2﹣a2．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确应用公式是解题关键．15．（3分）若x+2y﹣2＝0，则5x•25y＝25．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．【解答】解：∵x+2y﹣2＝0，∴x+2y＝2，∴5x•25y＝5x•52y＝5x+2y＝52＝25．故答案为：25．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．16．（3分）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为14．【分析】根据角平分线的性质，可得∠DBO与∠OBC的关系，∠ECO与∠OCB的关系，根据平行线的性质，可得∠DOB与∠BOC的关系，∠EOC与∠OCB的关系，根据等腰三角形的判定，可得OD与BD的关系，OE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．【解答】解：由∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，得∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB．由DE∥BC，得∠DOB＝∠BOC，∠EOC＝∠OCB，∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，∴DO＝BD，OE＝EC．C＝AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC＝14．△ADE故答案为14．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质是解题关键，又利用了角平分线的性质，平行线的性质．17．（3分）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为8cm．【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF 的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm，∴S△ABC∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．故答案为：8．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．18．（3分）设S＝（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）（1+216），则S+1＝232．【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而计算得出答案．【解答】解：S＝（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）（1+216）＝（2﹣1）×（2+1）×（1+22）×（1+24）×（1+28）×（1+216）＝（22﹣1）×（1+22）×（1+24）×（1+28）×（1+216）＝232﹣1，故S+1＝232．故答案为：232．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确应用公式是解题关键．三、解答题（共66分）19．（8分）（1）计算（12a3﹣6a2+3a）÷3a；（2）计算（x﹣y）（x2+xy+y2）．【分析】（1）根据多项式除单项式先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，计算即可；（2）根据多项式与多项式相乘的法则进行计算即可．【解答】解：（1）（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a＝4a2﹣2a+1（2）（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3＝x3﹣y3．【点评】本题考查多项式除单项式的法则、多项式与多项式相乘的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．20．（8分）计算：（1）（2）【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案；（2）根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝（2）原式＝x（y﹣x）÷÷＝x（y﹣x）••＝﹣y【点评】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．21．（8分）把下列各式因式分解：（1）4x2﹣8x+4（2）（x+y）2﹣4y（x+y）【分析】（1）原式提取4，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式即可．【解答】解：（1）原式＝4（x2﹣2x+1）＝4（x﹣1）2；（2）原式＝（x+y）（x+y﹣4y）＝（x+y）（x﹣3y）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．（6分）已知：x+y＝5，xy＝﹣3，求：（1）x2+y2的值（2）（1﹣x）（1﹣y）的值【分析】（1）将x2+y2变形为（x+y）2﹣2xy，然后将x+y＝5，xy＝﹣3代入求解即可；（2）将所求式子展开整理成x+y与xy的值代入计算，即可得到所求式子的值．【解答】解（1）∵x+y＝5，xy＝﹣3，∴原式＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣2×（﹣3）＝31；（2）∵x+y＝5，xy＝﹣3，∴原式＝1﹣y﹣x+xy＝1﹣（x+y）+xy＝1﹣5+（﹣3）＝﹣7．【点评】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b223．（6分）如图，方格子的边长为1，△ABC的顶点在格点上．（1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）分别找出A、B、C三点的对称点，再顺次连接即可；（2）利用长方形的面积减去周围多余三角形的面积即可得到△ABC的面积．【解答】解：（1）如图所示：（2）△ABC的面积：3×4﹣﹣﹣＝12﹣3﹣4＝5．【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，关键是找出对称点的位置．24．（6分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD．（1）求∠BDA的度数；（2）若AD＝2，求BC的长．【分析】（1）由题意可得∠B＝∠C＝30°，由AB⊥AD，可求∠BDA的度数；（2）根据30度所对的直角边等于斜边的一半，可求BD＝4，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求∠C＝∠DAC＝30°，可得AD＝CD＝2，即可求BC的长．【解答】解：（1）∵AB＝AC∴∠B＝∠C＝30°∵AD⊥AB∴∠BDA+∠B＝90°∴∠BDA＝60°（2）∵∠BDA＝60°，∠C＝30°，且∠BDA＝∠C+∠DAC∴∠DAC＝60°﹣30°＝30°＝∠C∴AD＝CD＝2∵AB⊥AD，∠B＝30°∴BD＝2AD＝4∵BC＝BD+CD∴BC＝2+4＝6【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是本题的关键．25．（8分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．（1）求证：DB＝DE；（2）过点D作DF垂直BE，垂足为F，若CF＝3，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根据角之间的关系求得∠DBC＝∠CED，根据等角对等边即可得到DB＝DE．（2）由CF的长可求出CD，进而可求出AC的长，则△ABC的周长即可求出．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∴∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一），∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED．又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．∴∠DBC＝∠DEC．∴DB＝DE（等角对等边）．（2）∵DF⊥BE，由（1）知，DB＝DE，∴DF垂直平分BE，∵∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°，∴∠CDF＝30°，∵CF＝3，∴DC＝6，∵AD＝CD，∴AC＝12，∴△ABC的周长＝3AC＝36．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CDE＝30°是正确解答本题的关键．26．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连结CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是直角三角形；（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED 的度数；若不可以，请说明理由．【分析】（1）由DE∥BC得到∠BCD＝∠CDE＝30°，再由∠ACB＝120°，得到∠ACD＝120°﹣30°＝90°，则△ACD是直角三角形．（2）分类讨论：当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE；当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE；当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．【解答】解：（1）∵△ABC中，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝＝＝30°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝30°，又∵∠CDE＝30°，∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝30°+30°＝60°，∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴△ACD是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）△ECD可以是等腰三角形．理由如下：①当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE，∴∠ECD＝∠CDE＝30°，∵∠AED＝∠ECD+∠CDE，∴∠AED＝60°，②当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE，∵∠ECD+∠CED+∠CDE＝180°，∴∠CED＝＝＝75°，∴∠AED＝180°﹣∠CED＝105°，③当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD，∠ACD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠ACB＝120°，∴此时，点D与点B重合，不合题意．综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了分类讨论思想的运用以及等腰三角形的判定与性质．27．（8分）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝30．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝9．【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．．【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【解答】解：（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，…（2分）故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；…（4分）（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴，∴x+y+z＝9，故答案为：9；…（6分）（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．…（8分）【点评】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．。
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2018年湖南省长沙市长郡中学高中理实班招生拔尖试题
（时间:90分钟满分:120分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1．对于任意的有理数a ，方程0)43()1(222=+--++b a a x a x 的根总是有理数，则b 的值为（ ）
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．0
2．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线1
l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”根据上述定义，有以下几个结论:
①“距离坐标”是（0，1）的点有1个；
②“距离坐标”是（5，6）的点有4个；iM （p ，q ）
③“距离坐标”是（a ，a ）（a 为非负实数）的点有4个
其中正确的有
（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 3．一张等腰三角形纸片，底边长13cm ，底边上的高为32.5cm ．现沿底边依次
从下往上裁剪宽度均为5cm 的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一
张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A ．第3张
B ．第4张
C ．第5张
D ．第6张 4．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，且△CMN 的周长为2，则△MAN
的面积的最小值为 （ ）
A ．12-
B ．222-
C ．22
D ．122-
5．如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形，根据
图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断正确的是
（ ）
A ．乙>丙>甲
B ．丙>乙>甲
C ．甲>丙>乙
D ．无法判断
6．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a 第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=+2
23y x by ax ，只有正数解的概
率为
（ ） A ．121 B ．92 C ．185 D ．36
13 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
7．计算：2406631
2305941
--+++= .
8．已知||x-2|-b |=a 有四个不同的解，则|
|||||||b b a a a b a b b a b a ++--+++= . 9．若抛物线1422++-=p px x y 中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为 .
10．如图，半径为r 的圆O 沿折线ABCDE 作无滑动的滚动，如果AB =BC =CD =DE =r π2，
∠ABC =∠CDE =150°，∠BCD=120°，那么，圆O 自点A 至点E 转动了 周.
11．二次函数a ax x y ++=22在21≤≤-x 上有最小值-4，则a 的值为
.
12．在平面直角坐标系中，已知P 1的坐标为（1，0），将其绕着原点按逆时针方向旋转30°得到
P 2，延长OP 2到P 3使OP 3=2OP 2，再将P 3绕原点按逆时针方向旋转30°得到P 4，延长OP 4到P 5，使OP 5=2OP 4，如此继续下去，则点P 2010的坐标为 .
三、解答题（本大题共5小题，第13题10分，第14-16题各12分，第17题14分，共60分）
13．已知m ，n 是方程0132=++x x 的两根.
（1）求m
m m m m 23102)5165(---⋅--+的值； （2）求m
n n m 3
3+的值.
14．甲、乙两人从A 地到B 地，甲骑自行车，乙步行，已知甲每小时比乙每小时多走8千米，甲、
乙同时出发，甲比乙早到5小时，若甲到B 地后立即沿原路返回，则在距B 地15千米处与乙相遇，求A ，B 两地间的距离及甲、乙两人的速度.
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D，P分别是AC，BC的中点，△ADE是等腰三角形，∠AED=90°，连接BE，EC.
（1）判断线段BE和EC的关系，并证明你的结论；
（2）连接P A，PE，过点A作AM∥PE，过点E作EM∥P A，AM和EM相交于点M，在图中先补充图形，再判断四边形P AME的形状，并证明你的结论.
16．如图，在 ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足∠ECD =∠ACB ，AC 的延长线与△ABD
的外接圆交于点F ，证明:∠DFE =∠AFB .
17．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A ，B 的坐标分别是(5，0)，(3，2)，点D
在线段OA 上，BD =BA ，点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0，3)，设直线PQ 的解析式为y =kx +b
（1）求k 的取值范围；
（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线ax ax y 52-=的顶点在直线PQ ，OA ，AB ，BC
围成的四边形内部，求a 的取值范围.。