数轴上的动点问题
专题02 数轴上的三种动点问题
专题02 数轴上的三种动点问题数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。
那么，本专题对其中常考的三种题型（求时间、求距离或者对应点、定值问题）做出详细分析与梳理。
【知识点梳理】1.数轴上两点间的距离数轴上A 、B 两点表示的数为分别为a 、b ，则A 与B 间的距离AB=|a －b|；2.数轴上点移动规律数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；当数a 表示的点向右移动b 个单位长度后到达点表示的数为a+b ；向左移动b 个单位长度后到达点表示的数为a －b.类型一、求时间例1．如图在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，a 、b 满足|a +2|+|b ﹣8|＝0（1）点A 表示的数为 ；点B 表示的数为 ；（2）若在原点O 处放一挡板，一小球甲从点A 处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （秒），①当t ＝1时，甲小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；当t ＝5时，甲小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【答案】（1）-2，8；（2）①3，6；7，2；②可能，2秒或10秒【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可；（2）①首先求出甲、乙两球运动的路程，再根据它的初始位置求解即可；②分两种情况：乙球碰到挡板前和乙球碰到挡板后，分别建立方程求解即可．【详解】（1）∵|a +2|+|b ﹣8|＝0，20,80a b \+=-=， 2,8a b \=-=，∴点A 表示的数为-2；点B 表示的数为8；（2）∵一小球甲从点A 处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴当t ＝1时，甲小球运动的路程为111´=个单位，乙小球运动的路程为122´=个单位，∴当t ＝1时，甲小球到原点的距离为2133--=-=；乙小球到原点的距离为826-=；同理，当t ＝5时，甲小球运动的路程为155´=个单位，乙小球运动的路程为2510´=个单位，此时乙小球会碰到挡板而向相反的方向运动，∴当t ＝5时，甲小球到原点的距离为2577--=-=；乙小球到原点的距离为1082-=；②∵点B 表示的数为8，乙小球的速度为2个单位/秒，∴乙小球碰到挡板所用的时间为824¸=（秒），当运动时间小于等于4秒时，282t t +=-，解得2t =；当运动时间大于4秒时，228t t +=-，解得10t =，∴甲，乙两小球到原点的距离可能相等，甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为2秒或10秒．【变式训练1】如图，有两条线段，2AB =（单位长度），1CD =（单位长度）在数轴上，点A 在数轴上表示的数是-12，点D 在数轴上表示的数是15．（1）点B 在数轴上表示的数是______，点C 在数轴上表示的数是______，线段BC 的长=______；（2）若线段AB 以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点B 与C 重合时，点B 与点C 在数轴上表示的数是多少？（3）若线段AB 以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，点B 与点C 之间的距离为1个单位长度？【答案】-10，14，24；(2) -2；(3) t =233或253【分析】(1)根据AB 、CD 的长度结合点A 、D 在数轴上表示的数，即可求出点B 、C 在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式求出线段BC 的长度；(2)设相遇时间为a,分别用a 表示出相遇时B 、C 两点所表示的数,让其相等即可求出;(3) 分线段AB 与线段CD 在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合BC =1，得出关于t 的的一元一次方程，解之即可得出结论；【详解】（1）∵AB =2，点A 在数轴上表示的数是-12，∴点B 在数轴上表示的数是-12+2=-10；∵CD =1，点D 在数轴上表示的数是15，∴点C 在数轴上表示的数是15-1=14．∴BC =14-（-10）=24．故答案为：-10，14，24；（2）设运动时间为a 秒时B 、C 相遇，此时点B 在数轴上表示的数为-10+a ，点C 在数轴上表示的数为14-2a∵B 、C 重合，∴-10+a =14-2a ，解得a =8此时点B 与点C 在数轴上表示的数是-10+a =-10+8=-2；故答案为：-2(3)当运动时间为t 秒时，点B 在数轴上表示的数为-10+t ，点C 在数轴上表示的数为14-2t∴BC =10(142)t t -+--=324t -∵BC =1，∴324t -=1，∴t 1=233，t 2=253，综上所述：当BC =1时，t =233或253；【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间的位置关系求出点B 、C 在数轴上表示的数．【变式训练2】如图，A ，B 两点在数轴上对应的数分别为a ，b ，且点A 在点B 的左侧，|a |＝10，a ＋b ＝60，ab ＜0．（1）求出a ，b 的值；（2）现有一只蚂蚁P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时另一只蚂蚁Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．①两只蚂蚁经过多长时间相遇？②设两只蚂蚁在数轴上的点C 处相遇，求点C 对应的数；③经过多长时间，两只蚂蚁在数轴上相距30个单位长度？【答案】（1）a ＝﹣10，b ＝70；（2）①两只蚂蚁经过40秒长时间相遇；②点C 对应的数为150；③经过25秒或55秒长时间，两只蚂蚁在数轴上相距30个单位长度．【分析】（1）根据两个数乘积小于0说明两数异号即可求解；（2）①根据相遇问题列一元一次方程即可求解；②根据路程=速度×时间，列出算式计算即可求解；③分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距30个单位长度列一元一次方程即可求解．【详解】解：（1）∵|a |＝10，∴a ＝10或﹣10，∵ab ＜0，∴a ，b 异号，∵a ＋b ＝60，当a ＝10时，b ＝50，不合题意，舍去．当a ＝﹣10时，b ＝70，符合题意．答：a ＝﹣10，b ＝70．（2）①设Q 从B 出发t 秒与P 相遇．根据题意得4t ﹣2t ＝80，解得t ＝40．故两只蚂蚁经过40秒长时间相遇；②设两只蚂蚁在数轴上的点C 处相遇，则点C 对应的数为70+40×2＝150；③根据题意，得相遇前：4t ﹣2t ＝80﹣30，解得t ＝25；相遇后：4t ﹣2t ＝80+30，解得t ＝55．故经过25秒或55秒长时间，两只蚂蚁在数轴上相距30个单位长度．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值的非负性，求出a ，b 的值；（2）找准等量关系，分情况讨论相遇前后的距离变化正确列出一元一次方程．【变式训练3】在数轴上，点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且|a +2|+（b ﹣3）2＝0．（1）a ＝ ，b ＝ ；（2）在（1）的条件下，点A 以每秒0.5个单位长度沿数轴向左移动，点B 以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，两点同时移动，当点A 运动到﹣4所在的点处时，求A 、B 两点间距离；（3）在（2）的条件下，现A 点静止不动，B 点沿数轴向左运动时，经过多长时间A 、B 两点相距3个单位长度？【答案】（1）2,3-；（2）11；（3）经过8或14时，A 、B 两点相距3个单位长度【分析】（1）利用非负性即可求解；（2）设t 秒时，点A 运动到4-，求出所需时间4t =，4秒后，点B 运动到3417+´=，即求出两点间距离；（3）分两种情况进行讨论，即点B 需要运动到1-或7-处．【详解】解：（1）根据绝对值与平方的非负性得，20,30a b +=-=，2,3a b \=-=，故答案是：2,3-；（2）设t 秒时，点A 运动到4-，则20.54t --=-，解得：4t =，4秒后，点B 运动到3417+´=，7(4)11\--=，即,A B 两点间的距离为11；（3）,A B Q 分别位于4,7-，要使A 、B 两点相距3个单位长度，则点B 需要运动到1-或7-处，设经过t 秒，当71t -=-，解得：8t =，当77t -=-，解得：14t =，\经过8或14秒，A 、B 两点相距3个单位长度．【点睛】本题考查了绝对值和完全平方公式的非负性、数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离问题，解题的关键是利用数形结合的思想进行解答．类型二、求距离或对应点例.如图所示，在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度．（1）点B表示的数是，并在数轴上将点B表示出来．（2）动点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒点P与点A的距离是2个单位长度？（3）在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍？【答案】（1）-6，见解析；（2）经过4秒或6秒点P与点A的距离是2个单位长度；（3）经过103秒或6秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离为10，计算后即可得到结论；（2）根据题意可由点P在A点的左侧和右侧可列方程，求解后即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到结论．【详解】解：（1）10-4=6，∵点B位于点A的左侧，∴点B表示的数是-6，故答案为：-6．在数轴上将点B表示如图所示：（2）设经过t秒点P与点A的距离是2个单位长度，∴当点P在A点左侧时，可得2t+2=10，则t=4，当点P在A点右侧时，可得2t-2=10，则t=6，∴经过4秒或6秒点P与点A的距离是2个单位长度；（3）设经过t秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，∴当点P在A点左侧时，可得2（10-2t）=10-t，则t=103，当点P在A点右侧时，可得2（2t-10）=|10-t|，则t=6或t=103（舍），∴经过103秒或6秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴等知识，根据数量关系得到一元一次方程是解题的关键．【变式训练1】（知识储备）（1）数轴上点A 表示的数为a ，若向右移动m 个长度单位后表示的数是；若向左移动n 个长度单位后表示的数是 ．（2）在数轴上A 点表示数a ，B 点示数b ，A 在B 的右边，A 、B 两点间的距离等于a -b ．（解决问题）已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为﹣3、1，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ．（1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数；（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为10？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由；（3）现在点A 、点B 分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P 以6个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点A 与点B 之间的距离为3个单位长度时，求点P 所对应的数是多少？【答案】【知识储备】（1）a +m ；a-n ；【解决问题】（1）点P 对应的数-1；（2）存在，x 的值为4或-6；（3）点P 所对应的数是-4或-28．【详解】解：知识储备（1）根据向右移为加，向左移为减，得：a +m ；a-n ；解决问题（1）如图：∵点P 到点A 、点B 的距离相等，∴AP BP = ，∵()33AP x x =--=+ （点P 在点A 右边），1BP x =- （点B 在点P 右边），∴31x x +=- ，解得：1x =- ，∴点P 对应的数为1- .解决问题（2）如图：点P 到点A 的距离为PA ，点P 到点B 的距离为PB ，依题意：10PA PB += ，∵点P 在点A 和点B 之间时410PA PB +=¹ ，∴点P 不在点A 和点B 之间，当点P 在点A 左边时：()()313122PA PB x x x x x +=--+-=--+-=-- ，∵10PA PB +=，∴2210x --=，解得：6x =- ，当点P 在点B 右边时：()()()313122PA PB x x x x x +=--+-=++-=+ ，∵10PA PB +=，∴2210x += ，解得：4x = ．综上，存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为10．4x =或6x =-．解决问题（3）设经过t 秒，点A 与点B 之间的距离为3个单位长度，此时点A 运动到点A ¢,点B 运动到B ¢，点P 运动到P ¢ ,∴经过t 秒，2AA t ¢= ，此时A ¢的对应的数为23t - ，0.5BB t ¢= ，此时B ¢的对应的数为0.51t + ，6PP t ¢= ，此时P ¢对应的数为6t - ，∵t 秒后点A 与点B 之间的距离为3个单位长度，∴3A B ¢¢= ,当B ¢在A ¢右边时：∴()()0.5123 1.54A B t t t ¢¢=+--=-+ ，∴ 1.543t -+= ，∴23t =，∵26643t -=-´=-，∴P 所对应的数为4- ．当点A ¢在点B ¢ 右边时：∴()()230.51 1.54B A t t t ¢¢=--+=- ，∴1.543t -= ，∴143t =，∵1466283t -=-´=- ，∴P 所对应的数为28-，综上，点P 对应的数为4-或28-．【点睛】本题考查的是列代数式，数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题意并列式是解本题的关键．【变式训练2】我们知道，在数轴上，|a |表示数a 表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A 、B ，分别用a ，b 表示，那么A 、B 两点之间的距离为：AB ＝|a ﹣b |．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示1和4的两点的距离是 ，数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是 ．（2）|a ﹣1|＝2，则a ＝ ，|a ﹣1|+|a +3|＝6，则a ＝ ．（3）当|a ﹣1|+|a +3|取最小值时，此时符合条件的非负整数a 是 ．（4）如图，已知A ，B 分别为数轴上的两点，点A 表示的数是﹣30，点B 表示的数是50；现有一只蚂蚁P 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q 恰好从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设t 秒后两只蚂蚁相距10个单位长度，求此时点P 表示的数是多少？【答案】（1）3，3；（2）3或－1，2或－4；（3）0和1；（4）8或－4．【分析】（1）利用两点之间的距离公式列式计算即可；（2）利用绝对值定义知12a -=±，分别求解即可，由136a a -++=，分3a £-和1a ³两种情况进行讨论即可求出答案；（3）13a a -++表示数轴到表示1和表示3-的点的距离之和，由两点之间线段最短可知：当31a -££时，13a a -++有最小值，最小值为4，即可得符合条件的非负整数a 的值 ；（4）分情况讨论：相遇前两只蚂蚁所走总路程等于50(30)10---，相遇后两只蚂蚁所走总路程等于50(30)10--+，求出所用时间t ，在进行求解即可．【详解】解：（1）数轴上表示1和4的两点的距离为143-=，数轴上表示1-和4-的两点之间的距离为1(4)3---=；（2）∵1=2a -，∴12a -=±，∴3a =或1a =-，即a 为3或1-；∵136a a -++=，∴当3a £-时，136a a ---=，4a =-，当1a ³时，136a a -++=，2a =，∴a 为2或4-；（3）当a 在数轴上表示1和3-之间时，此时13a a -++的最小值为4，此时31a -££，∴符合条件的非负整数a 是0和1；（4）①相遇前两只蚂蚁相距10个单位长度时，得：3250(30)10t t +=---，解得：14t =，∴501438-´=，∴点P 表示的数是8；②相遇后两只蚂蚁相距10个单位长度时，得：3250(30)10t t +=--+，解得：18t =；∴501834-´=-，∴点P 表示的数是4-；综上所述：此时点P 表示的数是8或4-；【点睛】此题考查了数轴，涉及绝对值、解方程的知识点，解题的关键是对绝对值意义的掌握．类型三、求定值例.已知若数轴上点A 、点B 表示的数分别为,a b ，则AB a b =-∣∣，线段AB 的中点表示的数为2a b +．如图，数轴上点A 表示的数为2-，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒(0)t >．（1）填空：①,A B 两点间的距离AB =______，线段AB 的中点表示的数为_____；②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为_______；点Q 表示的数为______．（2）求当t 为何值时，,P Q 两点相遇，并写出相遇点所表示的数．（3）若点M 为PA 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长．【答案】（1）①10，3；②-2+3t ，8-2t ；（2）t =2，4；（3）5【解析】（1）①AB =8-（-2）=10，AB 中点为282-+=3，故答案为：10，3；②t 秒后，点P 表示的数为-2+3t ，点Q 表示的数为8-2t ，故答案为：-2+3t ，8-2t ；（2）∵当P 、Q 两点相遇时，P 、Q 表示的数相等∴-2+3t =8-2t ，解得：t =2，∴当t =2时，P 、Q 相遇，此时，-2+3t =-2+3×2=4，∴相遇点表示的数为4；（3）∵点M 表示的数为()2233222t t -+-+=-，点N 表示的数为()8233322t t +-+=+，∴MN =333222t t æö+--ç÷èø=5．故答案为：（1）①10，3；②-2+3t ，8-2t ；（2）t =2，4；（3）5【变式训练1】如图，数轴上原点为O ，A ，B 是数轴上的两点，点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，且a ，b 满足2(2)40a b -++＝，动点M ，N 同时从A ，B 出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为x 秒（x ＞0）．（1）A 、B 两点间的距离是 ；动点M 对应的数是 （用含x 的代数式表示）；动点N 对应的数是 ；（用含x 的代数式表示）（2）几秒后，线段OM 与线段ON 恰好满足3OM ＝2ON ？（3）若M ，N 开始运动的同时，R 从﹣1出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R 与M 不重合时，求MB NB RM-的值．【答案】（1）6，2x +，34x -；（2）143秒或29秒；（3）2或 2.-【解析】（1）∵a ，b 满足2(2)40a b -++＝，∴a ﹣2＝0，b +4＝0，∴a ＝2，b ＝﹣4，∵点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，AB ＝2﹣（﹣4）＝6．当运动时间为x 秒时，动点M 对应的数是x +2，动点N 对应的数是3x ﹣4．故答案为：6；x +2；3x ﹣4．（2）由（1）中M ，N 所对的数得OM ＝x +2，ON ＝3x ﹣4，∵3OM ＝2ON ， ∴|32|(2)34x x+＝﹣，①3（2+x ）＝2（3x ﹣4），解得x ＝143；②3（2+x ）＝﹣2（3x ﹣4），解得x ＝29；综上，143或29秒后，线段OM 与线段ON 恰好满足3OM ＝2ON ；（3）由题意得动点R 所对的数为﹣1+2x ，|12)((|3||2)RM x x x +-+--＝＝，(2)(4)6MB x x =+--=+，(43)(4)3NB x x =-+--=， ∴MB ﹣NB ＝6+x ﹣3x ＝6﹣2x ，∵2+x ＝﹣4+3x ，解得x ＝3，∴M 与N 相遇时时间为3s ，N 与M 相遇前，x ＜3s 时，62|3|MB NB x RM x --=-＝623x x--＝2，N 与M 相遇后，x ＞3s 时，MB NB RM -＝62|3|x x --＝623x x --＝﹣2，综上所述MB NB RM-的值为2或﹣2．故答案为：（1）6，2x +，34x -；（2）143秒或29秒；（3）2或 2.-【变式训练2】已知：b 是最小的正整数，且a 、b 满足()250c a b -++=，请回答问题：（1）请直接写出a 、b 、c 的值：a = ，b = ，c = ．（2）在（1）的条件下数a ，b ，c 分别在数轴上对应的点A ，C 有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A ，C 两点同时出发相向而行，甲的速度为2个单位/秒，乙的速度为4个单位/秒点，当两只电子蚂蚁在数轴上点M 处相遇时，求点M 表示的数．（3）在（1）的条件下，点a ，b ，c 分别对应点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动．同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：BC -AB 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）﹣1；1；5；（2）1；（3）不变，2【分析】（1）先根据b 是最小的正整数，求出b ，再根据2(5)||0c a b -++=，即可求出a 、c ；（2）设经过x 秒，甲，乙在数轴上点M 处相遇，根据题意表示出甲，乙分别走的路程，根据路程之和等于AC 列出方程，解方程即可．（3）先求出BC =3t +4，AB =3t +2，从而得出BC ﹣AB =2．【详解】解：（1）∵b 是最小的正整数，∴b =1．∵（c ﹣5）2+|a +b |=0，∴a =﹣1，c =5；故答案为﹣1；1；5；（2）设经过x 秒，甲，乙在数轴上点M 处相遇，则()2451x x +=--，解得1x =则甲蚂蚁经过1秒到达M 点，\M 点表示的数为:1211-+´=（3）BC ﹣AB 的值不随着时间t 的变化而改变，其值是2，理由如下：∵点A 都以每秒1个单位的速度向左运动，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，∴BC =3t +4，AB =3t +2，∴BC ﹣AB =（3t +4）﹣（3t +2）=2．【点睛】本题考查了数轴与整式的加减，数形结合是解题的关键．课后训练1．数学实验室：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB =|a ﹣b |．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ；（2）数轴上若点A 表示的数是x ，点B 表示的数是－2，若AB ＝2，那么x 为； （3）当x 是 时，代数式|2||1|5x x ++-=；（4）若点A 表示的数－1，点B 与点A 的距离是10，且点B 在点A 的右侧，动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q 的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，PQ ＝1（请写出必要的求解过程）【答案】（1）3，4；（2）0或-4；（3）-3或2；（4）4.5或5.5【分析】（1）直接利用题干两点的距离公式计算即可；（2）根据题意可列出关于x 的绝对值方程，解出x 即可．（3）分类讨论①当2x <-时；②当21x -£<时；③当1³x 时，去绝对值，解出方程即可．（4）设运动x 秒后，PQ ＝1，分类讨论：①当点P 未超过点Q 时；②当点P 超过点Q 时，根据数轴列出方程，解出x 即可．【详解】（1）根据题意可知数轴上表示2和5的两点之间的距离是253-=，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是1(3)4--=；故答案为：3，4．（2）由题意可知：22AB x =--=∴22x --=±解得：0x =或4x =-；故答案为：0或-4．（3）∵215x x ++-=，即可表示为点A （表示有理数x ）到点B （表示有理数-2）的距离与点A 到点C （表示有理数1）的距离的和是5，如图：故分类讨论：①当点A 在点B 左侧时，即2x <-，此时有215x x ---+=，解得：3x =-，符合题意；②当点A 在点B 和点C 中间时，即21x -£<，此时有215x x ++-=，方程无解；当点A 在点C 右侧时，即1³x ，此时有215x x ++-=，解得：2x =，符合题意；综上，3x =-或2x =，故答案为：-3或2．（4）设运动x 秒后，PQ ＝1，分类讨论：①当点P 未超过点Q 时，根据数轴可列方程：3(101)x x =+-解得： 4.5x =②当当点P 超过点Q 时，根据数轴可列方程：3(101)x x =++，解得： 5.5x =故运动4.5或5.5秒后，PQ ＝1．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，实数与数轴，数轴上两点之间的距离．利用分类讨论和数形结合的思想是解答本题的关键．2．已知数轴上A 、B 两点表示的数分别为a ，b ，且a ，b 满足|a +20|+(b -13)2=0，点C 表示的数为16，点D 表示的数为-7．（1）A ，C 两点之间的距离为__________；（2）已知|m －n |可理解为数轴上表示数m 、n 的两点之间的距离．若点P 在数轴上表示的数为x ，则满足|x +2|+|x -3|=5的所有的整数x 的和为_______________；满足|x +2|+|x -3|=9的x 值为______________．（3）点A ，B 从起始位置同时出发相向匀速运动，点A 的速度为6个单位长度/秒，点B 的速度为2个单位长度/秒，当点A 运动到点C 时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C 运动，点B 运动至点D 后停止运动，当点B 停止运动时，点A 也停止运动，求在此运动过程中，求A ，B 两点同时到达的点在数轴上表示的数．【答案】（1）36；（2）3，5或－4；（3）194，132-【分析】（1）根据|a +20|+(b -13)2=0，求出a 和b 的值，即可得出A ，C 两点之间的距离；（2）根据题意可得|x +2|+|x -3|=5表示的是x 到-2的距离和到3的距离和为5，即可求出所有的整数x 的值，然后求和即可；根据题意可得|x +2|+|x -3|=9表示的是x 到-2的距离和到3的距离和为9，分x 在-2左边和x 在3右边两种情况讨论，列出方程求解即可；（3）根据题意表示出A 点从A 到C 的过程和C 到A 的过程到达的点，表示出B 点从B 到D 的过程到达的点，然后根据A ，B 两点同时到达时分别列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵|a +20|+(b -13)2=0，∴200130a b +=-=，，∴2013a b =-=，，∴A 点表示的数是-20，又∵点C 表示的数为16，∴A ，C 两点之间的距离=16-(-20)=36；（2）∵|m －n |可理解为数轴上表示数m 、n 的两点之间的距离，∴|x +2|+|x -3|=5表示的是x 到-2的距离和到3的距离和为5，∴23x -££，又∵x 是整数，∴x 的值可以是-2，-1，0，1，2，3，∴-2-1+0+1+2+3=3，∴满足|x +2|+|x -3|=5的所有的整数x 的和为3；同理|x +2|+|x -3|=9表示的是x 到-2的距离和到3的距离和为9，∴当x 在-2左边时，-2-x +3-x =9，解得：x =-4，当x 在3右边时，x -(-2)+x -3=9，解得：x =5，综上所述，满足|x +2|+|x -3|=9的x 值为5或－4；（3）设两点运动的时间为t ，A 点：A 到C 的过程：()20606x t t =-+££，C 到A 的过程：()()1666526610x t t t =--=-£<，B 点：B 到D 的过程：()132010x t t =-££，第一次相遇时，由题意得：206132t t -+=-，解得：338t =，此时x =194；第二次相遇时，由题意得：526132t t -=-，解得：394t =，此时x =132-；综上所述，A ，B 两点同时到达的点在数轴上表示的数为194，132-．【点睛】此题考查了绝对值的几何意义的运用，动点问题的求解，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义．。
数轴的动点问题公式
数轴的动点问题公式
数轴的动点问题是指一个点在数轴上按一定规律运动的问题。
为了描述这个运动过程，我们可以使用公式来表示动点的位置。
假设数轴上的起点为0，动点在某个时刻的位置为x。
动点按照某个速度v向左或向右运动，那么在经过t单位时间后，动
点的位置可以用下面的公式表示：
x=x0+vt
其中，x0表示初始位置，v表示速度，t表示时间。
如果速
度为正，表示向右移动；如果速度为负，表示向左移动。
如果动点在数轴上做匀速直线运动，那么速度v是常数，这
时可以将公式简化为：
x=x0+vt
如果动点在数轴上做加速或减速运动，速度v是变化的，那
么我们需要根据具体的问题来确定速度v的表达式。
常见的加
速或减速运动可以用以下几种公式表示：
匀加速运动：v=v0+at，其中v0表示初始速度，a表示加
速度。
匀减速运动：v=v0at，其中v0表示初始速度，a表示减速度。
自由落体运动：h=h0+v0t+(1/2)gt^2，其中h0表示初始高度，v0表示初始速度，g表示重力加速度。
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数轴上的动点问题
数轴上的动点问题❖ 数轴上的动点问题，是很重要的一部分，但往往使学生感到很棘手.实际上，如果将动点问题“代数化”，“三招”就可轻松解决常见的问题.第一招:平移公式（平移规律）若数轴上点A 表示的数是a ，则当点A 向左平移t 个单位长度时表示的数为a t -;当点A 向右平移t 个单位长度时表示的数为a t +.简记为:左减右加.第二招:距离公式若数轴上,A B 两点表示的数分别是,a b ,则,A B 两点的距离AB a b =-.如果已知,A B 两点的位置关系，比如点A 在点B 的左边，则AB b a =-.第三招:中点公式若数轴上,A B 两点表示的数分别是,a b ,则线段AB 的中点表示的数是2a b + ❖ 常见题型：一、突破基础关—平移与距离数轴上点的平移和两点间的距离是数轴所有难点问题的突破口.点的平移是今后进一步研究动点问题的基础，两点间的距离则可以让学生感知数轴与线段之间的关系. 例1 请利用数轴回答下列问题:①如果点A 表示数3-，将点A 向右移动7个单位长度，那么终点B 表示的数是 ,A 、B 两点间的距离是 ;②如果点A 表示数3，将A 点先向左移动4个单位长度，那么终点B 表示的数是 ,A 、B 两点间的距离是 ;③如果点A 表示数3，将A 点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B 表示的数是 ,A 、B 两点间的距离是 ;④一般地，如果A 点表示的数为a ，将A 点向右移动m 个单位长度，再向左移动n 个单位长度，请你猜想终点B 表示的数是 ，A 、B 两点间的距离是 .二、突破应用关—平移、距离、对称、旋转(滚动)1.平移平移是所有动点问题的灵魂所在，也是数轴问题研究的基石，所以我们在突破数轴难点时，有必要进行深层次的探究.例2如果将A点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是2，则起点A表示的数为 ,A、B两点间的距离是 .-.例3若AB为数轴上一线段，其中点A表示3，点B表示1①将线段沿着数轴左右平移，若平移后点A对应的数为5，则点B所对应的数是 ;-,则点A对应的数是 , AB的中点C对应的数②若平移后点B对应的数是4是 ;-,则A对应的数是 ,B对应的数③若平移后AB的中点C对应的数是1是 .2.距离距离是今后解决坐标系中数形结合问题的关键所在.在坐标系中，大多数问题归根结底是研究线段与线段之间的数量关系，也就是两点之间的距离.因此在初学数轴时，把水平距离问题理解透彻，对今后坐标系里几何问题的学习大有帮助.例4 数轴上有A、B两点，且A、B两点间的距离是3.①若A为原点，则点B表示的数是 ;②若点A表示的数是1，则点B表示的数是 ;③若点A表示的数是a，则点B表示的数是 ;例5数轴上有三点A、B、C，且A、B两点间的距离是3,B、C两点的距离是2，-，则点C表示的数是 .若A点表示的数为1-,C为例6 数轴上有三个点A、B、C，其中A点表示的数为1,B点表示的数为5数轴上的动点，若C到A的距离是C到B的距离的2倍，求此时C所表示的数是 .3.对称数轴上对称问题的关键是线段的中点.最简单的对称是相反数，它们关于原点对称，由此可把此类问题推广至一般，即关于数轴上任意点的对称.例7数轴上A、B两点表示的数为相反数，且AB的距离为5，点A在点B的右边，则A表示的数是 ,B表示的数是 .例8 将数轴沿着某一点A对折，使得1与6重合.①则A表示的数是 ;-重合的数是 ;②与10重合的数是 ;与3③若MN重合，且MN相距2015个单位长度(M在N的右边)，则M表示的数是，N表示的数是 ;例9 数轴上有三个点A、B、C，其中A点表示的数为1,B点表示的数为一3,C为数轴上的动点，当A、B、C三个点中有一个点是另两个点的中点时，求此时C所表示的数.4.旋转(滚动)多边形的旋转问题或圆的滚动问题也是中考热点，实际在这类问题中也可以结合数轴来解答.例10 正方形ABCD在数轴上的位置如图5，点A、D对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数为1，则连续翻转2015次后，图5①数轴上数2015对应的点是 ;②连续翻转2015次后，数轴上数2014对应的点是 .例11 (1)如图6，数轴上有一半径为1的圆，起始点A与原点重合.若将圆沿着数轴-重合的，顺时针无滑动地滚动一周，点A所对应的数是 ;若起点A开始时是与2则圆在数轴上无滑动地滚动2周后点A表示的数是 .图6A B C D，(2)如图6所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母,,,-所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆先让圆周上字母A所对应的点与数轴上的数2-将与圆周上的字母重合.时针方向作无滑动滚动，那么数轴上的数2015三 、突破动点大题—试卷中经常出现的动点应用题解决此类问题的关键是确定动点表示的数，以及动点的运动方向.以下分为三类问题进行解析:1.方向不变例1 如图1，数轴上点B 表示的数是30,,P Q 两点分别从,O B 两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度向右运动，运动时间为t 秒, M 为线段BP 上一点，且13PM PB =,N 为QM 的中点. (1)若12PB BQ =，求t 的值; (2)当t 的值变化时, NQ 的值是否发生变化?为什么？练习1：已知数轴上两点,A B 对应的数为－1 ,3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x .(1)数轴上是否存在点P ，使5PA PB +=?若存在，请求出x 的值;若不存在，请说明理由.(2)当点P 以每分钟1个单位长度的速度从O 点向右运动时，点A 以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B 以每分钟20个单位长度的速度向右运动.在运动的过程中，,M N 分别是,AP OB 的中点,AB OP MN-的值是否改变，为什么?，B点对应的数为练习2：如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为20100．(1)AB中点M对应的数；(2)现有一只电子蚂蚁甲从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁乙恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；(3)若当电子蚂蚁甲从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁乙恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数．练习3：已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
小专题(十一) 数轴上的动点问题
3)t+60.因为要使得mAP+7BP-2CP为一个定值,所以3m+3=0,解得m=-1.所
以mAP+7BP-2CP=(3m+3)t+60=60.综上所述,m的值为-1,这个定值为60
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(3) 动点Q从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若
点P,Q同时出发,点P运动多少秒时,P,Q两点相距4个单位长度?
(3) 因为动点Q从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运
动,所以点Q表示的数是-6-4t.因为点P表示的数是10-8t,P,Q两点相距4个
单位长度,所以|(-6-4t)-(10-8t)|=4.所以4t-16=4或4t-16=-4,解得t=5或t=3.所
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(2) 若点M到点A的距离是到点B距离的2倍,求点M表示的数.
(2) 设点M表示的数为x.因为点M到点A的距离是到点B距离的2倍,所以
|x-3|=2|x-(-5)|.所以x-3=2(x+5)或x-3=-2(x+5),解得x=-13或x=- ,即点M表
示的数为-13或
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(3) 动点P从点B出发,沿着数轴以每秒4个单位长度的速度向点A运动,同
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② 在移动过程中,当木棒m,n重叠部分的长为3个单位长度时,求t的值.
数轴动点问题公式
数轴动点问题公式
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想
动点问题公式为：已知a点在数轴x1，b点在数轴的x2，a从a点出发，速度为v1，b从b点出发，速度为v2，则相遇时间t=|x1-x2|/(v1-v2)（v1与v2速度方向同向）。
比如：a点在数轴1的边线向右以1个单位每秒的速度向右运动，b点数轴10的边线以每秒2个单位每秒的速度向左运动，碰面时间t=|1-10|/（1-（-2））=3s。
解决动点问题的根本在于受力分析清楚。
力就是发生改变物体运动的原因，因此，必须化解各种运动参量。
只需要知道物体的受力，和动点的初始条件。
就可以列出牛顿运动方程来解决。
其中力对时间的分数（累积）就是动量的变化。
对加速度的分数（累积）就是动点能量的变化。
(完整版)数轴上的动点问题
数轴上的线段与动点问题一、与数轴上的动点问题相关的基本概念主要涉及以下几个概数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离.念：,=|a-b|1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值d右边点表示的数=也即用右边的数减去左边的数的差.即数轴上两点间的距离.—左边点表示的数÷2.中点坐标=（a+b）2.两点中点公式：线段AB因此向右运动的速点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，3.这样在起点的基础上加上点的度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度.b，向左运动运动路程就可以直接得到运动后点的坐标.即一个点表示的数为a.a+bb；向右运动b个单位后所表示的数为个单位后表示的数为a—点分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，4.数轴是数形结合的产物，. 在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系数轴上的动点问题基本解题思路和方法：二、t.、表示出题目中动点运动后的坐标（一般用含有时间的式子表示）1t的式子表示）. 根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度 2、（一般用含有时间 3、根据题目问题中线段的等量关系（一般是和、差关系）列绝对值方程.4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果.注：数轴上线段的动点问题方法类似AB两点对应数为－2、4，P为数轴上一动点，对应的数为x、已知数轴上1. 、 A B－2 －1 0 1 2 3 4(1) 若P为AB线段的三等分点，求P对应的数；（2）数轴上是否存在P，使P到A点、B点距离和为10，若存在，求出x；若不存在，说明理由.（3）若点A，点B和点P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，1个长度单位/分，则第几分钟时，P为AB的中点？2 ++|abb、|=0c满足（c2、已知：-5b）是最小的正整数，且，请回答问题a、=________ b=________，c，1）请直接写出a、b、c的值．a=________（、、、、，xPc所对应的点分别为AB为一动点，其对应的数为C）（2a，点b+5|. -1|+2|xx ≤2时），请化简式子：|x+1|-|x0≤点P在0到2之间运动时（即请问个单位长度的速度向左运动，点C分别以每秒1个单位和2（3）若点A、CA，之间的距离为1个单位长度？几秒时，、、个单位长度的速度向左1A（4）点A以每秒BC开始在数轴上运动，若点个单位长度的速度向右个单位长度和5和点运动，同时，点BC分别以每秒2之A 之间的距离表示为BC，点与点BCt运动，假设秒钟过后，若点B与点的变化而改变？若变化，tAB的值是否随着时间BC间的距离表示为AB．请问：-请说明理由；若不变，请求其值．2b满足，且a，A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b2.如图，若点2 B0. 1）＝ A －＋｜a2｜＋（b的长；（1）求线段AB1的根，在数轴上是否存在2x＋－x1＝C（2）点在数轴上对应的数为x，且x是方程2 2. P 对应的数；若不存在，说明理由PB＋＝PC，若存在，求出点点P，使PA点左侧运动时，点在ANPB的中点为，当PM左侧的一点，）若（3P是APA的中点为，的值不变，其中只有一个结论正确，PM的值不变；②PN－＋有两个结论：①PMPN.请判断正确结论，并求出其值3，=10cm（如图所示）=60cm，BCCB、，满足OA=20cm,AB如图，3、在射线OM上有三点A、CO 从点C出发在线段出发，沿OOM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q点P从点. 匀速运动，两点同时出发上向点OQ运动的速度；Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点=2（1）当PAPB时，点、两点相距70cm3cm/s,Q运动的速度为经过多长时间P；Q2（）若点AP?OB、.的值，求EABOPABP3（）当点运动到线段上时，取和的中点F EF4。
七年级上册数轴动点问题
七年级上册数轴动点问题一、数轴动点问题基础知识1. 数轴的三要素原点、正方向和单位长度。
在数轴上，右边的数总比左边的数大。
2. 动点在数轴上的表示设动点表示的数为公式，如果动点从某一固定点公式出发，以速度公式向右运动，经过公式秒后，动点表示的数为公式；如果向左运动，则为公式。
二、典型例题及解析例1：已知数轴上点公式表示的数为公式，点公式表示的数为公式，点公式在数轴上，且公式，求点公式表示的数。
解析：设点公式表示的数为公式。
根据两点间距离公式，公式，公式。
因为公式，所以公式。
当公式时，方程无解。
当公式时，即公式。
移项可得公式。
公式，解得公式。
所以点公式表示的数为公式。
例2：数轴上点公式对应的数为公式，点公式对应的数为公式，点公式以公式个单位/秒的速度从点公式向右运动，同时点公式以公式个单位/秒的速度从点公式向左运动，设运动时间为公式秒。
（1）当公式时，求公式的长度。
（2）求当公式为何值时，公式。
解析：（1）当公式时：点公式从公式出发，速度为公式个单位/秒，向右运动公式秒后，点公式表示的数为公式。
点公式从公式出发，速度为公式个单位/秒，向左运动公式秒后，点公式表示的数为公式。
根据两点间距离公式，公式。
（2）公式，则公式。
经过公式秒后，点公式表示的数为公式，点公式表示的数为公式。
公式。
当公式时，即公式。
当公式时，公式，解得公式。
当公式时，公式，解得公式。
例3：数轴上有公式、公式两点，公式点对应的数为公式，公式点对应的数为公式，点公式从公式点出发，以每秒公式个单位长度的速度沿数轴向右运动，点公式从公式点出发，以每秒公式个单位长度的速度沿数轴向左运动，设点公式、公式同时出发，运动时间为公式秒。
（1）求当公式时，点公式、公式在数轴上对应的数分别是多少？（2）经过多少秒后，点公式、公式之间的距离为公式个单位长度？解析：（1）当公式时：点公式从公式出发，速度为公式个单位/秒，向右运动公式秒后，点公式对应的数为公式。
数轴动点问题6题型
数轴动点问题6题型数轴动点问题是高中数学中常见的一类问题，主要涉及到点在数轴上运动的情况。
在解决这类问题时，可以利用数轴上的点的坐标与距离的关系，来求解点的位置、速度等信息。
本文将介绍数轴动点问题的6个典型题型，并通过解题步骤和例题来帮助读者更好地理解和掌握这类问题的解题方法。
题型一：根据速度求坐标如果一个点在数轴上以一定的速度运动，我们可以通过根据速度求坐标的方法来求解点的位置。
这个问题通常会给出点的初始位置和速度，要求我们求解点在某个给定的时间后的位置。
解决这类问题时，我们可以使用速度乘以时间的公式，即坐标 = 初始位置 + 速度 * 时间。
举例来说，假设一个点在数轴上初始位置为3，速度为2，我们需要求解它在10秒后的位置。
根据公式，我们可以得到坐标 = 3 + 2 * 10 = 23。
因此，在经过10秒后，点的位置为23。
题型二：根据坐标求速度与题型一相反，如果我们已知一个点在数轴上的初始位置和结束位置，并且需要求解点的速度，我们可以使用根据坐标求速度的方法。
解决这类问题时，我们可以使用坐标之差除以时间的公式，即速度 = (结束位置 - 初始位置) / 时间。
举例来说，假设一个点在数轴上初始位置为5，结束位置为25，并且经过10秒后到达结束位置。
我们可以使用公式速度 = (25 - 5) / 10 = 2来求解点的速度。
因此，这个点的速度为2。
题型三：两点相遇问题在数轴上，如果有两个点A和B，它们同时从不同的位置出发，以不同的速度运动，我们常常会遇到两点相遇的问题。
解决这类问题时，我们可以使用等速度的思想，通过设置一个相对速度来求解两点相遇的时间和位置。
举例来说，假设点A从位置1出发，速度为3，点B从位置9出发，速度为1，我们需要知道它们第一次相遇的时间和位置。
我们可以设置点A和点B的相对速度为3 - 1 = 2，根据题目描述，相对速度不变。
因此，这个问题可以转化为一个点以相对速度2运动的问题，我们可以使用速度乘以时间的公式，即坐标 = 初始位置 + 速度 * 时间，来求解它们的相遇时间和位置。
数轴上含速度的动点问题
数轴上含速度的动点问题一、基本概念1. 动点- 想象数轴就像一条长长的马路，动点呢，就像是马路上一辆跑来跑去的小汽车。
这个点不是固定在一个位置的，它会按照一定的速度移动。
- 比如说，有个点A在数轴上，它以每秒2个单位长度的速度向右移动。
这就好比汽车以每小时60千米的速度沿着马路向前开一样。
2. 起始位置- 动点开始的地方很重要哦。
就像汽车出发的时候是从停车场出发的，动点也有它的起始点。
比如点B在数轴上的位置是 - 3，这就是它的起始位置。
3. 方向- 动点在数轴上移动是有方向的，要么向左，要么向右。
向左就像汽车倒车一样，在数轴上表示数值越来越小；向右就像汽车正常向前开，数值越来越大。
如果一个动点以速度v向左移动，那它的位置变化就是不断地减去vt（t是时间）；如果向右移动，就是不断地加上vt。
二、常见问题类型及解法1. 相遇问题- 就好比两辆车在马路上开，最后碰到一起了。
假设有两个动点A和B，A从数轴上的1这个位置出发，速度是每秒3个单位长度向右移动；B从5这个位置出发，速度是每秒2个单位长度向左移动。
- 那我们怎么知道它们什么时候相遇呢？我们可以设经过t秒相遇。
A移动后的位置是1 + 3t，B移动后的位置是5 - 2t。
当它们相遇的时候，这两个位置是相等的，也就是1+3t = 5 - 2t。
- 然后我们就像解普通方程一样，把t求出来。
首先把含有t的项移到一边，得到3t+2t = 5 - 1，也就是5t = 4，解得t = 0.8秒。
2. 追及问题- 这就像一辆车去追另一辆车。
比如说有动点C在数轴上2的位置，速度是每秒1个单位长度向右移动；动点D在5的位置，速度是每秒3个单位长度向右移动。
- 我们想知道D什么时候能追上C。
设经过t秒D追上C。
C移动后的位置是2+t，D移动后的位置是5 + 3t。
当D追上C的时候，它们的位置相同，也就是2+t = 5+3t。
- 移项得到3t - t=2 - 5，2t=-3，解得t=-1.5秒。
数轴动点问题公式
数轴动点问题公式数轴上的动点问题是数学中常见的一个问题类型。
在这类问题中，通常给出一个点在数轴上随时间变化的位置，然后要求求解该点的位置函数或速度函数等相关函数。
下面将分别介绍数轴动点问题的一般公式及求解方法。
一、数轴动点问题的一般公式假设点P在数轴上以时间t为自变量随时间变化，点P在数轴上的位置用变量x表示，即x=x(t)。
点P在时间t0时刻的位置为x0，则在t时刻的位置可以表示为x=x(t)=f(t)+x0，其中f(t)是关于t的函数，表示点P的位移。
二、数轴动点问题的求解方法1.求解位置函数：当给出点P在不同时刻的位置时，可以通过对位置函数的求解来求得该点在任意时刻的位置。
（1）如果已知点P在时间t1时刻的位置为x1，时间t2时刻的位置为x2，可以通过构建方程的方法求解位置函数。
设点P在时间t时刻的位置为x，则有x=f(t)+x1，x=f(t2)+x2、将这两个方程联立，消去f(t)，得到x=(x2-x1)/(t2-t1)*(t-t1)+x1、这样就得到了点P在时间t时刻的位置函数x=f(t)。
（2）如果已知点P在时间t1时刻的位置为x1，速度为v1，点P在时间t2时刻的位置为x2，速度为v2，还可以通过使用速度函数的方法求解位置函数。
设点P在时间t时刻的速度为v，则有v = g(t)，其中g(t)是点P的速度函数。
由于速度可以理解为位移对时间的导数，即v = dx / dt。
由此，可以得到dx = g(t) * dt，对上式两边同时积分，即得到x = ∫g(t) * dt + C，其中C是常数。
由于点P在时间t1时刻的位置为x1，可以得到∫ g(t) * dt + C = x1，再由点P在时间t2时刻的位置为x2，得到∫ g(t) * dt + C = x2、通过这两个方程可以解出C，从而得到函数x = f(t)。
2.求解速度函数：当给出点P在不同时刻的位置时，可以通过求解速度函数来确定点P在任意时刻的速度。
数轴动点问题6题型
数轴动点问题6题型数轴动点问题是数学中常见的问题之一，通过给定的条件，我们需要确定数轴上的某个点在未来的某个时刻的位置。
数轴动点问题可以分为六个不同的题型，包括直线匀速运动、自由落体运动、匀加速直线运动、正弦运动、周期性运动和复合运动。
一、直线匀速运动直线匀速运动是最简单的一个题型，其特点是物体在数轴上做匀速运动，即运动速度保持恒定。
在这种情况下，我们可以通过已知物体的初始位置和速度，以及经过的时间来确定物体在某个时刻的位置。
例如，已知小明从A点出发，以每小时30公里的速度向B点行进，经过2小时后，我们需要确定小明在这个时刻的位置。
解题思路如下：设小明从A点出发，以每小时30公里的速度向B点行进，经过2小时后小明行驶的距离为x公里。
根据速度的定义，速度等于位移与时间的比值，即速度=位移/时间。
因为小明的速度是恒定的，所以我们可以得到以下等式：30km/h = x km/2 h将等式化简，得到：x = 60 km因此，在经过2小时后，小明的位置在B点的60公里处。
二、自由落体运动自由落体运动是物体在重力作用下做垂直向下的运动。
在这种情况下，物体的初速度通常为0，所以我们只需考虑物体下落的距离和经过的时间。
例如，已知一个物体从高处下落，2秒后触地，我们需要确定物体下落的高度。
解题思路如下：设物体下落的高度为h米。
根据自由落体运动的公式：h = (1/2) * g * t^2其中，g为重力加速度，取9.8米/秒^2，t为时间，取2秒。
将这些数值代入公式中，我们可以计算出物体下落的高度：h = (1/2) * 9.8 * 2^2 = 19.6米因此，物体下落的高度为19.6米。
三、匀加速直线运动匀加速直线运动是物体在数轴上做匀加速运动，即运动的加速度保持恒定。
在这种情况下，我们需要根据已知的初始速度、加速度和时间来确定物体在某个时刻的位置。
例如，已知小车以每小时20公里的速度匀速行驶，并在10秒内加速到每小时60公里的速度，我们需要确定小车在这个时刻的位置。
专题02 数轴上动点问题的三种考法(解析版)(人教版)
专题02数轴上动点问题的三种考法【知识点梳理】1.数轴上两点间的距离数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；2.数轴上点移动规律数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b.类型一、求值（速度、时间、距离）(1)请直接写出=a______，b=______；(2)如图1，点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动；同时点点O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段(3)如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为O，A为端点的所有线段的长度和为109时，求出此时点(1)直接写出点B表示的数；(2)一动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；另一动点(1)若点Q运动速度为8cm/s，当点P和点Q都运动到线段中点时，求点Q运动的时间；AB=，当(2)如图2，若点B也为射线OM上一点，且30cm(1)动点P从点A运动至E点需要秒，此时点(2)P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M(3)求当t为何值时，P，B两点在数轴上相距的长度与(1)数轴上A点表示的数为______，B点表示的数为______．(2)数轴上在B点右边有一点C，点C到A、B两点的距离和为(1)直接写出数a，b的值；(2)A，两点相距多少个单位长度？(1)求a、b的值；(1)请直接写出a、b、c的值．=a______，(1)求m、n的值；(2)①情境：有一个玩具火车AB如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，(1)若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的(2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点(1)填空，a=_______________，b=_______________(2)若点A与点C之间的距离表示为AC(1)AB=、BC=、AC=；(1)求点B和点D分别表示的数；例．已知在数轴上有A ，B 两点，点A 表示的数为8，点B 在A 点的左边，且12AB =．若有一动点P 从数轴上点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点B 匀速运动，动点Q 从点B 同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A 匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．(1)【解决问题】：①当1t =秒时，写出数轴上点P ，Q 所表示的数；②问点P 运动多少秒与点Q 相距3个单位长度？(2)【探索问题】：若M 为AQ 的中点，N 为BP 的中点，直接写出线段MN 与线段PQ 的数量关系．【答案】(1)①点P 表示的数为5；点Q 所表示的数为2-；②点P 运动1.8秒或3秒时与点Q 相距3个单位长度；(2)212MN PQ +=或212MN PQ -=．【分析】（1）①根据已知可得B 点表示的数为812-；根据点的运动方式即可得出点P 、Q 表示的数t ；②点P 运动x 秒时，与Q 相距2个单位长度，则3AP x =，2BQ x =，根据3AP BQ AB +=-，或3AP BQ AB +=+，列出方程求解即可；（2）根据点P 在点A 、B 两点之间运动，故MN MQ NP PQ +-=，由此可得出结论．【详解】（1）①∵点A 表示的数为8，B 在A 点左边，12AB =，∵3AP BQ AB +=-，∴32123x x +=-，解得： 1.8x =，当Q 在P 右侧时，与Q 相距3个单位长度，如图：∵3AP BQ AB +=+，∴32123x x +=+解得：3x =．∴点P 运动1.8秒或3秒时与点Q 相距3有：MN MQ NP PQ+-=11且12AB=．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒．(1)解决问题：t=时，写出数轴上点B，P所表示的数；①当1②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．【答案】(1)①点B表示-4，点P表示5；②1.8秒或3秒(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析【解析】(1)解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∴点B表示的数是8-12=-4，∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P表示的数是8-3×1=5．②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，∵AP+BQ=AB-3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15，解得：x=3．∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ=12AQ+12BP-PQ=12（AQ+BP-PQ）-12PQ=12AB-12PQ=12（12-PQ），即2MN+PQ=12．同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12．课后训练t=时，线段PQ的长度是(1)当2PQ=5(1)直接写出：a=______，②点Q 、点P 向右运动，点P 在点Q 右侧，316410t t -=-+，点P 到达点C 的时间为32(364)33-÷=，32113>，11t ∴=不合题意，舍去；④点P 向左运动，点P 在点Q 左侧，121033232t t +-+-=，解得：312t =，综上所述，当10PQ =时，P 点运动的时间为：1或212或312【点睛】本题考查了绝对值的非负性，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，数形结合，(1)填空；a＝，b＝，(2)现将点A，点B和点C分别以每秒数轴上同时向右运动，设运动时间为。
数轴上的动点问题
数轴上的动点问题在数学的世界里，数轴是一个非常基础且重要的概念。
而其中的动点问题，则是许多同学在学习过程中感到头疼的一部分。
今天，咱们就来好好聊聊数轴上的动点问题，争取把它弄个明白。
首先，咱们得清楚数轴是啥。
简单来说，数轴就是一条带有方向、原点和单位长度的直线。
它就像是一个跑道，上面的点都有自己对应的位置。
那么动点问题又是怎么回事呢？动点，顾名思义，就是在数轴上移动的点。
这个点不像那些固定的数字一样老老实实待在原地，而是会按照一定的规律或者条件到处“跑”。
比如说，有一个点 A 在数轴上从某个位置开始，以每秒 2 个单位长度的速度向右移动。
这就是一个典型的动点问题描述。
那咱们怎么去解决这类问题呢？第一步，咱们要仔细读题，把题目中的关键信息都找出来。
比如动点的初始位置、移动的速度、方向，还有可能存在的时间限制等等。
就拿刚才那个例子来说，点 A 初始位置如果是在－3 这个点上，向右移动的速度是每秒 2 个单位长度，移动了 5 秒钟。
那咱们就能算出 5 秒钟后点 A 跑到哪儿去了。
因为向右移动是增加，速度是每秒 2 个单位长度，移动了 5 秒，所以一共移动了 2×5 ＝ 10 个单位长度。
再加上初始位置－3，那么 5 秒钟后点 A 的位置就是－3 ＋ 10 ＝ 7 。
但是，动点问题可没这么简单，有时候会有多个动点同时在数轴上移动。
比如说，点 B 从 2 的位置开始，以每秒 1 个单位长度的速度向左移动，同时点 A 从－5 的位置开始，以每秒 3 个单位长度的速度向右移动。
经过多少秒，点 A 和点 B 会相遇？这时候，咱们就得设经过 t 秒它们相遇。
相遇的时候，点 A 和点 B所在的位置是一样的。
点 A 移动的路程就是 3t ，点 B 移动的路程就是 t （因为向左移动是减少）。
那么就可以列出方程：－5 ＋ 3t ＝ 2 t 。
解这个方程：3t ＋ t ＝ 2 ＋ 5 ，4t ＝ 7 ，t ＝ 7/4 。
数轴上的动点问题
数轴上的动点问题（一）1、如图，C 为线段AB 上一点，且AC=2BC ，AC 的41比BC 小5。
（1）求AC 、BC 的长；（2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（t ＜10），D 为PB 的中点，E 为PC 的中点，若CD=52DE ，试求点P 运动时间t 的值；（3）若P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，以65个单位/秒的速度在AB 的延长线上与P 点同向运动，运动时间t ＜30，D 为PB 的中点，F 为DQ 的中点，E 为线段PD 上一点，且PB PE 31，当P 、Q 两点运动过程中，给出下面两个结论：①DE+DF 的值不变；①|DE －DF|的值不变，其中只有一个结论是正确的，请判断正确的结论并求其值。
2、在一条长为a 米的马路AB 上，有一个男孩在玩长为b 米的滑板CD ，滑板的高度忽略不计。
（不考虑调头）如图所示，建立一个数轴，并以A 为原点。
（1）当滑板的端点C 与A 重合时，试用a 、b 表示BD 的中点N 对应的数。
（2）当滑板在A 、B 之间滑动时，线段AC 、BD 的中点M 和N 之间的距离是否改变呢？试说明理由；（3）当滑板从A 滑动到B 处后仍向前滑动。
线段AC 、BD 的中点M 和N 之间的距离是否改变呢？试说明理由。
A BC D M N（C ） A D N BA B C3、（1）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为12；当B点移动到A点时，A点所对应的数为3（单位：单位长度）。
由此可得玩具火车的长为个单位长度。
（2）现在你能借助“数轴”这个工具解决下面问题吗？一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了！”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？你能帮小明求出来吗？（可使用任何你喜欢的方法）（3）在（1）的条件下在数轴上放置与AB相同的玩具火车CD，使O与C重合，两列玩具小火车分别从O和A同时出发，已知CD火车速度为0.5个单位/秒，AB火车速度为1个单位/秒（两火车都可前后开动），问几秒后两车头A与C相距6个单位？4、点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足2|2|(1)0a b++-=（1）求线段AB的长；（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程12122x x-=+的根，在数轴上是否存在点P使P A +PB = PC，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；（3）若P点是A点左侧一点，P A的中点为M，PB的中点为N，当P在A的左侧运动时，有两个结论：①PM+PN的值不变；①PN–PM的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求出其值。
(完整版)数轴上的动点问题
数轴上的线段与动点问题一、与数轴上的动点问题相关的基本概念数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离.主要涉及以下几个概念：1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值d=|a-b|,也即用右边的数减去左边的数的差.即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数.2.两点中点公式：线段AB中点坐标=（a+b）÷2.3.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度.这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标.即一个点表示的数为a，向左运动b 个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b.4.数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系.二、数轴上的动点问题基本解题思路和方法：1、表示出题目中动点运动后的坐标（一般用含有时间t的式子表示）.2、根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度（一般用含有时间t的式子表示）.3、根据题目问题中线段的等量关系（一般是和、差关系）列绝对值方程.4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果.注：数轴上线段的动点问题方法类似1、已知数轴上A、B两点对应数为－2、4，P为数轴上一动点，对应的数为x.－2 －1 0 1 2 3 4(1) 若P为AB线段的三等分点，求P对应的数；（2）数轴上是否存在P，使P到A点、B点距离和为10，若存在，求出x；若不存在，说明理由.（3）若点A，点B和点P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，1个长度单位/分，则第几分钟时，P为AB的中点？2、已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c-5）2+|a+b|=0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a=________，b=________，c=________ （2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|-|x-1|+2|x+5|.（3）若点A、点C分别以每秒1个单位和2个单位长度的速度向左运动，请问几秒时，A，C之间的距离为1个单位长度？（4）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．2.如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足｜a＋2｜＋（b－1）2＝0.（1）求线段AB的长；（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x－1＝12x＋2的根，在数轴上是否存在点P，使P A＋PB＝PC，若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由.（3）若P是A左侧的一点，P A的中点为M，PB的中点为N，当P点在A点左侧运动时，有两个结论：①PM＋PN的值不变；②PN－PM的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确结论，并求出其值.3、如图，在射线OM 上有三点A 、B 、C ，满足OA =20cm,AB =60cm ，BC =10cm （如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动，两点同时出发.（1）当P A =2PB 时，点Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分点，求点Q 运动的速度；（2）若点Q 运动的速度为3cm/s,经过多长时间P 、Q 两点相距70cm ；（3）当点P 运动到线段AB 上时，取OP 和AB 的中点E 、F ，求EFAP OB 的值.。
数轴上的动点问题
-2
4
AO
B
2、已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为-8，点B表示的数为4．动点P从数轴上点 A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的 速度，设运动时间为t秒。 （1）若点P向右运动，点Q向左运动，问多少秒后点P与Q相距2个单位长度？ （2）若动点P、Q都向右运动，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动． 当t为何值时，2OP-OQ=4？
数轴上的动点问题
学情交流
类型一、数轴上两点距离的应用
1、数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左 边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数－左边点表示的数。
类型一、数轴上两点距离的应用
2、
类型二、绝对值的处理策略
3、绝对值策略：对于两个动点P,Q，若点P,Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用 p,q两数差的绝对值表示P,Q两点距离，从而避免分复杂分类讨论
类型二、绝对值的处理策略
4、
类型三、小狗来回跑的问题
5、如何表示运动过程中的数：点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此 向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点 的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后 表示的数为a－b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。（简单说成左减右加）
作业：
3、已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为 x．点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个 单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不 停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
数轴上的动点问题
数轴上的动点问题１、数轴上点Ａ对应的数为－１，点Ｂ对应的数为４，点Ｐ为数轴上一动点，其对应的数为x，（１）若点Ｐ到Ａ、Ｂ的距离相等，则点Ｐ对应的数为（２）数轴上是否存在点Ｐ，使Ｐ到点Ａ、点Ｂ的距离之和为９？若存在请求出点Ｐ。
（３）当点Ｐ以每分钟１个单位长度的速度从Ｏ点向右运动时，点Ａ以每分钟２个单位长度的速度向左运动，点Ｂ以每分钟３个单位长度的速度向右运动，问它们同时出发，几分钟时点Ｐ到点Ａ，点Ｂ的距离相等？２、数轴上点Ｂ对应的数为８，点Ａ是数轴上位于Ｂ点左侧一点，且ＡＢ＝１４，动点Ｐ从Ｐ点出发，以每秒５个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒，（１）写出数轴上点Ａ表示的数，点Ｐ表示的数（用含t的式子表示）；（２）动点Ｑ从点Ａ出发，以每秒３个单位长度的速度向左匀速运动，若点Ｐ、Ｑ同时出发，问点Ｐ运动多少秒时ＡＱ＝ＡＰ？（３）在（２）中Ｐ、Ｑ两点运动的过程中，若Ｍ为ＢＰ的中点，在Ｐ点运动的过程中ＱＰＱＢ的值在某一个时间段内为定值，求出这个定值，并直接写出t的取值范围。
ＱＭ３. 已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数－26，－10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=________，PC=_____________（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，当点P运动到点C时，P、Q两点运动停止，①当P、Q两点运动停止时，求点P和点Q的距离；②求当t为何值时P、Q两点恰好在途中相遇。
４、已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x. （1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动.当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？。
七年级数学数轴上的动点问题
七年级数学数轴上的动点问题数轴上的线段与动点问题一、与数轴上的动点问题相关的基本概念数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离.主要涉及以下几个概念：1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值d=|a-b|,也即用右边的数减去左边的数的差.即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数.2.两点中点公式：线段AB中点坐标=（a+b）÷2.3.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度.这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标.即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b.4.数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系.二、数轴不动点问题求解的基本思路和方法：1.标明题目中动点的坐标(一般用含时间t的公式表示)。
2.根据两点间的距离公式，表示问题中相关线段的长度(一般用含时间t的公式表示)。
3.根据题中线段的等价关系(一般是和差关系)列出绝对值方程。
4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果.注：数轴上线段的动点问题方法类似1.已知数轴上点a和b对应的数是-2和4，p是数轴上的动点，对应的数是x.A B－2－1 0 1 2 3 4(1)若P为AB线段的三等分点，求P对应的数；（2）数轴上是否存在P，使P到A点、B点距离和为10，若存在，求出x；若不存在，说明理由.(3)如果a点、b点和p点(p点在原点)同时向左移动，它们的速度分别为1、2和1。
个长度单位/分，则第几分钟时，P为AB的中点？2、已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c-5）2+|a+b|=0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a=________，b=________，c=________（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|-|x-1|+2|x+5|.（3）若点A、点C分别以每秒1个单位和2个单位长度的速度向左运动，请问几秒时，A，C之间的距离为1个单位长度？(4)点a、b、c开始在数轴上移动。
数轴中的动点问题洋葱数学
数轴中的动点问题洋葱数学
摘要：
1.数轴上的动点问题的概念
2.动点问题的应用
3.动点问题的解题方法
4.动点问题的挑战与展望
正文：
一、数轴上的动点问题的概念
数轴上的动点问题指的是在数轴上，有一个或多个动点，其位置随时间变化而变化。
我们需要研究这些动点的位置关系、运动规律以及相关性质。
在数学领域中，动点问题是一个重要的研究方向，其应用广泛，涉及到多个数学分支。
二、动点问题的应用
动点问题在实际生活中有很多应用，例如在物理学中，粒子在数轴上的运动可以看作是一个动点问题；在计算机科学中，算法中的动态规划也涉及到动点问题；此外，动点问题还与最优化理论、微积分等数学分支密切相关。
三、动点问题的解题方法
解决动点问题有多种方法，如几何法、代数法、逻辑法等。
几何法主要是利用几何图形的性质来解决问题，例如通过作图找到动点的位置关系；代数法则是通过建立数学模型，利用代数方法求解；逻辑法则是利用逻辑推理来解决问题。
在实际解题过程中，我们需要灵活运用各种方法。
四、动点问题的挑战与展望
尽管动点问题在数学领域中取得了很多成果，但仍然存在许多挑战和未解决的问题。
例如，如何更好地描述动点的运动规律，如何求解更复杂的动点问题等。
在今后的研究中，我们需要不断探索新的方法和技巧，以解决这些挑战。
总之，数轴上的动点问题既是一个有趣的数学问题，也是一个具有广泛应用价值的研究方向。
从物理学到计算机科学，从最优化理论到微积分，动点问题都发挥着重要作用。
初一数学上册数轴动点问题
初一数学上册数轴动点问题一、什么是数轴动点问题数轴动点问题呢，就是在数轴这个特定的数学环境里，有一些点是可以动来动去的，然后让我们根据这些点的运动情况去解决各种各样的数学问题。
比如说，一个点从数轴上的某个位置开始，按照一定的速度向左或者向右移动，然后问我们在某个时刻这个点的位置在哪里呀，或者几个点之间的距离是多少啦之类的。
这就像一群小蚂蚁在数轴这条小路上跑来跑去，我们得搞清楚它们的位置变化情况。
二、常见的题型类型1. 求动点表示的数这种题就是给你一个动点在数轴上的初始位置，还有它运动的方向和速度，然后让你求出经过一段时间后这个动点所表示的数。
比如说，一个点在数轴上表示3，它以每秒2个单位长度的速度向右运动，经过5秒后，这个点就向右移动了2×5 = 10个单位长度，那这个点表示的数就变成了3+10 = 13啦。
2. 求两点之间的距离有时候会给你两个动点，它们分别在数轴上运动，然后问你在某个时刻这两个动点之间的距离是多少。
这就需要我们先算出这两个动点在那个时刻分别在数轴上的位置，然后用较大的数减去较小的数（如果是求绝对值距离的话就直接求两个数差的绝对值）。
就像两个人在数轴这条跑道上跑，我们要看看他们之间隔了多远。
3. 动点与线段的关系还有一种题型是关于动点和线段的关系的。
比如说，一个动点在数轴上运动，问这个动点什么时候会在线段的中点上，或者什么时候这个动点会把某条线段分成一定比例的两段。
这就比较复杂啦，我们要综合考虑线段的端点位置、动点的运动情况等很多因素呢。
三、解决数轴动点问题的小技巧1. 画数轴这可是超级重要的一步哦。
把题目中的情况在数轴上画出来，这样我们就能很直观地看到各个点的位置关系啦。
就像画画一样，把那些抽象的数字和动点变成我们能看得见的东西。
比如说，题目里说一个点在 -2的位置，另一个点在4的位置，我们就把它们在数轴上标出来，然后再根据动点的运动情况，一点一点地画出它们的新位置。
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A
B
=18
一、导疑——情境导入、提出疑问
1、零点分段法：
利用零点分段法去掉绝对值符号
所谓零点分段法
是指：若数x1，x2，……xn，分别使含有|X－x1|，|X－x2|，……， |X－xn|的代数式中相应绝对值为零，称x1，x2，……，xn为相应绝对 值的零点，零点x1，x2，……，xn将数轴分为n+1段，利用绝对值的意 义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含 绝对值符号的一般等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论 的分区点，然后再分区间讨论绝对值方程，最后应求出解的并解。 零点分段法是解含绝对值符号的方程的常用解法，这种方法主要体 现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路 直观化。
4、数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合 图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上 线段的和差关系.
例4、已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足 (c-5)2+|a+b|=0， 请回答问题
（1）请直接写出a、b、c的值．a=________， b=________，c=________.
二、引探——自主学习、探究问题
例1：解方程
=18
思路分析：本类型的题既没有条件限制，又没有
数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论 法，本例的难点在于x-2,x+4的正负不能确定，由于x是不 断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对 各种情况—一讨论．
例1：解方程
=18
解：令x-2=0得零点：x=2；令x+4=0得零点：x=-4
例4、已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足 (c-5)2+|a+b|=0， 请回答问题
（1）请直接写出a、b、c的值．a=___-_1____， b=____1____，c=__5___.
例4、已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足 (c-5)2+|a+b|=0， 请回答问题
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点， 其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时）， 请化简式子：|x+1|-|x-1|+2|x+5|. 解：（2）当-0≤x≤1时，x+1>o,x-1≤0，x+5>0
（3）若点A、点C分别以每秒1个单位和2个单位长度的
速度向左运动，请问几秒时，A，C之间的距离为1个单
位长度？
2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为 若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内 的部分的正负能够确定．
3．分区段讨论：在各区段内去掉绝对值符号分别考察问题
4．总结综合：将各区段内的情形综合起来，得到问题的 答案．
二、引探——自主学习、探究问题
2、含字母系数的一元一次方程
（一）根据方程解的情况来确定字母系数
(3)当3-m=0,n+4≠0时，即m=3,n≠-4时，原方程无解；
三、释疑——主动展示、阐释疑点
3、借助方程解决数轴上的动点问题。
数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离. 主要涉及以下几个概念：
1、数轴上两点A、B之间的距离为：AB=|a-b| 2、AB的中点坐标为：a b
2
3、点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右 运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度.这样在 起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标. 即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b； 向右运动b个单位后所表示的数为a+b.
则|x+1|-|x-1|+2|x+5| =x+1-（1-x）+2（x+5）
=4x+10 当1<x≤2时，x+1>o,x-1>0，x+5>0
则|x+1|-|x-1|+2|x+5| =x+1-（x-1）+2（x+5）
=2x+12
例4、已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足 (c-5)2+|a+b|=0， 请回答问题
例2：关于x的方程mx+4=3x-n, 分别求m, n满足什么条件 时,原方程 (1)有唯一解； (2) 有无数多个解； (3) 无解.
解：将原方程变形为（3-m)x=n+4
(1)当3-m≠0时，即m≠3时，原方程有唯一解x=
n4 3m
(2)当3-m=0,n+4=0时，即m=3,n=-4时，原方程有无数个解
2020/8/19
一、导疑——情境导入、提出疑问
如果数轴上任意两点A、B所对应的数分别为a，b,则 A、B之间的距离为：AB=|a-b| AB的中点坐标为：a b
2
如图，数轴上两点A，B对应的数分别为-4和2，数轴上 另有一点C，点C到点B距离的2倍与它到点A距离的差 是18，则点C对应的数是多少？
二个零点把数轴上的数分为三个部分
当x≥2时，x-2≥o,x+4>0
原方程化简为2（x-2）-（x+4）=18
解方程得
x=26
当-4≤x<2时，x-2<o,x+4≥0
原方程化简为-2（x-2）-（x+4）=18
解方程得
x=-6
因为-4≤x<2，所以x=-6不符合，应舍去
当x<-4时，x-2<o,x+4<0
原方程化简为-2（x-2）+（x+4）=18
解方程得
x=-10
综上所述：原方程的解为x=26或x=-10
二、引探——自主学习、探究问题
例1：解方程
=18
归纳点评：虽然x-2,x+4的正负不能确定，但在某个具体 的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采 用此法的一般步骤是：
1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出 零点（不一定是两个）．
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点， 其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时）， 请化简式子：|x+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ|-|x-1|+2|x+5|.
（3）若点A、点C分别以每秒1个单位和2个单位长度的 速度向左运动，请问几秒时，A，C之间的距离为1个单 位长度？
（4）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的 速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位 长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示 为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随 着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．