§34 本征函数系的一般性质
本征函数
本征函数
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在数学中，函数空间上定义的线性算子A的本征函数就是对该空间中任意一个非零函数f进行变换仍然是函数f或者其矢量倍数的函数。
更加精确的描述就是
其中λ是标量，它是对应的本征值。
另外本征值微分的解受到边界条件的限制。
当考虑限制条件的时候，只有特定的本征值（）对应于的解（每个对应于一个本征值）。
分析的最有效的方法就是检查其本征矢量是否存在。
例如，是微分算子
的本征函数，对于任意的，有对应的本征值。
如果在这个系统上加上限制条件，如在空间中某两个物理位置，那么只有特定的才能满足这个限制条件，这样对应的离散本征值为. 本征函数在物理学的很多分支中都起着重要作用，其中一个重要的例子就是量子
的解的形式为
其中是本征值为的算子的本征函数。
只有特定的与本征函数相关的本征值满足薛定谔方程这样的事实引出了量子力学的自然基础以及元素周期表，每个定义了一个允许存在系统能量状态。
这个方程成功地解释了氢原子的谱特性被认为是20世纪物理学的一项巨大成就。
根据哈密顿算子的特性，可以知道它的本征函数是正交函数。
但是对于其它算子的本征函数可能并不是这样，如上面提及的。
正交函数
（）有以下特性
其中，在这种情况下集合是线性无关的。
§4.4 厄密算符本征函数的性质
§4.4 厄密算符本征函数的性质重点：厄密算符本征函数的正交、归一、完备性（一）厄密算符本征函数的正交性如果两函数和 满足下列等式（4.4-1）式中积分是对变数的全部区域进行的，则称和 两函数相互正交，“正交”这名词来源于两矢量A ，B 正交时，其乘积满足所以（4.4-1）式可以认为是上式的推广。
例 属于动量算符不同本征值的两个本征函数和 相互正交，即下面证明：厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。
在非简并的情况下，设厄密算符的本征函数是 , 它们所属的本征值互不相等，我们要证明当时，有（4.4-2）证设本征值方程（4.4-3）（4.4-4）时，且当由于为厄密算符，所以根据定义有利用（4.2-3）、（4.2-4）式，上式可写成但厄密算符的本征值都是实数，即，故上式可写为或由（4.4-5）式故得（4.4-6）的本值组成分立谱的情况下，假设本征函数已归一化，即在（4.4-7）这样（4.4-2）和（4.4-7）两式可合并写为（4.4-8）表示式中符号的本征值组成连续谱，则本征函数可归一化为函数，代替（4.4-8）如果有（4.4-9）（二）厄密算符本征函数的完全性如果是厄密算符，它的正交归一体征函数是对应的本征值是则任一函数可用它们（全部）的线性迭加来表示，即（4.4-10）与r无关，本征函数的这种性质称为完全性或者说组成完全系。
式中（4.4-11）迭加系数可证明仍为（4.4-12）如果的本征值既有分立谱，又有连续谱，则它的全体征函数组成完全系，即。
4.4 共同本征函数
不确定关系,又称做不确定性原理,是微观粒子运 动的基本规律,是微观粒子波粒二象性和波函数统计 解释导致的必然结果。从这个关系我们可以看出 ,它 根本不涉及测量,只要有波函数的统计解释和力学量 的平均值公式,就可以导出不确定原理。
ˆ B ˆ 最小测不准状态：A 2
最小波包状态：广泛应用于理论物理各个领域， 包括量子光学、统计物理、量子场论、超导 理论等方面的相干态理论，其相干态就是最 小测不准态。
| m | l
由Legendre多项式的正交关系
2 (l m )! Pl ( ) P ( )d ll ' 2l 1 (l m )! 1
70
m l , l 1, ,1,0,1, l 1,l
( 2l 1个)
20
可以定义归一化的θ部分的波函数 （为实数）
70 4
其有解的条件可由判别式给出，即
|K | ˆ ˆ 简记为 A B 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 或 A B | [ A， B ] | 2 这就是测不准关系。 比如
K 2 2 ˆ ˆ ( A) ( B ) 4
2
因为
则有
70
ˆ x ] i [ x， p
ˆx x p 2
* 2 ˆ） （ B d
2 ˆ ) 2 i ( A ˆB ˆ) ˆB ˆA ˆ） 则 I ( ) 2 ( A （ B 0
令
ˆB ˆ iK ˆB ˆA ˆ A
则
2 2 2 ˆ ˆ ˆ ( A) K （ B） 0
这 是 有 关 实 参 数 的 一 元 二 次 方 程
ˆ ，B ˆ两个力学量 设有A 令 ˆA ˆ A ， B ˆB ˆB A
laplace-beltrami operator 本征函数 -回复
laplace-beltrami operator 本征函数-回复Laplace-Beltrami Operator 本征函数引言：Laplace-Beltrami Operator 本征函数是一种在微分几何学和谱几何学中经常使用的数学工具。
本征函数在表征流形的性质和形状以及解决部分微分方程等问题中具有重要的应用。
本文将详细介绍Laplace-Beltrami Operator 本征函数的概念、定义、性质、计算方法以及在实际问题中的应用。
第一部分：概念和定义1. Laplace-Beltrami Operator的引入Laplace-Beltrami Operator 是由法国数学家Pierre-Simon Laplace 和意大利物理学家Eugenio Beltrami 于19世纪提出的。
它是一种在流形上定义的二阶偏微分算子，用于刻画流形的局部性质。
2. 流形的概念在微分几何学中，流形是一个具有局部欧几里得空间结构的空间。
它可以是二维曲面、三维曲面，或者更一般的高维空间。
流形上的点可以通过局部坐标系来描述，从而使得我们可以进行微积分和解析几何的运算。
3. Laplace-Beltrami Operator的定义在流形上，Laplace-Beltrami Operator的定义如下：Δf = div(∇f)其中，Δ是Laplace-Beltrami Operator，f是定义在流形上的函数，∇是梯度算子，div是散度算子。
第二部分：本征函数的性质和计算方法1. 本征函数的定义本征函数是指满足如下方程的函数：Δψ= λψ其中，λ是常数，ψ是定义在流形上的函数。
2. 本征函数的性质- 本征函数在流形上是正交完备的，任意两个本征函数的内积为0。
- 本征函数的本征值可以用来度量流形的几何性质，比如曲率和流形的维度等。
- 本征函数的一组基可以用来展开流形上的函数，从而使得我们可以对流形上的函数进行分析和计算。
动量算符的本征函数
动量算符的本征函数动量算符是量子力学中的一个重要概念，它描述了物体运动的特征。
在量子力学中，动量算符的本征函数是指在特定的动量值下，物体的波函数满足一定的条件。
本文将讨论动量算符的本征函数及其性质。
首先，我们需要了解动量算符及其作用。
动量算符可以表示为：$$\hat{p}=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$其中，$\hbar$是普朗克常数，$i=\sqrt{-1}$，$\frac{\partial}{\partial x}$是对波函数的空间坐标$x$求偏导。
动量算符的作用是将波函数沿着$x$方向推动一定的距离，同时改变它的相位。
对于一个具有确定动量的粒子，其波函数可以表示为：$$\psi(x)=Ae^{i\frac{px}{\hbar}}$$其中，$A$是归一化系数，$p$是粒子的动量。
这个波函数是动量算符的本征函数，因为它满足动量算符$\hat{p}$作用下的本征方程：$$\hat{p}\psi(x)=p\psi(x)$$我们可以看到，当动量算符作用于这个波函数时，得到的结果是其动量的本征值$p$乘以自身。
这表明波函数的形式是固定的，但是其大小和相位会根据动量的不同而发生变化。
通过上述内容，我们可以得出动量算符的本征函数具有以下性质：1. 动量算符的本征函数是沿着$x$方向定向的平面波。
2. 动量算符的本征函数具有确定的动量值。
3. 动量算符的本征函数是归一化的（其积分值为$1$）。
4. 动量算符的本征函数是相互垂直的，也就是说，它们是正交的。
除了以上列举的性质之外，动量算符的本征函数还具有一些其他的性质。
例如，它们可以用来表示任何函数都可以分解为一系列具有确定动量的平面波的线性组合。
因此，动量算符的本征函数在物理学的各个领域中都有重要的应用，比如固体物理、量子化学、粒子物理等等。
总之，动量算符的本征函数是量子力学中的一个基本概念，它描述了物体运动的特征。
本征态和本征函数
本征态和本征函数本征态是指物理系统的一种特殊形态，其特性与真空中的粒子自由态类似，可以认为是自由态的外延。
例如，在电子结构中，本征态是一个确定态，它可以用本征函数来描述。
在原子物理学和低温物理学领域，本征态应用广泛，如描述核星系统、原子或分子结构以及低温量子物质等。
一般来说，本征态是一种被称为稳定态的特殊物理状态，是物理系统在某种输入条件下，在某个时间段内不变的特殊态。
这可以用熵的增长量来理解，由于熵的增大会使物理状态更加稳定，所以本征态的特定形态是熵的最小增量对应的最稳定的物理状态。
此外，本征态是由粒子的振动决定的，而这些振动可以用本征函数来描述。
本征函数又可以称为自由态函数，是描述系统自由态波函数的函数。
自由态波函数可以用两种方式表示：一是矩阵表示法，将本征态的局部空间的坐标的表示的矩阵表示为矩阵，然后求出波函数的解；二是积分方程表示法，由局部空间的坐标表示的波方程结合积分表示法求解出的波函数。
本征函数用于描述本征态的特性，它可以反映系统本征态的能量分布、粒子分布和粒子概率密度，也可以用来表示本征态与其他状态间的作用力。
本征函数可以用多种类型来描述，如简谐态函数、坐标本征函数和功率本征函数等，而这些本征函数也可以用来解释本征态之间的互作用，从而使得研究本征态的特性变得更加明确。
本征态和本征函数在电子结构和原子物理学领域发挥着重要作用，使得我们可以更加准确的描述物质的属性。
本征态的准确性会影响物质的性质，本征函数则可以更具体的描述物质的粒子分布、能量分布以及粒子概率密度的特性。
此外，在低温物理领域，本征态也可以用来解释量子玻色效应，以及可以解释量子物质等现象。
总之，本征态及其对应的本征函数是物理系统稳定态特性的重要表示，在电子结构、原子物理和低温物理等领域应用广泛，发挥着重要作用。
本征态的概念源于熵的增量，利用本征函数可以描述不同本征态间的交互作用，也可以描述本征态的特性。
本征态及其本征函数研究，除了可以加深对物理系统的理解外，还可以探索新的现象，为探索物理宇宙的规律和提高科学技术服务。
共同本征函数
§4.3 共同本征函数 1、测不准关系的严格证明在算符Aˆ的本征态中测量力学量A ，可以得到确定值，并不出现涨落。
如果测量B ，则不一定能得到确定值。
例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定≥∆⋅∆p x对于比较普遍的情况，设有Aˆ，B ˆ两个力学量，令A A A -=∆ˆˆ，B B B -=∆ˆˆ， （注意在经典力学中A A A -=∆）因为Aˆ，B ˆ是厄米算符，所以A ˆ∆，B ˆ∆也是厄米算符。
考虑积分⎰≥∆-∆=0d |)ˆˆ(|)(2τψξξB i AI ，ξ为实数，积分区间取为整个空间。
展开上式，有⎰⎰⎰⎰∆∆+∆∆-∆∆-∆∆=∆-∆∆-∆=τψψτψψψψξτψψξτψψξψψξξd )ˆ(ˆd ]ˆ)ˆ()ˆ(ˆ[d ˆ(ˆ(d ]ˆˆ[ˆˆ()(****2**BB B A A B i A A B i A B i A I ）（）（）（）））（）（）因为Aˆ∆，B ˆ∆均是厄米算符，所以有 ⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（BA B B A i A I （利用了厄米性）而A B B A A A B B B B A A A B B Aˆˆˆˆ)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(ˆˆˆˆ-=-----=∆∆-∆∆ 对⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（B A B B A i A I ，则 0ˆ)ˆˆˆˆ()ˆ()(222≥∆+--∆=）（B A B B A i A I ξξξ令K i A B B Aˆˆˆˆˆ=-，则 0ˆˆ)ˆ(222≥∆++∆）（B K A ξξ这是有关实参数的一元二次方程。
其有解的条件可由判别式给出，即4)ˆ()ˆ(222K B A≥∆∆，简记为2||ˆˆK B A ≥∆⋅∆，或|]ˆˆ[|21ˆˆB A B A ，≥∆⋅∆ 这就是测不准关系。
本征函数的特点
本征函数是数学中重要的概念，其性质受到许多知名的数学家的探讨和研究，其性质复杂且晦涩，部分概念深奥，普通人很难理解。
本征函数具有多种形式，而每种形式都有其特性。
一般来说，本征函数可以分为两类，一类是量子力学中的本征函数（Wavefunction），另一类是分析学中的本征函数（eigenfunction）。
量子力学中的本征函数是描述一个粒子（原子）系统性质的函数，可以分为无量纲和有量纲两类。
其中，无量纲本征函数是描述该粒子单次实验的结果的函数，它无穷地定义为几何的凹凸函数；有量纲的本征函数则是描述该粒子的行为概率在某一状态下的函数。
分析学中的本征函数形式更多，其性质也更丰富。
一般来说，本征函数可以把复杂的函数简单化，有利于理解该函数的性质；其偶对称性也使其具有多样性，如果利用本征函数可以轻松描述和解决相关的问题，而不用深入研究其中的概念和数学推理。
此外，它也可以用来求解复杂的方程，可以用来刻画变量之间的关系，使得一些数学问题能够得到更好的理解和解决。
本征函数在数学中扮演了一个重要角色，它可以为我们理解复杂数学问题和函数提供帮助，也可以为人们解决现实中复杂问题提供思路，是一种高效的研究方式。
在学习及运用数学知识时，本征函数为我们提供了依据。
第一讲算符及其本征值与本征函数
对于本征值有简并说明
•
设函：数Aˆ有的f个某：一本n1征,值n 2,n
为f度简并，属于
, nf
Aˆ
的本征
• 这f个本征函数之间有可能并不正交。即：
•
*ni njd 0, (i j)
• 但是可以证明，这f个本征函数线性可以组合成f个 f
• 独立的新函数：n bi ni , 1, 2, , f
i 1
• 并且这些新函数之间互相正交： *n n d 0,( )
• bi 为叠加系数，显然，各 n 仍是 Aˆ 的函数。
• 即： Aˆn Aˆ bi ni bi Aˆ ni n
i
i
bin ni nn i
• 总之，当 Aˆ 为厄米算符，不管其本征函数是否简
并，都可以得到正交归一的本征函数系。
• 当解 Aˆ 的本征方程时，可能得出 Aˆ 的某一本征
值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性 无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且 属于该本征值的本征函数也有f个。 • 这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量 的值都是一样的。即：
Aˆm Ami i 1, 2,......, f
• 本征值（无简并）为：1, 2 , m , 且m n
• 根据：Aˆm mm, Aˆn nn Aˆ 为厄米算符
• 按定义：
* m
Aˆ
n
d
( Aˆ m )* nd
* m
n
n
d
(m m )* nd
n m* nd m* m* nd m m* nd
(n m ) m* nd 0, n m， m* nd 0
p (r )
1
(2)3/ 2
i
e
厄米算符的本征值和本征函数
d r
*
（3.3.1）
*
它具有下述性质：
iii
i
2
dr 0
（3.3.2）
ii
若 C 1 、 2 为常数 C
C 1 1 C 2 2 C 1 1 C 2 2
1 O
2
O 1
2
2
2
O 1 O
1
因此， 必为厄米算符。得证。 O
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
性质④ 的证明：
O O
n
O n O m
n
m
m
且 O n O m ( m n ) ，因为 O 是厄米算符，它的本征函数 * O 是实数， m O m 。本征方程的共轭方程为
O
* *
m
O m
Om
*
m
由
O
m
n
m
n
的厄米性质，O m n 及O
m
O
n
，及
m O n On m n
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
得
(O m O n )
m
n 0
又因 O n O m
得
m n 0
对 1 和 2 作变换，令
1 1e
ia
,
2
2e
ib
（ a , b 为任意实数）
代入（3）式后得
e
i (b a )
常数函数 本征函数
常数函数本征函数在数学中，我们常常会遇到各种函数，而其中的常数函数是一种特殊的函数。
这篇文章将围绕常数函数和本征函数展开，详细介绍它们的特点和应用。
一、常数函数常数函数简而言之就是一个在其定义域中的所有值都等于常数的函数。
我们可以用以下形式来表示一个常数函数：f(x)=c，其中c是一个固定的数。
与其他函数不同的是，常数函数的表现非常简单，它的图像是一条平行于x轴的直线。
因为不管输入是什么，该函数的输出都是恒定的。
举个例子，考虑函数f(x)=3，无论x取何值，f(x)都等于3，因此它的图像就是一条y=3的水平直线。
常数函数在实际应用中经常被用来表示一些不变的量，比如物理学中的常量、统计学中的平均数等。
它还是很多函数的特例，比如二次函数在没有x^2项的情况下就是一个常数函数。
二、本征函数本征函数，也称特征函数，是线性代数中的一个概念，是一种与线性变换相关的函数。
具体来说，如果一个函数在某个线性空间上满足某种特殊的性质，那么它就是这个线性变换的本征函数。
本征函数的意义在于它们可以将较复杂的线性变换化简为一些较简单的操作。
本征函数的定义有点抽象，我们可以通过一个具体的例子来帮助理解。
考虑一个矩阵A：1, 23, 4它的本征值是λ1=5和λ2=-1，对应的本征向量分别是：[1, 1]和[-2, 1]那么，我们就可以将A表示为：A = 5v1v1^T - v2v2^T其中v1和v2是上面提到的本征向量。
这个式子的意义在于将A 写成了两个矩阵之差的形式，v1v1^T和v2v2^T分别表示一个向量与它的转置的乘积，也就相当于一个矩阵。
这样做的好处是，前者是一个对称正定矩阵，后者是一个对称负定矩阵，它们之间的差就是A。
三、常数函数与本征函数虽然常数函数和本征函数属于不同的领域，但它们的联系是存在的。
具体来说，常数函数也可以看作是一个线性变换的本征函数。
考虑任一实数域上的线性变换T：R→R，即将一个实数映射到另一个实数的函数。
H(三章2讲)算符本征函数系【优质PPT】
第三章：量子力学中的力学量
第二讲：算符本征函数系
一、所有力学量算符都是线性厄密算符
Aˆ
(c11
c2 2 )
c（1 Aˆ 1） c（2 Aˆ
）
2
Ψ*Aˆ dτ= (Aˆ Ψ)* dτ
(, Aˆ ) (Aˆ , )
二、（厄密）算符对易式
0, 称 为 不 对 易
4. 知道体系初始时刻的态函数及其所处的力场，通过解薛定 谔方程即可确定以后各时刻的体系的态函数。
作业：1.
２.证明 厄米算符本征函数的正交归一性。 ３. 试述波函数是Hilbert空间的一个矢量
正因为如此，我们常称波函数为态矢量！
tips:若本征函数本来是归一的，可以把正交与归一合并
本征分立谱：
n * nd 1
m * nd 0
定义：mn＝1， m n
0, m n
即：
m
* nd
mn
( m , n ) mn
三、厄密算符的本征方程
定义：
Aˆ a
如上式，若厄密算符作用于一波函数，结果等于一个常数乘以 这个波函数，则称这个方程为厄密算符的本征方程。
并称a 是Aˆ 的本征值， 为属于a 的本征函数，
测量公设：在任意态下对力学量A进行测量，其测量值必是 相应于算符Aˆ 的本征值{an}之一 ；当体系处于算符A的某一本 征态 n 时，则每次测量值是完全确定的，即为an
cnn n
(n (x ''),n (x ')) (x '' x ')
封闭性：
(n (x ''),n (x ')) (x '' x ')
厄米算符的本征值与本征函数
1、本征值与本征函数
处于ψ 态中，测量力学量A，可得到各种 值，这些值有一定的几率分布。
对于都用ψ来描述其状态的大量相同体系进 行多次测量，所得结果进行统计平均将趋向 于一个确定的值。
见下表：
28
1
(1) A1 p1 A2 p2 A3 p3
A0
(2) A1 p'1 A2 p'2 A3 p'3
p (r)
1 (2 )3/2
ei
p
r
/
为 p/的单色平面波。
28
19
在量子力学中，平面波代表粒子处在动量 一定、在空间各处出现的概率都相同的状态， 这是一种理想化的型。它不能用通常的办 法归一化，而是采用 函数的形式“归一化”。
28
20
(4)一维自由粒子的能量本征态。
则有
px ' (x)
1 ei px ' x/ 2
px '*(x) px "(x) dx ( px ' px")
平面波的“归一化”就用δ函数的形式表示 了出来。
28
18
在三维情况下，动量算符的本征值方程是
i p (r) p p (r)
动量算符的本征值 在直角坐标系中的三个分量px, py和pz 均为实数。动量本征值方程的解是
(A)2 ( Aˆ A)* *( Aˆ A)d | ( Aˆ A ) |2 d 0
如果体系处于一种特殊状态，测量 A 所得 结果唯一确定，即涨落 (A)2 0，
则这种状态称为力学量A的本征态。
28
§34 本征函数系的一般性质
ˆ ) 2 ( p ˆ )2 ( x
求 E 在这个约束条件下的极小值，得到
2 . 4
E min
1 . 2
这正是谐振子的零点能。我们看到，非零的“零点能”是不确定关系的结果。 作业： p.101,#3.8 (参看#2.3)。
6
§3.4 1. 本征函数系的正交性
本征函数系的一般性质
定义：若两个函数 1 ( r ) 和 2 ( r ) 满足
1
(r) 2 ( r )d 0,
则称它们是正交的。 正交性定理：同一个 Hermitian 算符的属于不同本征值的本征函数是彼此正交的。 说明 :(1)若 F 的本征值谱是非简并的和离散的，本征值为 1 , 2 , ，本征函数为
ˆ G ˆ F ˆ )2 , ˆ ) 2 2 i ( F ˆG ˆ ) ( G ( F ˆ ] ( G ˆ )2 , ˆ ) 2 2 i[ F ˆ,G ( F
其中注意
ˆ ] [F ˆ G ] [F ˆ ]. ˆ , G ˆ F,G ˆ,G [ F
和
G （ 和 是常数）同时成立。
该定理也很容易推广到多个算符的情形。 同时本征函数描写的就是几个力学量同时有确定值的状态。 这样，如果算符 F 的本征值 有简并，我们就再引进另一个算符 G ，满足 [ F , G ] 0 ， 并求出 F 和 G 的同时本征函数。如果对于 F 简并的（同时）本征函数对于 G 不是简并的， 那么正交性定理就保证了它们是正交的。 但也可能 F 和 G 的同时本征函数仍然有简并， 我们 就再引进第三个算符， 如此等等， 直到所有的简并完全去除为止。 这时， 一组量子数 ( , , )
本征值和本征函数
本征值和本征函数
本征值和本征函数是物理学中重要的概念，它们被广泛应用于统计力学中的各类问题的解决。
本征值是指系统每个状态的能量等级，它表示该状态的能量有多高。
而相应的本征函数则表示该状态的性质。
本征值的机理可以用微积分和特殊函数之间的某种联系来解释。
假设给定一个定积分，本征值表示在它的相应本征空间中，每个状态经过不同维度变换后最终能量量化结果。
而本征函数则反映了各不同状态的性质。
本征值和本征函数的概念对统计力学的理解非常重要，如类心脏的空间分布、原子振动与能量的转化、力矩的变换等复杂问题，都可以由它们来帮助理解和解决。
它们也被广泛用于各种社会和科学实践中，为许多系统的结构和运转提供了新的本质秩序。
高二物理竞赛课件：量子力学之本征值和本征函数
矩阵。为此，只要
将过去的算符乘以一个 的单位矩阵即可以了。如
任意算符 在 态中的平均，必须考虑矩阵和坐标两
种运算
对自旋求平均
（33）
对坐标和自旋同时求平均
（34）
• 例 证明
并在 解：
态中求
• 还可证明
• 例 在氢原子的
态中，求轨道角动量
的 分量 的平均值
解： 因
所以
•Байду номын сангаас因为 所以
关于 利用
（21） 在 表象中的具体形式，可根据算符的厄米性， 设
可得
于是
这样 写成
（22）
由于 的本征值为1 所以
单位矩阵
则
令
类似可得
（ 为实数） 这样
（23）
（24）
利用
可得
即有
• 由于 和 之间有一个相角不定性（相当于取定 轴
后，
轴取向并未取定，只确定了 轴之间的关
系），习惯上取 泡利矩阵的标准形式为
本征值和本征函数
本征值和本征函数
令 的本征函数为 写出本征方程
，对应的本征值为
，
由此可得 有非零解的条件
• 由此得
即 的本征值为
对应
得
利用归一化条件
得
取 （实际取
中的相角
）
所以
（29）
同理
（30）
二者正交
且构成电子自旋态的一组正交归一完备系，电子的任意 自旋态均可以它们为基矢展开
（31）
注意以下几个问题：
（1） 表象中，
的本征值和本征函数
本征值不随表象而变化，可见
的本征值均为
相应的本征函数为
（32）
本征函数
本征函数
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在数学中，函数空间上定义的线性算子A的本征函数就是对该空间中任意一个非零函数f进行变换仍然是函数f或者其矢量倍数的函数。
更加精确的描述就是
其中λ是标量，它是对应的本征值。
另外本征值微分的解受到边界条件的限制。
当考虑限制条件的时候，只有特定的本征值（）对应于的解（每个对应于一个本征值）。
分析的最有效的方法就是检查其本征矢量是否存在。
例如，是微分算子
的本征函数，对于任意的，有对应的本征值。
如果在这个系统上加上限制条件，如在空间中某两个物理位置，那么只有特定的才能满足这个限制条件，这样对应的离散本征值为. 本征函数在物理学的很多分支中都起着重要作用，其中一个重要的例子就是量子
的解的形式为
其中是本征值为的算子的本征函数。
只有特定的与本征函数相关的本征值满足薛定谔方程这样的事实引出了量子力学的自然基础以及元素周期表，每个定义了一个允许存在系统能量状态。
这个方程成功地解释了氢原子的谱特性被认为是20世纪物理学的一项巨大成就。
根据哈密顿算子的特性，可以知道它的本征函数是正交函数。
但是对于其它算子的本征函数可能并不是这样，如上面提及的。
正交函数
（）有以下特性
其中，在这种情况下集合是线性无关的。
4.3 厄米算符的本征值与本征函数
态问题。
28
28
2 n 2 n
系数 a 还不能完全定下来，它们还有多种 取法。
尽管如此，我们总可以说，厄米算符的本征函数 彼此正交，不管它们是否简并。
28 27
在常见的一些问题中，当出现简并时，为
了把某力学量A的简并态确定下来，往往可以
用A以外的其他力学量的本征值来对简并态进
行分类，此时正交性问题将自动得到解决。
8
本征值方程： 解得
ˆ A A n n n
本征值：A1，A2，A3……组成本征值谱
本征函数： 1, 2, 3 ……组成本函数系
本征函数的正交性：
ˆ 的不同本征值的本征函数相互正交。 属于厄米算符 A
0 当 n m 数学表述 m d nm 1 当 n m 当 m n 时 A A 有 * d 0 正交性 m n n m
这是一种理想化的模型。它不能用通常的办
法归一化，而是采用 函数的形式“归一化”。
28
20
( 4 )一维自由粒子的能量本 征态。
一维自由粒子的Hamiltonian为 2 2 2 ˆ p d ˆ H 2 2m 2 m dx 本征值方程为
d ( x ) E ( x ) 2 2 m dx
函数值相等，即：
e
e
28
iL z ' /
iLz ' 2 /
e
iL z '( 2 ) /
i 2 m
1 e
Lz ' 其中 m 0,1,2,
12
所以，相应的本征函数为 m ( ) ce im
将其归一化，可得归一 化系数 c
本征凸函数
本征凸函数
本征凸函数是一种在数学分析领域中经常被研究的函数类型。
它是指在定义域内具有凸性质的函数，即对于定义域内的任意两个点，函数图像上的连线都在函数图像上方。
本征凸函数具有许多重要的性质和应用，包括在优化问题中的应用、微分方程的解的存在性和唯一性等方面。
本征凸函数的定义可以用数学公式表示，即对于定义域内的任意两个点x和y，以及任意实数t∈[0,1]，有以下条件成立：
f(tx+(1-t)y)≤tf(x)+(1-t)f(y)
其中，f(x)表示函数在点x处的函数值。
本征凸函数的一些基本性质包括：任意两点之间的连线在函数图像上方；函数值在定义域内的任意两点之间以线性方式变化；函数在定义域内具有唯一的最小值点等。
在应用方面，本征凸函数在优化问题中具有广泛的应用。
例如，在线性规划中，本征凸函数可以用来定义目标函数和约束条件，以及描述优化问题的解空间。
此外，本征凸函数还可以用来研究微分方程的解的存在性和唯一性，以及在概率论和统计学中的应用等。
- 1 -。
本征模态函数
本征模态函数本征模态函数是一种具有常见性质的特殊函数，在物理学和数学领域有广泛的应用。
它是一种非线性函数，它的参数可以改变其函数形状，可以用来模拟复杂的实际模型。
它在信号处理、调制解调、电子学等领域都有广泛的应用。
本征模态函数是一种非线性函数，它可以用来模拟复杂的实际模型。
将形状简单的参数描述的函数用来描述复杂的实际对象的状态，常常会遇到解析解不存在或者解析解太复杂的问题，这时候就需要本征模态函数来存在。
它的形式非常简单，具有非常特殊的形状，可以有效的模拟复杂的实际对象的状态。
本征模态函数的应用非常广泛，在电子学、信号处理、调制解调、模式识别等领域具有重要的应用。
如在信号处理中，本征模态函数可以用来帮助分析信号，研究信号混合的持续性特性及仿真信号特性。
在电子学领域，它可以用来描述控制系统的物理本质，帮助设计出具有更佳性能的控制系统。
此外，本征模态函数在模式识别及科学计算领域也有广泛的应用。
实际应用中，本征模态函数的经典应用是振动分析。
振动系统的模型一般都是非线性的，而且具有较多的参数。
由于动态特性的复杂性，用解析法很难获得有效的解，这时就要利用本征模态函数来描述振动参数，以获受更快更准确的解。
此外，本征模态函数还可以应用到金融工程分析中，用来描述股票价格的变化。
本征模态函数的特点就是其函数形状可以根据参数变化而变化，因此可以用来模拟股票价格的变化，具有良好的预测效果。
本征模态函数的应用非常广泛，它既可以应用于信号处理、电子学、调制解调等领域，也可以应用于数学建模、金融工程分析等领域。
它是一种特殊的函数，特点是函数形状可以根据参数变化而变化，能够模拟复杂的实际系统，在计算效率比较低的情况下也能达到良好的结果。
其应用成果既可以用来研究混合信号的性质，也可以用来设计更优秀的控制系统及模式识别系统，甚至可以用来模拟股票价格的变化。
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而 的同时本征函数正是 。对于氢原子还有
而 的同时本征函数正是氢原子的能量本征函数 ，由此我们知道 必然是对 都正交归一的:
作业：无。
§3.5力学量的测量几率和平均值
1.按本征函数系展开
一维情形。假设力学量算符 的本征值集是 (离散的、非简并的)，本征函数系是 。 是任何给定的波函数。按叠加原理，我们可写
定理：若 ，则 和 可以有同时本征函数，即存在 使得 和 （ 和 是常数）同时成立。
该定理也很容易推广到多个算符的情形。
同时本征函数描写的就是几个力学量同时有确定值的状态。
这样，如果算符 的本征值 有简并，我们就再引进另一个算符 ，满足 ，并求出 和 的同时本征函数。如果对于 简并的（同时）本征函数对于 不是简并的，那么正交性定理就保证了它们是正交的。但也可能 和 的同时本征函数仍然有简并，我们就再引进第三个算符，如此等等，直到所有的简并完全去除为止。这时，一组量子数 就完全确定了一个量子态。
注意到 是正交归一的，
所以在上式两端乘以 并对 积分，就得
这就称为按本征函数系展开。
推广：(1)本征值是连续谱，本征函数系是 （ 连续变化），这时展开式是
由于 是按 函数归一的，
所以系数 是
(2)多自由度体系（例如三维运动）。这时要按完备算符集的同时本征函数系展开。系数的计算方法是类似的。
(3)与时间有关的波函数。这里唯一的区别是系数 也变得与时间有关了，成为 。
§3.6不确定关系
若 ，则 和 不能同时有确定值。例如:
这是量子力学的基本对易括号。它在本质上是波粒二象性的反映。例如在粒子的单缝衍射实验中， 越小， 就越大， ，二者不能同时有确定值。所以，运动轨道的概念对微观粒子是不适用的。
对这种不确定性的量的描写如下。定义偏差算符为：
( 是 的平均值)
那么
这个量描写了力学量 的测量值的偏差程度。我们的问题是：如果 ，那么 和 有什么关系？计算的方法如下。
这种情形多半出现在多自由度体系中。对这种体系，一组两两对易的、最大数目的（即是说，完全去除简并的）算符集称为它的完备算符集。完备算符集中算符的数目就是体系的自由度数。
例1.动量算知道它们是按 函数正交归一的，并且任何波函数都可以用它们来展开（函数的Fourier变换）。
求 在这个约束条件下的极小值，得到
这正是谐振子的零点能。我们看到，非零的“零点能”是不确定关系的结果。
作业： p.101,#3.8 (参看#2.3)。
引入
它必然
而另一方面，
其中注意
根据二次三项式的判别式的性质，在 时，
这就是Heisenberg不确定关系。在数学上称为Schwarz不等式。
对于 ，有 ，所以
也有时记
(方均根偏差)
那么，
应用不确定关系的一个例子：谐振子的零点能。现在
所以，
对于谐振子， ，所以 , ，因此，
在极限情况下，不确定关系取“=”号：
那么
对连续谱的情况也做类似的推广。
3.力学量的平均值
平均值的定义是:
(对离散谱)
或 (对连续谱)
它的计算方法是：如果 是已经归一的，即 则
如果 没有归一，则
这个式子不依赖于 的本征值谱是离散的还是连续的。
例子：一维谐振子基态的动量测量几率和动量平均值。
作业：p.100,#3.1(不要时间因子，不做(3));#3.2(不做(5));p.101,#3.6,(提示：改写为虚指数函数);p.102,#3.9，注意：在球坐标中
1.力学量的测量几率
问题：对于一个给定的量子状态，测量某个力学量得到各种测量值的几率是多大？先看简单的一维离散情形。
量子力学的测量几率假设：若任何量子态 按力学量 的本征函数系 展开的结果是
那么对这状态测量 得到测量值 的几率是
其中我们已经知道 的计算公式是
关于几率归一化的验证：如果 是归一的，即 则测量 得到各种测量值的总几率也是归一的：
推广：(1)本征值是连续的。此时要引入几率密度：记测量值在 间的几率为 ，则
是 的测量几率密度，它的计算公式是
(2)对多自由度体系，只问某一个力学量的测量几率，经常会有简并。这时要找到一个包含 的完备力学量集，并求出它们的同时本征函数。设力学量 的离散的本征值 的简并度是 ，简并的本征态是 ，而 的展开式是
(2)若 的本征值谱是非简并的和连续的，那么本征函数可以按 -函数归一化，所以
2. 同时本征函数
如果出现简并（即一个本征值有若干个线性独立的本征函数）的情形，则正交性定理不能保证同一本征值的不同本征函数是彼此正交的。解决的办法是考虑同时本征函数。
定义：若 和 是两个算符，则
称为 和 的对易括号或对易子。在 时，称 和 对易，否则称为不对易。
§3.4本征函数系的一般性质
1.本征函数系的正交性
定义：若两个函数 和 满足
则称它们是正交的。
正交性定理：同一个Hermitian算符的属于不同本征值的本征函数是彼此正交的。
说明:(1)若 的本征值谱是非简并的和离散的，本征值为 ，本征函数为 ，那么波函数是平方可积的，因而可以归一化，所以我们有
其中