一元函数微分学一

第二章一元函数微分学

§ 2.1 导数与微分

(甲) 内容要点

一、导数与微分概念1、导数的定义

设函数y f(x)在点x0的某领域内有定义，自变量x在x0处有增量x ，相应地函数增量y f(x0 x) f (x0) 。如果极限

lim y lim f (x0 x) f(x0) x 0

x

x 0

x

存在，则称此极限值为函数f(x)在x0处的导数(也称微商) ，记作f (x0)，或y x x0，称函数y f (x)在点x0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x x0x ，x x x0，则f (x0) l f i(m x ) f x0( )

x x

0 x x0

我们也引进单侧导数概念。

右导数：f(x) f (x0) f(x0 x) f(x0)

右导数：f (x0) lim lim

x x

0 x x0

x 0 x

左导数：f (x0) lim

f (x) f (x0) lim f (x0 x) f(x0)

x x

0 x x0

x 0x

则

有：

f(x)在点x0处可导f(x)在点x0处左、右导数皆存在且相

2．导数的几何意义与物理意义

如果函数y f (x)在点x0处导数f (x0 )存在，则在几何上f (x0)表示曲线y f (x)在点( x0, f (x0) )处的切线的斜率

切线方

程：

y f (x0) f (x0)(x x0)

法线方程：

1

y f (x0) (x x0) ( f (x0) 0)

f (x0)

dy dx x x0 df (x)

dx x x0

等，并称函数y f (x)在点x0 处可导。如果上面的极限不存在，则

设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为S f (t)，如果f (t0 )存在，则f (t0)

表示物体在时刻t0 时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数y f (x)在点x0 处可导，则f (x)在点x0 处一定连续，反之不然，即函数

y f (x)在点x0 处连续，却不一定在点x0 处可导。例如，y f (x) | x|，在x0 0处连续，却不可导。

4．微分的定义

设函数y f(x)在点x0处有增量x时，如果函数的增量y f (x0 x) f (x0)有

下面的表达式

y A( x0 ) x o( x) ( x 0 )

其中A(x0) 为x为无关，o( x)是x 0时比x 高阶的无穷小，则称f (x) 在x0 处可微，

并把y 中的主要线性部分A(x0) x称为f (x) 在x0处的微分，记以dy x x0 或df ( x) x x0 。

我们定义自变量的微分dx 就是x 。

5．微分的几何意义

y f (x0 x) f (x0) 是曲线y f (x) 在点x0 处相应

于自变量增量x的纵坐标f(x0) 的增量，微分dy x x0是曲线

y f (x)在点M0(x0, f (x0)) 处切线的纵坐标相应的增量。

6．可微与可导的关系

f (x) 在x0处可微 f (x) 在x0 处可导。

且dy x x0 A(x0) x f (x0 )dx

一般地，y f ( x)则dy f (x)dx

dy

所以导数f ( x) 也称为微商，就是微分之商的含义。

dx

7．高阶导数的概念

如果函数y f (x)的导数y f (x)在点x0 处仍是可导的，则把y f (x) 在点x0 处的导数称为y f (x)在点x0 处的二阶导数，记以y x x0，或f (x0)，或d2y x x0等，也

0dx 0

称 f (x)在点x0 处二阶可导。

如果 y f(x)的 n 1阶导数的导数存在，称为 y f(x)的 n 阶导数，记以 y (n)，

d n

y y (n) (x)， d

n y

等，这时也称 y f(x)是n 阶可导。 dx

n

二、导数与微分计算

1．导数与微分表

2．导数与微分的运算法则

(1) 四则运算求导和微分公式 (2) 反函数求导公式

(3) 复合函数求导和微分公式 (4) 隐函数求导法则 (5) 对数求导法

(6) 用参数表示函数的求导公式 (乙) 典型例题 一、用导数定义求导数

例 设 f (x) (x a)g(x) ，其中 g(x)在 x a 处连续，求 f (a) 解： f (a) lim

f(x)

f(a)

lim

(x

a)g(x) 0

g(a)

x a

x a

x a

x a

二、分段函数在分段点处的可导性 例 1 设函数

2 x 2

, x 1 f (x)

ax b, x 1

试确定 a 、 b 的值，使 f(x)在点 x 1处可导。

解：∵可导一定连续，∴ f(x)在 x 1处也是连续的。

f (1 0) lim f (x) lim x 2 1

x 1 x 1

f (1 0) lim f (x) lim (ax b) a b

x 1 x 1

f (x) 在点 x 1处连续，必须有 a b 1或 b 1 a

lim ax b 1 lim a(x 1) a

x1

x 1 x 1 x 1

f (x) 在点 x 1处可导，必须 f (1) f (1)，即 2 a .

x

2

1

lim lim( x 1) 2 x 1 x 1

x1

f (1) lim

f (x) f (1) x1

x1

要使 f (1) l x im 1

f (x x ) 1

f(1) x 1

x 1

要使