一元函数微分学一

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专升本第二章一元函数微分学

第二章讲义2007：36分2008：21分2009：32分2010：42分2011：29分一、导数的概念1、导数的概念左右导数的概念2、可导与连续的关系二、导数的计算导函数导函数基本结果求导法则复合函数的导数隐函数的导数对数求导法参数方程表示的函数的导数高阶导数三、导数的几何意义四、导数的应用1、中值定理1-1中值定理1-2中值定理推论2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用2-2极值2-3最值3、凹凸性、拐点4、洛必达法则5、渐近线一、导数的概念1、导数的概念1．讨论函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 23x x xx x f 在0=x 处的可导性. 2．设函数()x f 可导，且()()011lim12x f f x x→--=-，则()1f '=（） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2-3．设()x f 在1=x 处可导，且()11='f ，则()()=+--→hh f h f h 121lim 0（） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4- 4．设函数()f x 在0x =处满足，()()()03f x f x x α=-+，且()lim0x x xα→=，则()0f '=（）A ．1-B ．1C ．3-D ．3 5．函数()x f 在点0x x =处可导，且()10-='x f ，则()()=+-→hh x f x f h 23lim000A ．32B ．32-C ．23- D ．236．设()1='x f ，则()()=--+→hh x f h x f h 32lim 0（） A ．4 B ．5 C ．2 D ．17．设()x f 为奇函数，则()30='x f 时，()=-'0x f ________．左右导数的概念2、可导与连续的关系1．函数在某点处连续是其在该点处可导的A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件二、导数的计算导函数导函数基本结果求导法则复合函数的导数1．设函数5sin 212π--=x y ，则='yA ．5cos 212π--x x B ．21xx--C ．212x x - D ． 5cos 52122π---x x2．已知lnsin(12)y x =-，求.dy dx隐函数的导数1．设由方程22e xy e y =- 确定的函数为()x y y =，求.|0=x dx dy2．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y y x +=确定的隐函数，求dy dx. 3．由1=++xy y x ①所确定的隐函数()x y y =在1=x 处导数为________．对数求导法1．已知y x =，求.dx dy2．若函数()()()ln 1xf x x x =>，则()f x '=（） A ． ()1ln x x - B ．()()1ln ln ln(ln )x xx x x -+C ．()ln ln(ln )xx x D ．()ln xx x参数方程表示的函数的导数1．曲线231,21,x t y t t =+⎧⎨=-+⎩则1|t dydx ==________．1． x y sin =的三阶导数是（）A ．x sinB ．x sin -C ．x cosD ．x cos -2．设函数()x f 具有四阶导数，且()f x ''=()()4f x =（）A ．B C ．1 D ．3214x --3．设函数()()()()()4321--++=x x x x x f ，则()()=x f 4________． 4．已知()21x f x e -=，则()()20070f =_______．5．若()()x f x f =-，在区间()+∞,0内，()()0,0>''>'x f x f ，则()x f 在区间()0,∞-内A ．()()0,0<''<'x f x fB ．()()0,0>''>'x f x fC ．()()0,0<''>'x f x fD ．()()0,0>''<'x f x f6．设参数方程⎩⎨⎧-=+=.13,122t y t x 所确定的函数为()x y y =，则=22dx yd _______． 7．设函数()y y x =由参数方程33cos ,sin x t y t ⎧=⎨=⎩确定，则224|t d ydx π==（）A ．2-B ．1-C ．D 三、导数的几何意义1．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________． 2．曲线x x y ln =平行于直线01=+-y x 的切线方程是 A ．1-=x y B ．()1+-=x y C ．1+-=x y D ．()()11ln -+=x x y 3．曲线x y ln =上点)0,1(处的切线方程为________．4．曲线22y x x =+-在点M 处的切线平行于直线51y x =-，则点M 的坐标为5．过曲线arctan x y x e =+上的点()0,1处的法线方程为（） A ．210x y -+= B ．220x y -+= C ．210x y --= D ．220x y +-=6．曲线sin 2,cos ,x t y t =⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的切线方程为（）A ．2x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =- 四、导数的应用 1、中值定理1-1中值定理1．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（）A ． x y e =B ．ln ||y x =C ．21y x =-D ．21y x =2．函数()22f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ= _______．3．判断：()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b ≠，一定不存在(),a b ξ∈，使得()0.f ξ'=（）4．设()x f 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(),a b 内（） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0.f ξ'= 5．设()f x '在[],a b 上连续，存在,m M 两个常数，且满足12a x x b ≤<≤，证明： ()()()()212121m x x f x f x M x x -≤-≤-.6．设函数()x f 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，在开区间 ( 0 , 1 )内可导，且()().21,00==f f 证明：在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点x ，使得().12+='ξξf1-2中值定理推论1．设[]1,1-∈x ，则=+x x arccos arcsin （） A ．2π B ．4πC ．0D ．1 2．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且()00f =，则()f x =（） A ．2x x e e + B ．2x x e e - C ．2x x e e -+ D ．2x x e e --2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用1．函数()f x x =_______. 2．方程01sin =-+x x 在区间()1,0内根的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32-2极值1．若函数()2f x ax bx =+在1x =处取得极值2，则a =_______，b =_______．2．下列说法正确的是（）A ．函数的极值点一定是函数的驻点B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对3．若函数()x f 在区间()b a ,内连续，在点0x x =处不可导，()b a x ,0∈ ，则 A ．0x 是()x f 的极大值点 B ．0x 是()x f 的极小值点 C ．0x 不是()x f 的极值点 D ．0x 可能是()x f 的极值点 4．若()()0,000>''='x f x f ，则下述表述正确的是（）A ．0x 是()x f 的极大值点B ．0x 是()x f 的极小值点C ．0x 不是()x f 的极值点D ．无法确定0x 是否为()x f 的极值点 2-3最值1．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小2．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省？3．求点()1,0P 到抛物线2x y =上点的距离的平方的最小值.3、凹凸性、拐点1．设()x f 在区间()b a ,内有()()0,0<''>'x f x f ，则()x f 在区间()b a ,内（） A ．单调减少且凹的 B ．单调增加且凸的 C ．单调减少且凸的 D ．单调增加且凹的2．曲线31x y +=的拐点为（）A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,0D ．()1,1 3．曲线352y x x =+-的拐点是（）A ． 0x =B ．()0,2-C ．无拐点D ．0,2x y ==-4．函数sin y x x =-在区间()0,2π内单调________，其曲线在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内的凸凹性为________的．5．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（）A ．()2,2-B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．(),-∞+∞ 6．曲线x xe y -= 的拐点为A ．1=xB ．2=xC ． ⎪⎭⎫⎝⎛22,2e D ．⎪⎭⎫⎝⎛e 1,11,4、洛必达法则1．312cos limsin()3x x x ππ→-=-A ．1B ．0 CD．2．求011lim .1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭3．计算sin 0lim x x x +→4．sin lim sin x x x x x →∞+-（洛必达法则）1cos sin limlim 11cos sin x x x xx x→∞→∞+-===--.（）5、渐近线1．曲线2232xx y -=的水平渐近线为（） A ．32=y B ．32-=y C ．31=y D ．31-=y 2．曲线1|1|y x =-（） A ．只有水平渐进线；B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线；C ．只有垂直渐近线；D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线.3．曲线xe y x=（）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线4．曲线35arctan 2+=xxy A ．仅有水平渐近线 B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线5．方程xy 1arcsin = 所表示的曲线（）A ．仅有水平渐近线B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线。

数学基本知识：一元函数的微分

数学基本知识：一元函数的微分对于某一个函数F(x)，下面引入一个相关函数来观察其函数极限g(x) = (F(x0 + x) - F(x0))/ x上式中的x0暂视为一个常数。

将上式改写为：g(x,x0) = (F(x0 + x) - F(x0))/ x其中g(x,x0)表示此函数含有参数x0（暂视为常数）。

显然，如果F(x)在x=x0点上连续，则g(x,x0)在x=0这个点上是个待定型0/0。

若g(x,x0)的x=0点是个可去间断点（即其在此点上的左右极限存在且相等），通过重新定义g(0,x0)使其等于g(x,x0)在此点上的极限，则可得到唯一的值g(0,x0) = lim[x→0] g(x,x0)现在，换一种形式表示上式f(x) = g(0,x) = lim[∆x→0] g(∆x,x) = lim[∆x→0] [(F(x + ∆x) - F(x))/ ∆x]其中，将原x换成∆x（表示x的一个小的差分量），将x0换成x （视原x0为变量且用x代之）。

即f(x) = lim[∆x→0] [(F(x + ∆x) - F(x))/ ∆x]这就是通常所用的导函数定义形式。

记为f(x) = d/dx F(x)（或dF(x)/dx、F'(x)）如前所述，这是个一元实函数集上的映射。

如果将导函数的定义写成如下形式f(x) = lim[x'→x] [(F(x') - F(x)) / (x' - x)]则可以看出导函数f(x)其实就是与函数F(x)交点为(x,F(x))和(x',F(x'))的割线之斜率在x'→x时的极限，即过点(x,F(x))的切线斜率。

这就是导函数的几何意义。

我们已经知道，导函数可表示成f(x) = dF(x)/dx。

其中dF(x)/dx 原本只是个“符号”，是映射d/dx F(x)的另一种表示。

如果考虑函数F(x)过点(x,F(x))的切线上的点，其切线上任意两点的差分商∆y/∆x都等于f(x)，换种写法为∆y = f(x)∆x （= F'(x)∆x）令差分无限小，且用dy和dx代之，便有dy = f(x)dx （= F'(x)dx）这就是所谓的微分形式（简称微分）。

9.第三章一元函数微分学(微分的概念)

微商.
特别注意：
(1)微分与导数虽然有着密切的联系,但它们是有区别的；
(2)导数是函数在一点处的变化率,而微分是函数在一点处由
自变量增量所引起的函数增量的主要部分； (3)导数的值只与 x 有关,而微分的值一般与x 和x 都有关. 例 2 求函数 y x2 1在 x=1,x=0.1 时的改变量 y和 dy.
A (x x)2 x 2 2x x (x)2
0
0
0
A 由两部分组成,第一部分是2x x 0
是x的线性函数,当x 0时,
x0 x
x0 x0
x
第二部分(x)2是比x 高阶的无穷小,
由此可见,如果边长改变很微小时,面积的改变量 A可近
似地用第一部分代替.
2 微分的概念
定义如果函数 y f (x) 在点 x 处的改变量 y可以表示为
0
0
dy f (x)x
例 1 求 y x2在 x 1和 x 3处的微分
解函数 y x2在 x 1处的微分为 dy (x2 ) x 2x
x1
函数 y x2在 x 3处的微分 dy (x2 ) x 6x
x3
3 可微的充要条件
定理 2 函数 y f (x) 在点 x 处可微的充要条件是 f (x) 在点 x 处可导,且
解 y f x x f x x x2 1 x2 1 2xx x2,
y x1 21 0.1 (0.1)2 0.21
x0.1
dy f xx x2 1x 2xx,
dy 21 0.1 0.2 x 1 x 0.1
4 复合函数的微分
复合函数的微分法则
设函数 y f (u),u (x)都可微,则复合函数 y f [ (x)]的微分为

高等数学讲义一元函数微分学

第二章一元函数微分学§2、1 导数与微分(甲)内容要点一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义,自变量x 在0x 处有增量x ∆,相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。

如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在,则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数(也称微商),记作0()f x ',或x x y =',x x dxdy=,)(x x dxx df =等,并称函数)(x f y =在点0x 处可导。

如果上面的极限不存在,则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。

导数定义的另一等价形式,令x x x ∆+=0,0x x x -=∆,则0000()()()lim x x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。

右导数:0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数:0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。

2.导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在,则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线的斜率。

切线方程:000()()()y f x f x x x '-=- 法线方程:00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠'设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =,如果0()f t '存在,则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。

一元函数微分学

α、β、γ等表示。
注: (1)无穷小量是一个特殊的变量
(2)无穷小量与有极限变量的关系是：变量y以A为极限的充分必要条件是y可以表示为A与与一个无穷小量的和
即 lim y A y A (lim 0)
定义2 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。
如：lim kx 0(其中k为常数)
x0
1
x0
x
x0
x x0
1
f
(0 )
lim (1
x0
x
)
1 x
2
lim
x0
(1
x 2
)
2 x
2
1
e2
e
f(x)在x=0处有极限存在，必须
得 b e
三、函数的连续性
1、函数的连续与连续函数
定义6 设函数f(x)在点x0及其邻域内有定义并满
足
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim y
x0
0
(△x为x0点处自变量的改变量，△y为相应的函数改变量)
分母的最高次幂系数之比。如
lim
x
2x3 5x3
x2 2x
1 3
2 5
②当分子的最高次幂小于分母的最高次幂时，其极限值
=0
③当分子的最高次幂大于分母的最高次幂时，其极限值
=∞
2、两个重要极限
(1) lim sin x 1
x0 x
注：①该极限呈 " 0 "型
0
②一般形式为： lim
sin (x) 1
(6)对于连续函数(基本初等函数在其定义区间上都是连续
函数)，极限符号与函数符号可以互相交换。

一元函数微分学

第二章一元函数微分学一．先回顾导数的定义：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为．注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义：1．=；2．；要特别关注处的导数有特殊形式：（更特别地，要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。

函数在处可导的充要条件是对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知=A，试求下列极限的值（1）（2）。

例2．研究函数在处的可导性.解：因为同理，可求得.由于，所以在处不可导。

（记住这个结论）练习：设在处可导，求的值.解：（一）因为在处可导，从而在处也连续.所以，即（二）由得.例3．已知，试求在处的导数.解：因为，所以，由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值.如把函数在一点处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。

这里的每一条都是根据导数的定义推出来的，请大家在下面自己试着也推推.如：，求.二．导数的几何意义关于导数的几何意义，主要考察的题型有两种。

一种题型是选择题或判断题。

比如：若函数在处可导，则曲线在处必有切线；（√）；反之，若曲线在处有切线，则在处必可导，则（×）.另一种题型是根据几何意义找切线.例4．求曲线与直线垂直的切线.解：设切点.切线斜率由题意，即故切线方程为下面举一个复杂点的，把前面的知识点窜起来.例5．设为连续函数，且求曲线在点处的切线方程。

（08年研究生考试题）解：由于，且故（前面已讲过理由）而，所以，切线方程为三．导数的四则运算四则求导法则非常简单，但不注意的话，容易犯错误。

下面举几个小例子.例6．求的导数.注意：部分同学可能会犯下面的错误：.例7．设求此题应先化简再求导：注意：个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混.例8．求的导数.解：.四．反函数求导法则若函数，其反函数为.若在的某邻域内连续、严格单调且，则在点可导，且.例9．求的导数.解：设原函数，则其反函数为.根据反函数求导法则.有.五．复合求导法则大家可能还有印象，复合函数的导数是.（与直接套用基本导数表相比，这个2从何而来？）如果记，则，故此题恰好满足等式：（*）这是否是巧合的？我们说不是.事实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则.定理:若函数在可导，而函数在对应的处也可导，则复合函数在处也可导，且或（或.注意：复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如：对函数，如记，则各变量间的关系是：有上式可通过连续使用两次链式法则得到。

第二章一元函数微分学

第二章一元函数微分学一．与导数的定义有关的考点先回顾导数的定义：设函数()x f y =在()x U内有定义，如果极限()()x x x f x f x x 000lim--→存在，则称()x f y =在x 0处可导，x 0称为函数()x f 的可导点，且称上述极限值为函数()x f 在x 0处的导数，记为：|0x dx dy x =或|0x dx dfx =；或简记为()x f 0'．注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义： 1．()x f 0'=()()xf x f x x x ∆-∆+→∆000lim；2．()()()00lim.x fh f f x hx xx →+-'=；要特别关注0x =处的导数有特殊形式：()()()00lim.x f x f f x→-'=（更特别地，()()()()()000lim.00x f x f f f x→-'==如。

要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。

函数()x f y =在x 0处可导的充要条件是()()//00.f x f x -+=对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知()x f 0'=A ，试求下列极限的值（1）()());(lim000A xf x f x x x -=∆-∆-→∆（2）。

()());4(3lim000A xx f x f x x x =∆∆--∆+→∆例2．研究函数()||x x f =在0=x 处的可导性. 解：因为()()()/000lim lim 1000x x f x f x f x x---→→---===-- 同理，可求得()10/=+f .由于()()00//f f +-≠，所以()||x x f =在0=x 处不可导。

（记住这个结论）练习：设()()2,0,1,0.axe xf x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩在0x =处可导，求,a b 的值. 解：（一）因为()f x 在0x =处可导，从而()f x 在0x =处也连续.所以，()()0lim lim ,x x f x f x -+→→=即 1.b = （二）()()()/00010limlim ;0ax x x f x f e fa x x---→→--===- ()()()()22/001120limlim lim 2.0x x x f x f x x xfx xx+--+→→→----====-- 由()()//00f f -+=，得2a =-.例3．已知()x x f 2=，试求()x f 在2=x 处的导数.解：因为2224lim lim(2)42x x x x x →→-=+=-，所以，()2 4.f '=由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个0型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值. 如把函数在一点x 0处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。

《数学分析》第三章一元函数微分学

第三章一元函数微分学一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点微分学是数学分析的核心内容之一，导数是微分学的重要概念，用导数研究函数的性质是数学分析研究函数的一个特征.数学分析中的积分学、级数理论等也与导数有密切的联系.本章首先引入了函数导数与微分的概念；分析了可导性与连续性的联系；进而又讲述了导数的计算与高阶导数；最后介绍了几个比较重要的微分中值定理与导数的应用. 在学习过程中我们要注意导数与微分的概念及其实际意义；微分中值定理及其应用.本章的重点与难点主要有以下几个方面：● 函数导数的概念、可导性与连续性的关系；费马定理、导函数的介值定理；导数的运算（复合函数、反函数的求导法则）；掌握参变量方程所确定的函数的导数；高阶导数的概念及其求法.● 微分（含高阶微分）概念的理解及其运算法则；函数连续性、可导性、可微性之间的关系.● 拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒定理及它们定理的应用推广；极值的三个充分条件及其证明过程；对函数凸性概念的理解及相关命题的证明；函数图象性态的列表表示法.三、本章的基本知识要点（一）导数与微分1. 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若极限)()(lim00x x x f x f x x --→存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作)(0x f ' 类似的，定义函数f 在点0x 处的左导数与右导数：x x f x x f x f x ∆-∆+='-→∆-)()(lim )(0000，)(0x f +'xx f x x f x ∆-∆+=+→∆)()(lim 000右导数和左导数统称为单侧导数．2. 设函数()x f y =定义在点0x 的某邻域()0x U 内．当给0x 一个增量x ∆，()00x U x x ∈∆+时，相应地得到函数的增量为()()00x f x x f y -∆+=∆.如果存在常数A ，使得y ∆能表示成()x x A y ∆+∆=∆则称函数f 在点0x 可微，并称()1式中的第一项x A ∆为f 在点0x 的微分，记作x A dy x x ∆==0或 ()x A x df x x ∆==0.由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于x ∆的高阶无穷小量，由于dy 是x ∆的线性函数，所以当0≠A 时，也说微分dy 是增量y ∆的线性主部．容易看出，函数f 在点0x 可导和可微是等价的. 3. 导数与微分的基本性质.（1）（有限增量公式）若f 在点0x 可导，则()()x x x f y ∆+∆'=∆ 0（0→∆x ）；（2）（可导的充要条件）若函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，则)(0x f '存在⇔)(0x f +'与)(0x f -'都存在，且)(0x f +'=)(0x f -'；（3）（可导与可微的关系）函数f 在点0x 可导和可微是等价的；（4）（可微与连续性的关系）若f 在点0x 可微，则f 在点0x 必连续（反之不真）；（5）（导数的几何意义）导数的几何意义解释是曲线的斜率，即函数f 在点0x 的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点)(0,0y x 的切线斜率若α表示这条切线与x 轴正向的夹角，则)(0x f '.tan α=从而0)(0>'x f 意味着切线与x 轴正向的夹角为锐角；0)(0<'x f 意味着切线与x 轴正向的夹角为钝角；0)(0='x f 示切线与x 轴平行；（6）（费马定理）设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导．若点0x 为f 的极值点，则必有.0)(0='x f我们称满足方程)(x f '的点为稳定点．（7）（达布定理）若函数f 在],[b a 上可导，且)()(b f a f -+'≠'，k 为介于)(a f +'，)(b f -'之间任一实数，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得k f =')(ξ.4.求导（微分）法则.（1）（线性法则）'')'(g f g f βαβα±=±（其中βα,为常数）；（2）（乘积法则）'')'(g f g f g f +=；（3）（商法则）22')'1(,'')'(g g g g fg g f g f -=-=（其中0≠g ）；（4）（复合函数求导法则）)())(()))(((x g x g f x g f ''='（也称链式法则）；（5）（反函数求导法则）dxdydx dy 1=；（6）（莱布尼茨法则）()(),)(0)(k k n kn nk n g f C g f -=∑= 其中)!(!!k n k n C k n -=是组合系数.5. 若函数f 的导函数'f ，在点0x 可导，则称'f ，在点0x 的导数为f 在点0x 的二阶导数，记作()0''x f，即()()()0''00''0limx f x x x f x f x x =--→同时称f 在点0x 为二阶可导．利用数学归纳法可由f 的1-n 阶导函数定义f 的n 阶导函数(或简称n 阶导数)，二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数，函数f 在点0x 处的n 阶导数记作 ()()()00||,0x x n n x x n n dxyd yx f==或相应地，n 阶导函数记作: ()()n n n n dx y d y f或,.这里n n dx y d 亦写作为y dxd n n．6. 一阶微分形式不变性：不管u 是自变量还是中间量，f 的一阶微分始终具有()du u f u df '=)(的形式.7.基本初等函数的求导公式（1）0)'(=c (c 为常数)；（2）1)'(-=αααxx (α为任意实数)；（3）x x x x sin )'(cos ,cos )'(sin -==；（4）x x x x 22csc )'(cot ,sec )'(tan -== x x x x x x c o t c s c )'(csc ,tan sec )'(sec -== （5）xxxxe e a a a ==)'(,ln )'(；（6）).1(ln ,ln 1)'(log xx a x x a == （二）微分中值定理1.罗尔中值定理若函数f 满足如下条件：(i)f 在闭区间[]b a ,上连续；(ii)f 在开区间()b a ,内可导；(iii)()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf .罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线.注定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.2. 拉格朗日(Lagrange )中值定理若函数满足如下条件：()fi 在闭区间[]b a ,上连续；()f ii 在开区间()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()ab a f b f f --='ξ. 显然，特别当()()b f a f =时，本定理的结论即为罗尔定理的结论，这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形．拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf P ，该曲线在该点出的切线平行于曲线俩短点的连线，我们在证明中引入的辅助线函数)(x F ，正是曲线=y )(x f 与直线ab a f b f a f y AB --+=)()()(()(a x -)之差.定理的结论称为拉格朗日公式。

一元函数微分学练习题

一元函数微分学练习题微分学是微积分的一个重要分支，主要研究函数的变化率以及函数在一点的近似线性逼近问题。

在微分学中，一元函数的微分是其中的重要概念之一。

微分的计算可以通过求导数实现，通过求导函数可以获得原函数在某点的切线斜率，进而可以对函数进行更精确的近似。

接下来，我们将给出一些一元函数微分学的练习题，以帮助读者更好地理解和掌握微分学的基本概念和计算方法。

1. 求函数f(x) = x^2在x = 2处的导数。

解析：求导数的方法是对函数进行求导。

对于f(x) = x^2，可以使用求导法则d/dx[x^n] = n*x^(n-1)，其中n是常数。

根据该法则，可以求得f'(x) = 2*x。

因此，当x = 2时，f'(2) = 2*2 = 4。

2. 求函数g(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x的导数。

解析：对于函数g(x)，可以对每一项分别求导数，然后求和得到g'(x)。

根据求导法则，可以得到g'(x) = 9x^2 - 4x + 5。

3. 求函数h(x) = e^x在x = 0处的导数。

解析：函数h(x) = e^x是指数函数，其导数与自身相等。

因此，可以得到h'(x) = e^x。

当x = 0时，h'(0) = e^0 = 1。

4. 求函数k(x) = ln(x)在x = 1处的导数。

解析：函数k(x) = ln(x)是自然对数函数，其导数可以通过求导法则d/dx[ln(x)] = 1/x得到。

因此，k'(x) = 1/x。

当x = 1时，k'(1) =1/1 = 1。

5. 求函数m(x) = sin(x)在x = π/2处的导数。

解析：函数m(x) = sin(x)是正弦函数，其导数可以通过求导法则d/dx[sin(x)] = cos(x)得到。

因此，m'(x) = cos(x)。

当x = π/2时，m'(π/2) = cos(π/2) = 0。

【清华】一元函数微分学

26．设 f (x) = g(a + bx) − g(a − bx) ，其中 g(x) 在 (−∞,+∞) 有定义，且在 x = a 可导，则
f ′(0) =（）
（A） 2a ；（B） 2g′(a) ；（C） 2ag ′(a) ；
（D） 2bg ′(a) .
答案：D
27．设 y = f (cos x) ⋅ cos( f (x)) ，且 f 可导，则 y′ =（）
（A） x0 点的自向量的增量
（B） x0 点的函数值的增量
（C） x0 点上割线值与函数值的差的极限
（D）没意义答C
9． f (x) = x ，其定义域是 x ≥ 0 ，其导数的定义域是（）（A） x ≥ 0 （B） x ≠ 0 （C） x > 0 （D） x ≤ 0
答C
2
第二部分一元函数微分学第 3 页共 28 页
7．设可微函数 f(x)定义在[a，b]上， x0 ∈ [a, b] 点的导数的几何意义是：（）
（A） x0 点的切向量
（B） x0 点的法向量
（C） x0 点的切线的斜率
（D） x0 点的法线的斜率
答C
8．设可微函数 f(x)定义在[a，b]上， x0 ∈ [a, b] 点的函数微分的几何意义是：（）
II 是命题
I 的（）
（A）充分但非必要条件
（B）必要但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分又非必要条件
（答 B）
13．初等函数在其定义域内（）
（A）可积但不一定可微
（B）可微但导函数不一定连续
（C）任意阶可微
（D）A, B, C 均不正确
（答 A）

高等数学一元函数微分学考点

高等数学一元函数微分学考点高等数学一元函数微分学考点高等数学一元函数微分学考点大家生疏了吗？下面我为大家介绍高等数学一元函数微分学考点，希望能帮到大家！(一)导数与微分1.学问范围(1)导数概念导数的定义左导数与右导数函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义与物理意义可导与连续的关系(2)求导法则与导数的基本公式导数的四则运算反函数的导数导数的基本公式(3)求导方法复合函数的求导法隐函数的求导法对数求导法由参数方程确定的函数的求导法求分段函数的导数(4)高阶导数高阶导数的定义高阶导数的计算(5)微分微分的定义微分与导数的关系微分法则一阶微分形式不变性2.要求(1)理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，把握用定义求函数在一点处的导数的方法。

(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

(3)娴熟把握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。

(4)把握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。

(5)理解高阶导数的概念，会求简洁函数的阶导数。

(6)理解函数的'微分概念，把握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

(二)微分中值定理及导数的应用1.学问范围(1)微分中值定理罗尔(Rolle)定理拉格朗日(Lagrange)中值定理(2)洛必达(L‘Hospital)法则(3)函数增减性的判定法(4)函数的极值与极值点最大值与最小值(5)曲线的凹凸性、拐点(6)曲线的水平渐近线与铅直渐近线2.要求(1)理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。

会用罗尔定理证明方程根的存在性。

会用拉格朗日中值定理证明简洁的不等式。

(2)娴熟把握用洛必达法则求各种型未定式的极限的方法。

(3)把握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的单调性证明简洁的不等式。

(4)理解函数极值的概念。

把握求函数的极值、最大值与最小值的方法，会解简洁的应用问题。

(专升本)一元函数微分学复习

求曲线上一点处的切线方程与法线方程
掌握
导数公式及四则运算法则
复合函数的求导方法隐函数的求导方法
参数方程的一阶导数求导法
初等函数的二阶导数求法微分的运算法则
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知识回顾
1．回忆函数的基本导数公式公式1 公式2
C 0（C 为常数）
n n1 ( x ) n x ( n Q)
2
1 3
ln( x 1 ),
y
1 2

1 x 1
2
2x
1 x
1 3( x 1)

x x 1
2

1 3( x 1)
例12 求函数 y e 解
y e
sin 1 x
sin
的导数.
sin 1 x
(sin
sin
1 x
1 x
) e
cos
cos
1
1 ( ) x x
2
1 ln x
2

1 2 1 ln x
2
2 ln x ln x
ln x x 1 ln x
2
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例题讲解
例6 求 y ( x 1) 3 (3 x 1) ( x 2 ) 的导数．
2
解：
ln y ln x 1
1 y y 1 x 1 2
法则
dy d t y t . dx dx x t dy tx
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知识回顾
8．回顾微分的概念．
d y f ( x ) d x
9．回顾微分的运算法则．

一元函数微分学复习ppt

如果y=f(u)，u=g(x)，则y'=f'(u)g'(x)，例如y=sin(x)，则y'=cos(x)*1
乘法法则与商的导数
乘法法则
如果y=f(u)，u=g(x)，则 y'=f'(u)g'(x)+f'(u)g'(x)
VS
商的导数
如果y=f(u)，u=g(x)，则y'=f'(u)g'(x)f'(u)g'(x)/g(x)^2
减法法则
f'(x) = df(x)/dx = d(-f(x)) / dx = -f'(x)
除法法则
$f'(x) = df(cx) / dx = c \times d(f(x)) / dx = c \times f'(x)$
链式法则
概念
如果y=f(u)，u=g(x)，则y'=f'(u)g'(x)
应用
定理的现代形式
如果f(x)和g(x)在[a,b]上可导，且对于任意的x∈[a,b], f'(x)g(x)-f(x)g'(x)≠0，则存在至少一个ξ使得 f''(ξ)g'(ξ)-f'(ξ)g''(ξ)=0。
05
不定积分与定积分
不定积分的概念与性质
总结词
原函数、反导数、可导函数、可积函数、微分学基本定理
导数的定义与性质
导数的定义
函数在某一点的导数表示函数在该点的变化率，即函数因变量相对于自变量变化的快慢程度。
导数的性质
包括运算法则、导数与函数单调性的关系、导数在曲线中的应用等。
微分的定义与性质

一元函数微分学及其应用(课件)

程序运行结果为： value = 34
从而可知物体在 t 3s 时刻的瞬时速度为34 m/s。
22
第二节导数的运算三、复合函数求导法则
引例3 已知 y sin 2x，求 y
解这里不能直接用公式求导，但可用求导法则求：
y (sin 2x) (2sin x cos x) 2[(sin x)cos x sin x(cos x)] 2(cos2 x sin2 x) 2 cos 2x
0.000001
0.0000001 0.00000001
…
事实上，利用极限思想，物体在t0 时刻的瞬时速度可以表示为
v
20.0005
20.00005
20.000005 20.0000005 20.00000005
…
v(t0 )
lim
t 0
s t
ltim0(10t0
5t)
10t0
5
第一节导数的概念
定义3.1 设函数 y f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义，且极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在点 x0 处的导数，记作
f (x0 ) 或
y |xx0
或
dy dx
或
x x0
df (x) dx
x x0
也称函数 f (x) 在点 x0 处可导。
x0
x0
在点 x 0 处的连续性。
又 y f (0 x) f (0) x ，从而
x
x
x
lim
y
lim
x 1
x0 x x0 x
y
x
lim lim 1

第二章一元函数微分学

斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y 1 x 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
x0
y x
d f (x) dx x x0
关于导数的说明：
★
点
导
数是
因变量
在点x
处的变
0
化率,
它
反映了因变量随自变量的变化而变化的快
慢程度.
例: 在经济学中,边际成本率,边际劳动生
产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
★ 如果函数 y f ( x)在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间I 内可导.
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
o 割线 M N 的斜率为
tan f ( x) f ( x0 )
x x0
切线 MT 的斜率为
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
x x0
二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点的某邻域内有定义 ,
解 (a x ) lim a xh a x a x lim a h 1
h0
h
h0 h
a x lim ehlna 1
h0
h
a x lim h ln a h0 h
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a . 特殊 (e x ) e x .

高等数学课件第4章一元函数微分学

2020/5/22
微积分--不定积分概念与性质
4
3. 原函数结构定理：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数C ， F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
（2）若 F ( x) 和 G( x)都是 f ( x)的原函数，则 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
2020/5/22
微积分--不定积分概念与性质
5
三、不定积分
1. 不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意
常数项的原函数称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
即： f ( x)dx F( x) C
积分号
被积函数
被积表达
式
积分变量
2020/5/22
微积分--不定积分概念与性质
2
二、原函数
1.定义: 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的
导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x)
或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C, f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1,
所求曲线方程为 y x2 1.
2020/5/22
微积分--不定积分概念与性质
9
3. 不定积分的性质
性质1 求不定积分和求导数、微分互为逆运算
= 注： f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx
四、基本积分表(1):

考研数学一-一元函数微分学.doc

考研数学一-一元函数微分学(总分：146.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：60，分数：60.00)1.下列结论正确的是1.00）A.B.C.D.2. 1.00）A.B.C.D.3. 1.00）A.B.C.D.4.下列命题①若f(x)，g(x)在x=x0同时可导，且f(x0)=g(x0)，则f'(x0)=g'(x0)②若x∈(x0-δ，x0+δ，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0有相同的可导性(x0-δ，x0+δ)，当x∈(x0-δ，x0+δ)时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0有相同的可导性．若可导，则f'(x0)=g'(x0)④设函数f(x)在[x0，x0+δ]上连续，在(x0，x0+δ内可导(δ＞0)1.00）A.B.C.D.5.下列命题①f(x)在x0的微分是一个雨数②设f(x)在(a，b)可微，则f(x)的微分随x及△x的变化而变化③du与△u一定相等④函数y=f(x)的微分dy=f'(x)△x中的△x一定要绝对值很小中正确的是(A) ①、②． (B) ①、③． (C) ②、④． (D) ③、④．（分数：1.00）A.B.C.D.6.设u=φ(x)在(a，b)可微，则φ(x)=C1x+C2 (c1，c2 1.00）A.B.C.D.7.下列命题正确的是(A) 若导函数有不连续点，则只可能是第二类间断点．(B) 若函数f(x)在(a，+∞)(C) 设函数f(x) 1.00）A.B.C.D.8.下列命题正确的是(A) 若函数f(x)在(-∞，+∞)内处处可微，则其导函数f'(x)必处处连续．(B) 若函数f(x)在点x0可微，则当△x→0时，△y与dy是同阶无穷小．(C) 设函数y=f(u)二阶可导，则由dy=f'(u)du知d2y=d[f'(u)du]=[f'(u)du]'du=f"(u)(du)2．(D) 若函数f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0可微分．（分数：1.00）A.B.C.D.9.设k为常数，函数y=f(x)在点x=x0 1.00）A.B.C.D.10.若函数f(x)在其可导点x处自变量有增量△x=0.2时，对应的函数值增量的线性主部等于0.8，则f'(x)等于(A) 0.4． (B) 0.16． (C) 4． (D) 1.6．（分数：1.00）A.B.C.D.11.若函数y=f(x)在x0处的导数不为0.1，则当△x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是(A) 与△x等价的无穷小． (B) 与△x同阶但非等价的无穷小．(C) 比△x低阶的无穷小． (D) 比△x高阶的无穷小．（分数：1.00）A.B.C.D.12.设f(x)，g(x)定义在(-1，1)上，且都在x=0 1.00）A.B.C.D.13. 1.00）A.B.C.D.14. 1.00）A.B.C.D.15.设函数f(x)在x=0处连续可导，则f(|x|)在x=0处(A) 连续且可导． (B) 连续但不一定可导．(C) 一定不可导． (D) 不一定连续．（分数：1.00）A.B.C.D.16.设f(x)在x=0的一个邻域内有定义，f(0)=0，且当x→0时，f(x)是x2的同阶无穷小，则f(x)在x=0处(A) 不连续． (B) 连续但不可导．(C) 可导且f'(0)=0． (D) 可导且f'(0)≠0．（分数：1.00）A.B.C.D.17.设函数f(x)在区间(a-δ，a+δ)内连续，其中常数δ＞0，又f(a)=0，则函数g(x)=|z-a|f(x)在x=a 处(A) 不连续． (B) 连续但不可导．(C) 可导但g'(a)≠0 (D) 连续且g'(a)=0．（分数：1.00）B.C.D.18.设f(x)在x0处存在左、右导数，则f(x)在点x0处(A) 可导． (B) 连续． (C) 不可导． (D) 不一定连续．（分数：1.00）A.B.C.D.19.(B) f(x)在x=x0处必连续，但未必可导．1.00）A.B.C.D.20.函数f(x)=(x2-1)|x3-x|不可导点的个数是(A) 3． (B) 2． (C) 1． (D) 0．（分数：1.00）A.B.C.D.21. 1.00）A.B.C.D.22.设f(x)在x=x0 1.00）A.B.C.D.23.设f(x)在x=0的一个邻域内有定义，且f(0)=0，则f(x)在x=0可导等价于1.00）A.B.C.24.设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续，但不可导，又g'(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a处可导的(A) 充要条件． (B) 充分非必要条件．(C) 必要非充分条件． (D) 既非充分又非必要条件．（分数：1.00）A.B.C.D.25.设f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不连续，则f(x)g(x)在x0处(A) 必不连续． (B) 可能连续必不可导．(C) 可能可导但导数必不连续． (D) 可能存在任意阶导数．（分数：1.00）A.B.C.D.26.下列说法正确的是(A) 设u=φ(x)在x=x0处可导，而y=f(u)在u0=φ(x0)处不可导，则复合函数f[φ(x)]在x=x0处一定不可导．(B) 设u=φ(x)在x=x0处不可导，而y=f(u)在u0=φ(x0)处可导，则复合函数f[φ(x)]在x=x0处一定不可导．(C) 设u=φ(x)在x=x0处不可导，而y=f(u)在u0=φ(x0)处也不可导，则复合函数f[φ(x)]x=x0处一定不可导．(D) 函数u=φ(x)在x=x0处或函数y=f(u)在u0=φ(x0)处不可导时，复合函数f[φ(x)]在x=x0处未必不可导．（分数：1.00）A.B.C.D.27. 1.00）A.B.C.D.28.设α 1.00）A.B.C.D.29.设函数f(x)处处有定义，在x=0处可导，且f'(0)=1，并对任何实数x和h，恒有f(x+h)=f(x)+f(h)+2hx，则f'(x)等于(A) 2x+1． (B) x+1． (C) x． (D) e x．（分数：1.00）A.B.C.D.30.设f(x) 1.00）A.B.C.D.31.设f(x) 1.00）A.B.C.D.32.下列命题①设函数f(x)在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少有一点ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=0②设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且有一点ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=O，则必存在x1，ξ∈(a，b)，使得f(x1)=f-(x2)③设函数f(x)在(a，b)ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=0④设函数f(x)在[a，+∞)上连续，在(a，+∞) 1.00）A.B.C.D.33.下列结论正确的是(A) 若函数f(x)在(a，b)内可导，则至少有一点ξ∈(a，b)(B) 若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则对任意的ξ∈(a，b)，必存在不同的x1，x2∈(a，b)，使f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)成立．(C) 设不恒为常数的函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使f'(ξ)＞0．(D) 1.00）A.B.C.D.34.下列结论正确的是(A) 若f'(x0)＞0，则在x0的某一邻域内，函数f(x)必为单调增加函数．(B) 若函数f(x)为(a，b)内的严格单调增加函数，且f(x)在(a，b)内可导，则必有f'(x)＞0．(C) 若f'(x0)＞0，则函数f(x)在x0的某一邻域内必有f(x)＞0成立．(D) 若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f'(x)在(a，b)内只有有限个点的值为零，其余为正，则f(x)在[a，b]上一定是严格单调增加的．（分数：1.00）A.B.C.D.35.设y=f(x)二阶可导，f'(x0)=0，f"(x)＜0，并设△y=f(x1+△x)=f(x1)，dy=f'(x1)dx，x1＜x0，△x=dx＜0，则(A) dy＞△y＞0． (B) dy＞△y＞0． (C) △y＜dy＜0． (D) △y＞dy＞0．（分数：1.00）A.B.C.D.36.设f(x)在x0可导且f'(x0)＞0，则存在δ＞0，使得(A) f(x)在(x0-δ，x0+δ)内单调上升．(B) f(x)＞f(x0)，x∈(x0-δ，x0+δ)，x≠x0．(C) d(x)＞f(x0)，x∈(x0，x0+δ)．(D) f(x)＜f(x0)，x∈(x0，x0+δ)．（分数：1.00）A.B.C.D.37.设f(0)=0，f'(x)在[0，+∞) 1.00）A.B.C.D.38.下列结论正确的是(A) 若x0是函数f(x)的极小值点，则在x0的某一邻域内，f(x)在x0的左侧单调减少，而在右侧单调增加．(B) 若x0为函数f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0．(C) 若偶函数f(x)具有连续的二阶导数，且f"(0)＞0，则点x=0一定是f(x)的极小值点．(D) 若f'(x0)=0，但f"(x0)不存在，则点x=x0不可能为函数f(x)的极值点．（分数：1.00）A.B.C.D.39.下列结论不正确的是(A) 设f(x)在[a，b]可导，f'+(a)＞0，f'-(b)＞0，f(b)≥f'(b)，则f'(x)在(a，b)至少有两个零点．(B) 设f(x)在区间(a，b)二阶可导，且f"(x)＞0(＜0)，又x0∈(a，b)，使得f'(x0)=0，则f(x0)是f(x)在(a，b)上的最小(大)值．(C) 设f(x)在(a，b)连续，又f(x)在(a，b)有唯一的极值点x=x0．若x=x0是极小值(极大值)点，则f(x0)是f(x)在(a，b)的最小值(最大值)．(D) 设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(a)=f(b)，但f(x)≠C(常数)，则f(x)在(a，b)既有最大值又有最小值．（分数：1.00）A.B.C.D.40.若f(x)在点x0处取得极小值，则下列结论正确的是(A) 存在小正数δ，f(x)在(x0-δ，x0)内单调减少，在(x0，x0+δ)内单调增加．(B) 存在小正数δ，在(x0-δ，x0)内f'(x)＜0，在(x0，x0+δ)内f'(x)＞0．(C) f'(x0)=0，且f"(x0)＞0．(D) 存在小正数δ，对任意的x∈(x0-δ，x0)∪(x0，x0+δ)，恒有f(x)＞f(x0)．（分数：1.00）A.B.C.D.41.下列命题中正确的是(A) 设x0∈(a，b)，函数f'(x)满足f'(x)＞0(a＜x＜x0)和f'(x)＜0(x0＜x＜b0)，则f(x)在点x=x0处取得它在(a，b)上的最大值．(B) 设f(x)在点x=x0处取得极大值，则存在正数δ＞0，使函数在(x0-δ，x0)中单调增加，在(x0，x0+δ)中单调减少．(C) 设f(x)在区间(-a，a)内为偶函数(其中a为大于零的常数)，则x=0必是f(x)的一个极值点．(D) 设f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数(其中a为大于零的常数)，则f'(0)=0．（分数：1.00）A.B.C.D.42.设f(x)在x=0的某邻域内有二阶连续导数，且f'(0)=0 1.00）A.B.C.D.43.下列命题不正确的是(A) 设(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，又f"(x0)存在，则f"(x0)=0．(B) 设f"(x0)=0 1.00）A.B.C.D.44.设函数f(x)，g(x)在x=0 1.00）A.B.C.D.45.设f(x) 1.00）A.B.C.D.46. 1.00）A.B.C.D.47.设偶函数f(x)具有二阶连续导数，且f"(0)≠0，则x=0(A) 不是f(x)的极值点．(B) 一定是f(x)的极值点．(C) 不是f(x)的驻点．(D) 是否为f(x)的极值点由题没的条件还不能确定．（分数：1.00）A.B.C.D.48.设f(x)在x=0处3阶可导，且f'(0)=f"(0)=0 1.00）A.B.C.D.49.设ab＜0，且f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内除x=0外f'(x) 1.00）A.B.C.D.50.设函数f(x)=(x-x0)nφ(x)(n∈N)，其中φ(x)在点x0处连续，且φ(x0)＞0，则(A) f(x)在x0处必取极值．(B) f(x)在x0处必无极值．(C) 当n为偶数时，f(x)在x0处必取极小值．(D) 当n为奇数时，f(x)在x0处必取极大值．（分数：1.00）A.B.C.D.51.设f(x)在[a，b]有连续导数，x0∈(a，b)是f(x)在(a，b)的唯一驻点，又f'(a)＞0，f'(b)＜0，则点x=x0是(A) f(x)的极小值点． (B) f(x)在[a，b]的最小值点．(C) f(x)在[a，b]的最大值点． (D) f(x)的极大值点，但不是f(x)在[a，b]的最大值点．（分数：1.00）A.B.C.D.52.设-f(x0)=0，f"(x0)＞0，则必定存在一个正数δ，使得(A) 曲线y=f(x)在区间(x0-δ，x0+δ)内是凹的．(B) 曲线y=f(x)在区间(x0-δ，x0+δ)内是凸的．(C) 曲线y=f(x)在(x0-δ，x0]上单调减少，在[x0，x0+δ)上单调增加．(D) 曲线y=f(x)在(x0-δ，x0]上单调增加，在[x0，x0+δ)上单调减少．（分数：1.00）A.B.C.D.53.下列命题正确的是(A) 如果f(x)在x0处可微，则存在δ＞0，f(x)在x0的δ邻域内连续．(B) 如果f'(x)在x0处连续，则存在δ＞0，f(x)在x0的δ邻域内可导．(C) 如果x0是f(x)的极值点，则f'(x0)=0．(D) 如果f"(x0)＞0，则存在δ＞0，曲线y=f(x)在x0的δ邻域内是凹的．（分数：1.00）A.B.C.D.54.下列命题正确的是(A) 如果f(x)在x0点不可微，则f(x)在x0处不连续．(B) 如果f(x)在x0点有f"(x0)≠0，则x0是f(x)的极值点．(C) 如果f"(x0)＞0，则在x0点的附近曲线y=f(x)是凹的．(D) 如果f(x)在x0点可微，且f'(x0)≠0，则x0不是f(x)的极值点．（分数：1.00）A.B.C.D.55.设y=f(x)是过原点的一条曲线，且f'(0)，f"(0)存在，又知有一条抛物线y=g(x)与曲线y=f(x)在原点相交，在该点处有相同的切线和曲率，且在该点邻近此二曲线有相同的凹向，则必有1.00）A.B.C.D.56.设f(x)有连续的二阶导数，其导函数y=f'(x)的图像如右图所示，令函数y=f(x)的驻点的个数为p，极值点的个数为q，曲线y=f(x)拐点的个数为r，则1.00）A.B.C.D.57.方程3xe x+1=0在(-∞，+∞)上实根的个数为(A) 0． (B) 1．(C) 2． (D) 不少于3．（分数：1.00）A.B.C.D.58. 1.00）A.B.C.D.59.设f(x)在(-∞，+∞)内可导，且f'(x)+f(x)＞0，则下列命题正确的是(A) f(x)=0必有实根． (B) f(x)=0必无实根．(C) f(x)=0若有实根必唯一． (D) f(x)=0若有实根，则不止一个．（分数：1.00）A.B.C.D.60.设f(x)一阶可导，则下述结论正确的是(A) 若f(x)只有一个零点，则f'(x)必定没有零点．(B) 若f'(x)至少有一个零点，则至少f(x)有两个零点．(C) 若f(x)没有零点，则f'(x)至多有一个零点．(D) 若f'(x)没有零点，则f(x)至多有一个零点．（分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：19，分数：19.00)61.设函数f(x)在x=00＜|x|＜δ 1.00）填空项1:__________________62.函数y=f(x)和y=g(x)的图形如2-1图所示，则复合函数f[g(x)]在z=1处的导数等于______．1.00）填空项1:__________________63. 1.00）填空项1:__________________64.设f(x)在x=1 1.00）填空项1:__________________65. 1.00）填空项1:__________________66.试说明下列事实的几何意义：(1) 看函数f(x)，g(x)在x0可导且f(x0)=g(x0)，f'(x0)=g'(x0)，则其几何意义是______；(2) 若函数f(x)在x0存在f'+(x0)，f'-(x0)，但f'+(x0)≠f'-(x0)，则其几何意义是______；(3) 若函数f(x)在x=x0 1.00）填空项1:__________________67.设函数f(x)在x=2 1.00）填空项1:__________________68.若函数)y=y(x)南方程(sinx)y=(cosy)x 1.00）填空项1:__________________69.设函数f(x)有反函数g(x)，且f(a)=3，f'(a)=1，f"(a)=2，则g"(3)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________70. 1.00）填空项1:__________________71. 1.00）填空项1:__________________72.设y=arctanx，则y(99)(0)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________73.溶液白深18cm，顶直径12cm的正网锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速率为1cm/min，则此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为______．（分数：1.00）填空项1:__________________74. 1.00）填空项1:__________________75. 1.00）填空项1:__________________76. 1.00）填空项1:__________________77.如果曲线y=ax6+bx4+cx2在拐点(1，1)处有水平切线，则a=______，b=______，c=______．（分数：1.00）填空项1:__________________78. 1.00）填空项1:__________________79.心形线r=a(1+cosθ)(a＞0) 1.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：67，分数：67.00)80.设对任意x恒有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f'(0)=1，求f'(1)．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________81.设f(x) 1.00）__________________________________________________________________________________________82.设 1.00）__________________________________________________________________________________________83.设f(x)在x=1 1.00）__________________________________________________________________________________________84.设函数f(x)在x=0 1.00）__________________________________________________________________________________________ 85.设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x，y满足f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)，其中g(x)=e sinx-xcosx 1.00）__________________________________________________________________________________________86.已知函数f(x)在x=0 1.00）__________________________________________________________________________________________87.设f(x)=minsinx，cosx(-∞＜x＜+∞) 1.00）__________________________________________________________________________________________88. 1.00）__________________________________________________________________________________________89.设函数f(x)具有二阶导数，且f'≠0，求由方程x2e y=e f(y)确定的隐函数y=y(x)的一阶、二阶导数．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 90.求下列函数的n阶导数(n≥1)：(Ⅰ) y=ln(6x2+7x-3)； (Ⅱ) y=xcos4x．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________91. 1.00）__________________________________________________________________________________________92.a，b为常数．问a，b为何值时，f(x)连续且可导，并求出f'(x)．-(1)=2，所以f'(1)=2．1.00）__________________________________________________________________________________________ 93.设f(x)=arcsinx，(Ⅰ) 写出f(x)在区间[0，b](0＜b＜1)上的拉格朗日中值公式；(Ⅱ) 证明公式中的ξ由b唯一确定；(Ⅲ) 1.00）__________________________________________________________________________________________94.设函数f(x)在(-∞，+∞) 1.00）__________________________________________________________________________________________ 95.设f(x)与g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，求证：存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 96.设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且1.00）__________________________________________________________________________________________97.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)·f(b)＞0 1.00）__________________________________________________________________________________________ 98.设0＜a＜b，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得1.00）__________________________________________________________________________________________ 99.已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得1.00）__________________________________________________________________________________________100.设f(x)在[0，1]可导，f(0)=0，f'(1)=0，求证：存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=f(ξ)．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 101.设f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)=f(0)=f'(1)=f'(0)=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=f(ξ)．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 102.设f(x)在[a，b]上可微，且f'(a)＜f'(b)，证明：对任一适合．f'(a)＜c＜f'(b)的c，存在ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=c．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 103.设a＞0，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又f(a)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得1.00）__________________________________________________________________________________________104.设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，证明：在(0，1)内至少存在一点ξ，（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________105.设f(x)在[0，1](Ⅰ) 在(0，1)内至少有一点ξ 1.00）__________________________________________________________________________________________106.设g(x)在区间[a，b](Ⅰ) f(x)在点a处右连续，在点b处左连续；(Ⅱ) 在(a，b)内至少有一点ξ 1.00）__________________________________________________________________________________________ 107.设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明：在(a，b)内存在两点ξ，η，使得(e2a+e a+b+e2b)[f(ξ)+f'(ξ)]=3e3η-ξ．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 108.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，证明：对任何0＜C＜1，存在ξ，η满足0＜ξ＜η＜1，使得cf'(ξ)+(1-c)f'(η)=0．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________109.设函数f(x)在[0，π] 1.00）__________________________________________________________________________________________ 110.设函数f(x)在[a，b]上可微，f'(a)＜0，f'(b)＞0，求证：在区间(a，b)内必有一点ξ，使得f'(ξ)=0．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________111.若函数f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞) 1.00）__________________________________________________________________________________________ 112.设f'(x)在[a，b]上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，f'(a)f'(b)＞0，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 113.设a＜c＜b，f(x)，g(x)都在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，f(C)=g(C)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 114.设f(x)在[a，b]上有二阶导数，且f(a)=f(b)，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得1.00）__________________________________________________________________________________________115.若f(x) 1.00）__________________________________________________________________________________________ 116.已知函数g(x)在[a，b]上连续，函数f(x)在[a，b]上满足_f"(x)+g(x)f'(x)-f(x)=0，又f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在[a，b]上恒为常数．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________117.确定常数a与b 1.00）__________________________________________________________________________________________118.确定常数A与B的值，使得f(x)=x-(A+Bcosx)sinz当x→0时是x数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 119.设f'(-x)=x[f'(x)-1]且f(0)=0，求f(x)的极值．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 120.设函数f'(x)=x+acosx(a＞1)在区间(0，2π)内有极小值，且极小值为0，求函数在区间(0，2π)内的极大值．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________121. 1.00）__________________________________________________________________________________________122. 1.00）__________________________________________________________________________________________123.设曲线y=ax2+bx+c 1.00）__________________________________________________________________________________________124.试求通过点(1，1)的A线y=f(x) 1.00）__________________________________________________________________________________________125. 1.00）__________________________________________________________________________________________ 126.证明：当x＞0时，(x2-1)lnx≥2(x-1)2．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________127. 1.00）__________________________________________________________________________________________128.证明：当x＞0 1.00）__________________________________________________________________________________________ 129.证明：当x∈(-∞，+∞)日时e x+e-x≤2+x(e x-e-x)．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________130.设a＞1，n≥1, 1.00）__________________________________________________________________________________________131.设1＜a＜b 1.00）__________________________________________________________________________________________132.设b＞a＞0 1.00）__________________________________________________________________________________________ 133.证明：(a+b)e a+b＜ae2a+be2b当a≥0，b≥0，且a+b＞0，a≠b时成立．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________134. 1.00）__________________________________________________________________________________________135.设函数f(x)在(-∞，+∞)上有界并具有连续导数，且存在常数M＞0有|f(x)+f'(x)|≤M 1.00）__________________________________________________________________________________________ 136.设x∈[0，2]时，有|f(x)|≤1，|f"(x)|≤1，证明：对于x∈[0，2]，有|f'(x)|≤2．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________137.设f(x)在区间[0，1]上二阶可导且有f(0)=f(1)=0，minf(x)=-1，证明：1.00）__________________________________________________________________________________________ 138.设不恒为常数的函数f(x)在闭区问[a，b]上连续，在开区问(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)＜0．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________139. 1.00）__________________________________________________________________________________________ 140.设a为常数，讨论方程x2=ae x的实根的个数及每个根所在的范围．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________141. 1.00）__________________________________________________________________________________________142.设f(x)在(-∞，a) 1.00）__________________________________________________________________________________________143.设f(x)在x≥a时连续，在x＞a 1.00）__________________________________________________________________________________________144.设f(x)在[0，1]上连续，且(x)＜1 1.00）__________________________________________________________________________________________ 145.证明：e x+e-x+2cosx=5恰有两个实根．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 146.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，f(0)=f(1)=0，对任意的x∈(0，1)，f"(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0，证明：对任何常数0＜k＜1，存在唯一的ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=kM．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________。

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恒有 f (x) A .
A的邻域,
A
A
x0的空心邻域A,
该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在
A的邻域内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
的几何解释
0
x0 x0 xx00 x 0 x0 x0 x0 x0
f (x)
x
.
1. 函数的极限 lim f ( x) A x x
0, 0, 当 0 | x x0 | δ 时 ,
恒有 f (x) A .
lim f ( x) A 的几何解释
x x
y
A的邻域,
A A
A
x0的空心邻域,
该邻域内所有点 x
的纵坐标 f(x)落在
A的邻域内，
即相应的点(x,f(x))
落在绿色区域内.
0
x0 x0 x0
§1 一元函数微分学
主目录（1 – 18）
1 函数极限的几何解释
3 x 时的极限
5 数列的极限 7 函数的连续性 9 微分的几何意义
2 函数的左极限
4 x+ 时的极限
6 无穷大 8 导数的几何意义
对函数进行全面讨论并画图：
10 y xex
11 y x
x
13
y
arccos
x x
16 y cos2x
落在绿色区域内.
y
f (x)
A+
A
A–
–N
0
N
x
3. x 趋于无穷大时的极限 lim f (x) A 的几何解释 x A的邻域, N > 0, 对满足 |x| > N 的一切点 x, 其相应的曲线上的点

一元函数微分学一

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数学基本知识：一元函数的微分

9.第三章一元函数微分学(微分的概念)

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