几何最值之三角与路径合
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
几何最值之费马点问题【热点专题】- 中考数学考点总复习高分导航(全国通用)(原卷版)
问题分析“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。
主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。
（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题模型展示：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.当点P满足△APB＝△BPC＝△CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A （这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）费马点的性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
最值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。
证明过程：专题37 几何最值之费马点问题方法技巧将△APC 边以A 为顶点逆时针旋转60°，得到AQE ，连接PQ ，则△APQ 为等边三角形，PA=PQ 。
即PA+PB+PC=PQ+PB+PC ，当B 、P 、Q 、E 四点共线时取得最小值BE【例1】如图，四边形 ABCD 是菱形，A B =6，且△ABC =60° ，M 是菱形内任一点，连接AM ，BM ，CM ，则AM +BM +CM 的最小值为________．【例2】如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM.（1）求证：△AMB△△ENB ；（2）△当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；△当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.EA DB C NM题型精讲1．如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME 的最小值为______．2．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且△ABC=△ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）A．332B．233C．333D．4333．如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME 的最小值为______．4．已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为26，求正方形的边长．AB CDMEAB CDMEFGEMDCBAHFGEMDCBA提分作业5．已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。
三角形中点与几何最值问题
三角形中的中点（讲义）课前预习先在图上走通思路，然后填空：已知：如图，在四边形ABCD中，AD// BC, E是CD的中点，若AB=AD+BC, / ABC=50°,求/ BAE 的度数.A思路分析：①因为AD// BC, E是CD的中点，考虑延长AE交BC的延长线于点F;②进而利用全等三角形的判定___________ ，证明___________ 罕___________ ;③由全等可得______________________ ;④结合已知条件AB=AD+BC,得AB= ________ ，从而/ BAE= _______ ，所以在△ ABF中，根据三角形的内角和等于180°得, / BAE= _______ .知识点睛1. 中位线(1) ______________________________________________ 三角形的中位线：______________________________________________________ ;(2) 三角形中位线定理：________________________________2. 遇到中点常见的五种思路(1) ______________________________________________ 遇到等腰三角形底边的中点，考虑_____________________________________ ；(2)遇到直角三角形斜边的中点，考虑____________________ ；(3)遇到三角形一边上的中点，考虑______________________ ；(4)遇到“平行夹中点”，考虑__________________________ ；DD(5)遇到多个中点，考虑(或构造) __________________________ L精讲精练1. 如图，点D, E, F分别是△ ABC的边AB, BC, AC的中点，若△ DEF的周长为10cm,则厶ABC的周长为________ .第1题图第2题图2. 如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是（）A .线段EF的长逐渐增大B. 线段EF的长逐渐减小C. 线段EF的长保持不变D .线段EF的长与点P的位置有关3. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点.若/ ACB=66°，/ CAD=20°，则/ EFG= ________ .第3题图第4题图4. 如图，B D，C E分别是/ ABC 和/ ACB的角平分线，已知AG丄BD，AF丄CE. 若BF=2，DE=3，CG=4，贝ABC 的周长为8.5. 如图，M 是厶ABC 的边BC 的中点，AN 平分/ BAC ，BN 丄AN 于点N ,若 AB=10， A . 38 BC=15, MN=3,则厶ABC 的周长为( )C . 40D . 41B . 39 第5题图 第6题图6. ABC 中， NP .有以下结论:/ BAC=60° BN , CM 为高，P 是BC 的中 如图，在锐角三角形 点，连接MN ，MP ， ①NP=MP ;②当/ABC=60° 时，MN // BC ;③ BN=2AN ;④AN:AB=AM: AC .其中正确的有（A . 1 个B . 2 个C .7. 如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC , 中点，且AF 丄AB . A . 2 2 B . 点E 在BC 边上，AE=BE ,若 AD=2.7, AF=4, AB=6，贝U CE 的长为( 2 3 -1 C . 2.5F 是CD 的 ) 第7题图 第8题图如图， 中占 I 八、、， A . 35在直角梯形 ABCD 中，AB // CD , 且CD=CE ，贝U/ EAD 的度数为（ ° B . 45° C . 55° / ADC=90° / C=70°)D . 65°E 是BC 的9. 如图，AB// CD, E, F分别为AC, BD的中点.若AB=5, CD=3，贝U EF的长为____________ .第9题图第10题图10. 如图，在△ ABC中，/ B=2Z C,AD丄BC于点D,M为BC的中点.若AB=10cm,则DM的长为_____________ .11. 如图，在△ ABD 中，C 是BD 的中点，/ BAC=90° / CAD=45° 求证：AB=2AC.12. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC, E, F分别是AB, CD的中点，AD, BC的延长线分别与EF的延长线交于点H，点G,则/ AHE ________ Z BGE.（填> , 二或< )【参考答案】课前预习②ASA , △ ADE, △ FCE③AD=FC④FC+BC=BF,/ F, 65°知识点睛1. （1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（2）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半2. （1）三线合一（2）直角三角形斜边中线等于斜边的一半（3）倍长中线（4）延长证全等（5）中位线精讲精练1. 20cm2. C3. 23°4. 305. D6. C7. D8. A9. 110. 5cm11. 证明略12. =E三角形中的中点（随堂测试）1. 如图，D是厶ABC内一点，BD丄CD, AD=6, BD=4, CD=3, E, F, G, H分别是AB, AC, CD, BD的中点，则四边形EFGH的周长为________________ :2. 如图，在Rt A ABC中，/ ACB=90° D是斜边AB的中点，DE丄AC于点E.若DE=2, CD=2亦，贝U BE的长为_____ .B3. 已知在Rt A ABC中，Q为斜边AB的中点，P是斜边AB上一动点（不与点A,Q, B重合），分别过点A, B向直线CP作垂线，垂足分别为E, F.若QE=3, 则QF的长为________ .【参考答案】1. 112. 423. 3三角形中的中点（习题）例题示范例1:如图，已知AB=12, AB丄BC于点B, AB丄AD于点A, AD=5, BC=10, E 是CD的中点，连接AE, BE,则BE的长为 ________ .思路分析：1. 平行夹中点，考虑延长AE得全等，则FC=AD=5.2. 在Rt A ABF 中，AB=12, BF=5，由勾股定理得，AF=13.1 133. 由直角+中点，得BE=丄AF=^-.2 2巩固练习1. 如图，在△ ABC中，AB=AC=9cm, AD丄BC, M为AD的中点，直线CM交AB于点E, F为CE的中点，连接DF，贝U DF的长为__________ .第1题图第2题图2. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E, F分别是AB, CD的中点.若AD=BC=8, EF=7.6,则厶PEF的周长为 ______________ .3. 如图，在△ ABC中，/ ACB=52° D, E分别是AB, AC的中点.若点F在线段DE 上，且/ AFC=90°,则/ FAE= _______ .第3题图第4题图4. 如图，在Rt A ABC中，/ ACB=90° D , E分别是AC, AB的中点.若DE=3, CE=5，贝U AC 的长为__________ .5. 如图，在△ ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF丄AE于点F，若AB=5, AC=3，贝U DF 的长为 _______ .6.如图，MN为过Rt△ ABC的直角顶点A的直线，且BD丄MN于点D , CE丄MN于点E, AB=AC, F为BC的中点，连接DF , EF.求证：DF=EF.7.如图，已知AD ABC的角平分线，ABvAC,在AC上截取CE=AB, M,N分别为BC, AE的中点.求证：/ DAN=Z MNC .思考小结我们已经学过一些常见的组合搭配及其对应的思考角度，请根据特征补全图形.直角相关的搭配和用法：（1）边：勾股定理（2）角：直角三角形两锐角互余（3）面积：直角边看成高（等面积结构）（4）固定结构和用法：①直角+中点（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）②直角+特殊角（由特殊角构造直角三角形）③直角+角平分线（等腰三角形三线合一）④弦图结构中点相关的搭配和用法:(2)直角三角形斜边的中点，考虑直角三角形斜边中线等于斜边的一半(3) 三角形一边上的中点，考虑倍长中线(4) 平行夹中点，考虑延长证全等(5) 多个中点，考虑(或构造)中位线【参考答案】巩固练习1. 3cm2. 15.63. 64°4. 85. 16. 证明略7. 证明略1.1.2.2.3.3.几何最值问题（讲义）知识点睛解决几何最值问题的理论依据①两点之间，线段最短（已知两个定点）②垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）解决几何最值问题的主要方法是__________ 通过变化过程中_______________ 的分析，利用_________ 、_______________ 手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的_____________ 而解决问题.几何最值问题基本结构分析①利用几何变换进行转化②利用图形性质进行转化精讲精练1. 如图，在Rt A ABC 中，/ C=90° / ABC=60° 点D在BC边上，且CD=1,将厶ABC沿直线AD翻折，点C恰好落在AB边上的点E处•若P是直线AD 上的动点，则△ PEB周长的最小值是_____________ .第1题图第2题图2. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A. （0，0）B. （0，1）C. （0，2）D. （0，3）3. 如图，/ AOB=60°点P在/ AOB的平分线上，OP=10cm, E，F分别是/ AOB的两边OA, OB上的动点，当△ PEF的周长最小时，点P到EF的距离是（）A. 10cmB. 5cmC. 10 3 cmD. 5、3 cm4. 如图1甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建 一座过街天桥(注意：天桥必须与街道垂直)•请按下面的要求作图.(1)桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？在图 1中完成.(2) 桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？在图2中完成.5. 如图，已知直线a // b ,且a 与b 之间的距离为4,点A 到直线a 的距离为2, 点B 到直线b 的距离为3, AB=2 30 .在直线a 上找一点M ，在直线b 上找点N ,满足 MN 丄a 且AM+MN+NB 的值最小，则此时 AM+NB=()第6题图 AB=4, BC=8, E 为CD 边的中点，若P , Q 为BC 边上的两个动点，且PQ=2，则当BP= ________ 时，四边形APQE 的周长 最小.C . 10D . 12 第5题图6.如图，在长方形 ABCD 中, 甲ab7.如图，两点A, B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8, B到MN的距离BD=4, CD=4,点P在直线MN上运动，则PA — PB的最大值为8. 点A，B均在由面积为1的相同小长方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示•若P是x轴上使得PA—PB的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，贝U OP OQ=9. 如图，/ MON=90°长方形ABCD的顶点A，B分别在0M， ON上，当点B 在ON上运动时，点A随之在0M上运动，且长方形ABCD的形状和大小保持不变•若AB=2，BC=1，则在运动过程中，点D到点O的最大距离为( )A. 、2+1B. .5第9题图10. 如图，点P在第一象限，△ ABP是边长为2的等边三角形，当点A 在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，则在运动过程中，点P到原点的最大距离是_______ •【参考答案】知识点睛2. 转化，不变特征，几何变换、图形性质，基本结构精讲精练1. 1 、32. D3. B4. 略5. B6. 47. 4.28. 39. A10. V .3几何最值问题（随堂测试）2. 如图，在厶ABC 中，/ ACB=90° AC=2, BC=1,点A , C 分别在x 轴、y 轴上.当 点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，则在运动过程中，点 B 到原 点0的最大距离为 _____________ .【参考答案】1. (1, 0)，(-3, 0)2. 1x2 如图，在平面直角坐标系中，长方形 OACB 的顶点0在坐标原点，顶点A ，B分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3, OB=4. D 是OB 边的中点，E 是x 轴上的一个动点，当厶CDE 的周长最小时，点E 的坐标为 ;当| DC | 的值最大时，点 W E 的坐标为 1. B DCOE A ‘yi 第1题图几何最值问题（习题）例题示范例1:如图，已知/ AOB的大小为a, P是/ AOB内部的一个定点，且0P=2, E, F分别是OA, 0B边上的动点•若△ PEF周长的最小值为2,则a=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°思路分析：1. 分析定点、动点.定点：P动点（定直线）：E （射线OA）, F （射线0B）和最小（周长最小）对称到异侧2. 根据不变特征分析判断属于轴对称最值问题，可调用轴对称最值问题的处理方式：作点P关于OA的对称点P',点P关于OB的对称点P','连接P'P','交OA于点E,交OB于点F，此时△ PEF的周长取得最小值.3. 设计算法.如图，由题意得OP=OP，=P P，=2，所以△ OP'P'是等边三角形，故a=30°.巩固练习1.如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt A OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，.. 3），P为斜边OB上一动点•若点C的坐标为1（才，0），则PA+PC的最小值为（）A. B.』C . 3 19D. 2 72 2 22.如图，已知A，B两点在直线I的异侧，A到直线I的距离AM=4, B到直线l的距离BN=1,且MN=4.若点P在直线I上运动，则PA- PB的最大值为3 41B. 4153. 已知点A，B均在由面积为1的相同小长方形组成的网格的格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，若P是x轴上使得PA+PB的值最小的点，Q是y 轴上使得|QA- QB|的值最大的点，贝U OP OQ= ___________ .4. 如图1, A , B 两个单位位于一条封闭街道的两旁(直线 l i , I 2分别是街道的两边)，现准备合作修建一座过街人行天桥.A■ l i 丨2 車B图图2(1) 天桥建在何处才能使由 A 经过天桥走到B 的路程最短？在图2中作出 此时桥PQ 的位置.(注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直)(2) 根据图1中提供的数据计算由A 经过天桥走到B 的最短路程.(单位： 米)5. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2,当点A 在x 轴上运动时，点D 随之在y 轴上运动，则在运动过程中，点 B 到原点0的最大距离为 ______________ .【参考答案】巩固练习1. B2. A3. 34. (1)略(2)由A 经过天桥走到B 的最短路程是85米5. 1 +、・ 51112。
初中几何最值问题解题技巧
初中几何最值问题解题技巧初中几何最值问题是一个比较常见的问题，通常涉及到线段、角度、面积等几何元素的最小值或最大值的求解。
下面将详细讲解一些常见的解题技巧：1.利用轴对称性转化：对于一些具有轴对称性的几何图形，可以利用轴对称性将问题转化为更简单的问题。
例如，对于一个关于直线对称的图形，可以找到对称轴，然后将问题转化为求解对称轴上的点到原图形的最短距离或最大距离。
2.利用三角形不等式：三角形不等式是解决几何最值问题的重要工具。
例如，对于一个三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这些不等式，可以推导出一些关于几何元素的最值关系。
3.利用特殊位置和极端位置：在解决几何最值问题时，可以考虑特殊位置或极端位置的情况。
例如，对于一个矩形，当它的一条对角线与矩形的一条边垂直时，该对角线的长度达到最小值。
对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的延长线垂直时，该三角形的面积达到最小值。
4.利用几何定理：几何定理是解决几何最值问题的有力工具。
例如，对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的中线重合时，该三角形的周长达到最小值。
对于一个四边形，当它的一条对角线与另一条对角线的中线重合时，该四边形的面积达到最小值。
5.利用数形结合：数形结合是解决几何最值问题的常用方法。
通过将几何问题转化为代数问题，可以更容易地找到问题的解。
例如，对于一个圆上的点到圆心的距离的最大值和最小值，可以通过将问题转化为求解圆的半径的平方的最大值和最小值来解决。
以上是一些常见的初中几何最值问题的解题技巧，希望能够帮助你更好地解决这类问题。
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
求解三角形最值问题的两种路径
解题宝典三角形最值问题主要有：（1）求三角形面积的最值；（2）求三角形周长的最值；（3）求三角形某个角的最值；（4）求三角形某条边长的最值.这类问题具有较强的综合性，通常要灵活运用勾股定理、正余弦定理、三角形的性质、不等式的性质，以及三角函数的定义、性质、图象等来解题.下面主要谈一谈求解三角形最值问题的两种路径.一、利用三角函数的性质在求解三角形最值问题时，我们可以根据勾股定理、正余弦定理，将三角形的边、角、周长、面积用三角函数表示出来，这样就可以将问题转化为三角函数最值问题,利用三角函数的单调性、有界性、周期性快速求得最值.例1.已知ΔABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若c =1，cos B sin C +()a -sin B cos ()A +B =0．(1)求角C 的大小；(2)求ΔABC 面积的最大值．解：(1)C =π4；（过程略）(2)由（1）可知c =1,C =π4，∴2R =c sin C =a sin A =bsin B =2，得sin C ，∴S ΔABC =12ab sin C=R sin A ∙2R sin B =A sin B A sin æèöøπ4+A=12sin A cos A +12sin 2A=14sin 2A -14cos 2A +14=æèöø2A -π4+14，∵C =π4，∴A +B =3π4，∴0<A <3π4，∴-π4<2A -π4<5π4，由正弦函数的单调性和图象可知sin æèöø2A-π4≤1，∴0æèöø2A -π4+14+14，∴ΔABC 面积的最大值为14．我们先根据正弦定理求得sin C 的值，即可根据三角形的面积公式求得ΔABC 面积的表达式；然后通过三角恒等变换将目标式变形为只含有一个角A 和正弦函数的式子，即可根据正弦函数的单调性、图象，以及角A 的取值范围求得三角形面积的最值.在求得目标式后，往往要利用三角函数的基本公式对目标式进行三角恒等变换，使其化为最简形式：只含有一个角和一种三角函数名称的式子，这样便于直接运用三角函数的性质、图象求最值.例2.已知ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a sin A +C 2=b sin A ．(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，c =1，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)B =π3；（过程略）(2)∵c =1,B =π3，由正弦定理a sin A =csin C，可得a =c sin A sin C =sin A sin C =sin æèöøC +π3sin C=12sin C +2cos Csin C =12+∙1tan C，∵ΔABC 为锐角三角形，B =π3，∴ìíîïï0<C <π2，0<2π3-C <π2，∴π6<C <π2，∴0<1tan C <3，∴12<12+∙1tan C<2，由三角形面积公式得S ΔABC =12ac sin B =èöø÷12∙1tan C，<S ΔABC <∴ΔABC 面积的取值范围为èø．我们运用正弦定理和三角形的面积公式，就可以快速求得ΔABC 面积的表达式.该式中含有1tan C，需根据正切函数的有界性和单调性，以及角C 的取值范围求得最值.这就要求我们熟记正弦、余弦、正切函数的单调性，以及一些特殊角的三角函数值.例3.已知在△ABC 中，sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin C .44解题宝典(1)求A ；(2)若BC =3，求ΔABC 周长的最大值．解：(1)A =2π3．（过程略）(2)∵a =BC =3,A =2π3,∴2R =a sin A=23,∴C ΔABC =a +b +c =3+b +c =3+2R sin B +2R sin C=3+23()sin B +sin C =23éëêùûúsin B +sin æèöøB +2π3=3sin B +3cos B =23sin æèöøB +π3，∵A =2π3，∴C +B =π3，∴0<B <π3，∴π3<B +π3<2π3，由正弦函数的性质可得2sin æèöøB +π3≤1，∴3<23sin æèöøB +π3≤23，∴()C ΔABC max =3+23，∴ΔABC 周长的最大值为3+23．在利用三角函数的性质求得目标式的最值时，往往要仔细研究目标式中角的取值范围.可根据已知条件、隐含条件，以及有关三角形的定理，如三角形内角和为180o ，尽可能地缩小角的范围，这样才能得到正确的答案.二、利用基本不等式若a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a=b 时等号成立，该式称为基本不等式.基本不等式是解答最值问题的重要工具.在解答三角形最值问题时，往往可以将目标式进行适当的变形，使得该式为两式的和或积，并使其中之一为定值，便可运用基本不等式求得目标式的最大值或最小值.以例1为例.解：(1)C =π4．（过程略）.（2）由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，∵c =1,C =π4，∴1=a 2+b 2-2ab，∴1+2ab=a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时取等号，∴()2-2ab ≤1，∴ab ≤，∴S ΔABC =12ab sin C =≤∴ΔABC 面积的最大值为14．我们根据余弦定理可得1=a 2+b 2-2ab ，该式中含有两式的和a 2+b 2与两式的积ab ，根据基本不等式的变形式a 2+b 2≥2ab ，即可求得ab 以及ΔABC 面积的最值.例 4.已知ΔABC 的内角A ,B ,C 满足sin A -sin B +sin C sin C =sin Bsin A +sin B -sin C ．(1)求角A ；(2)若ΔABC 的外接圆半径为1，求ΔABC 的面积的最大值．解：(1)A =π3．（过程略）(2)∵A =π3，R =1，∴a =2R sin A =3，由余弦定理得a 2=c 2+b 2-2bc cos A ，∴3=c 2+b 2-bc ，∴3+bc =c 2+b 2≥2bc ，∴bc ≤3，当且仅当a =b 时取等号，而S =12bc sin A =≤，∴ΔABC 面积的最大值为．在运用基本不等式求最值时，要仔细观察代数式的结构特征，尤其要关注两式的和、积，对其进行合理的拆分、变形，可通过添项、凑分子、凑系数、常数代换等方式，配凑出两式的和或积.以例3为例.解：(1)A =2π3．（过程略）（2）由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，∵a =3,A =2π3，∴9=b 2+c 2+bc ，∴()b +c 2-2bc +bc =9，∴()b +c 2-9=bc ≤æèöøb +c 22，当且仅当a =b 时取等号，∴34()b +c 2≤9，∴b +c ≤23，而C ΔABC =a +b +c ≤3+23，∴ΔABC 周长的最大值为3+23．先根据余弦定理将已知的边角关系化为边的关系，求得三角形的周长的表达式；然后根据关系式9=b 2+c 2+bc 的特征，运用基本不等式求得b +c 的取值范围，进而求得三角形周长的最值.总之，解答三角形最值问题，既可以从角的关系入手，灵活运用三角函数的基本公式、定义、性质、图象求解；也可以从边的关系入手，根据代数式的特征，配凑出两式的和或积，运用基本不等式求得最值.相比较而言，运用基本不等式求三角形最值问题较为便捷.（作者单位：江苏省淮安市洪泽湖高级中学）45。
初中数学 几何最值专题
初中数学几何最值专题初中数学中，几何最值问题是一个常见的专题。
以下是一些常见的几何最值问题的类型和解决方法：一、两点之间线段最短原理：两点之间线段最短。
应用：在解决几何最值问题时，常常需要利用这个原理来找到两个点之间的最短路径。
例如，在一个矩形中，从一个顶点到另一个顶点的最短路径是通过矩形的对角线。
二、三角形三边关系原理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
应用：在解决几何最值问题时，可以利用这个原理来判断三角形的形状和大小。
例如，在一个三角形中，已知两边长分别为a和b，第三边长为c，则c的取值范围是|a-b|<c<a+b。
当c取最小值时，三角形为直角三角形；当c取最大值时，三角形为等腰三角形。
三、利用对称性求最值原理：利用对称性可以简化问题，找到最值。
应用：在解决几何最值问题时，可以利用对称性来找到最值。
例如，在一个圆内，从一个点到一个定直线的距离的最值可以通过作该点关于定直线的对称点来找到。
同样地，在一个矩形内，从一个点到一个定点的距离的最值也可以通过作该点关于矩形中心的对称点来找到。
四、利用旋转和平移求最值原理：利用旋转和平移可以改变图形的位置和方向，从而找到最值。
应用：在解决几何最值问题时，可以利用旋转和平移来找到最值。
例如，在一个三角形中，已知两边长分别为a和b，夹角为θ，则可以通过旋转和平移将三角形转化为直角三角形，从而找到第三边长的最值。
五、利用相似性和全等性求最值原理：利用相似性和全等性可以将复杂问题转化为简单问题，从而找到最值。
应用：在解决几何最值问题时，可以利用相似性和全等性来找到最值。
例如，在两个相似的三角形中，已知其中一个三角形的三边长分别为a、b、c，则可以通过相似性找到另一个三角形的三边长的最值。
同样地，在两个全等的图形中，可以通过全等性找到它们之间的最短距离或最大面积等。
中考数学回归教材重难点07 几何最值问题(解析版)
回归教材重难点07 几何最值问题几何最值问题是初中几何章节的重点内容，考查的范围比较广，把几何图形性质与平移、翻折等图形变换结合起来。
在中考数学中，主要是以压轴题形式出现。
通过熟练的几何模型的应用，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。
本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。
1.将军饮马模型；2.瓜豆模型；3.隐圆模型1．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝23AD＝2点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________【答案】42【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．△四边形ABCD 是矩形，△△RAT ＝90°，△AR ＝DR 2AT ＝2AB ＝3△RT 2222(2)(43)52AR AT ++△A ，A′关于DP 对称，△AA′△DP ，△△AMD ＝90°， △AR ＝RD ，△RM ＝12AD 2△MT ≥RT −RM ，△MT 2， △MT 的最小值为2△QA ＋QM ＝QT ＋QM ≥MT ，△QA ＋Q M 2，△QA ＋QM 的最小值为2．故答案为：2【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT 的最小值，属于中考常考题型．2．（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为'B ，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B 上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．【答案】 1 5【分析】第一步：设EF 与AA’交于点O ，连接AF ，易证明△AOE △ADC ，利用对应边成比例可得到OA =2OE ，由勾股定理可求出OE 35从而求得OA 及OC ；由AD △BC ，易得△AOE △△COF ，由对应边成比例可得AE 、FC 的关系式，设BF =x ，则FC =8-x ，由关系式可求得x 的值；第二步：连接NE ，NF ，根据折叠的性质，得到NF =NE ，设B’N =m ，分别在Rt △NB F '和Rt △ EA N '中，利用勾股定理及NF =NE 建立方程，可求得m ，最后得出结果．【详解】如图所示，连接AF ，设EF 与AA’交于点O ，由折叠的性质得到AA’△EF ， 3A E AE '==△四边形ABCD 是矩形△△ADC =90°，CD =AB =4 ，AD △BC△△AOE =△ADC ，△OAE =△DAC △△AOE △ADC ，△12OE CD OA AD == ，△OA =2OE ， 在直角△AOE 中，由勾股定理得：2249OE OE += ，△OE 35，△OA 65， 在Rt △ADC 中，由勾股定理得到：AC 224845+=，△OC =6514545 令BF =x ，则FC =8-x ，△AD △BC ，△△AOE △△COF ，△37OA AE OC FC == ，即7AE =3FC △3(8-x )=7×3解得：1x =,△BF 的长为1． 连接NE ，NF ，如图，根据折叠性质得：BF =B’F =1，MN △EF ，NF =NE ，设B’N =m ，则22222213(4)NF m NE m =+==+- ，解得：m =3，则NF 10，△EF 222425+=△MF 5△MN 5故答案为：15【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．3．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接,CF DF ，且ADF =DCF ∠∠，点E 是AD 边上一动点，连接,EB EF ，则EB EF +长度的最小值为___________．【答案】3133【分析】根据正方形的性质得到△ADC ＝90°，推出△DFC ＝90°，点F 在以DC 为直径的半圆上移动，，如图，设CD 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形APGD ，则点B 的对应点是P ，连接PO 交AD 于E ，交半圆O 于F ，则线段FP 的长即为BE ＋FE 的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，△△ADC ＝90°，△△ADF ＋△CDF ＝90°，△ADF =DCF ∠∠，△△DCF ＋△CDF ＝90°，△△DFC ＝90°，△点F 在以DC 为直径的半圆上移动，如图，设CD 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形APGD ，则点B 的对应点是P ， 连接PO 交AD 于E ，交半圆O 于F ，则线段FP 的长即为BE ＋FE 的长度最小值，OF ＝3，△△G ＝90°，PG ＝DG ＝AB ＝6，△OG ＝9，△OP 222269313PG OG +=＋△FP ＝3133， △BE ＋FE 的长度最小值为3133，故答案为：3133．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．4．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，B ，D 两点坐标分别为B （﹣4，6），D （0，4），线段EF 在边OA 上移动，保持EF ＝3，当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标为__________．【答案】()0.4,0-【分析】先得出D 点关于x 轴的对称点坐标为H （0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF 的周长的最小值转化为求FG +BF 的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F 、G 、B 三点共线时FG +BF 的值最小，用待定系数法求出直线BG 的解析式后，令y =0，即可求出点F 的坐标，最后得到点E 的坐标．【详解】解：如图所示，△D （0，4），△D 点关于x 轴的对称点坐标为H （0，-4），△ED =EH ，将点H 向左平移3个单位，得到点G （-3，-4），△EF =HG ，EF △HG ，△四边形EFGH 是平行四边形，△EH =FG ，△FG =ED ，△B （-4，6），△BD ()()224064=25--+-又△EF ＝3，△四边形BDEF 的周长=BD +DE +EF +BF =25FG +3+BF ,要使四边形BDEF 的周长最小，则应使FG +BF 的值最小，而当F 、G 、B 三点共线时FG +BF 的值最小， 设直线BG 的解析式为：()0y kx b k =+≠△B （-4，6），G （-3，-4），△4634k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩，△1034k b =-⎧⎨=-⎩，△1034y x =--， 当y =0时， 3.4x =-，△()3.4,0F -，△()0.4,0E -，故答案为：()0.4,0-．【点睛】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．5．（2021·广东·中考真题）在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____． 52-【分析】由已知45ADB ∠=︒，2AB =，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO OD -．【详解】如图： 以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥， 以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =，1AN BN ==，22112AO ∴=+112ON OM AB ===,3BC =，221(31)5OC ∴=+-=52CO OD ∴-=CD 长度的最小值为52-52-【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．6．（2021·河南周口·三模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在BC ，AB 上移动，AF ＝BE ，AE 和DF 交于点P ，点M 为边AB 上一动点，点N 为平面上一动点，CN ＝1，则NM +MP 的最小值是 ___．【答案】133【分析】首先证明△APD =90°，推出点P 在以AD 为直径的圆上运动，设圆心为T ，作点T 关于AB 的对称点R ，以R 为圆心，AR 为半径作△R ，则点P 关于AB 的对称点L ，在△R 上，连接CR ，R L ，ML ．根据RL +ML +MN +NC ≥CR ，MP =ML ，求出CR ，可得结论．【详解】解：如图，△四边形ABCD 是正方形，△△B =△DAF =90°，AD =AB ，在△AB E 和△DAF 中，AB DA B DAF BE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△DAF （SAS ），△△BAE =△ADF ，△△BAE +△DAP =90°，△△ADP +△DAE =90°，△△APD =90°，△点P 在以AD 为直径的圆上运动，设圆心为T ，作点T 关于AB 的对称点R ，以R 为圆心，AR 为半径作△R ，则点P 关于AB 的对称点L ，在△R 上，连接CR ，RL ，ML ．△CN =1，△点N 在以C 为圆心，半径为1的△C 上运动，在Rt △CD R 中，CR 22DR CD +2264+13△RL +ML +MN +NC ≥CR ，MP =ML ，△PM +MN 132-1，△PM +MN 133，△PM +MN 的最小值为133．【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题．7．（2021·河南郑州·一模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是AB 边上一动点（不与点A ，B 重合），连接PD ，过点B 作BM △PD 交DP 的延长线于点M ，连接AM ，过点A 作AN △AM 交PD 于点N ，连接BN ，CN ，则△BNC 面积的最小值为________．【答案】1242-【分析】点N 在正方形内部，所以S △AND +S △BNC ＝12S 正方形ABCD ＝14482⨯⨯=，由BM △PD 可得点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，先证明△AMB 与△ADN 全等，然后求△ABM 最大面积即可求出△BNC 的最小面积．【详解】解：△四边形ABCD 为正方形， △AD ＝AB ，△BAD ＝△BAN +△NAD ＝90°，△△MAB +△BAN ＝△MAN ＝90°，△△MAB ＝△NAD ，△△BMP +△BPM +△MBP ＝△P AD +△PDA +△APD ＝180°，△MPB ＝△APD ，△BMP ＝△DAP ＝90°，△△MBP ＝△ADP ， 在△AMB 和△AND 中，MAB NAD MBA NDA AB AD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝，△△AMB △△AND （ASA ）．△S △AMB ＝S △AND ， △S △AND +S △BNC ＝12S 正方形ABCD ＝14482⨯⨯=，△当S △AMB 面积最大时，S △BNC 面积最小， △△BMD ＝90°，△点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，当△ABM面积最大时，OM △AB ，如图，△点O 为BD 中点，OM △AD ，△OK ＝12AD ＝2，△BD 2＝42△OM ＝12BD ＝22△MK ＝OM ﹣OK ＝222，△S △AMB ＝12AB •MK ＝424， △S △BNC ＝8﹣S △AMB ＝8﹣（424）＝1242-故答案为：1242-【点睛】本题考查正方形的性质、三角形面积计算、全等三角形的判定、圆周角定理等知识点，将求△BNC 的最小面积转化为求△ABM 最大面积并找出M 点运动轨迹是解题关键．8．（2021·河南·三模）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，点E ，F 分别为边AB ，AD 上的动点，且EF ＝6，点G ，M 分别为边BC ，CD 的中点，连接BM ，DG 交于点O ．将△EF A 沿EF 折叠得到△EF A '，点H 是边EF 上一动点，连接A 'H ，HO ，OA '．当A 'H +HO 的值最小时，OA '的长为 __________________．16216- 【分析】连接AH 、AO ，由折叠的性质，点A 与点A '关于直线EF 对称，则可得当A 、H 、O 三点共线时，A 'H +HO 的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO △BC 于点N ，可知四边形AF A 'E 是正方形，△ACB ＝45°，设CN ＝x ，则ON ＝CN ＝x ，BN ＝8﹣x ，可证明△BON △△BMC ，可求出CN ＝83，CO ＝823，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝2A 'O ＝AC ﹣AA '﹣OC 162． 【详解】解：连接AH 、AO ，如图，由折叠的性质，点A 与点A '关于直线EF 对称，AH A H '∴= A H HO AH HO AO '∴+=+≥A H O ∴、、三点共线时，A H HO '+的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO △BC 于点N ，如图2，∴四边形AFA E '是正方形，6AA EF '∴==，A O C 、、三点共线，45ACB ∴∠=︒M 是DC 中点，4MC ∴=设CN ＝x ，则ON ＝CN ＝x ，BN ＝8﹣x ，BNO BCM ∠=∠，BON BMC ∴~，ON MC BN BC ∴=即488x x =-，83x ∴=，83CN ∴= 822CO CN ∴==在Rt ABC 中，由勾股定理得，2282AC AB BC =+=8216282616A O AC AA OC ''∴=--== 16216-． 【点睛】本题考查相似的判定与性质、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．9．（2021·四川绵阳·一模）等边△ABC 的边长为6，P 是AB 上一点，AP ＝2，把AP 绕点A 旋转一周，P 点的对应点为P ′，连接BP ′，BP ′的中点为Q ，连接CQ ．则CQ 长度的最小值是_____．【答案】331【分析】取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，利用等边三角形求出CD＝33根据三角形中位线定理得到DQ＝1，利用三角形三边关系得出结果．【详解】解：如图，取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，△AP＝2，把AP绕点A旋转一周，△AP'＝2，△等边△ABC的边长为6，点D是AB中点，△BD＝AD＝3，CD△AB，△CD22226333BC BD--△点Q是BP'是中点，△BQ＝QP'，又△AD＝BD，△DQ＝12AP'＝1，在△CDQ中，CQ≥DC﹣DQ，△CQ的最小值为31，故答案为331．【点睛】本题考查最短路径、中位线、等边三角形等知识，解决问题的关键是已知中点的常见思路：等腰三角形中构造三线合一，一般三角形中构造中位线．10．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数ykx=（k＞0）的图象与半径为5的△O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是______．【答案】2【详解】设点M（a，b），N（c，d），先求出a2+b2＝c2+d2＝25，再求出ac()227k c a-=，同理：bd()227k b d-=，即可得出ac﹣bc＝0，最后用两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：如图，设点M（a，b），N（c，d），△ab＝k，cd＝k，△点M，N在△O上，△a2+b2＝c2+d2＝25，作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），△MN'即为PM+PN的最小值△S△OMN12=k12+（b+d）（a﹣c）12-k＝3.5，△ad﹣bc＝7，△kc kaa c-=7，△ac()227k c a-=，同理：bd()227k b d-=，△ac﹣bc()()2222777k c a k b d k--=-=[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，△M（a，b），N'（c，﹣d），△MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，△MN'＝2故答案为：2【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质、圆的性质、两点间的距离公式，判断出ac-bd=0是解本题的关键．11．（2021·广东·雷州市第八中学一模）如图，把矩形ABCD沿EF对折，使B与D重合，折痕EF交BD于G，连AG，若tan△AGE7BF＝8，P为DG上一个动点，则PF+PC的最小值为_____．【答案】10【分析】如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．首先证明△EGD△△FGB（ASA），推出BF=DE=8，EG=FG，再证明PF=PE，推出PF+PC=PE+PC≥EC，想办法求出EC即可解决问题．【详解】解：如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．由题意，EF 垂直平分线段BD ，△EB =ED ，BG =GD ，△四边形ABCD 是矩形，△AD △BC ，△△EDG =△FBG ，△△EGD =△FGB ，△△EGD △△FGB （ASA ），△BF =DE =8，EG =FG ，△DB △EF ，△PE =PF ，△PF +PC =PE +PC ≥EC ，△△BAE =△BGE =90°，OB =OE ，△OA =OB =OE =OG ，△A ，B ，G ，E 四点共圆，△△ABE =△AGE ，△tan△ABE =tan△AGE 7AE AB ， 设AE 7，AB =3k ，△AB 2+AE 2=BE 2，BE =DE =8，△7k ）2+（3k ）2=82，△k =2，△AB =CD =6，△△EDC =90°，△EC 222268CD DE ++，△PF +PC ≥10，△PF +PC 的最小值为10．故答案为：10．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，四点共圆等知识，本题综合性比较强． 12．（2022·上海·一模）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC 22BC =ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到DEC ，连接AD ，BE ，直线AD ，BE 相交于点F ，连接CF ，在旋转过程中，线段CF 的最大值为__________．10【分析】取AB 的中点H ，连接CH 、FH ，设EC ，DF 交于点G ，在△ABC 中，由勾股定理得到AB 10由旋转可知：△DCE △△ACB ，从而△DCA =△BCE ，△ADC =△BEC ，由△DGC =△EGF ，可得△AFB =90º，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=CH=12AB10△FCH中，当F、C、H在一条直线上时，CF10【详解】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，△ACB=90º，△AC2，BC2△AB2210AC BC+由旋转可知：△DCE△△ACB，△△DCE=△ACB，DC=AC，CE=CB，△△DCA=△BCE，△△ADC=12(180º-△ACD) ，△BEC=12(180º-△BCE)，△△ADC=△BEC，△△DGC=△EGF，△△DCG=△EFG=90º，△△AFB=90º，△H是AB的中点，△FH=12AB，△△ACB=90º，△CH=12AB，△FH=CH=12AB10在△FCH中，FH+CH>CF，当F、C、H在一条直线上时，CF 101010=△线段CF10.10【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等的性质.13．（2022·重庆·一模）如图，已知ABC ，外心为O ，18BC =，60BAC ∠=︒，分别以AB ，AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD △与ACE ，连接BE ，CD 交于点P ，则OP 的最小值是______．【答案】933-【分析】由ABD △与ACE 是等腰直角三角形，得到90BAD CAE ∠=∠=︒，DAC BAE ∠=∠，根据全等三角形的性质得到ADC ABE ∠=∠，求得在以BC 为直径的圆上，由ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，得到120BOC ∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：ABD 与ACE 是等腰直角三角形，90BAD CAE ∴∠=∠=︒，DAC BAE ∴∠=∠，在DAC △与BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAC ∴△()BAE SAS ，ADC ABE ∴∠=∠，90PDB PBD ∴∠+∠=︒， 90DPB ∴∠=︒，P ∴在以BC 为直径的圆上，ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，120BOC ∴∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，18BC =，9BH CH ∴==，12OH OB =，223BH OB OH OH ∴- 33OH ∴=9PH =，933OP ∴=-OP 的最小值是933-，故答案为：933-【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。
几何中的最值
几何中的最值几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个量（如线段长度、角度大小、图形周长或面积）等的最大值或最小值。
求几何最值问题的基本方法有：1、几何定理（公理）法；2、临界状态（特殊位置与极端位置法）；解决几何最值问题的通常思路（分析定点、动点，寻找定量）①模型解题：若属于常见模型，调用模型解决问题；②定理解题：若不属于常见模型，寻找定量，借助基本定理解决问题． ③轨迹解题：一般用于压轴题转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．一．几何定理：（画出模型）1．线段公理——两点之间，线段最短；2．直线外一点与直线的所有连线中垂线段最短3．三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）4．两平行线间距离最短；5．过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦二、常见模型㈠．过河问题llB线段求其和， AB 河两侧，线段求其差， AB 河同侧，㈡、角平分线模型P A +PB 最小，需要点在异侧 |P A -PB |最大， 需要点在同侧蜂蜜蚂蚁C㈢梯子靠墙模型O A ⊥OB,AB=a ，⊿ABP 是等腰直角三角形。
求OP 的最大值 解法一：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知a AB OE 2121==是定值，与OP 构造三角形OEP.解法二：根据等腰直角三角形ABP 斜边上的中线等于斜边的一半，可知解法三：A,B,O 三点在以AB 为直径的圆上，即二．常见临界状态(有待补充)：三、观察动点的运动轨迹在武汉中考题的压轴题中求最值问题时，仅依靠定理或模型解决不了问题时，需要我们尝试去思考动的运动轨迹是什么，从而帮助我们解题。
一、过河模型1、在直线l 上找一点P ，使得其到直线同侧两点A 、B 的距离之和最小。
2、直线12l l 、交于O 、P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点A 、B ，使得△PAB的周长最短。
3、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ．AB2第2题图4、如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = ．5、如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PA PB -的最大值等于 ．6、点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．（1）如图1，若点C （x ，0）且-1＜x ＜3，BC ⊥AC ，求y 与x 之间的函数关系式； （2）如图2，当点B 的坐标为（-1，1）时，在x 轴上另取两点E ，F ，且EF =1．线段EF 在x 轴上平移，线段EF 平移至何处时，四边形ABEF 的周长最小？求出此时点E 的坐标．B (-图1 图28、在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点.（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.1. （2011湖北荆门3分）分，高为5cm .若一只蚂蚁从P 点开始经过4 】A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm2.（2011四川广安3分）如图，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母线BC 上一点，且PC=23BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是【 】A 、6(4)π+㎝ B 、5cm C 、㎝ D 、7cm3.（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 19、已知：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为C ，其中(3,0)A -，(0,2)C -。
九年级中考 几何综合题型之最值问题：解题策略与常考题型(教师版)
教学过程一、复习预习最值问题是初中数学中的一种常见题型，而利用勾股定理、轴对称等知识求图形中的最值，是近年中考的热点问题第一。
对这类问题，我们应该学会分析、观察图形，从中找出解题途径。
二、知识讲解1.两条线段和的最小值。
（一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：P m AB m A BmA B PmAB A'n mA B QPnmABP'Q' n mA BQ PnmAB B'QPnm A BB'A'n mA B（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A / 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.A BED ABA'B'm n APmnAB mn A mn A PQ mnAA"A'mA B m A BB'P P'变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.（二）、一个动点，一个定点：1、动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） （1）、两直线在定点的同侧：（2）、两直线在定点的两侧（定点在两直线的内部）：2.求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； 1、点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
立体几何压轴小题：06空间线段以及线段之和最值问题(含解析)
第6讲空间线段以及线段之和最值问题一、单选题1．（2024·湖北·校联考模拟预测）已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，AB =4BC =，侧面PAB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P ABCD -内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为（）A 2B1C ．2D ．12．（2024上·江西萍乡·高二统考期末）以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把ABD △和ACD 折成60的二面角.若AB ，()1DM xDA yDB x y DC =++--，其中,x y ∈R ，则DM 的最小值为（）A B ．7C ．14D ．73．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，则下列结论中:①若点Q 为1CC 的中点，则1PA PQ +②过点P 作与1AD 和1BA 都成π6的直线，可以作四条；③若点P 为BC 的中点时，过点C 作与直线1D P 垂直的平面α，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -的截面周长为④若点P 到直线1BB 与到直线AD 的距离相等，CD 的中点为E ，则点P 到直线AE 的最短距离是3510.其中正确的命题有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．（2024·全国·高三专题练习）在空间直角坐标系O xyz -中，已知点()1,0,2A ，()0,2,1B ，点C ，D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD的最小值是（）AB C D5．（2024上·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形，1AA =且该棱柱外接球O 的表面积为20π，E 为线段AB 上一点．则当该四棱柱的体积取最大值时，1D E CE +的最小值为（）A ．6BC ．2D ．二、多选题6．（2024下·山东·高三校联考开学考试）在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,AB AA AD E ===为11A B 的中点，点P 满足1(01)DP DB λλ=<<，则（）A ．若M 为1A D 的中点，则三棱锥P BEM -体积为定值B ．存在点P 使得AP BE ⊥C ．当23λ=时，平面PBC 截长方体1111ABCD A B C D -D ．若Q为长方体1111ABCD A B C D -外接球上一点，23λ=，则3QE QP +7．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，动点M 满足1AM xAB y AD z AA =++，(,,R x y z ∈且0,0,0)x y z ≥≥≥，下列说法正确的是（）A ．当[]1,0,0,14x z y ==∈时，1B M MD +B ．当11,2x y z ===时，异面直线BM 与1CD 所成角的余弦值为5C ．当1x y z ++=，且AM =MD ．当1,0x y z +==时，AM 与平面11AB D 8．（2024下·江西·高三校联考开学考试）化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式6SF ）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体E ABCD F --的（如图2）棱长为2，则（）A ．正八面体E ABCD F --的内切球表面积为8π3B ．正八面体E ABCD F --的外接球体积为8π3C ．若点P 为棱EB 上的动点，则AP CP +的最小值为D ．若点Q 为棱AF 上的动点，则三棱锥E QBC -的体积为定值2239．（2024下·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，动点M 在棱1DD 上，记平面1BC M 截正方体所得的截面图形为Ω，则（）A ．平面1A BC ⊥平面11BC DB ．不存在点M ，使得直线CM //平面11BA CC ．1B M CM +的最小值为D ．Ω的周长随着线段DM 长度的增大而增大10．（2024下·江西上饶·高二上饶市第一中学校考开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB E F =,,分别为1,BB CD 的中点，点P 满足1,[0,1]BP BC =∈λλ，则（）A ．1A F ⊥平面1AD EB ．三棱锥1P AD E -的体积与P 点的位置有关C ．1DP B P +的最小值为4+D ．当10,3λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，平面PEF 截正方体的截面形状为五边形11．（2024下·湖北·高二应城市第一高级中学校联考开学考试）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P满足1DP DD DA λμ=+，[]0,1λ∈，[]0,1u ∈，则下面结论正确的是：（）A ．当λμ=时，1BP AC ⊥B ．当12μ=时，三棱锥11C PB C -的体积为定值C ．当1λμ+=时，直线CP 与平面11BCC B 所成的角不可能为π3D ．当1λμ+=时，PC PB +12．（2024下·重庆·高三重庆八中校考开学考试）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，12AA =，点P 在底面ABCD 内运动（含边界），点Q 满足[]1,0,1CQ mCC m =∈ ，则（）A ．当12m =时，1A P PQ +B ．当14m =时，存在点P ，使1A PQ ∠为直角C ．当78m =时，满足11D P A Q ⊥的点P 的轨迹平行平面1C BD D ．当116m =时，满足1A P PQ ⊥的点P 的轨迹围成的区域的面积为π413．（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）在三棱锥1A ABC -中，1A A ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，13AA AB AC ===，P 为1A BC 内的一个动点（包括边界），AP 与平面1A BC 所成的角为45 ，则（）A ．1A P -B ．1A P C ．有且仅有一个点P ，使得1A P BC ⊥D ．所有满足条件的线段AP 形成的曲面面积为414．（2024上·江苏常州·高三统考期末）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上运动（包括端点），下列说法正确的有（）A ．存在点P ，使得⊥CP 平面1A DBB ．不存在点P ，使得直线1C P 与平面1A DB 所成的角为30 C ．PC PD +的最小值为D ．以P 为球心，PA 为半径的球体积最小时，被正方形11ADD A 截得的弧长是π315．（2024上·安徽蚌埠·高二统考期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别是棱11A D ，CD 的中点，点P 在四边形ABCD 内，若PM =，则下列结论正确的有（）A ．MN BD⊥B ．MN //1A BC ．点P 的轨迹长度为πD ．PN 116．（2024上·江苏南京·高二南京市第九中学校考期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 满足()101,01BE BC BB λμλμ=+≤≤≤≤，则（）A ．若λμ=，则1BC AE⊥B ．若1λμ+=，则1B C 平面1A DEC ．若1λμ+=，则1AE D E +D ．若221λμ+=，则AE 与平面11BB C C 的所成角为定值π417．（2024上·湖南·高二湖南师大附中校考期末）下列有关正方体的说法，正确的有（）A ．正方体的内切球､棱切球､外接球的半径之比为B ．若正方体1111ABCD A BCD -的棱长为1,Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,EF 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF +C ．若正方体8个顶点到某个平面的距离为公差为1的等差数列，则正方体的棱长为D ．若正方体ABCD A B C D -''''的棱长为3，点P 在棱CC '上，且2PC PC ='，则三棱锥B D AP '-'的外接球表面积为99π418．（2024上·山西太原·高三统考期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，点P 和Q 分别满足111D P D C λ=，11D Q D B μ=，其中λ，[0,1]μ∈，则下列结论正确的是（）A ．当12λ=时，三棱锥Q PDE -的体积为定值B ．当12μ=时，四棱锥Q ABCD -的外接球的表面积是9π4C ．当1λ=时，不存在μ使得11PQ BD ⊥D ．PQ EQ +的最小值为619．（2024上·湖南衡阳·高二统考期末）已知四棱台1111ABCD A B C D -的底面为正方形，棱1AA ⊥底面ABCD ，且11122AD AA A D ===，则下列说法正确的是（）A ．直线1CD 与平面1A BD 相交B ．若直线1AC 与平面11BDD B 交于点M ，则M 为线段1AC 的中点C ．平面1ACD 将该四棱台分成的大､小两部分体积之比为5:2D ．若点,P Q 分别在直线11,AA CD 上运动，则线段PQ 20．（2024上·宁夏固原·高二统考期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,2,3,AB BC CC M ===为11B C 的中点，,P Q 分别是直线1,CC AM 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．三棱锥A BDM -的体积为4B ．1AC =C ．直线1,AC BDD ．PQ 21．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校考阶段练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB E F =，，分别为1,BB CD 的中点，，点P 满足1B B C P λ=，[]01λ∈，，则（）A ．1A F ⊥平面1AD EB ．三棱锥1P AD E -的体积与P 点的位置有关C ．1DP B P +的最小值为4+D ．当10,3λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，平面PEF 截正方体的截面形状为五边形22．（2023上·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 满足1CP CD CC λμ=+，其中[][],0,10,1λμ∈∈，以下结论正确的是（）A ．当1λ=时，1B P AC⊥B ．当λμ=时，DP AP +C ．当1B P PC ⊥时，BP 的最大值2D ．若1B P 与平面11CC D D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π23．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60ADC ∠=︒，将ACD 沿AC 翻折为三棱锥-P ABC ，点P 为翻折过程中点D 的位置，则下列结论正确的是（）A ．无论点P 在何位置，总有AC PD ⊥B ．点P 存在两个位置，使得1P ABC V -=成立C ．当PB =AD 旋转所形成的曲面的面积为2D ．当2PB =时，M 为PB 上一点，则AM CM +的最小值为24．（2023·山西临汾·校考模拟预测）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，E ，F ，N 分别是棱1CC ，11C D ，1AA 的中点，P 是NC 上一点，Q 在平面ABCD 内，则（）A ．CN ⊥平面BDEB ．直线BE 与1A F 是异面直线C ．当BP 取得最小值时，BP PQ +61+D ．直线NC 与平面BDE 的交点是BDE △的外心25．（2023上·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为线段11A C 上任意一点，下列说法正确的是（）A ．1PD BD ⊥B ．动点P 到线段BD 2C ．P 是11A C 中点时，直线PD 与平面1A BD 所成的角的正弦值是23D ．三棱锥1P A BD -体积最大时，若点M 满足1OM xOA yOB zOD =++，其中1x y z ++=，则PM 的2326．（2023上·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（）A ．存在点P ，使得1C P ⊥平面11B CD B ．三棱锥111B A D P -的体积为定值C ．当点P 在棱CD 上时，1PA PB +的最小值为2+D ．若点P 到直线1BB 与到直线AD 的距离相等，CD 的中点为E ，则点P 到直线AE 27．（2024上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA 与底面垂直，2PA =，1=AB ，动点M 在线段PC 上，则（）A ．不存在点M ，使得AC BM ⊥B ．MB MD +C ．四棱锥P ABCD -的外接球表面积为6πD ．点M 到直线AB 28．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的有（）A ．11//AC 平面1B CDB ．点1C 到平面1B CD 的距离为22C ．当P 在线段11CD 上运动时，三棱锥11A B PC -的体积不变D ．若Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,EF 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF +的最小值为3三、填空题29．（2024上·广东·高二统考期末）如图，正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角D AB F --的大小是60︒，则直线AC 和BF 夹角的余弦值为．若,M N 分别是,AC BF 上的动点，且AM BN =，则MN 的最小值是．30．（2024上·江西九江·高二统考期末）如图，正三棱锥-P ABC 中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直且相等，2,PA M =为PC 的中点，N 为平面ABC 内一动点，则NM NP +的最小值为.31．（2024上·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F M 分别是棱1111,,B C C D AB 的中点，,G H 分别是线段1,AC EF 上的动点，则GH GM +的最小值为.32．（2024上·河北邯郸·高二统考期末）如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为3,D 为BC的中点，设()1111,01A P A B DQ DC λλλ==≤≤，则PQ 的最小值为.33．（2024上·四川成都·高三石室中学校考期末）如图，在三棱锥111A A B C -中，1AA ⊥平面111A B C ，11190A B C ∠=︒，11111222A B A A B C ===，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和线段11B C 上任意一点，MN+的最小值为．34．（2024上·重庆·高二统考期末）一种糖果的包装纸由一个边长为3的正方形和两个等腰直角三角形组成（如图1），沿AD ，BC 将这两个三角形折起到与平面ABCD 垂直（如图2），连接EF ，AE ，CF ，AC ，若点G 满足DG xDA yDC zDF =++且1x y z ++=，则||EG 的最小值为．35．（2024上·上海·高二上海市复旦中学校考期末）已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，90ACB ∠=︒，6AC =，1BC CC ==P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值为．36．（2023上·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 在线段DC 上，且DM ，动点P 在正方形ABCD 内运动（含边界），若1D P =，则当1B P 取得最小值时，三棱锥1B MPB -外接球的表面积为37．（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为线段1A D 和11B D 上的动点，且12D N DM =，则MN 的最小值为.38．（2024·全国·模拟预测）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，12BC CC ==，M ，N 分别为BC ，1CC 的中点，点P 在矩形11BCC B 内运动（包括边界），若1//A P 平面AMN ，则1A P 取最小值时，三棱锥1P MA B-的体积为．39．（2023上·上海·高二格致中学校考阶段练习）已知直三棱柱111ABC A B C -，底面三角形ABC 是等腰直角三角形，其中B 为直角顶点，且13,AB AA ==D 为棱1AA 的中点，点M 为平面BCD 的一动点，则11B M C M +的最小值是．第6讲空间线段以及线段之和最值问题一、单选题1．（2024·湖北·校联考模拟预测）已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，AB =4BC =，侧面PAB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P ABCD -内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为（）A 2B1C ．2D ．1【答案】B【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r ，取AB 的中点为H ，CD 的中点为N ，连接PH ，PN ，HN ，球O 为四棱锥P ABCD -的内切球，底面ABCD 为矩形，侧面PAB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，则平面PHN 截四棱锥P ABCD -的内切球O 所得的截面为大圆，此圆为PHN 的内切圆，半径为r ，与HN ，PH 分别相切于点E ，F ，平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ，PH ⊂平面PAB ，PAB 为正三角形，有PH AB ⊥，PH ∴⊥平面ABCD ，HN ⊂平面ABCD ，PH HN ∴⊥，AB =4BC =，则有3PH =，4HN =，5PN =，则PHN 中，()113434522PHN S r =⨯⨯=++ ，解得1r =.所以，四棱锥P ABCD -内切球半径为1，连接ON .PH ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CD PH ∴⊥，又CD HN ⊥，,PH HN Ì平面PHN ，PH HN H = ，CD \^平面PHN ，ON ⊂ 平面PHN ，可得ON CD ⊥，所以内切球表面上一点M 到直线CD 的距离的最小值即为线段ON 的长减去球的半径，又ON ==所以四棱锥P ABCD -内切球表面上的一点M 到直线CD 1.故选：B.2．（2024上·江西萍乡·高二统考期末）以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把ABD △和ACD 折成60的二面角.若AB ，()1DM xDA yDB x y DC =++--，其中,x y ∈R ，则DM 的最小值为（）A ．21B C ．14D ．7【答案】D【解析】由已知得,AD BD AD CD ⊥⊥，所以BDC ∠是ABD △和ACD 折成60 的二面角的平面角，所以60BDC ∠= ，又AB =，所以1AB AC AD BD CD =====，222+2cos 601BC AD CD AD CD =-⋅⋅= ，所以1BC =，因为()1DM xDA yDB x y DC =++-- ，其中,x y ∈R ，所以点M 在平面ABC 内，则DM的最小值为点D 到平面ABC 的距离，设点D 到平面ABC 的距离为h ，因为,AD BD AD CD ⊥⊥，BD CD D ⋂=，BD ⊂平面BDC ，CD ⊂平面BDC ，所以AD ⊥平面BDC ，所以AD 是点A 到平面BDC 的距离，所以111111sin 332A BDC BDC V AD S BDC -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯∠=又ABC 中，1AB AC BC ===，所以2223cos 24AB AC BC BAC AB AC +-∠==⋅⋅，所以7sin 4BAC ∠=，则11sin 2244ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠==，所以1133412D ABC ABC V h S h -=⨯⨯=⨯⨯ ，解得h DM 的最小值为7，故选：D.3．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，则下列结论中:①若点Q 为1CC 的中点，则1PA PQ +②过点P 作与1AD 和1BA 都成π6的直线，可以作四条；③若点P 为BC 的中点时，过点C 作与直线1D P 垂直的平面α，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -的截面周长为④若点P 到直线1BB 与到直线AD 的距离相等，CD 的中点为E ，则点P 到直线AE 的最短距离是10.其中正确的命题有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，延长QC 到Q '，使1CQ '=，由点Q 为1CC 的中点，得平面ABCD 是线段QQ '的中垂面，连接111,A Q A C '，则PQ PQ '=，111PA PQ PA PQ AQ ''+=+≥===,当且仅当点P 为直线1A Q '与平面ABCD 的交点时取等号，①正确；连接1BC ，四边形11ABC D 是正方体1AC 的对角面，则四边形11ABC D 是矩形，即11//BC AD ，显然1111A B BC AC ==，则11π3A BC ∠=，11A BC ∠的平分线与直线11,BA BC 都成π6的角，显然在空间过点B 作与直线11,BA AD 都成π6角的直线只有1条，则过空间任意点作与直线11,BA AD 都成π6角的直线只有1条，②错误；当点P 为BC 的中点时，取1,BB BA 的中点,F G ，连接1,,,CG CF GF C P ，显然Rt BCF ≌1Rt CC P ，则1BCF CC P ∠=∠，111π2CPC BCF CPC CC P ∠+∠=∠+∠=，即有1CF C P ⊥，而11D C ⊥平面11BCC B ，CF ⊂平面11BCC B ，则11CF D C ⊥，又1111111,,D C C P C D C C P =⊂ 平面11D C P ，于是CF ⊥平面11D C P ，而1D P ⊂平面11D C P ，因此1CF D P ⊥，同理1CG D P ⊥，显然,,CG CF C CG CF =⊂ 平面CGF ，所以CGF △是平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面，其周长为25GF CG CF ++=，③错误；由于1BB ⊥平面ABCD ，则点P 到直线1BB 距离等于PB ，即点P 到点B 的距离等于它到直线AD 的距离，因此点P 轨迹是以点B 为焦点，直线AD 为准线的抛物线在正方形ABCD 及内部，以线段AB 中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，点P 轨迹方程为24(02)y x y =≤≤，直线AE 的方程为22y x =+，令000(,21)P x x x ≤，因此点P 到直线AE ：220x y -+=的距离0020|222|213()25525x x d x -+=-+，于是当014x =，即点1(,1)4P 时，min 3510d =所以正确命题的个数为2.故选：C4．（2024·全国·高三专题练习）在空间直角坐标系O xyz -中，已知点()1,0,2A ，()0,2,1B ，点C ，D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD的最小值是（）AB C ．2D 【答案】B【解析】设(),0,0C x ，()0,,0D y ，且()1,0,2A ，()0,2,1B ，∴()1,,2AD y =-- ，(),2,1BC x =-- ，又AD BC ⊥，∴220AD BC x y ⋅=--+=，即22x y +=．∵(),,0CD x y =-，∴CD =当且仅当45y =时等号成立.故选：B5．（2024上·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形，1AA =且该棱柱外接球O 的表面积为20π，E 为线段AB 上一点．则当该四棱柱的体积取最大值时，1D E CE +的最小值为（）A ．6BC ．2D ．【答案】D【解析】设外接球O 的半径为R ，则球O 的表面积24π20πS R ==，所以R设矩形ABCD 的长和宽分别为x 和y ，则((2222x y ++=，所以228x y+=，)111122ABCD A B C D V x y -=≤+=，当且仅当2x y ==时取等号，即底面为边长为2的正方形时，四棱柱的体积最大.则有14BC ===，将平面ABCD 沿AB 展开，与11ABC D 处于同一平面，则11D E EC D C +≥=即平面图形中1,,D E C 三点共线时，1D E CE +有最小值故选：D 二、多选题6．（2024下·山东·高三校联考开学考试）在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,AB AA AD E ===为11A B 的中点，点P 满足1(01)DP DB λλ=<<，则（）A ．若M 为1A D 的中点，则三棱锥P BEM -体积为定值B ．存在点P 使得AP BE ⊥C ．当23λ=时，平面PBC 截长方体1111ABCD A B C D -D ．若Q为长方体1111ABCD A B C D -外接球上一点，23λ=，则3QE QP +【答案】ACD【解析】对于A ：因为M 为1A D 的中点，E 为11A B 的中点，所以1//DB EM ，1DB ⊄面BEM ，EM ⊂面BEM ，所以1//DB 面BEM ，故A 正确；则P 到面BEM 的距离为定值，所以体积为定值．对于B ：AP 在平面11ABB A 的投影为1AB ，设P 在平面11ABB A 的投影为G ，则G 在直线1AB 上.则PG ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，所以PG BE ⊥，若AP BE ⊥，PG AP P ⋂=，所以BE ⊥平面APG ，1AB ⊂平面APG ，则1AB BE ⊥，因为四边形11ABB A 为正方形，所以1AB 与BE 不垂直，所以B 错．对于C ：平面PCD 与平面1B CD 重合，平面1B CD 与平面11DCB A 重合，所以延长CP 会与11A B 有交点，因为123DP DB =，所以延长CP 与11A B 交于点E ，取11C D 中点F ，则平面PBC 截长方体1111ABCD A B C D -所得截面为矩形BCFE C 正确；对于D ：长方体1111ABCD A B C D -外接球球心为1B D 中点，半径为132,23DP DB =，由阿氏球得，在直线1B D 上必存在一点N ，使得3QP QN =，此时点N 在1DB 延长线上，且满足13B N =，以D 为原点，建系如图，13,6DB DN ==所以12DN DB =，则()4,2,4N ，因为()1,1,2E ，所以min min (3)()QE QP QE QN NE +=+==D 正确.故选：ACD.7．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，动点M 满足1AM xAB y AD z AA =++，(,,R x y z ∈且0,0,0)x y z ≥≥≥，下列说法正确的是（）A ．当[]1,0,0,14x z y ==∈时，1B M MD +B ．当11,2x y z ===时，异面直线BM 与1CD 所成角的余弦值为105C ．当1x y z ++=，且3AM =时，则M 的轨迹长度为3D ．当1,0x y z +==时，AM 与平面11AB D 所成角的正弦值的最大值为3【答案】AD【解析】对于A ，在AB 上取点H ，使14AH AB = ，在DC 上取点K ，使14DK DC =，因为[]1,0,0,14x z y ==∈，即14AM AB y AD =+ ，故M 点在HK 上，将平面11B HKC 与平面AHKD 沿着HK 展开到同一平面内，如图：连接1B D 交HK 于P ，此时,,B P D 三点共线，1B M MD +取到最小值即1B D 的长，由于113,422AH AB BH ==∴= ，则152B H ==，故11513,22A B B D =+=∴即此时1B M MD +A 正确；对于B ，由于11,2x y z ===时，则111122AM AB AD AA AC CC =++=+ ，此时M 为1CC 的中点，取11C D 的中点为N ，连接,,BM MN BN，则1MN CD ∥,故BMN ∠即为异面直线BM 与1CD 所成角或其补角，又112MN CD BM ===3BN ===，故2222223cos 2BM MN BN BMN BM MN +-+-∠===⋅而异面直线所成角的范围为π(0,]2，故异面直线BM 与1CD B 错误；对于C ，当1x y z ++=时，可得点M 的轨迹在1A BD 内（包括边界），由于1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故1CC BD ⊥，又BD AC ⊥，11,,AC CC C AC CC =⊂ 平面1ACC ，故BD ⊥平面1ACC ，1AC ⊂平面1ACC ，故1BD AC ⊥，同理可证11A B AC ⊥,11,,A B BD B A B BD =⊂ 平面1A BD ，故1AC ⊥平面1A BD ，设1AC 与平面1A BD 交于点P ，由于11113222324A A BD A ABD VV --=⨯⨯==⨯⨯，1A BD 为边长为A 到平面1A BD的距离为43AP =若AM =，则MP =，即M 点落在以P 为圆心，3为半径的圆上，P 点到1A BD 三遍的距离为31223<，即M 点轨迹是以P 为圆心，3为半径的圆的一部分，其轨迹长度小于圆的周长42π3，C 错误；对于D ，因为11,B D BD BD ⊄∥平面11AB D ，11B D ⊂平面11AB D ，故BD ∥平面11AB D ，因为当1,0x y z +==时，AM AB AD =+，即M 在BD 上，点M 到平面11AB D 的距离等于点B 到平面11AB D 的距离，设点B 到平面11AB D 的距离为d ，则111111111142223323B AB D ABB ABB D V V S A D --==⋅=⨯⨯⨯⨯= ，11AB D 为边长为(12114333A BD S d d ⋅=⨯= ，解得3d =，又M 在BD 上，当M 为BD 的中点时，AM ，设直线AM 与平面11AB D 所成角为π,[0,2θθ∈，则3sind AM AM θ==AM 与平面11AB D D 正确，故选：AD8．（2024下·江西·高三校联考开学考试）化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式6SF ）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体E ABCD F --的（如图2）棱长为2，则（）A ．正八面体E ABCD F --的内切球表面积为8π3B ．正八面体E ABCD F --的外接球体积为8π3C ．若点P 为棱EB 上的动点，则AP CP +的最小值为D ．若点Q 为棱AF 上的动点，则三棱锥E QBC -的体积为定值223【答案】ACD【解析】对于A 项，设该正八面体内切球的半径为r ，由内切球的性质可知正八面体的体积111822sin60222323V r =⨯⨯⨯⨯⨯⋅=⨯⨯⨯ ，解得3r =，故它的内切球表面积为28π4π3⨯=⎝⎭，故A 项正确；对于B 项，设该正八面体外接球的半径为R ，由图知，ABCD 是正方形，222OA OB OC OD ====,在Rt EOB △中，OE ==,利用对称性知OF =故点O 为正八面体外接球的球心，则R =，所以正八面体外接球的体积为3，故B 项错误；对于C 项，如图，因ABE 与BCE 是边长为2的全等的正三角形，可将BCE 翻折到BCE ' ，使其与ABE 共面，从而得到一个菱形ABC E '.连接AC 与BE 相交于点P ，此时,AP EB C P EB '⊥⊥,322AP C P '==⨯则AP CP +取得最小值为故C 项正确；对于D 项，易知AF //EC ，因为AF ⊄平面,EBC EC ⊂平面EBC ，所以AF //平面EBC ，所以1122323E QBC Q EBC A EBC E ABC V V V V ----====⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥，故D 项正确.故选：ACD.9．（2024下·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，动点M 在棱1DD 上，记平面1BC M 截正方体所得的截面图形为Ω，则（）A ．平面1A BC ⊥平面11BC DB ．不存在点M ，使得直线CM //平面11BA CC ．1B M CM +的最小值为D ．Ω的周长随着线段DM 长度的增大而增大【答案】ACD【解析】由于正方体的对角面相互垂直，故A 正确；当点M 与1D 重合时，直线CM //平面11BA C ，故B 错误；将四边形11DCC D 翻折至与四边形11BB D D 共面，则11B M CM B C +≥=C 正确；当0DM =时，Ω为1BC D ，且1BC D 的周长为当2DM =时，Ω为四边形11ABC D ，且四边形11ABC D 的周长为4+当02DM <<时，如图，过点M 作MN //1AD ，易得MN //1BC ，所以Ω为四边形1MNBC ，设DM x =，四边形1MNBC 的周长为l ，则()l x =，所以()l x '=()0l x '>，解得04x <<，所以()l x 在()0,2上单调递增，所以Ω的周长随着线段DM 长度的增大而增大，故D 正确．故选:ACD ．10．（2024下·江西上饶·高二上饶市第一中学校考开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB E F =,,分别为1,BB CD 的中点，点P 满足1,[0,1]BP BC =∈λλ，则（）A ．1A F ⊥平面1AD EB ．三棱锥1P AD E -的体积与P 点的位置有关C ．1DP B P +的最小值为4+D ．当10,3λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，平面PEF 截正方体的截面形状为五边形【答案】AD【解析】A 选项，以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则11(4,0,0),(4,4,2),(0,0,4),(0,2,0),(4,0,4)A E D F A =则11(4,0,4),(4,2,4),(0,4,2)AD A F AE =-=--= ，11(4)(4)024(4)0,A F AD ⋅=-⨯-+⨯+⨯-=1(4)024(4)20,A F AE ⋅=-⨯+⨯+-⨯=所以111,A F AD A F AE ⊥⊥，又1,AE AD A AE ⋂=⊂平面11,AD E AD ⊂平面1AD E ，所以1A F ⊥平面1AD E ，故A 正确；B 选项，因为在正方体1111ABCD A BCD -中，11//AB C D 且11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，因此11//BC AD ，又1BC ⊂/平面11,AED AD ⊂平面1AED ，所以1//BC 平面1AED ，因此棱1BC 上的所有点到平面1AED 的距离都相等，又P 是棱1BC 上的动点，所以三棱锥1P AED -的体积始终为定值，故B 错；C 选项，11(4,4,0),(0,4,4),(4,4,4)B C B ，因为1,[0,1]BP BC =∈λλ，所以(44,4,4)P -λλ，所以1(44,4,4),(4,0,44)DP B P =-=-- λλλλ，2211323232323216DP B P DP B P λλλλ+=+=-+-+ 2211322432822λλ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[0,1]λ∈又，当12λ=时，1DP B P +有最小值，最小值为2622C 错误；D 选项，连接EC ，取1AA 中点为G ，当EC 与1BC 交点为点P 时，平面PEF 截正方体截面图形ECDG 为四边形，如下图1，此时11~,~,,PM MC PM BM PMC EBC PMB C CB EB BC CC BC == ，此时13λ=，当103λ<<时，如下图2，截面为五边形EBFKL ，故D 正确；故选∶AD11．（2024下·湖北·高二应城市第一高级中学校联考开学考试）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P满足1DP DD DA λμ=+，[]0,1λ∈，[]0,1u ∈，则下面结论正确的是：（）A ．当λμ=时，1BP AC ⊥B ．当12μ=时，三棱锥11C PB C -的体积为定值C ．当1λμ+=时，直线CP 与平面11BCC B 所成的角不可能为π3D ．当1λμ+=时，PC PB +【答案】ABC 【解析】根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,A B C D ()()()()11110,0,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1A B C D .故()()10,0,1,0,1,0DD DA ==- ，因为1DP DD DA λμ=+，故()0,,DP μλ=- ，故()0,1,P μλ-对于A ，当λμ=时，()0,1,P λλ-，故()1,1,BP λλ=--，而()11,1,1AC = ，故1110BP AC λλ⋅=-+-+= ，故1BP AC ⊥，故A 成立.对于B ，因为()0,1,P μλ-，故P 在平面11ADD A ，故P 到平面11B C C 的距离为1，而11B C C △的面积为定值，故11P C B C V -为定值，故11C PB C V -为定值，故B 正确.对于C ，()0,,P λλ，故()1,1,CP λλ=-- ，而平面11BCC B 的法向量为()1,0,0AB =，设直线CP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则sin AB CP AB CP θ⋅= 因为[]0,1λ∈，故23131424λ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，故sin 232θ≤，故θ不可能为π3，故C 错误.对于D ，由C 的分析可得()0,,P λλ且()1,1,CP λλ=-- ，()1,,BP λλ=-，故PC PB +==，设(),0M λ，1,2N S ⎛⎛⎝⎭⎝⎭，1,2N ⎛ ⎝⎭'，如下图，故))PC PB MN MS MNMS '+=+=+S'D 错误.12．（2024下·重庆·高三重庆八中校考开学考试）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，12AA =，点P 在底面ABCD 内运动（含边界），点Q 满足[]1,0,1CQ mCC m =∈ ，则（）A ．当12m=时，1A P PQ +B ．当14m =时，存在点P ，使1A PQ ∠为直角C ．当78m =时，满足11D P A Q ⊥的点P 的轨迹平行平面1C BD D ．当116m =时，满足1A P PQ ⊥的点P 的轨迹围成的区域的面积为π4【答案】ACD【解析】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()11,0,2,0,1,1A Q ，则点Q 关于平面ABCD 的对称点为()0,1,1Q '-，连接1A Q '，与平面ABCD 的交点即为使得1A P PQ +取最小值的点P ，此时11A P PQ AQ +=='A 正确；B 选项，当14m =时，()111,0,2,0,1,2A Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),,0P s t ，则()222114A P s t =-++，()222114PQ s t =+-+，22111711224A Q ⎛⎫=++-=⎪⎝⎭，令22211A P PQ A Q +=，即()()222211714144s t s t -++++-+=，故()()2222110s t s t -+++-=，则需满足10,0,0,10s s t t -===-=，不合要求，故不存在点P ，使1A PQ ∠为直角，B 错误；C 选项，当78m =时，()()1171,0,2,0,1,,0,0,24A Q D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),,0P s t ，则()()11710,1,1,0,21,1,,,,244A Q D P s t ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11111,1,,,2042A Q D P s t s t ⎛⎫⋅=--⋅-=-++= ⎪⎝⎭ ，在平面ABCD 中画出(),,0P s t 点的轨迹，如图所示，其轨迹为线段MN ，其中,M N 分别为,AD AB 的中点，其中//MN BD ，又BD ⊂平面1C BD ，MN ⊄平面1C BD ，故//MN 平面1C BD ，当78m =时，满足11D P A Q ⊥的点P 的轨迹平行平面1C BD ，C 正确；D 选项，当116m =时，()111,0,2,0,1,8A Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),,0P s t ，则()111,,2,,1,8A P s t PQ s t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ，则()221111,,2,1,084A P PQ s t s t s s t t ⎛⎫⋅=--⋅--=-+-+-= ⎪⎝⎭ ，即22111224s t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点P 的轨迹为以11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，刚好与正方形ABCD 相切，故面积为211ππ24⎛⎫= ⎪⎝⎭，当116m =时，满足1A P PQ ⊥的点P 的轨迹围成的区域的面积为1π4，D 正确.故选：ACD13．（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）在三棱锥1A ABC -中，1A A ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，13AA AB AC ===，P 为1A BC 内的一个动点（包括边界），AP 与平面1A BC 所成的角为45 ，则（）A ．1A P -B ．1A P C ．有且仅有一个点P ，使得1A P BC ⊥D ．所有满足条件的线段AP 【答案】ACD【解析】因为1A A ⊥平面ABC ，,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,A A AB A A AC ⊥⊥，又1,3AB AC AA AB AC ⊥===，所以11A B AC BC ===取BC 的中点M ，则1,AM BC A M BC ⊥⊥，又11,,AM A M M AM A M =⊂ 平面1A AM ，所以BC ⊥平面1A AM ，过A 作1AH A M ⊥于H ，因为AH ⊂平面1A AM ，所以AH BC ⊥，又11,,A M BC M A M BC =⊂ 平面1A BC ，所以AH ⊥平面1A BC ，所以APH ∠为AP 与平面1A BC 所成的角的平面角，因为1A A ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，则1A A AM ⊥，又在1Rt A AM V中，113,2A A AM BC ==1A M =所以11AA AM AH A M ⋅=因为45APH ∠=︒，所以AH HP =，AP =所以点P 轨迹是以H1A BC内部的一部分，如图，所以1A P的最小值为1A H HP -，故A 正确；由于轨迹圆部分在平面1A BC 外部，所以1A P的最大值不等于1A H HP +，故B 错误；因为BC ⊥平面1A AM ，1A M ⊂平面1A AM ，所以1BC A M ⊥，若1A P BC ⊥，则点P 在线段1A M 上，有且仅有一个点P 满足题意，故C 正确；动线段AP 形成的曲面为圆锥AH 侧面积的一部分，易知三棱锥1A A BC -是正三棱锥，AH ⊥平面1A BC ，故H 为等边1A BC 的中心，所以11133HM A M ==，因为11cos 2HM B HM HB ∠==，所以1π4B HM ∠=，因为π2π23142π4-⨯⨯=，所以曲面面积为圆锥侧面面积的14，圆锥AH侧面积为π=，所以所有满足条件的动线段AH形成的曲面面积为4，故D 正确.故选：ACD.14．（2024上·江苏常州·高三统考期末）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上运动（包括端点），下列说法正确的有（）A ．存在点P ，使得⊥CP 平面1A DBB ．不存在点P ，使得直线1C P 与平面1A DB 所成的角为30 C ．PC PD +的最小值为D ．以P 为球心，PA 为半径的球体积最小时，被正方形11ADD A 截得的弧长是π3【答案】BCD 【解析】方法一：如图，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()2,2,0B ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()10,2,2C ，()12,2,2BD =-- ，()12,2,2AC =-,1BP BD λ=，则()22,22,2P λλλ--，对于A ，因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11AB A B ⊥，11AD A D⊥由三垂线定理得11AC A B ⊥，11AC A D ⊥，因为111A B A D A = ，11,A B A D ⊂平面1A DB ，所以1AC ⊥平面1A DB ，()12,2,2AC =-是平面1A BD 一个法向量，假设⊥CP 面1A DB ，则()22,2,2CP λλλ=--与()2,2,2-共线矛盾，假设不成立，A 错．对于B ，若存在P ，1C P 与1A DB 所成角为30 ，则160AC P ∠= 或120︒，11,60C A C P 〈〉= 或120︒，111112C A C P C A C P ⋅∴=λ=假设不成立，B 对．对于C，PC PD +==．表示(),0P λ与2,33E ⎛⎝⎭，1,33F⎛- ⎝⎭距离之和，1PEPF EF +≥=，PC PD +≥C 对．对于D，PA =13λ=时PA 最小，442,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，PA =，设截面小圆的圆心为N ，半径为r ，则NP ⊥平面11ADD A ，所以42,0,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3r ==，因为3NA ==，所以球与面11ADD A N 因为190A AD ∠=︒，所以Q 在正方形11ADD A内轨迹为半圆，弧长12233=⋅⋅=ππ，选项D 正确；。
与最值有关的几何动点问题
与最值有关的几何动点问题
1.最短路径问题：给定平面上两点A和B，从A到B的所有路径中，哪一条路径最短？这个问题可以通过把这些路径看作是两个动点在平面上的运动轨迹，然后求它们的最短距离来解决。
2. 最大面积问题：给定平面上一组点，它们可以组成的所有三角形中，哪一个三角形的面积最大？这个问题可以通过把这些点看作是三角形的三个顶点，然后求它们组成的所有三角形的面积来解决。
3. 最小外接矩形问题：给定平面上一组点，它们可以组成的所有矩形中，哪一个矩形的面积最小？这个问题可以通过把这些点看作是矩形的四个顶点，然后求它们组成的所有矩形的面积来解决。
4. 最大圆问题：给定平面上一个点集，它们可以组成的所有圆中，哪一个圆的半径最大？这个问题可以通过把这些点看作是圆心，然后求它们组成的所有圆的半径来解决。
5. 最小覆盖圆问题：给定平面上一个点集，找到一个圆，使得这个点集中的所有点都在这个圆内或者在圆上。
这个问题可以通过把这些点看作是圆周上的点，然后找到一个圆使得这些点都在圆内或者在圆上来解决。
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专题44：第8章几何中的最值问题之三角形的面积-备战2021中考数学解题方法系统训练(解析版)
44第8章几何中的最值问题之三角形的面积一、单选题1．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】D【解答】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48，故选：D．【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．2．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A．4cm2B．8cm2C．12cm2D．16cm2【答案】B【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°∴AB=AC=4cm，∴S△ABC=12×4×4=8cm2．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．3．如图，已知直线5-512y x=与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以D（0，2）为圆心，2为半径的⊙D上的一个动点，连接AC、AB，则△ABC面积的最小值是（）A．30 B．29 C．28 D．27 【答案】B【分析】过D作DM⊥BC于M，连接BD，则由三角形面积公式得，12BC×DM=12OB×CD，可得DM，可知圆D上点到直线5-512y x=的最小距离，由此即可解决问题．【解答】过D作DM⊥BC于M，连接BD，如图，令0y =，则12x =，令0x =，则5y =-，∴B （12，0），C （0，-5），∴OB=12，OC=5，BC=2222125OB OC +=+=13，则由三角形面积公式得，12BC×DM=12OB×CD ， ∴DM=8413， ∴圆D 上点到直线5-512y x =的最小距离是845821313-=， ∴△ABC 面积的最小值是1581329213⨯⨯=． 故选：B ．【点评】本题考查了一次函数的应用、勾股定理的应用、圆的有关性质，解此题的关键是求出圆上的点到直线BC 的最大距离以及最小距离．4．如图，∠AOB ＝45°，点M 、N 分别在射线OA 、OB 上，MN ＝6，△OMN 的面积为12，P 是直线MN 上的动点，点P 关于OA 对称的点为P 1，点P 关于OB 对称点为P 2，当点P 在直线NM 上运动时，△OP 1P 2的面积最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．18【答案】B【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小．【解答】解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．∵S△OMN＝12•MN•OH＝12，MN＝6，∴OH＝4，∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°，∴△OP1P2是等腰直角三角形，∴OP＝OP1最小时，△OP1P2的面积最小，根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，∴△OP1P2的面积的最小值＝12×4×4＝8，故选：B．【点评】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP1P2是等腰直角三角形，属于中考常考题型．5．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E 逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（）A ．16B ．15C ．12D ．11【答案】B 【分析】过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【解答】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ， ∴△FEH ∽△EBA ，∴ ,HF HE EF AE AB BE== G 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴==∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴==CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．【点评】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．二、填空题6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点D 为AB 边上一点（不与点B 重合），连接CD ，将线段CD 绕点D 逆时针旋转90°，点C 的对应点为E ，连接BE ．若AB ＝6，则△BDE 面积的最大值为_________．【答案】818【分析】作CM ⊥AB 于M ，EN ⊥AB 于N ，根据AAS 证得EDN ≌DCM ，得出EN ＝DM ，然后解直角三角形求得AM ＝3，得到BM ＝9，设BD ＝x ，则EN ＝DM ＝9﹣x ，根据三角形面积公式得到S △BDE ＝12BD EN ⋅＝12x （9﹣x ）＝﹣12（x ﹣4.5）2+818，根据二次函数的性质即可求得． 【解答】解：作CM ⊥AB 于M ，EN ⊥AB 于N ，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在EDN和DCM中DEN CDMEND DMC90 ED DC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴EDN≌DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM＝12AC＝12⨯6＝3，∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，∴S△BDE＝12BD EN⋅＝12x（9﹣x）＝﹣12（x﹣4.5）2+818，∴当BD＝4.5时，S△BDE有最大值为81 8，故答案为：81 8．【点评】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和求最值，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值．7．如图，⊙O 的直径为5，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA ＝4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A ，B 重合），过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．则△PCD 的面积最大为______________．【答案】503【分析】由圆周角定理可知A P ∠=∠，再由90ACB PCD ∠=∠=︒可证明~ACB PDC ，最后根据相似三角形对应边成比例，及已知条件BC ：CA ＝4：3，结合三角形面积公式解题即可．【解答】AB 为直径，90ACB ∴∠=︒PC CD ⊥，90PCD ∴∠=︒又CAB CPD ∠=∠~ACB PDC ∴AC BC CP CD∴= BC ：CA ＝4：3，43CD PC ∴= 当点P 在弧AB 上运动时， 12PCD S PC CD =⋅△ 2142233PCD S PC PC PC ∴=⨯⋅= 当PC 最大时，PCD S 取得最大值而当PC 为直径时最大，22505=33PCD S ∴=⨯．【点评】本题考查圆周角定理、三角形面积、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是_____．【答案】2【分析】五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积只要求出△CDP面积的最小值，作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP 的面积最小．【解答】解：∵五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积，∴只要求出△CDP面积的最小值，作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小，易知AD＝2，∵四边形ABCD的面积＝12（1+3）×2＝4＝12×1×1+12•AD•OH+12•1•3，∴OH2，∴PH2﹣11，∴△CAD的面积最小值为22，∴五边形ABCDP面积的最大值是4﹣（22）＝2．故答案为2+2．【点评】本题主要考查了求解多边形的面积知识点，结合圆的切线的性质进行求解是解题的重要步骤．9．如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BC=23，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．【答案】42a-23【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，可计算a的值，从而得结论．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，3，∴AB=2，AC=4，∵AG=a，∴CG=4a-，如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=12CG=42a-，则点G到BC边的距离为42a-，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH=422a--=2a，∴S△ADG113232222a aAD MG=⋅=⨯⨯=，当a最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴42aa -=，∴43a =， ∴△ADG 的面积的最小值为34233⨯=， 故答案为：42a -，233． 【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG 的面积最小时点G 的位置是解答此题的关键．10．如图，直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P 在抛物线1(2)(4)2y x x =--上，则△ABP 面积的最小值为__________．【答案】152【分析】根据直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，计算得直线AB 解析式；平移直线AB 到直线CD ，直线CD 当抛物线相交并只有一个交点P 时，△ABP 面积为最小值，通过一元二次方程和抛物线的性质求得点P 坐标；再利用勾股定理逆定理，证明ABP △为直角三角形，从而计算得到△ABP 面积的最小值．【解答】设直线AB 为y kx b =+∵直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)∴024k b b =-+⎧⎨-=⎩∴24k b =-⎧⎨=-⎩ ∴直线AB 为24y x =--如图，平移直线AB 到直线CD ，直线CD 为2y x p =-+当2y x p =-+与抛物线1(2)(4)2y x x =--相交并只有一个交点P 时，△ABP 面积为最小值∴()()21242y x py x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩∴22820x x p -+-=∴()44820p ∆=--= ∴72p =∴2210x x -+=∴1x =将1x =代入1(2)(4)2y x x =--，得32y = ∴31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭∴()2223451224AP ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭2231251424BP ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭2222420AB∴222AB AP BP +=∴ABP △为直角三角形，90BAP ∠= ∴113515=25222ABP AB A S P ⨯=⨯=△即△ABP 面积的最小值为152 故答案为：152． 【点评】本题考查了二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．三、解答题11．如图，已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是(1，0)，C 点坐标是(4，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P 是抛物线上AC 下方的一个动点，是否存在点p ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线y ＝x 2-4x +3;（2）D(2，1)；（3）点P 的坐标为5(2，3)4- 【分析】（1）（1） 将A 、C 坐标代入即可；（2）由于BC 长度不变， 要周长最小， 就是让DB DC 最小， 而A 、B 关于对称轴对称， 所以AC 就是DB DC 的最小值， 此时D 点就是AC 与抛物线对称轴的交点；【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A ，点(4,3)C ，∴3016433ab a b ，解得14a b ==-⎧⎨⎩， 所以，抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）243(1)(3)y x x x x ，(3,0)∴B ，抛物线的对称轴为2x =； BC 长度不变，BD DC 最小时，BCD ∆的周长最小， A 、B 是关于抛物线对称轴对称的，∴当D 点为对称轴与AC 的交点时，BD DC +最小， 即BCD ∆的周长最小，如图，∴21x y x ，解得：21x y =⎧⎨=⎩，(2,1)D ∴，∴抛物线对称轴上存在点(2,1)D ，使BCD ∆的周长最小；（3）存在，如图，设过点P 与直线AC 平行线的直线为y x m =+，联立243yx m y x x， 消掉y 得，2530x x m ， 2(5)41(3)0m ， 解得：134m =-， 即134m =-时，点P 到AC 的距离最大，ACP ∆的面积最大， 此时52x =，5133244y ， ∴点P 的坐标为5(2，3)4-， 设过点P 的直线与x 轴交点为F ，则13(4F ，0)， 139144AF ， 直线AC 的解析式为1y x =-，45CAB ∴∠=︒，∴点F 到AC 的距离为9292sin 454AF ， 又223(41)32AC ， ACE ∴∆的最大面积122732288=⨯=． 【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题，熟悉相关性质是解题的关键．12．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；（3）求△FCG的面积的最小值．【答案】（1）2‘（2）1；（3）（37．【分析】（1）当四边形EFGH为正方形时，则易证AHE≌△DGH，则DG=AH=2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2），进而可求三角形面积；（3）先设DG=x，由第（2）小题得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求37，从而可得当37GCF的面积最小．【解答】解：（1）∵四边形EFGH为正方形，∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠AHE，∴△AHE≌△DGH（AAS），∴DG=AH=2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB ∥CD ，∴∠AEG=∠MGE ，∵HE ∥GF ，∴∠HEG=∠FGE ，∴∠AEH=∠MGF ，在△AHE 和△MFG 中，∠A=∠M=90°，HE=FG ，∴△AHE ≌△MFG （AAS ），∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2，因此S △FCG =12×FM×GC=12×2×（7-6）=1； （3）设DG=x ，则由（2）得，S △FCG =7-x ，在△AHE 中，AE≤AB=7，∴HE 2≤53，∴x 2+16≤53，∴37∴S △FCG 的最小值为37，此时37，∴当37FCG 的面积最小为（37．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．13．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．【答案】(1)抛物线的表达式为：223y x x =--；(2)POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916；(3) 3,3)Q -或()3,23或11311322⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1133313--+⎝⎭． 【分析】（1）函数的表达式为：y=a （x+1）（x-3），将点D 坐标代入上式，即可求解；（2）设点()2,23P m m m --，求出32OG m =+，根据()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++，利用二次函数的性质即可求解； （3）分∠ACB=∠BOQ 、∠BAC=∠BOQ ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ 倾斜角，进而求解．【解答】解：(1)函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =，故抛物线的表达式为：223y x x =--…①；(2)设直线PD 与y 轴交于点G ，设点()2,23P m m m --，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得，直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+，()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++， ∵10-<，故POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916； (3)∵3OB OC ==，∴45OCB OBC ︒∠=∠=，∵ABC OBE ∠=∠，故OBE ∆与ABC ∆相似时，分为两种情况：①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，32BC =，10AC =，过点A 作AH ⊥BC 与点H ，1122ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯，解得：22AH =， ∴CH 2则tan 2ACB ∠=，则直线OQ 的表达式为： 2 y x =-…②， 联立①②并解得：3x =±， 故点(3,23)Q -或()3,23-；②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠， 则直线OQ 的表达式为： 3 y x =-…③，联立①③并解得：113x -±=， 故点1133313,22Q ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1133313,⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭； 综上，点(3,23)Q -或()3,23-或113113,⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1133313,⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．14．已知抛物线y ＝a （x ﹣1）2过点（3，4），D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B 、C 均在抛物线上，其中点B （0，1），且∠BDC ＝90°，求点C 的坐标：（3）如图，直线y ＝kx +1﹣k 与抛物线交于P 、Q 两点，∠PDQ ＝90°，求△PDQ 面积的最小值．【答案】（1）y ＝（x ﹣1）2；（2）点C 的坐标为（2，1）；（3）1【分析】（1）将点（3，4）代入解析式求得a的值即可；（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0＝（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得BO DF DO CF=，即1＝0x1y-＝()1x1-，据此求得x0的值即可得；（3）过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG＝4，根据S△PDQ＝12DG•MN列出关于k的等式求解可得．【解答】解：（1）将点（3，4）代入解析式，得：4a＝4，解得：a＝1，所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2；（2）由（1）知点D坐标为（1，0），设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），则y0＝（x0﹣1）2，如图1，过点C作CF⊥x轴，∴∠BOD＝∠DFC＝90°，∠DCF+∠CDF＝90°，∵∠BDC＝90°，∴∠BDO+∠CDF＝90°，∴∠BDO＝∠DCF，∴△BDO∽△DCF，∴BO DFDO CF=，∴1＝0x1y-＝()1x1-，解得：x0＝2，此时y0＝1，∴点C 的坐标为（2，1）．（3）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 为（x 2，y 2），（其中x 1＜1＜x 2，y 1＞0，y 2＞0），如图2，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，由y=(x-1)2 ，y=kx+1-k ，得x 2﹣（2+k ）x+k ＝0．∴x 1+x 2＝2+k ，x 1•x 2＝k ．∴MN ＝|x 1﹣x 2|＝()21212x x 4x x +-＝()22k 4k +-＝|2﹣k|．则过点D 作x 轴的垂线交直线PQ 于点G ，则点G 的坐标为（1，1），所以DG ＝1，∴S △PDQ ＝12DG•MN ＝12×1×|x 1﹣x 2|＝()212121x x 4x x 2+-＝12|2﹣k|， ∴当k ＝0时，S △PDQ 取得最小值1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．15．如图，已知二次函数213222y x x =-++的图象交x 轴于A (－1，0),B (4，0)，交y 轴于点C ，点P 是直线BC 上方抛物线上一动点（不与B ,C 重合），过点P 作PE ⊥BC ，PF ∥y 轴交BC 与F ，则△PEF 面积的最大值是___________．【答案】45【分析】先证明△PEF ∽△BOC,得出PE EF PF BO OC BC ==，再根据122y x =-+，得出关于x 的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF 面积最大值． 【解答】解：设213,222P x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(0<x<4)， 抛物线213222y x x =-++与y 轴交于C 点，故C(0,2)，∵PF ∥y 轴，PE ⊥BC ，∴∠PFE=∠BCO,又∵∠PEF=∠BOC=90°,∴△PEF ∽△BOC, ∴PE EF PFBO OC BC == ,把B(4,0),C(0,2)代入直线BC 的解析式为122y x =-+， 点1,22F x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∴221312(2)22222P F x PF y y x x x x =-=-++--+=-+，∴PE=BO·PF BC =4×22221225524x x-+==+ ， EF=OC·PF BC =2×2222211122(2)2225524x x x x x x -+-+-==+ ， ∴221(2)1225PEF x x S PE EF -=⋅= =2221(2)(2)42520x x x ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤--+⎣⎦⎣⎦=，当2x =时，PEF S △取值最大，∴PEF S △的最大值为244205=，故答案为45．【点评】本题考查了三角形的面积及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质及用含x 的代数式表示出三角形的面积是解题的关键．16．如图，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形；（2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的△MON的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点P是MN的中点时S△MON最小．理由见解析．【分析】（1）根据尺规作图，过P点作PN⊥OB于N，交OA于点M；（2）证明三角形全等得P为MN的中点，便可得到结论；（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，与MC交于于G，证明△PGM≌△PFN，得△PGM与△PFN的面积相等，进而得S四边形MOFG＝S△MON．便可得S△MON＜S△EOF，问题得以解决．【解答】（1）①在OB下方取一点K，②以P为圆心，PK长为半径画弧，与OB交于C、D两点，③分别以C、D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧交于E点，④作直线PE，分别与OA、OB交于点M、N，故△OMN就是所求作的三角形；（2）∵CM ∥OB ，∴∠C ＝∠PON ，在△PCM 和△PON 中，C PONPC PO CPH OPN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PCM ≌△PON （ASA ），∴PM ＝PN ，∴OP 平分△MON 的面积；（3）过点P 作另一条直线EF 交OA 、OB 于点E 、F ，设PF ＜PE ，与MC 交于于G ，∵CM ∥OB ，∴∠GMP ＝∠FNP ，在△PGM 和△PFM 中，PMG PNF PM PNMPG NPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△PGM ≌△PFN （ASA ），∴S △PGM ＝S △PFN∴S 四边形MOFG ＝S △MON ．∵S 四边形MOFG ＜S △EOF ，∴S △MON ＜S △EOF ，∴当点P 是MN 的中点时S △MON 最小．【点评】本题主要考查了图形的旋转性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中线性质，关键证明三角形全等．17．如图，已知A ，B 是线段MN 上的两点，4MN =，1MA =，1MB >，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M ，N 两点重合成一点C ，构成ABC ，设AB x =．（1）求x 的取值范围；（2）求ABC 面积的最大值．【答案】（1）12x <<；（2）22． 【分析】（1）由旋转可得到AC=MA=x ，BC=BN=3-x ，利用三角形三边关系可求得x 的取值范围；（2）过点C 作CD ⊥AB 于D ，设CD=h ，利用勾股定理表示出AD 、BD ，再根据BD=AB-AD 列方程求出h 2，然后求出△ABC 的面积的平方，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）∵4MN =，1MA =，AB x =，∴413BN x x =--=-．由旋转的性质，得1MA AC ==，3BN BC x ==-，由三角形的三边关系，得31,31,x x x x --<⎧⎨-+>⎩①② 解不等式①得1x >，解不等式②得2x <，∴x 的取值范围是12x <<．（2）如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，设CD h =，由勾股定理，得2221AD AC CD h -=-=，2222(3)BD BC CD x h =-=--， ∵BD AB AD =-， ∴222(3)1x h x h --=--，两边平方并整理，得2134-=-x h x ，两边平方整理，得()222832=x x h x -+-．∵ABC 的面积为1122AB CD xh ⋅=， ∴()2222113183222422S xh x x x ⎛⎫⎛⎫==-⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当32x =时，ABC 面积最大值的平方为12， ∴ABC 面积的最大值为22． 【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，勾股定理，二次函数的最值问题，（1）难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组，（2）难点在于求解利用勾股定理列出的无理方程．18．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系； （2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论； （3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【解答】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点， //PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =，PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =2522MN ∴==最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大． 19．问题提出（1）如图①，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝12，BC ＝16，则AC ＝ ；问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，点D是AC边上一点，且满足DA＝DB，则CD＝；问题解决（3）如图③，在Rt△ABC中，过点B作射线BP，将∠C折叠，折痕为EF，其中E为BC中点，点F在AC边上，点C的对应点落在BP上的点D处，连接ED、FD，若BC＝8，求△BCD面积的最大值，及面积最大时∠BCD的度数．【答案】（1）20；（2）5；（3）S△BCD＝16；∠BCD＝45°【分析】（1）由勾股定理可求解；（2）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠DBA，由余角的性质可得∠DBC＝∠C，可得DB＝DC＝AD＝12 AC＝5；（3）由中点的性质和折叠的性质可得DE＝EC＝4，则当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，由三角形面积公式和等腰直角三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，∴2214425620AC AB BC=++=，故答案为：20；（2）∵DA＝DB，∴∠A＝∠DBA，∵∠ABC＝90°∴∠A+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠C，∴DB＝DC，∴DB＝DC＝AD＝12AC＝5，故答案为：5；（3）∵E为BC中点，BC＝8，∵将∠C折叠，折痕为EF，∴DE＝EC＝4，当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，S△BCD＝12×BC×DE＝12×8×4＝16，此时∵DE⊥BC，DE＝EC，∴∠BCD＝45°．故答案为：S△BCD＝16；∠BCD＝45°．【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边中线问题以及三角形中的折叠问题；题目较为综合，其中熟练掌握定义定理是解题的关键．20．如图，已知边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别为AB，AD边上的动点，满足BE AF=，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD于点M，N，给出下列结论：①△CEF是等边三角形；②∠DFC ＝∠EGC；③若BE＝3，则BM＝MN＝DN；④222EF BE DF=+；⑤△ECF面积的最小值为273．其中所有正确结论的序号是______【答案】①②③⑤【分析】由“SAS”可证△BEC≌△AFC，可得CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，可证△EFC是等边三角形，由三角形内角和定理可证∠DFC＝∠EGC；由等边三角形的性质和菱形的性质可求MN＝DN＝BM＝23勾股定理即可求解EF2＝BE2＋DF2不成立；由等边三角形的性质可得△ECF 3EC2，则当EC⊥AB时，△ECF的最小值为34．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，∴△ABC，△ACD是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝∠DAC＝60°，∵AC＝BC，∠ABC＝∠DAC，AF＝BE，∴△BEC≌△AFC（SAS）∴CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF＝∠BCA＝60°，∴△EFC是等边三角形，故①正确；∵∠ECF＝∠ACD＝60°，∴∠ECG＝∠FCD，∵∠FEC＝∠ADC＝60°，∴∠DFC＝∠EGC，故②正确；若BE＝3，菱形ABCD的边长为6，∴点E为AB中点，点F为AD中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝12∠ABC＝30°，∴AO＝12AB＝3，BO3＝33∴BD＝3∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3，∴CE⊥AB，且∠ABO＝30°，∴BE3＝3，BM＝2EM，∴BM＝3同理可得DN＝23∴MN＝BD−BM−DN＝23∴BM＝MN＝DN，故③正确；∵△BEC ≌△AFC ，∴AF ＝BE ，同理△ACE ≌△DCF ，∴AE ＝DF ，∵∠BAD≠90°，∴EF 2＝AE 2＋AF 2不成立，∴EF 2＝BE 2＋DF 2不成立，故④错误，∵△ECF 是等边三角形，∴△ECF 面积的34EC 2， ∴当EC ⊥AB 时，△ECF 面积有最小值，此时，EC ＝33，△ECF 面积的最小值为2734，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤．【点评】本题是四边形综合题，考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．21．如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交于点()()()0, 31,03,0A B E --、、,点P 为抛物线上动点,设点P 的横坐标为t ．（1）若点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称,求C 点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限,连接PA PE 、及AE ,当t 为何值时,PAE ∆的面积最大?最大面积是多少?（3）是否存在点P ,使PAE ∆为以AE 为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223;y x x =--（2）当32t =时，S 有最大值278；（3）()()2,5,1,4-- 【分析】（1）根据抛物线上的对称点B 和E ，求出对称轴从而可求出C 点坐标．然后设出抛物线的交点式，再把点A 代入求出a 值即可求出抛物线的解析式；（2）过点P 作y 轴的平行线交AE 于点H ，分别根据抛物线和直线AE 的解析式表示出点P 和点H 的坐标，从而求出线段PH 的长，最后用含t 的式子表示∆APE 的面积，利用二次函数的性质求解；（3）根据两直线垂直时，它们的斜率之积为-1，可求得与直线AE 垂直的直线方程，最后联立方程组可求点P 的坐标．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++经过点()()1,03,0,B E -、 ∴抛物线的对称轴为1,x =点()0,3A -，点()2,3C -抛物线表达式为()()()23123,.y a x x a x x =-+=-- 33a ∴-=-,解得1,a =∴抛物线的表达式为223;y x x =--()2如图,过点P 作y 轴的平行线交AE 于点H由点,A E 的坐标得直线AE 的表达式为3,y x =-设点()2,23P t t t --，则(),3H t t - ()()22213333273233222228PAES PH OE t t t t t t ∆⎛⎫∴=•=--++=-+=--+ ⎪⎝⎭ 当32t =时，S 有最大值278()3直线AE 表达式中的k 值为1,则与之垂直的直线表达式中的k 值为1-① 当90PEA ︒∠=时，直线PE 的表达式为1,y x b =-+将点E 的坐标代人并解得13b =,直线PE 的表达式为3,y x =-+联立得2233y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩ 解得2x =-或3（不合题意，舍去）故点P 的坐标为()2,5-② 当90PAE ︒∠=时，直线PA 的表达式为2,y x b =-+将点A 的坐标代人并解得23b =,直线PE 的表达式为3,y x =--联立得2233y x x y x ⎧=--⎨=--⎩解得1x =或0（不合题意，舍去）故点()1,4P -综上，点P 的坐标为()2,5-或（1,-4)【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住两直线垂直时它们的斜率之积为-1；会利用分类讨论的思想解决数学问题．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx+b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为54，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）(﹣1，0)，y＝ax+a；（2）﹣25；（3）(1，﹣2677)或(1，﹣4)【分析】（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=-1，x2=3，可得A（﹣1，0），B（3，0），由于直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0）可得k＝b，即得直线l：y＝kx+k，联立抛物线与直线I的解析式为方程组，可得ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，由于CD＝4AC，可得点D的横坐标为4，利用根与系数关系可得﹣3﹣ka＝﹣1×4，求出k＝a，即得直线l的函数表达式为y＝ax+a；（2）如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），可得F（x，ax+a），从而得出EF ＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，由S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF，利用三角形面积公式，可得S△ACE的关系式，利用二次函数的性质即可求出结论．（3）分两种情况讨论，①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，据此分别解答即可．【解答】解：（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），得A（﹣1，0），B（3，0），∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），∴0＝﹣k+b，即k＝b，∴直线l：y＝kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴﹣3﹣ka＝﹣1×4，∴k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax+a（2）解：如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，。
专题四 几何最值问题
A.90°
B.80°
C.70°
B)
D.60°
2.如图所示,A,B两点的坐标分别为A(4,3),B(0,-3),在x轴上找一点P,使线段PA+PB的值最小,则点P
(2,0).
的坐标是
3.如图所示,在菱形 ABCD 中,AB=AC=10,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 M 在线段 AC 上,且 AM=3,点 P 为
定弦定角隐圆中的最值问题,常转化为点圆或线圆问题求解
[例8](2021广东)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线
段CD长度的最小值为 - .
▶跟踪训练三
1.(2021 鄂州)如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=2 ,BC=3.点 P 为△ABC 内一点,且满足 PA +
为 6 .
类型三
命题点1
模型
利用隐形圆求最值
点圆、线圆最值问题
一点一圆
平面内,一定点 A 和☉O 上一动点 P 的连线中,当连线过圆心 O 时,线段 PA 有最值,具体分以下情况,规定 OA=d,☉O 的半径
为r
定点在圆外
定点在圆上
定点在圆内
图形
问题
方法
在☉O 上确定一点 P,
使点 P 到点 A 的距离
最小
连接 OA,交☉O 于点
P, 点 P 即 为 所
求,PA=d-r
在☉O 上确定一点
P,使点 P 到点 A 的
距离最大
连接 AO 并延长交☉
O 于点 P,点 P 即为
所求,PA=d+r
在☉O 上确定一点 P,使点
中考数学常见几何模型最值模型-将军饮马
专题09 最值模型---将军饮马最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m 上，求一点P ，使PA +PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。
上图中A’是A 关于直线m 的对称点。
例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，点P 、Q 分别是BC 、BD 上的动点，CQ PQ +的最小值为______．【答案】2【分析】过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，在直角三角形BEC 中，勾股定理即可求解． mA B P m AB m A B PmABA'【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，菱形ABCD的边长为2，45ABC∠=︒，Rt BEC∴中，222EC BC==∴PQ+QC的最小值为2故答案为：2【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC 的中点，连接PE，PB，若4AB =，43BC=，则PE PB+的最小值为________．【答案】6【分析】作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B E'交AC于点P，则PE PB+的最小值为B E'的长度；然后求出B B'和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B E'交AC于点P，则PE PB+的最小值为B E'的长度；⊥AC是矩形的对角线，⊥AB=CD=4，⊥ABC=90°，在直角⊥ABC中，4AB =，43BC=，⊥43tan343ABACBBC∠===，⊥30ACB∠=︒，由对称的性质，得2B B BF '=，B B AC '⊥，⊥1232BF BC ==，⊥243B B BF '== ⊥23BE EF ==，60CBF ∠=︒，⊥⊥BEF 是等边三角形，⊥BE BF B F '==，⊥BEB '∆是直角三角形，⊥2222(43)(23)6B E BB BE ''=-=-=，⊥PE PB +的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P 使得PE PB +有最小值．例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．【答案】85【分析】过点M 作MF ⊥CD 于F ，推出MN +NP 的最小值为MF 的长，证明四边形DEMG 为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P 关于CE 的对称点P ′，由折叠的性质知CE 是⊥DCM 的平分线，⊥点P ′在CD 上，过点M 作MF ⊥CD 于F ，交CE 于点G ，⊥MN +NP =MN +NP ′≤MF ，⊥MN +NP 的最小值为MF 的长，连接DG ，DM ，由折叠的性质知CE 为线段 DM 的垂直平分线，⊥AD =CD =2，DE =1，⊥CE =2212+=5，⊥12CE ×DO =12CD ×DE ， ⊥DO =255，⊥EO =55， ⊥MF ⊥CD ，⊥EDC =90°，⊥DE ⊥MF ，⊥⊥EDO =⊥GMO ，⊥CE 为线段DM 的垂直平分线，⊥DO =OM ，⊥DOE =⊥MOG =90°，⊥⊥DOE ⊥⊥MOG ，⊥DE =GM ，⊥四边形DEMG 为平行四边形，⊥⊥MOG =90°，⊥四边形DEMG 为菱形，⊥EG =2OE =255，GM = DE =1，⊥CG =355， ⊥DE ⊥MF ，即DE ⊥GF ，⊥⊥CFG ⊥⊥CDE ，⊥FG CG DE CE =，即35515FG =， ⊥FG =35，⊥MF =1+35=85， ⊥MN +NP 的最小值为85．故答案为：85． 【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键． 例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B '，连结AB '与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连结'AP ，BP '，B P ''，⊥直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上，（1）⊥PB =__________，P B '=_________，⊥AP PB AP PB '+=+=____________．在AP B ''∆中，⊥AB AP P B ''''<+，⊥AP PB AP P B '''+<+，即AP BP +最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB '与l 的交点，即A ，P ，B '三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交AC 于点F ，则EF FB +的最小值就是线段ED 的长度，则EF FB +的最小值是__________．（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm ，底面周长为16cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm ．（4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '，则A C B C ''+的最小值为____________．【答案】（1）PB '，P B ''，AB '；（2）25；（3）17；（4）23【分析】（1）根据对称性即可求解；（2）根据正方形的对称性知B 关于AC 的对称点是D ，连接ED ，则ED 是EF FB +的最小值；（3）先将玻璃杯展开，再根据勾股定理求解即可；（4）分析知：当''A B 与'B C 垂直时，A C B C ''+值最小，再根据特殊角计算长度即可；【详解】解：（1）根据对称性知：'''''',,PB PB P B P B AP PB AP PB AB ==+=+=， 故答案为：PB '，P B ''，AB '；（2）根据正方形的对称性知B 关于AC 的对称点是D ，连接ED ⊥ED 是EF FB +的最小值 又⊥正方形的边长为4，E 是AB 中点⊥222425ED =+= ⊥EF FB +的最小值是25；（3）由图可知：蚂蚁到达蜂的最短路程为'AC的长度： ⊥'43,8,11AE A E cm BF cm BC cm EB cm =====， ⊥'15A B cm =⊥''222215817AC A B BC cm =+=+=（4）⊥在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆⊥'''2,30A B AB A BD ==∠=︒ 当''A B 与'B C 垂直时，A C B C ''+值最小⊥''''////,AB A B CD AB A B CD == ⊥四边形''A B CD 是矩形，''30B AC ∠=︒⊥''2343,33B C AC == ⊥''23AC B C += 【点睛】本题考查“将军饮马”知识迁移，掌握“将军饮马”所遵循的数学原理，判断出最小是解题关键．模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）．问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1 图2 图3【最值原理】两点之间线段最短。
初中数学几何模型与最值问题04专题-费马点中三线段模型与最值问题(含答案)
初中数学最值问题专题4 费马点中三线段模型与最值问题【专题说明】费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。
主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。
（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题【模型展示】问题：在△ABC内找一点P，使得P A+PB+PC最小．APB C【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°．在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE．有这两个结论便足以说明∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！【例题】1、如图，四边形ABCD 是菱形，AB =4，且∠ABC =∠ABE =60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将∠ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到∠EBF ，当AG +BG +CG 取最小值时EF 的长（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=问题解决：如图，在MNG ∆中，6MN =，75M ∠=︒，MG =O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________3、如图，四边形ABCD是菱形，A B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为________．4、如图，∠ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为，则BC＝_____．5、如图，四边形ABCD 是正方形，∠ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .∠ 求证：∠AMB ∠∠ENB ；∠ ∠当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；∠当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ∠ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.EA DB CNMF EA DB CNM6、在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=（1）如图1，将∠ADE绕点D逆时针旋转90°得到∠DCF，连接EF；∠把图形补充完整（无需写画法）；∠求2EF的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．专题4 费马点中三线段模型与最值问题答案【专题说明】费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。
几何中的最值问题：中考数学最短路径与最大面积
几何中的最值问题：中考数学最短路径与最大面积在几何学中，最值问题是重要的一类问题，其中最短路径和最大面积问题在中考数学中较为常见。
通过研究这些问题，我们可以更好地理解数学中的优化问题和几何学中的应用。
一、最短路径问题在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以用勾股定理求解，但是，如果我们要从一个点出发，通过多个点，最终到达另一个点，该如何求解最短路径呢？这就需要用到最短路径问题中的“迪杰斯特拉算法”。
迪杰斯特拉算法是求解单源最短路径的有效算法，它的基本思想是：在图中选定一个源点，然后考虑从该点出发到其他各点的最短路径。
将所有点分成两部分：已确定最短路径的点集合S和未确定最短路径的点集合V-S。
从已确定集合S到未确定集合V-S的边中选择一条权值最小的边，加入到已确定的集合中。
例如，我们要从点A到点D，并且需要通过点B和点C，求解它们之间的最短路径。
首先，我们从起点A开始，标记距离该点的距离为0，其他点的距离为无穷大。
然后，我们选择距离起点最近的点B，并将从A到B的距离标记为4。
接着，我们计算通过点B是否可以到达点C和点D，并分别标记其距离为9和8。
此时，已确定的集合S中包含了点A和点B，未确定集合V-S中包含了点C和点D。
我们再从V-S中找到距离两点最短的边，加入到S中，继续更新可达点的距离，直到所有点的距离都被确定为止。
二、最大面积问题最大面积问题是求解一个给定形状的图形中的最大面积。
在几何学中，一个图形的面积通常可以表示为底边长度和高的函数，因此，我们只需要求解函数的最大值，即可找到最大面积。
例如，当我们要求解一个三角形的最大面积时，应该如何做呢？我们可以利用三角形面积公式S=1/2×底边长度×高，将高看做三角形底边的函数，例如，高为h时，底边长度为a。
然后，我们对该函数求导，令导数为0，即可得到该函数的最大值。
最后，将该最大值代入原函数中，即可求出最大面积。
类似地，我们可以求解其他图形的最大面积，例如长方形、正方形和圆形。
灵活构造三角形,妙解“kPA＋PB”型最值问题
解法探究２０２３年５月下半月㊀㊀㊀灵活构造三角形,妙解 k P A ＋P B 型最值问题◉江苏苏州吴江区盛湖学校㊀邵㊀锐㊀㊀摘要:在近几年的中考数学试题中,常常出现求 k P A ＋P B 型几何最值问题．面对此类问题学生往往不知道从哪里入手,导致无法解答．本文中从不同的方面对 k P A ＋P B型几何最值问题进行分析研究,提高学生的几何直观素养,为更好的解题做铺垫．关键词:k P A ＋P B ;几何最值;胡不归;阿氏圆㊀㊀关于 k P A ＋P B型的几何最值问题,我们可以着手从点P 的不同运动位置进行分析研究．当点P 在直线上运动时,此问题可转化为 胡不归 问题,特殊情况下,若k ＝１时,这个模型问题就转变为涉及轴对称的最短路径问题,也就是我们常说的 将军饮马 问题;当点P 在圆上运动时,此问题可转化为 阿氏圆 问题．下面将针对这两种模型进行探究,便于提高学生的几何直观认识,提高解题速度．１胡不归 问题基本模型㊀如图１,点A 是直线l 上的一个定点,点B 为直线l 外的一定点,点P 在直线l 上运动,如何确定点P ,使得k P A ＋P B (０＜k ＜１)的值最小．根据基本模型我们不难发现以下几个要点:直线上l 存在一定点A ,一动点P ,B 为直线l 外一点,求的是k P A ＋P B (０＜k ＜１)的最小值．那面对这样带有系数的折线如何去求最值呢我们往往采用化折为直法,利用 垂线段最短 进行求解．模型图如图２所示．图１㊀㊀㊀图２根据图１可以判断出问题条件满足 胡不归 问题,因此构造直角三角形,利用三角函数将含有系数的线段进行转化,即变斜边为直角边,达到化折为直的目的．这样,问题就转化成了求线段之和,再考虑使用 垂线段最短 来求值即可．具体步骤㊀使用 胡不归 问题模型进行解题,常规上需要四步:(１)找带有系数k 的线段k P A ;(２)确定位置,构造以线段P A 为斜边的直角三角形;(３)进行折转直,将k P A 化为P C ;(４)利用 垂线段最短 转化所求线段．问题１㊀如图３,әA B C 中,A B ＝A C ＝１０,t a n A ＝２,B E ʅA C 于点E ,D 是线段B E 上的一个动点,试求C D ＋５５B D 的最小值．图３㊀㊀㊀图４分析:根据图３进行分析,点C ,D ,B 所在的位置恰好满足 胡不归 模型,故可构造直角三角形来进行解答．如图４,作DH ʅA B 于点H ,C M ʅA B 于点M ．由t a n A ＝B E A E ＝２,设A E ＝a ,B E ＝２a ,利用勾股定理构建方程求出a ．再证明DH ＝５５B D ,推出CD ＋５５B D ＝CD ＋DH ,由 垂线段最短 即可解决问题．问题２㊀如图５,菱形A B C D 中,A B ＝A C ＝６,对角线A C ,B D 相交于点O ,点M 在线段A C 上,且AM ＝２,点P 是线段B D 上的一个动点,试求M P ＋１２P B 的最小值．图５㊀㊀图６图７分析:根据图３可以发现该题符合 胡不归 模型,故可按照相关步骤进行解答．如图６,过点P 作P E ʅB C ,垂足为E ．根据菱形的性质可得A B ＝A C ＝B C ＝６,因此әA B C 是等边三角形,进而øA B C ＝øA C B ＝６０ʎ．又因为B D ʅA C ,所以øD B C ＝３０ʎ．在R t әB P E 中,可得P E ＝１２B P ,２８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年５月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀因此M P＋１２P B＝M P＋P E,当M EʅB C时,M P＋P E有最小值M E(如图７)．在R tәC M E中,利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．拓展思考:如果 胡不归 问题k P A＋P B的k＞１时,我们又该如何处理呢?根据模型特点我们不难发现,可以将系数k提取到前面来,再结合 胡不归 问题模型判断,从而达到目的．２ 阿氏圆 问题基本模型㊀已知平面上两点A,B,则所有符合P AP B＝k(k＞０且kʂ１)的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称之为阿氏圆．该问题转化为数学语言描述即为:如图８,P是半径为r的☉O上的一个动点,点A和点B为☉O外的两个定点,若满足条件r＝k O A(k＞０且kʂ１),判断形如 k P A＋P B 线段长度的最值．根据基本模型特点,我们可以发现几个要点:点A,B是平面上的两点,点P必须在圆上,求 k P A＋P B 的最小值．满足这样的条件我们才可以考虑使用 阿氏圆 模型．图８㊀㊀㊀图９结合图形我们一旦判断符合 阿氏圆 问题模型,便可根据基本模型要求确定相应的条件进行应用．首先截取线段构造一组相似三角形,利用相似三角形的对应线段成比例关系进行转化,再根据 两点之间线段最短 来计算所求线段的值,此值就是所求最小值．具体步骤㊀使用 阿氏圆 模型来解答相关问题,也需要四步:如图９,首先找到带有系数k的线段P A;其次在线段O A上取一点C,且满足O C＝k r,即可构造相似三角形әP C OʐәA P O;然后运用相似三角形的对应边成比例,转化k A P为P C;最后将 k P A＋P B 转化为 P C＋P B ,利用 两点之间线段最短 转化为求B C的值即可．问题３㊀如图１０,在әA B C中,øA＝９０ʎ,A B＝A C＝４,点E,F分别是边A B,A C的中点,P是以A 为圆心,A E为半径的圆弧E F上的一个动点,试求１２P B＋P C的最小值．图１０㊀㊀图１１分析:观察图１０分析发现点B和点C满足模型中点A和点B特点,且点P在圆上,故可以使用 阿氏圆 问题模型解题．如图１１,在A B上截取A Q＝１,连接A P,P Q,C Q,可证әA P QʐәA B P,得P Q＝１２P B,则１２P B＋P C＝P C＋P Q,当C,Q,P三点共线时,P C＋P Q的值最小,即为C Q的长．问题４㊀如图１２,☉O与y轴㊁x轴的正半轴分别相交于点M,N,☉O半径为３,点A(０,１),点B(２,０),点P在弧MN上移动,连接P A,P B,O P,试求３P A＋P B的最小值．图１２㊀㊀㊀图１３分析:根据题目条件,该题符合 阿氏圆 问题模型．如图１３,在y轴上取点H(０,９),连接B H．通过证明әA O PʐәP O H,可得H P＝３A P,则３P A＋P B＝PH＋P B,当P,B,H三点共线时,３P A＋P B 有最小值,即为H B的长．拓展思考:如果我们在解决相关问题时出现类似 P A－k P B 的形式,并求其最大值,又该如何进行处理呢?此类问题能使用 阿氏圆 问题模型吗?不难发现,有些问题并不是一成不变的,我们可以将此模型进行转化,将其转变为求 P A－k P B 最大值问题;形如 k１P A＋k２P B 的问题,我们也可以将其中一个系数转化为１,再根据模型进行解答,思路基本上都是构造相似三角形进行转化处理．问题５㊀如图１４,已知菱形A B C D的边长为８,øB＝６０ʎ,☉B的半径为４,P是☉B上的一个动点,试求P D－１２P C的最大值．图１４㊀㊀图１５分析:观察发现本题可以使用 阿氏圆 问题模型来解答．连接P B,在B C上取一点G,使得B G＝２,连接P G,D G,过点D作DHʅB C交B C的延长线于点H．可证әB P GʐәB C P,得P G＝１２P C．再根据P D－１２P C＝P D－P GɤD G,求出D G即可．综上所述,我们发现不管是哪种类型的问题模型,都是在构造三角形解决问题,一种是构造直角三角形,另一种是构造相似三角形．借助构造进行转化,将折线问题转化为线段问题,只不过 胡不归 问题是借助 垂线段最短 来求最小值,而 阿氏圆 问题是借助 两点之间线段最短 来计算最小值(或最大值)．Z３８Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
三角形几何最小值三段线段相加题目中考
三角形几何最小值三段线段相加题目中考内容分析
几何中的最值问题变幻无穷,教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径,核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,运用"两点间线段最短"、"垂线段最短"、"点的运动轨迹""二次函数最值"等知识源,实现问题的转化与解决.
教学目标
知识溯源，从知识转化角度，借助中考真题的讲解，引导学生掌握处理最值问题的基本知识源，明确解决最值问题的思考方向。
命题特点
最值连续多年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点,求相关线段、线段之和差、面积等最大与最小值.此类问题涉及的知识要点有以下方面:①两点间线段最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④定圆中的所有弦中，直径最长；⑤圆外一点与圆的最近点、最远点.⑥借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题.命题特点侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查.
核心方法
由于这类问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、模型思想、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、分类讨论思想、函数和方程思想、从变化中寻找不变
性的数学思想方法、逻辑推理与合情猜想相结合等思想方法．解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破。
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几何最值之常见结构、类型（通用版）试卷简介:检测学生对于常见最值问题的处理思路，一方面可以借助于常见模型和结构来解决问题，一方面需要学生分析定点，动点，寻找不变特征来转化解决问题。
一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE最小的值是( )A.2B.3C.4D.52.如图，在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC 于点F，M为EF中点，PM的最小值为( )A. B.C.3D.3.如图，正方形ABCD的边长为2，顶点A，D分别在x轴、y轴上．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，则运动过程中，点B到原点O的最大距离为( )A. B.C. D.4.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P，Q分别是边BC，AC上的动点．将△PCQ 沿PQ翻折，C点的对应点为，连接，则的最小值是( )A.2B.3C.4D.65.如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点．在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边三角形APC和等边三角形BPD，则线段CD的长度的最小值为( )A.4B.5C.6D.6.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( )A.4.75B.4.8C. D.9.67.如图，设∠MON=20°，A为OM上一点，，D为ON上一点，，C 为AM上任意一点，B是OD上任意一点，则AB+BC+CD的最小值是( )A.10B.11C.12D.138.如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上点E处，折痕的两端点分别在AB，BC上（含端点），且AB=6，BC=10．设AE=x，则x的取值范围是( )A. B. C. D.几何结构综合检测（通用版）试卷简介:考查学生对于几何常见思考角度的掌握，需要辨识条件，组合多个特征即通过结构解题。
一、单选题(共8道，每道12分)1.如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,CE⊥AB于E,F为AD的中点,若∠AEF=52°,则∠B=( ).A.52°B.54°C.72°D.76°2.如图,正方形ABCD的周长为24,△BCE是等边三角形,F是CE的中点,AE,BF交于点G,连接CG,则CG的长为( )A. B.C. D.3.如图,平行四边形ABCD中,AB:BC=3:2,∠DAB=60°,E在AB上,且AE:EB=1:2,F是BC的中点,过D 分别作DP⊥AF于P,DQ⊥CE于Q,则DP:DQ等于( )A.3:4B.C. D.4.如图,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=120°,,AB=6.在边AB上取点E,在射线DC 上取点F,使得∠DEF=120°.若射线EF经过点C,则AE的长为( )A.2B.2或4C.2或5D.3或55.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3.点D是BC边上一动点(不与点B,C重合),过点D作DE⊥BC,交AB于点E,将∠B沿直线DE翻折,点B落在直线BC上的点F处.当△AEF为直角三角形时,BD的长为( )A.1B.2C.1或2D.2或46.在等腰三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=1,过点C作直线l∥AB,P为直线l上一点,且AP=AB,则点P到BC所在直线的距离是( )A. B.或C.或D.或7.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=2,点E为线段AB上任意一点(E不与B重合),以CE为斜边作等腰直角三角形CDE,连接AD,下列结论:①∠BCE=∠ACD;②BE=AD;③AD∥BC;④四边形ABCD的面积有最大值,且最大值为.其中正确的结论有( )个.A.1B.2C.3D.48.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP=OC,下面的结论:①∠APO+∠DCO=30°;②△OPC是等边三角形;③AC=AO+AP;④.其中所有正确结论的序号为( )A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④路径长问题（通用版）试卷简介:检测学生对于解决路径长问题的思路，从分析定点，动点，寻找不变特征入手，对目标运动轨迹进行猜测，验证，设计方案进行解决．一、单选题(共5道，每道15分)1.如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作CA⊥AB，BD⊥AB，且AC=AP，BD=BP，连接CD．当点P从点A移到点B时，CD的中点的位置( )A.在平分AB的某直线上移动B.在垂直AB的某直线上移动C.在弧AB上移动D.保持固定不移动2.如图，边长为a的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，它的中心O点所经过的路径长为( )A.6aB.5aC.2πaD.3.如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，按A→B→C→D→A的方向滑动到A停止，同时点R从点B出发，按B→C→D→A→B的方向滑动到B停止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线与正方形围成的图形面积为( )A.2B.4-πC.πD.π-14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记点Q的位置为B，则当点P从运动到时，点Q运动的路径长为( )A.2B.2πC.4D.4π5.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），∠COA=60°，点D是线段AB上一动点（可与端点重合），过点B作BN⊥CD于点N（可与端点重合），当点D从点A运动到点B的过程中，点N运动的路径长为( )A. B.C. D.2二、填空题(共1道，每道20分)6.如图，MN=16，点P，Q在线段MN上，且PM=2，NQ=4．C是线段MN上的动点，分别以CM，CN为斜边在线段MN的同侧作Rt△ACM和Rt△BCN，使∠AMC=∠BCN=30°，连接AB，设AB的中点为D，当点C从点P运动到点Q时，点D的运动路径长为____．直角三角形的边角关系（北师版）试卷简介:检测学生在掌握三角函数概念和性质的基础上解直角三角形的能力，要求学生掌握解决三角函数问题的原则，在直角三角形中或构造出直角三角形处理问题。
一、单选题(共15道，每道6分)1.计算：tan60°+2sin45°-2cos30°=( )A.2B.C. D.12.若在△ABC中，，则下列说法正确的是( )A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等边三角形D.△ABC是锐角三角形3.已知∠B是△ABC中最小的内角，则cosB的取值范围是( )A. B.C. D.4.如果α是锐角，且，那么cos（90°-α）的值是( )A. B.C. D.5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，，则斜边上的高为( )A. B.C. D.6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD．若，BC=10，则AB 的长为( )A.3B.6C.8D.97.如图所示，在4×8的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠BAC的值为( )A. B.1C. D.8.如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，D是AC的中点．设∠ABD为α，则tanα的值为( )A. B.C. D.9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB边上一点，且AE：EB=4：1，EF⊥AC 于点F，连接FB，则tan∠CFB的值为( )A. B.C. D.10.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，P分别在边AC，AB上，且AD=BD，PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F．若AB=20cm，，则PE+PF=( )A.cmB.cmC.10cmD.cm11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=3，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于点D，垂足为点E，则sin∠CAD的值为( )A. B.C. D.12.如图，已知P是正方形ABCD内一点，若△PBC为正三角形，则tan∠PAB的值为( )A. B.C. D.13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB=8，则AC·BC的值为( )A.14B.C.D.1614.如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值为( )A.3B.C.2D.15.如图，AD，BE是锐角三角形的两条高，若，则cosC的值为( )A.3B.C.D.直角三角形边角关系综合测试（一）（通用版）试卷简介:测试学生对于直角三角形边角关系基础知识的掌握情况，考查学生对于三角函数基本概念、性质等的应用，同时考虑放在直角三角形中计算三角函数值。
一、单选题(共14道，每道6分)1.式子的值是( )A. B.0C. D.22.把Rt△ABC各边的长度都扩大为原来的3倍得,那么锐角的余弦值的关系为( )A. B. C. D.不能确定3.sin70°,cos70°,tan70°的大小关系为( )A. B.C. D.4.已知∠A为锐角,且,那么( )A. B. C. D.5.已知在△ABC中,∠C=90°,且AC≠BC,设sinB=n,当∠B是最小的内角时,n的取值范围是( )A. B. C. D.6.在△ABC中,若,则下列说法正确的是( )A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形7.在△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=4,则cosA的值是( )A. B. C. D.8.如图,在Rt△ABC中,tanB=,BC=,则AC的长为( )A.3B.4C.D.69.河堤横断面如图所示,已知堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比,则AB的长为( )A.12米B.米C.米D.米10.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD=CD,,BC=10,则AB的长是( )A.3B.6C.8D.911.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,,BD=1,则边AB的长为( )A. B. C. D.12.如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB,cosA=,BE=2,则tan∠DBE的值为( )A. B.2 C. D.13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E为AB边上一点,且AE:EB=4:1,EF⊥AC于F,连接FB,则tan∠CFB的值为( )A. B. C. D.14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=,BC=3,AB的垂直平分线ED交BC的延长线于点D,垂足为E,则sin∠CAD=( )A. B. C. D.直角三角形边角关系综合测试（二）（通用版）试卷简介:测试学生对于解决直角三角形边角关系问题的处理原则，即寻找和构造直角三角形。