二次根式比较大小
比较二次根式大小的几种方法
比较二次根式大小的几种方法一、比较系数法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a>b，那么√a>√b；如果a<b，那么√a<√b。
例如，比较√5和√7的大小。
由于5<7，所以√5<√7二、平方法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a²>b²，那么√a>√b；如果a²<b²，那么√a<√b。
例如，比较√3和√8的大小。
由于3²=9，8²=64，所以√3<√8三、绝对值法：对于形如√a和√b的二次根式，如果，a，>，b，那么√a>√b；如果，a，<，b，那么√a<√b。
例如，比较√(-2)和√(-5)的大小。
由于，-2，=2，-5，=5，所以√(-5)<√(-2)。
四、化简法：对于形如√a的二次根式，如果a可以化简为形式p²×q（p和q为正整数），那么√a=√(p²×q)=p√q。
例如，化简√72、首先可以将72分解为2²×3²×2，然后利用根式的乘法法则和化简法则，得到√72=2×3√2=6√2五、近似法：如果无法直接通过上述方法比较二次根式的大小，可以使用近似法。
通过计算近似值，可以比较二次根式的大小。
例如，比较√3和√2的大小。
可以使用计算器或手算，得到√3≈1.732，√2≈1.414，所以√2<√3需要注意的是，以上方法比较的是二次根式的大小，而不是数值的大小。
当a和b的大小关系无法确定时，使用以上方法可以对二次根式的大小关系进行比较。
二次根式大小的比较方法
二次根式大小的比较方法二次根式大小的比较，有些同学感到很困难，不知道如何进行，下面，就给大家介绍几种常用的方法。
一、求差法基本思路：设a 、b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据“当a －b ＜0时，a ＜b ；当a －b=0时，a=b ；当a －b ＞0时，a ＞b ”来比较a 与b 的大小。
例1、比较7－2和5－3的大小解：（7－2）－（5－3）=（7－5）+（3－2）7－5＞0，3－2＞0，∴（7－5）+（3－2）＞0 即：7－2＞5－3二、求商法基本思路：设a 、b 为任意两个实数，先求出a 与b 的商，再根据“当b a ＜1时，a ＜b ；当时，当b a =1时，a=b ；当ba ＞1时，a ＞b ”来比较a 与b 的大小。
例2、比较π与π3的大小 解： π÷π3=π×3π=3π＞1 ∴ π＞π3三、倒数法基本思路：设a 、b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据“当a 1＜b 1时，a ＞b ；当a 1=b 1时，a=b ；当a 1＞b1时，a ＜b ”来比较a 与b 的大小。
例3、比较14－13与13－12的大小解： 13141-=14+13，12131-=13+12∴ 13141-＞12131- ∴14－13＜13－12四、平方法基本思路：先将两个要比较的数分别平方，再根据“a ＞0,b ＞0时，可由a 2＞b 2得到a ＞b ”来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。
例4、比较2+6与3+22的大小解： 2+6＞0，3+22＞0∴（2+6）2=10+46，（3+22）2=11+46∴10+46＜11+46∴2+6＜3+22五、移动因式法基本思路：当a ＞0,b ＞0时，若要比较形如a a 与b b 的两数大小，可先把根号外的正因数a 与b 的平方后移入根号内，再根据被开放数的大小进行比较。
例5、比较﹣33与﹣27的大小解：﹣33=﹣27，﹣27=﹣28﹣27＞﹣28∴﹣33＞﹣27。
八年级数学下册第12章二次根式：比较二次根式值大小的八种方法习题pptx课件新版苏科版
(2)利用上面的规律，计算：
21＋1＋
1 3＋
＋ 2
1 4＋
3＋…＋
1 2 025＋
； 2 024
【解】原式＝ (
2＋12)－( 12－1)＋(
3＋
3－ 2)(
2 3－
＋ 2)
(
4＋
4－ 3)(
3 4－
3)＋…＋(
2 025＋
2 025－ 2 024)(
2 024 2 025－
2 024)
＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3)＋…＋( 2 025－ 2 024)
∴1x＞1y＞0.∴x＜y.
7 [2023·苏州中学月考]观察下列一组等式，然后解答问题： ( 2＋1)( 2－1)＝1， ( 3＋ 2)( 3－ 2)＝1， ( 4＋ 3)( 4－ 3)＝1， ( 5＋ 4)( 5－ 4)＝1，….
(1)观察以上规律，请写出第n个等式： ___(__n_＋__1_＋____n_)(__n__＋__1_－___n_)_＝__1___(n为正整数)；
14＋
13>0，∴
1 15＋
14<
1 14＋
， 13
∴ 15－ 14＜ 14－ 13.
6 已知 x＝ n＋3－ n＋1，y＝ n＋2－ n，比较 x，y 的 大小：_____x_＜__y____．
【点拨】
1x＝
1 n＋3－
n＋1＝
n＋3＋ 2
n＋1，1y＝
1 n＋2－
＝ n
n＋2＋ 2
n .
∵ n＋3＋ n＋1＞ n＋2＋ n＞0，
与 2 99的大小．
【解】 100＋ 98－2 99＝( 100－ 99)－( 99－ 98)
初中数学比较二次根式大小的八种方法
初中数学比较二次根式大小的八种方法本文介绍了八种比较含二次根式大小的方法，包括平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等。
其中，作商法是比较二次根式大小的常用方法之一，特别适用于由分母和分子两部分组成的二次根式。
此外，还有分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行比较。
例如，对于比较6＋11与14＋3的大小，可以使用平方法，计算它们的平方，然后比较大小。
对于比较a＋1/a＋2与a＋2/a＋3的大小，可以使用作商法，计算它们的商，然后比较与1的大小关系。
对于比较15－14与14－13的大小，可以使用分子有理化法，将它们的分子有理化后再比较大小。
对于比较11/(2－3)与3/(3－2)的大小，可以使用分母有理化法，将它们的分母有理化后再比较大小。
对于比较19－12/33与1/3的大小，可以使用作差法，将它们相减后再比较大小。
对于比较已知x＝n＋3－n＋1，y＝n＋2－n的大小，可以使用倒数法，将它们的倒数比较大小。
对于比较x，x^2，x(0<x<1)的大小，可以使用特殊值法，找到一个特殊值，代入比较。
对于比较5－a与a－6的大小，可以使用定义法，将它们的定义式代入比较。
总之，比较含二次根式大小需要根据具体情况选择合适的方法，灵活运用各种方法可以得到简洁的解法。
文章格式错误严重，需要重新整理。
同时，文章中存在明显的错误和不完整的段落，需要删除。
以下是对原文的修改和改写：题目11：已知 n + 3 + n + 1.n + 2 + n，求证 x < y。
解：将式子化简得 n。
-2，因此 x。
-2.又因为 x + y。
0，所以 y。
-x。
综合两式得 x < y。
题目：已知 5 - a ≥ 1/2，求证 a - 6 < 0.解：将不等式两边同时减去 1/2，得 9/2 - a ≥ 0.因为 9/2.4，所以a ≤ 4.又因为 a - 6 < a - 5 ≤ -4 + 5 = 1，所以 a - 6 < 0.题目3：该段落不完整，删除。
比较二次根式大小的方法与解题技巧
号外的因数移入根号内，转化为比较被开方数的大小。
五、分母有理化法。
此法是先将各自的分母有理化，再比较大小。
六、分子有理化法。
八、特殊值法。
如果要比较的二次根式中含有字母，且呈规律性变化，为快速比较，解答时可以在许可的条件下设定特殊值来快速进行比较。
九、两头放缩法。
放缩法就是将题中的某些量放大或缩小，使各量之间的关系十分清晰的显露出来，它不受公式、法
十、中介法。
在两个相比较的根式之间找一个正整数作为中介数是解此题的关键。
教有法而无定法，解题亦如是。
在具体运用中，视题而定，用合适的方法作答，提高解题效率。
二次根式比较大小基础题
二次根式比较大小基础题哎呀，今天咱们聊聊这个二次根式的比较，听起来可能有点枯燥，但其实它的乐趣无穷，就像挖掘宝藏一样。
你知道的，生活中总有些数字让人琢磨不透，特别是那些带根号的家伙。
比如说，根号2和根号3，你觉得哪个大？一开始看着这俩，真让人抓耳挠腮。
根号2，嘿，那可是个常见的角色，通常在各种计算里都能见到。
而根号3，哇，那可是个稍微不那么常见的选手，听着名字就有点神秘。
好吧，咱们先来聊聊根号2。
它就像个不拘小节的朋友，随便走到哪儿都能引起关注。
大约1.414的样子，差不多就是个1.4的水准，基本上在我们生活中经常能见到，像是很多建筑的比例啊，或者设计的灵感，简直就是一个神奇的数字。
而根号3呢，唉，稍微有点腼腆，但它的身世背景也不简单，约等于1.732，哎，这数字听起来就比较高深。
你看，这俩数字就像两个性格截然不同的朋友，走在一起总能擦出一些火花。
说实话，比较它们的时候，感觉就像在做一次友谊测试，谁能赢得这个“比较”的桂冠呢？咱们可以把它们的平方拿出来比一比，哦，听起来像是打牌，谁的牌更大。
不过，咱们可不是在赌博，只是在寻找真相。
根号2的平方是2，而根号3的平方是3，嘿，这下就清楚了，根号3确实更大。
真是让人意外吧？根号2虽然在生活中比根号3常见，但在这场比较中，它还是得甘拜下风，唉，谁让人家背景深厚呢。
再说说根号4，喔，这可是个老朋友，大家都知道，它就是2，乍一看好像没什么特别之处，但它的到来总能让人眼前一亮。
根号4在这个家族里可算是个小明星，真的是能把根号2和根号3都比下去。
你想想，在学校里，老师说根号4等于2，结果同学们都在心里嘀咕：这不是小儿科吗？但就是这个简单的数字，让复杂的事情变得明朗。
话说回来，有时候比较根号也是一种乐趣，就像在群聊里讨论谁的长相更好看，大家各抒己见，热闹非凡。
而在数学这条路上，根号的比较就像是一场无声的争吵，大家争先恐后，谁都不甘示弱。
说到这，不禁让我想起小时候做题的情景，唉，满桌的习题，有时候就像玩拼图，拼来拼去就是拼不出个头绪，但慢慢来，思路一开，哦，原来是这么简单。
比较二次根式大小的8种方法
比较二次根式大小的8种方法要比较二次根式的大小，我们可以使用以下八种方法：方法一：使用绝对值对于任意两个正实数a和b，如果a>b，则√a>√b。
这是因为二次根式对应的数值是非负数，而且二次根式是单调递增的。
因此，我们可以比较二次根式的大小，先计算其数值，然后使用绝对值比较大小。
方法二：使用二次根式的平方对于任意正实数a和b，如果a>b，则a²>b²。
因此，我们可以比较二次根式的大小，先计算其平方，然后比较平方的大小。
注意这种方法只适用于非负的二次根式，对于负二次根式需要使用其他方法。
方法三：使用分数形式将二次根式转换为分数形式可以更直观地比较大小。
对于任意正实数a和b，如果a>b，则√a>√b。
通过将二次根式转换成相同的分母，我们可以直接比较分子的大小。
方法四：使用当量形式对于任意非负实数a和b，如果a>b，则√a>√b。
但对于负实数，我们需要使用当量形式来进行比较。
当a和b都是负数时，如果a>b，则√a<√b。
因此，在比较负二次根式大小时，我们需要将其写成当量形式。
方法五：使用图形方法可以通过绘制二次根式的图形来比较大小。
对于平方根函数√x来说，当x增大时，其图像也增大。
因此，我们可以绘制二次根式的图像，并观察两个二次根式的位置关系，从而比较其大小。
方法六：使用近似值如果我们只是需要大致比较二次根式的大小，而不需要精确值，可以使用近似值来进行比较。
通过计算二次根式的近似值（如保留小数点后两位），然后比较近似值的大小，可以得到二次根式大小的一个估计。
方法七：使用指数运算对于任意正实数a和b以及正整数n，如果a>b，则aⁿ>bⁿ。
因此，我们可以将二次根式的指数提取出来，然后比较指数运算的结果。
这种方法适用于有多项式表达式中的二次根式。
方法八：使用代数方法对于给定的二次根式，我们可以使用代数方法将其转化为有理数。
专训2比较二次根式大小的八种方法
专训2比较二次根式大小的八种方法比较二次根式的大小是数学中常见的问题。
在本文中，将介绍八种常见的方法来比较二次根式的大小。
这些方法包括化简、通过比较系数、平方、提取公因数、借助图像、使用近似值、利用性质、以及使用不等式。
通过掌握这些方法，可以更加灵活地处理二次根式的大小关系问题。
第一种方法是化简。
化简是将二次根式转化为最简形式，并比较它们的系数和根号中的数值来判断大小关系。
例如，对于√2和√3，可以将它们分别化简为1.414和1.732，然后进行比较。
在进行比较时，可以直接比较这些数的大小。
第二种方法是比较系数。
对于形如a√b和c√d的二次根式，可以通过比较a和c的大小来判断它们的大小关系。
如果a>c，则a√b>c√d；如果a=c，则需要比较b和d的大小；如果a<a，则a√b<c√d。
第三种方法是平方。
如果对于正实数a，有a²>b，则√a>√b。
这个性质可以推广到二次根式的比较中。
例如，对于√5和2，可以计算它们的平方分别为5和4，可以得出结论√5>2第四种方法是提取公因数。
如果两个二次根式的根号中的数值相同，可以将它们提取出来，然后比较系数的大小。
例如，对于√3和2√3，可以将它们都提取出√3，然后比较系数的大小，可以得出结论2>1，即2√3>√3第五种方法是借助图像。
可以将二次根式的值表示在数轴上，并比较它们在数轴上的位置来判断大小关系。
例如，可以将√2和√3在数轴上表示出来，并比较它们的位置关系。
第六种方法是使用近似值。
可以利用计算器或其他工具将二次根式近似为小数，然后直接比较这些小数的大小。
例如，可以近似计算出√2≈1.414和√3≈1.732，然后比较它们的大小。
第七种方法是利用性质。
可以利用二次根式的性质来进行推导和比较。
例如，可以利用开方的非负性质来判断二次根式的大小关系，即对于非负实数a，有√a>0。
第八种方法是使用不等式。
2024八年级数学下册提练第5招比较二次根式大小的方法习题课件
1．比较 5－a与 a－6的大小．
3
【解】∵5－a≥0，∴a≤5.∴a－6＜0.∴ a－6＜0.
3
又∵ 5－a≥0，∴ 5－a＞ a－6.
2．已知 a＝2 020×2 022－2 020×2 021，b＝ 2 0232－4×2 022， c＝ 2 0212＋1，比较 a，b，c 的大小．
【解】由题意得，a＝2 020×(2 022－2 021)＝2 020，b2＝ 2 0232－4×2 022，c2＝2 0212＋1，∴b2＝(a＋3)2－4(a＋ 2) ＝a2＋2a＋1，c2＝(a＋1)2＋1＝a2＋2a＋2. ∴a2－b2＝ a2 －a2－2a－1＝－2a－1＜0，c2－a2＝a2＋2a＋2－a2＝ 2a ＋2＞0，b2－c2＝a2＋2a＋1－a2－2a－2＝－1＜0. ∴a2＜b2＜c2.∴a＜b＜c.
【点技巧】 作商比较两个含二次根式的式子的大小时，先计算
两个式子的商，然后比较商与1的大小关系．
4．[2023·济南济阳区期中]比较大小： 21－ 19与 19－ 17.
【解】
21－
19＝(
21－
19)( 21＋
21＋ 19
19)＝
2 21＋
19.
19－
17＝(
19－
17)( 19＋
19＋ 17
1 98－
97.∴
99－
98<
98－
97.
8．比较大小： (1)7 5与 5 7. 【解】7 5＝ 72×5＝ 245，5 7＝ 52×7＝ 175. ∵245>175，∴ 245> 175. ∴7 5>5 7.
(2)3－3 2与 3－2 3. 【解】3－3 2＝3－ 32×2＝3－ 18， 3－2 3＝3－ 22×3＝3－ 12. ∵18>12， ∴－ 18<－ 12.∴3－ 18<3－ 12，即 3－3 2<3－2 3.
比较二次根式大小的8种方法
接下来就让带大家一起来学习比较二次根式大小的8种方法：
平方法、作商法、分子有理化、分母有理化、作差法、倒数法、特殊值法、定义法
方法一：平方法
……根号内的数相加为同一个数时。
平方法是对要比较大小的两个数先平方，根据平方后数据的大小来确定原数的大小。
方法二：作商法
……向1靠拢，化同类项。
作商法是把要比较大小的两个数相除，根据除得的商来判断原来数值的大小，除得的商分大于1，等于1，或小于1。
方法三：分子有理化法
……根号内的数差为同一个数时，将分子化1，比分母。
分子有理化法是专门针对二次根式比较大小来说的，通过对分子有理化来判断出大小，再确定原数值的大小。
方法四：分母有理化法
……根号内的数相似，化同为目标。
分母有理化是通过对二次根式乘以有理化因式后，将原来的二次根式化简成最简二次根式再比较大小。
方法五：作差法（最常用）
作差法就是将比较大小的两个数相减，根据所得的差来看两数的大小，也是平时比较大小最常用的方法。
方法六：倒数法
倒数法就是先求出原数倒数的大小，再根据倒数的大小来确定原来数值的大小。
方法七：特殊值法
特殊值法就是通过对比较大小的代数式子赋特殊值的方法来确定大小的方法。
方法八：定义法
以上就是比较二次根式大小的8种方法，其中第5种最常用！这8种方法你掌握了几种呢。
二次根式的大小比较方法
（一）
蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（ ）的嘴角，好像有话要跟你说。在 那极富 个性的 嘴角和 眼神里 ，悄然 流露出 恬静、 淡雅的 微笑。 那微笑 ，有时 让人觉 得舒畅 温柔， 有时让 人觉得 略含哀 伤，有 时让人 觉得十 分亲切 ，有时 又让人 觉得有 几分矜 （ ）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是 那样耐 人寻味 ，难以 捉摸。 达·芬奇 凭着他 的天才 想象为 和他那 神奇的 画笔， 使蒙娜 丽莎转 瞬即逝 的面部 表情， 成了永 恒的美 的象征 。
方法 1 平方法
1．比较 6 11 与 14 3 的大小． 解：因为( 6 11 )2＝17＋2 66 , ( 14 3 )2＝17＋
2 42 ，17＋2 66 ＞17＋2 42 ， 所以( 6 11 )2>( 14 3 )2，又因为 6 11 >0，
14 3 >0，所以 6 11 ＞ 14 3 .
21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。——爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …——罗 曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。——爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。——普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
教学反思二次根式大小比较的几种方法
二次根式大小比较的几种方法二次根式的大小比较，除了掌握实数大小比较的法则外，还需掌握一定的技巧，下面介绍几种二次根式大小的比较方法与技巧。
一、 比差法要比较两个二次根式的大小，可以让这两个根式相减，视其差值的正负就可以判断它们的大小：若0>-b a ，则b a >；若0<-b a ，则b a <；若0=-b a ，则b a =。
例1， 比较35-和32-的大小 解：∵()()01293233235<-=-=+-- ∴3235+<-“比差法”是一种常用的比较方法，一般说如果两个二次根式出现某些同类二次根式，就要考虑采用这种方法。
二、 比商法如果a 、b 都是正实数，若1>b a ，则b a >；若1<ba ，则b a <；若1=b a ，则b a =。
例2， 比较的大小与2557解：∵2557=125282528>= ∴2557> 三、 化同法先将两个二次根式化为一个数的算术平方根，根据被开方数的大小，就可以判断两个根式的大小。
例3， 比较31527与的大小 解：∵6373= 60152=，而6063> ∴15273>这种方法适用于两个单个二次根式的比较或一个根式与一个有理数的比较。
四、 平方法就是先将两个根式各自平方，然后比较平方后的大小，再说明原数的大小，即，若0>a ，0>b ，且22b a >，则b a >；若0<a ，0<b ，且22b a >，则b a <。
例4， 比较的大小与87105++ 解：∵0105>+ 087>+ 而50215)105(2+=+56215)87(2+=+ 又5621550215+<+ ∴22)87()105(+<+ ∴87105+<+ 对于根式d c b a ±±与，若d c b a +=+，可用此法。
比较二次根式的大小
２ ＋
（ ２ ＋
） （ ２ 一
）
则、 ／ 叶１ 一 、 ／口＝ ｌ Ｖａ ＋ ２一 、 ／ 叶１ ＝ 、 ／２— １ １ ＜ １ ． ・ ． ｖａ ￣ ｉ － 一 ＞ 、 腼 一 、 丽
・ ・
一
．
（ ２ 一 、 ／ 了） ＝ １ １ － ６ 、 ／ 了＝ １ １ － 俪
一
２ （
＋ ２ ）
２
、 ／ ＋ 、 ／ 百
（ 一 ） （ ＋ ）
、
内移 法
＋
例： 比较３ ｖ 与２ 、 ／ 丌 的大小
解： ・ ． ・ ３ 、 ／ 了 ＝ 、 ／ ＝ ， ２ ： 、 ／ ：
２
且
— Ｘ ／ ６ ＋ ２
—
＜
—
ｘ ／ ｇ＋ ｖ７
、 ／ 丁＋ ２
、 ／５ ＋２
１ ４ － ２
的大小
．
２
・ ．
＞
三± ＞ ０
２
、 ／ 了
、 ／２
、 ／７
、 ／ 丁一 、 ／ 了＜ 、 ／ 了一 、 ／ 了
八、 利 用 中 间 量 法
例： 比较、 ／ 丽了一 １ 与Ｘ ／ Ｔ ｌ ９ ￣ ＋ Ｉ 的大小 解： 。 ． ‘ 、 ／ ２ ０ １ ３ — １ ＜ 、 ／ ２ ０ ２ ５ ～ １ ＿ ４ ５ — １ ＝ ４ ４
、 俩
・ ． ．
（
＋ ２ ） ×
一 （
＋ ２ ） ×
＋ ｌ ＞ 、 俩
＋ １ ＝ ４ ３ ＋ １ ＝ ４ ４
（ 、 ／ 了＋ ２ ） × 、 ／ 了
二 二 ＞０
、 ／ 西一 ｌ ＜ 、 ／
比较二次根式大小的8种方法
比较二次根式大小得8种方法比较大小就是学习数学过程中经常会遇到得,通常用到得方法就就是作差法,但就是有时要对两个数进行大小得比较,仅仅用作差法就是不行得，那怎么办呢?别担心，本节整理得8种比较大小得方法,如果您能全掌握,那就可以对比较大小得题目“通吃”了,这８种方法不仅适用于二次根式大小得比较，对于其她数得大小比较也适用。
当然,本节就是结合二次根式比较大小得题型来讲述这8种方法，既学会了二次根式大小得比较,又掌握了8种比较大小得方法，可谓收获良多。
接下来就让带大家一起来学习比较二次根式大小得8种方法:平方法、作商法、分子有理化、分母有理化、作差法、倒数法、特殊值法、定义法方法一:平方法……根号内得数相加为同一个数时。
平方法就是对要比较大小得两个数先平方,根据平方后数据得大小来确定原数得大小。
方法二:作商法……向1靠拢,化同类项。
作商法就是把要比较大小得两个数相除，根据除得得商来判断原来数值得大小,除得得商分大于1,等于1，或小于1。
方法三:分子有理化法……根号内得数差为同一个数时,将分子化1,比分母。
分子有理化法就是专门针对二次根式比较大小来说得,通过对分子有理化来判断出大小，再确定原数值得大小。
方法四:分母有理化法……根号内得数相似,化同为目标。
分母有理化就是通过对二次根式乘以有理化因式后,将原来得二次根式化简成最简二次根式再比较大小。
方法五:作差法(最常用）作差法就就是将比较大小得两个数相减，根据所得得差来瞧两数得大小,也就是平时比较大小最常用得方法。
方法六：倒数法倒数法就就是先求出原数倒数得大小，再根据倒数得大小来确定原来数值得大小。
方法七：特殊值法特殊值法就就是通过对比较大小得代数式子赋特殊值得方法来确定大小得方法。
方法八：定义法以上就就是比较二次根式大小得8种方法，其中第５种最常用!这8种方法您掌握了几种呢？。
比较二次根式大小的巧妙方法
比较二次根式大小的巧妙方法二次根式是数学中常见的一种数形式，可以写成形如根号下a的形式，其中a是一个非负实数。
在比较二次根式大小时，可以使用一些巧妙的方法来简化计算和判断。
下面将介绍几种比较二次根式大小的巧妙方法：1.平方比较法：对于非负实数a和b，如果a>b，则a的平方大于b的平方，即a^2>b^2、因此，对于任意非负实数a和b，如果a>b，那么根号下a的值大于根号下b的值。
这种方法适用于比较两个非负实数的根号值大小。
例如，要比较根号下3和根号下2的大小：首先，计算3的平方和2的平方，得到3^2=9和2^2=4、由于9>4，可以得出根号下3>根号下22.平方和比较法：对于非负实数a、b和非负整数n，如果a^2+b^2>(a+n)^2，则a^2+b^2大于(a+n)^2、因此，对于任意非负实数a和b，如果a^2+b^2>(a+n)^2，那么根号下a的值大于根号下(a+n)的值。
这种方法适用于比较一个非负实数和一个非负整数之和的平方和与平方的大小。
例如，要比较根号下7和根号下6+1的大小：首先，计算7和(6+1)^2，得到7和(6+1)^2=7和49、由于7<49，可以得出根号下7<根号下6+13.有理化分子法：对于非负实数a和b，可以使用有理化分子法将二次根式的分子有理化，然后比较分子的大小。
有理化分子的基本原理是将根号a的分子乘以根号a的共轭形式，即分子为a，分母为1、例如，有理化分子根号3的过程为：根号3*根号3=3、然后，可以比较有理化分子后的值的大小。
例如首先，有理化分子根号下3得到3，有理化分子根号下2得到2、因此，可以得出根号下3>根号下24.二次根式近似法：对于无法直接比较大小的二次根式，可以将其转化为十进制近似值，然后比较近似值的大小。
使用计算器或其他计算工具可以方便地进行这种近似计算。
例如，要比较根号下3和根号下2的大小：首先，使用计算器计算根号下3的近似值为1.732，根号下2的近似值为1.414、由于1.732>1.414，可以得出根号下3>根号下2总之，比较二次根式大小可以使用平方比较法、平方和比较法、有理化分子法和二次根式近似法等巧妙方法。
八年级数学 二次根式化简求值及比较大小(含知识点练习题)
8设
S1
1 1 12
1 22
，
S2
1
1 22
1 32
，
S3
1
1 32
1 42
，
…，
Sn
1
1 n2
1
n 12
．
若
S S1 S2 … Sn ，求 S（用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数）．
9 已知
x
y 1
z
2
1 2
(x
y
z)
，求
x
、
y
随堂练习
x 3.1 当 x 0 时， x2 的值为（ ）
A． 1
B．1
x3 x 1
3.2 化简
x ，得（ ）
C． 1
D．x
A． x 1 x
B． 1 x x
C． x 1 x
D． x 1 x
3.3 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则 (a +b)2 +a 的化简结果为____．
(
x x
x2 1)2
2x (x
1 1)2
，其中
x
3 2
．
二：多重二次根式 例 3.2.1 化简：（1） 4 12 （2） 4 15
例 3.2.2 化简： 10 8 3 2 2 ． 例 3.2.3 若正整数 a 、 m 、 n 满足 a2 4 2 m n ，则 a 、 m 、 n 的值依次是_______．
4.3 已知 a 2 1， b 2 2 6 ， c 6 2 ，那么 a ， b ， c 的大小关系是（ ）
二次根式大小比较的常用方法
二次根式大小比较的常用方法1.利用平方根的性质：如果两个数的平方根相同，那么这两个数一定相等。
即对于任意正实数a和b，如果√a=√b，则a=b。
利用这个性质，我们可以对二次根式进行大小比较。
2.化简二次根式：利用二次根式的性质，我们可以将二次根式化简为最简形式。
例如，对于√2和√3，我们可以将它们化简为√6和√3，然后比较它们的大小。
通常情况下，我们将二次根式化简为含有最小素数因子的形式，这样可以更容易比较大小。
3.平方根的分子分母相等法：对于二次根式的大小比较，我们可以通过比较它们的分母。
如果分母相等，那么我们可以通过比较分子的大小来确定二次根式大小的关系。
例如，对于√5和√2，我们可以将它们分别表示为(√5)/(√1)和(√2)/(√1)，由于分母相等，在分子的大小比较中，√5大于√2，因此√5大于√24.乘法法则：对于以二次根式为因子的乘法式，我们可以通过乘法法则来确定它们的大小关系。
根据乘法法则，如果一个数的平方大于另一个数的平方，那么这个数就大于另一个数。
例如，对于√3和√5来说，我们可以将它们相乘得到√15和√1，由于15大于1，所以√15大于√1、通过这个乘法法则，我们可以对多个二次根式的大小进行比较。
5.通过比较被开方数的大小：被开方数的大小也决定了二次根式的大小关系。
例如，对于√7和√5来说，我们可以通过比较7和5的大小来确定它们的大小关系。
由于7大于5，所以√7大于√5、这个方法适用于对没有公共因子的二次根式进行大小比较。
在实际运用中，我们可以根据需要选择合适的方法进行二次根式大小比较。
有时候需要结合多种方法来确定二次根式的大小关系。
熟练掌握这些方法，可以帮助我们更好地理解二次根式的性质和进行大小比较。
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1、根式变形法 当 a 0,b 0 时，
①如果 a b，则： a b
②如果 a b，则： a b
例1、比较 3 5 与 5 3 的大小。
解：∵ 3 5 32 5 45,5 3 52 3
5 45,5 3 52 3 75
0 45 75 45 75 45 75 45 75
例3、比较
2与 3 1
1
2 1 的大小。
解： 2 2( 3 1) 3 1, 1
3 1 ( 3 1)( 3 1)
2 1
3 1, 1 ( 2 1) 2 1 2 1 ( 2 1)( 2 1)
∵ 3 1 2 1
∴
21 3 1 2 1
4、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例4、比较 15 14 与 14 13
∴ 3 55 3
2、平方法
当 a 0,b 0时
①若 a2 b，2 则: a b ②若 a2 b，2 则： a b
例2、比较3 2 与 2 3 的大小。
解： (3 2)2 18, (2 3)2 12
∵ 18 12
∴ 3 23 2
3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分 母有理化
1、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘， 如果他们的积不含有二次根式，我们说这两个代 数式互为有理化因式。
2、分母有理化
把分母中的根号去掉
当分母或除式为单个二次根式的二次根式的除法 ，其实质就是分母有理化。
分母或除式含有二次根式的和与差
3、分子有理化：把分子中的二次根式化去，叫做分 子有理化，它常用于比较大小。
3 1 3
3( 31)
21) 2( 31) 3 2 0
3( 31)
3( 31)
∴ 2 1 2
3 1 3
8、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：
①a 1 a b
b
②a 1 a b
b
例8、比较 5 3 与 2 3
的大小。
解： 5 3 (5 3)(2 3) 13 7 3 2 3 (2 3)(2 3)
所以可取媒介值6。
解：∵ 7 3 9 3 3 3 6, 8 3 6, 87 3 81 3 9 3 6
∴ 7 3 87 3
7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
① ab 0a b
② ab0a b
例7、比较
2 1
与
2
的大小。
3 1
3Hale Waihona Puke 解：∵2 1 2 3( 21) 2( 31)
例5、比较 7 6 与 6 5
的大小。
解： 1 7 6 7 6
1 6 5 6 5
7 6 6 5
7 6 6 5
6、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值， 利用传递性进行比较。
例6、比较 7 3 与 87 3
的大小。 分析： 估计 5 7 3 6, 6 87 3 7
的大小。
解：
15 14 ( 15 14)( 15 14) 1
15 14
15 14
14 13 ( 14 13)( 14 13) 1
14 13
14 13
∵ 15 14 14 13 0 1
30 1 1 15 14 14 13
∴ 15 14 14 13
5、倒数法
3)(2 3) 13 7 3 13 147 3)(2 3)
13 7 3 13 147
∵ 12 144 147 169 13
13 0 13 147 1
∴ 5 3 2 3