DX 算法初步专题
dx微积分所有公式,微积分24个基本公式
dx微积分所有公式，微积分24个基本公式dx表示x变化无限小的量，其中d表示“微分”，是“derivative(导数)”的第一个字母。
当一个变量x，越来越趋向于一个数值a时，这个趋向的过程无止境的进行，x与a的差值无限趋向于0，就说a是x的极限。
这个差值，称它为“无穷小”，它是一个越来越小的过程，一个无限趋向于0的过程，它不是一个很小的数，而是一个趋向于0的过程。
扩展资料：注意微分的几何意义：设δx是曲线y = f(x)上的点m的在横坐标上的增量，δy是曲线在点m对应δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点m的切线对应δx在纵坐标上的增量。
f(x0)在表示曲线y=f(x)在切点m(x0,f(x0))处切线的斜率。
(1)微积分的基本公式共有四大公式：1.牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本公式2.格林公式,把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分,它是平面向量场散度的二重积分3.高斯公式,把曲面积分化为区域内的三重积分,它是平面向量场散度的三重积分4.斯托克斯公式,与旋度有关(2)微积分常用公式：dx sin x=cos xcos x = -sin xtan x = sec2 xcot x = -csc2 xsec x = sec x tan xcsc x = -csc x cot xsin x dx = -cos x + ccos x dx = sin x + ctan x dx = ln |sec x | + ccot x dx = ln |sin x | + csec x dx = ln |sec x + tan x | + c csc x dx = ln |csc x - cot x | + c sin-1(-x) = -sin-1 xcos-1(-x) = - cos-1 xtan-1(-x) = -tan-1 xcot-1(-x) = - cot-1 xsec-1(-x) = - sec-1 xcsc-1(-x) = - csc-1 xdx sin-1 ()=cos-1 ()=tan-1 ()=cot-1 ()=sec-1 ()=csc-1 (x/a)=sin-1 x dx = x sin-1 x++ccos-1 x dx = x cos-1 x-+ctan-1 x dx = x tan-1 x- ln (1+x2)+c cot-1 x dx = x cot-1 x+ ln (1+x2)+c sec-1 x dx = x sec-1 x- ln |x+|+c csc-1 x dx = x csc-1 x+ ln |x+|+c sinh-1 ()= ln (x+) xrcosh-1 ()=ln (x+) x≥1tanh-1 ()=ln () |x| 1sech-1()=ln(+)0≤x≤1csch-1 ()=ln(+) |x| 0dx sinh x = cosh xcosh x = sinh xtanh x = sech2 xcoth x = -csch2 xsech x = -sech x tanh xcsch x = -csch x coth xsinh x dx = cosh x + ccosh x dx = sinh x + ctanh x dx = ln | cosh x |+ c coth x dx = ln | sinh x | + c sech x dx = -2tan-1 (e-x) + c csch x dx = 2 ln || + cduv = udv + vduduv = uv = udv + vdu→ udv = uv - vducos2θ-sin2θ=cos2θcos2θ+ sin2θ=1cosh2θ-sinh2θ=1cosh2θ+sinh2θ=cosh2θdx sinh-1()=cosh-1()=tanh-1()=coth-1()=sech-1()=csch-1(x/a)=sinh-1 x dx = x sinh-1 x-+ ccosh-1 x dx = x cosh-1 x-+ ctanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ln | 1-x2|+ c coth-1 x dx = x coth-1 x- ln | 1-x2|+ c sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + c csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + c sin 3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3θ-3cosθ→sin3θ= (3sinθ-sin3θ)→cos3θ= (3cosθ+cos3θ)sin x = cos x =sinh x = cosh x =正弦定理:= ==2r余弦定理:a2=b2+c2-2bc cosαb2=a2+c2-2ac cosβc2=a2+b2-2ab cosγsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin βcos (α±β)=cos α cos β sin α sin β2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β) sin α + sin β = 2 sin (α+β) cos (α-β) sin α - sin β = 2 cos (α+β) sin (α-β) cos α + cos β = 2 cos (α+β) cos (α-β) cos α - cos β = -2 sin (α+β) sin (α-β) tan (α±β)=,cot (α±β)=ex=1+x+++…++ …sin x = x-+-+…++ …cos x = 1-+-+++ln (1+x) = x-+-+++tan-1 x = x-+-+++(1+x)r =1+rx+x2+x3+ -1= n= n (n+1)= n (n+1)(2n+1)= [ n (n+1)]2γ(x) = x-1e-t dt = 22x-1dt = x-1 dtβ(m,n) =m-1(1-x)n-1 dx=22m-1x cos2n-1x dx = dx转换为 f (ω ) = 解f (t ) = ± jω0t f ( t ) e ? jωt dt f ( t ) e ? j(ω ?ω0 ) t dt = f (ω ? ω0 ) 。
directx射线法拾取3d物体数学原理
directx射线法拾取3d物体数学原理directx射线法拾取3d物体数学原理(1)--原创通过2D屏幕坐标在3D空间中拾取需要的场合Directx提供了固定流水线和可编程流水线，他们都是为了实现一个目标，就是把3d模型如何投射到2d屏幕坐标上，这个过程，相关文档都有了详细的介绍，今天我们来看一下他的逆向过程，比如，你如何按下鼠标选中一个离你最近的3D 物体，如何让你的手枪打了一枪击中了远处的一个敌人的脑袋，cs中我们都玩过，那么如何判断的呢,我们就要从2D屏幕到3d屏幕的转化说开去。
为什么使用射线法一般常规思考，我们从3d的渲染流水线逆向就应该获取到3d中的对应位置，可是我们的屏幕是2D的，仅有x，y 如何表示3d中的z呢,这是个问题，不过，不要怕，我们在流水线中也考虑了这个投影的问题，当3d的物体投射到屏幕上时，我们指定了两个参数，一个是Near，一个是，far，一般在设置投射矩阵时，使用如下函数:D3DXMATRIX * D3DXMatrixPerspectiveFovLH(D3DXMATRIX *pOut,FLOAT fovy,FLOAT Aspect,FLOAT zn,FLOAT zf);这个函数最终形成的矩阵是这样子的xScale 0 0 0 0 yScale 0 0 0 0 zf/(zf-zn) 1 0 0 -zn*zf/(zf-zn) 0 其中: yScale = cot(fovY/2)xScale = yScale / Aspect通过这个函数把3d的已经渲染好的物体，投射在屏幕上。
我们现在已知屏幕上 (x，y)，就是说我们能通过x，y找到z为zn，zf两个值时，屏幕上x，y对应的3d空间中的点坐标。
这就是形成一条空间射线的两个点的理论基础。
接下来又有了新问题，我们如何将屏幕中的(x，y)转化为空间中的坐标呢, 如何把屏幕的坐标转化为空间中的坐标屏幕的坐标系是这样的:左上角是0，0 右下角是w，h;而我们3d投影后形成2D坐标系是，中间(0，0),这里我们把投影后的2D坐标系标准化，转化成单位矩形(-1，-1)到(1，1),就是以中心往上下左右各给出1个单位量的大小。
不定积分求解方法及技巧
不定积分求解方法及技巧不定积分是微积分中的重要概念之一，它与定积分相互对应，是求导的逆运算。
在实际中，我们经常需要对函数进行不定积分来求函数的原函数，或者求解一些与变量相关的问题。
下面，我将介绍一些常见的不定积分求解方法及技巧。
一、基本不定积分法基本不定积分法是指利用函数的基本积分公式来求解不定积分的方法。
经过多年的研究，数学家总结出了许多函数的基本积分公式，我们可以根据这些公式来求解不定积分。
一些常见的基本积分公式包括：1. ∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C；其中n为非负整数，C为常数。
2. ∫e^x dx = e^x + C；3. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C；4. ∫cos(x) dx = sin(x) + C；5. ∫1/x dx = ln|x| + C；6. ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C；等等。
利用这些基本积分公式，我们可以将一个函数进行分解，然后求解出每一部分的不定积分，再进行合并。
需要注意的是，基本不定积分法只能求解一些特定的函数，如果遇到复杂的函数，就需要使用其他的方法。
二、换元积分法换元积分法是指通过变量代换来简化不定积分的方法。
它的基本思想是，通过选择一个新的中间变量，使得原函数可以转变为一个更简单的形式，进而求解出不定积分。
换元积分法的关键是选择一个合适的变量代换。
常用的变量代换有以下几种：1. u = g(x)：将函数中的部分表达式用一个新的变量u 表示，使得原函数简化；2. x = g(u)：将自变量用一个新的变量u表示，使得原函数简化。
换元积分法的步骤为：1. 选取合适的变量代换，使得原函数简化；2. 将原函数和新变量u的微元表达式相应地表示出来；3. 将原函数用新变量u表示，然后对u进行求积分；4. 将u的积分结果转换回原来的自变量x。
需要注意的是，换元积分法在选择变量代换时需要灵活运用，有时需要试几次才能找到一个合适的代换，特别是当函数较为复杂时。
DX基础知识
DX基础知识DX基础知识0001、 D3D中任何复杂的图形由什么图元组成：三角形2、向量的属性包括：长度和方向3、三维空间的变换：（3种）平移、放缩、旋转4、像素的格式: ARGB 和 XRGB （常用）5、如果贴上图片，顶点格式必须有D3DFVF_TEX1，取值范围[0,1] 。
6、最基础的对象是 D3D对象，由它创建 Device ，再由Device创建索引、顶点等。
7、创建和释放应符合栈（先进后出）的顺序。
8、 D3D在设备创建时选择两种方式，用硬件是 HAL ，用软件是REF 。
9、表示纯红颜色的颜色的常量是： 0xFFFF000010、在D3D中，本地空间指局部坐标系，世界空间指世界坐标系。
11、使用索引缓冲区相对于顶点缓冲区的优点：对于可重用的点，用索引代替，省去重复空间。
12、 D3D中，绘制基本图元的函数是： DrawPrimitive（）。
13、实现光照的效果需要通过光照和模型的法线来实现。
法线分为顶点法线和面法线。
14、 D3D中，顶点是程序员的定义格式，叫做：灵活顶点格式（FVF），FVF的值必须与顶点结构体一一对应。
15、处理纹理坐标的值在（0,1）边界外，纹理坐标的方式叫纹理寻址。
三种纹理寻址的方式：包装、边框、镜面、夹取。
16、 D3D中，模型表面的材质是指物体表明对光的反射能力，也包括α通道。
17、在DX中，渲染需要占用大量的CPU时间，要想获得稳定的帧速率，调用 PeekMessage()。
18、只要不去修改，就会一直保持状态，则这些状态叫做开关量。
19、设置渲染状态的函数是SetRenderState()。
20、纹理尺寸最好符合什么标准？长宽最好是2的n次幂，矩形也行。
21、 DX最多支持同时 8 个光源， 8 层纹理。
22、 DX中正确体系物体遮挡关系，使用 Z-Buffer(深度缓冲)。
23、为了增加场景的真实感，通常添加雾效。
24、 DX中，专门封装了一个处理2D图形的接口：D3DXSprite1、 DX图形库的开发方式，使用这种机制有什么好处？DX图形库的开发方式是基于Windows的COM机制（ComponentObject Model组件对象模型）。
D换元法同济大学高等数学
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定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1(x) 是 x (t)的反函数 .
证: 设 f [ (t)] (t)的原函数为 (t), 令
F(x) [ 1(x)]
(t) f [ (t)] (t)
则
F ( x)
(sec x tan x) sec x tan x
sec2 x sec x tan x dx sec x tan x
d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
或
ln tan x C (P196 例16 )
2
1
dx e
x
.
(1 ex ) ex 1 ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
x ln(1 ex ) C
解法2
ex 1 ex
dx
d(1 ex ) 1 ex
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
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4
x)
dx
3 2
dx
cos
2x
d(2x)1 8源自cos4x d(4x)
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例13. 求
解: sin2 x cos2 3x [12 (sin 4x sin 2x)]2
1 4
sin
2
4
x
1 4
2
sin
4x
微积分公式大全
微积分公式tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r=1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1Γ(x) = ⎰∞0t x-1e -t d t = 2⎰∞0t 2x-12t e-d t = ⎰∞)1(ln tx-1d tβ(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1d x =2⎰20sinπ2m -1x cos2n -1xd x = ⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希腊字母 (Greek Alphabets)大写 小写 读音 大写 小写 读音 大写 小写 读音 Α α alpha Ι ι iota Ρ ρ rho Β β beta Κ κ kappa Σ σ, ? sigma Γ γ gamma Λ λ lambda Τ τ tau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilon Ε ε epsilon Ν ν nu Φ φ phi Ζ ζ zeta Ξ ξ xi Χ χ khi Η η eta Ο ο omicron Ψ ψ psi Θ θ theta Π π pi Ω ω omega 商数关系: tan θ= θθcos sin ; cot θ= θθsin cos平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ? 顺位高d 顺位低 ;0*? =∞1 *? = ∞∞ = 0*01 = 00 00 = )(0-∞e ; 0∞ = ∞⋅0e ; ∞1 = ∞⋅0e顺位一: 对数; 反三角(反双曲)顺位二: 多项函数; 幂函数 顺位三: 指数; 三角(双曲)算术平均数(Arithmetic mean)中位数(Median) 取排序后中间的那位数字 众数(Mode)次数出现最多的数值 几何平均数(Geometric mean)调和平均数(Harmonic mean) 平均差(Average Deviatoin)变异数(Variance)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni标准差(Standard Deviation)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni1 000 000 000 000 000 000 000 000 10 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E1 000 000 000 000 000 1015 peta P1 000 000 000 000 1012 tera T 兆1 000 000 000 109 giga G 十亿1 000 000 106 mega M 百万1 000 103 kilo K 千100 102 hecto H 百10 101 deca D 十10-1 deci d 分，十分之一10-2 centi c 厘（或写作「厘」），百分之一10-3 milli m 毫，千分之一001 10-6 micro 微，百万分之一000 001 10-9 nano n 奈，十亿分之一000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一000 000 000 001 10-15 femto f 飞（或作「费」），千兆分之一000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y。
dx运算法则
dx的公式是DX=EX^2-(EX)^2。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。
因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。
ex和dx的公式：DX=E（X^2-2XEX+（EX）^2）。
D（X）指方差，E（X）指期望。
方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
概率论，是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的，在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。
随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。
例如，掷一硬币，可能出现正面或反面。
随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。
随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。
典型的随机试验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。
dx就是人为的取的很小的一段距离。
不论是什么图形dx都可以近似为一小段直线2、dx是自变量的微分，也就是δx,d/dx是把跟在后面的那个式子对x求导，也可以把跟在后面的式子写在分子的d后面，dx公式是什么？dx公式是什么？dx公式是什么？dx公式是什么？dx公式是什么？dx的公式是DX=EX^2-(EX)^2。
dx是方差，在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。
简介两台仪器的测量结果的均值都是 a 。
常见不定积分的求解方法
常见不定积分的求解方法
1.代换法：当被积函数中含有复杂的函数关系时，我们可以通过适当
的代换将其转化为更简单的形式，从而求解不定积分。
根据具体情况，可
以选择代换变量、代换函数或代换式子。
2.分部积分法：用于求解由两个函数的乘积所组成的不定积分。
根据
分部积分公式：
∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx
选择适当的函数u(x)和v'(x)进行代入，并反复应用分部积分，直至
求解出不定积分。
3.分式分解法：用于求解由多个分式相加组成的不定积分。
根据部分
分式定理，将复杂的分式分解为简单的分式，并分别求解不定积分。
4.积化和差法：将被积函数中的一些项进行积化和差，通过适当的变换，将不定积分转化为更简单的形式。
例如，常见的积化和差有平方差公式、和差化积公式等。
5.凑微分法：对于一些复杂的不定积分，可以采用凑微分的方法将其
化简。
根据不同情况，可以采用配方法、恒等变换、特殊关系式等凑微分。
6.特殊函数积分法：对于一些特殊的函数，有对应的积分公式或者常
用的积分技巧，可以直接使用这些方法进行求解。
例如，指数函数的积分、三角函数的积分等。
除了上述的常见方法外，在实际求解不定积分时还可以根据具体的情
况选择其他适当的方法。
此外，对于一些无法求解的积分，还可以采用数
值积分的方法进行近似求解。
无论采用哪种方法，求解不定积分需要熟悉
常用的积分公式，掌握各种积分方法的应用技巧，并具备一定的数学思维能力和逻辑推理能力。
高等数学 殷锡鸣6.1 不定积分的基本积分法(1-68)
2
1 x2
ln( x 1 x ) arcsin x c
20 凑微分法 复合函数微分法: 如果 F ' ( x ) f ( x ) , 则有
d[F ( ( x ))] f ( ( x )) d ( x ) f ( ( x )) ' ( x )dx
将此微分式两边进行不定积分得
m m M(x ) N M m 2 2 d(x ) m 2 2 2 (x ) R 2
u x
m 2
u 1 Mu H du H 2 du du M 2 2 2 2 2 u R u R u R
1 u 1 d (u2 R 2 ) ln( u 2 R 2 ) c du 2 2 2 2 u R2 u R2
( A B ) x ( A 5B ) ( x 5)( x 1)
2
1 1 M du H 2 du u u
(2) 判别式 m 2 4n 0 的情形
m 2 4n m 2 x 2 mx n ( x ) ( ) 2 4
m 2 ( x ) R2 2
4n m 2 ( R2 ) 4
Mx N Mx N dx dx 2 m 2 x mx n ( x ) R2 2
2 2
u cos x
(1 u2 )2 du
(1 2u u )du
2 4
2 3 1 5 ( u u u ) c 3 5
2 3 1 5 cos x cos x cos x c 3 5
一般地可计算:
同理可计算积分:
sin2n1 xdx
数学分析中的积分求解方法
数学分析中的积分求解方法在数学分析中，积分是一个重要的概念和工具。
它可以用来计算曲线下面的面积、求解定积分以及解决一些实际问题。
本文将介绍一些常见的积分求解方法，包括不定积分和定积分。
一、不定积分不定积分是指对一个函数进行积分，得到的结果是一个含有未知常数的函数。
不定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是要求积分的函数。
不定积分的求解方法有很多，下面将介绍其中的几种常见方法。
1. 基本积分法基本积分法是指根据一些已知的基本积分公式，将要求积分的函数转化为基本积分公式中的形式，从而求解积分。
例如，对于函数f(x) = x^n，其中n为任意实数，其基本积分公式为∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为常数。
2. 分部积分法分部积分法是指将要求积分的函数进行分解，然后利用分部积分公式进行求解。
分部积分公式为∫u dv = uv - ∫v du，其中u和v是要求积分的函数。
通过适当选择u和dv，可以将原函数转化为更容易求解的形式。
3. 代换积分法代换积分法是指通过代换变量的方法将要求积分的函数转化为一个更容易求解的形式。
常见的代换变量有三角函数代换、指数函数代换和倒数代换等。
通过选择合适的代换变量，可以简化积分的计算过程。
二、定积分定积分是指对一个函数在给定区间上的积分，得到的结果是一个确定的数值。
定积分的符号表示为∫[a,b]f(x)dx，其中[a,b]表示积分区间。
定积分的求解方法有很多，下面将介绍其中的几种常见方法。
1. 几何解释法几何解释法是指将定积分的计算问题转化为几何问题，通过计算图形的面积或体积来求解定积分。
例如，对于一条曲线y=f(x)，其在区间[a,b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx可以表示为该曲线下方的面积。
2. 分割求和法分割求和法是指将定积分的区间分割成若干小区间，然后对每个小区间内的函数进行求和，最后将这些求和结果相加得到定积分的近似值。
不定积分典型例题讲解
4
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例1. 求
2 9x
x3x 4
x
dx
.
解: 原式
2x3x 32 x 22
x
dx
1
(
32) x d (32)2 x
ax dx
a
x
ln
a
dx
1
ln
2 3
d (32) x 1 (32)2 x
arctan(
2 3
)x
C
ln 2 ln3
2021/11/14
5
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一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺
序,
排前者取为 u , 排后者取为 v .
计算格式: 列表计算
2021/11/14
3
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多次分部积分的 规 律
u v(n1) dx u v(n) uv(n) dx
u v(n) uv(n1) uv(n1) dx u v(n) uv(n1) uv(n2) uv(n2) dx
习题课
第四章
不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
2021/11/14
1
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法
通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .
2. 换元积分法
第一类换元法
f (x)dx
f [(t)](t) dt
故
F(x)F(x)dx
sin2
2xdx
1
cos 2
4xdx
即
F
2
(x)
2021届高考数学一轮温习 推理与证明、算法初步、复数专题训练(1)
推理与证明、算法初步、复数一、基础知识要记牢 (1)复数的模： 复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2.(2)复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．专门地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(3)复数的除法一样是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 二、经典例题领会好[例1] (1)(2021·安徽高考)设i 是虚数单位，假设复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，那么a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2021·陕西高考)设z 1，z 2是复数，那么以下命题中的假命题是( ) A ．假设|z 1－z 2|＝0，那么z 1＝z 2 B ．假设z 1＝z 2，那么z 1＝z 2 C ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 1·z 1＝z 2·z 2D ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 21＝z 22[解析] (1)因为a －103－i ＝a －103＋i3－i 3＋i ＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的概念，知a －3＝0，因此a ＝3.(2)A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．[答案] (1)D (2)D1与复数z 有关的复杂式子为纯虚数，可设为m i m ≠0，利用复数相等去运算较简便.2在有关复数z 的等式中，可设出z ＝a ＋b i a ，b ∈R ，用待定系数法求解.3熟记一些常见的运算结果可提高运算速度：1±i2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ，设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.三、预测押题不能少1．(1)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，那么|(1－z )·z |＝( ) B ．2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝－32＋12＝10.(2)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为________． 解析：z ＝1＋i ，那么z 2z＝1＋i 21－i＝2i 1－i＝2i 1＋i 1－i1＋i＝－1＋i ，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)． 答案：(－1,1)合情推理一、基础知识要记牢 (1)类比推理的一样步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．(2)归纳推理的一样步骤：①通过观看个别事物发觉某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一样性命题．一样情形下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推行的一样性结论也就越靠得住．二、经典例题领会好[例2] (2021·陕西高考)观看以劣等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……照此规律，第n个等式可为________．[解析] 12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，……12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1n n＋12.[答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n n＋12合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先依照已知的部份个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一样结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理进程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性． 三、预测押题不能少2．(1)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，….依此类推，第n 个等式为__________________________．解析：由归纳推理可知，第n 个等式为2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×...×2n . 答案：2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)× (2)(2)关于命题：假设O 是线段AB 上一点，那么有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，那么有S △OBC ·OA ＋S △O CA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间的情形应该是：假设O 是四面体ABCD 内一点，那么有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，一般是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：假设O 为四面体ABCD 内一点，那么有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0程序框图一、经典例题领会好[例3] (2021·新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，若是输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！[解析] 当输入N ＝10时，由于k ＝1，S ＝0，T ＝1，因此T ＝11＝1，S ＝1，k ＝2，现在不知足k >10；当k ＝2时，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，现在不知足k >10；当k ＝3时，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，k ＝4，现在不知足k >10； 当k ＝4时，T ＝11×2×3×4＝14！，S ＝1＋12！＋13！＋14！，k ＝5，现在不知足k >10 ； ……当k ＝10时，T ＝11×2×3×4×…×10＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！，k ＝11，现在知足k >10.因此输出S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！. [答案] B1解答有关程序框图问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构.2利用循环结构表示算法要注意：①要选择准确的表示累计的变量；②要注意在哪一步结束循环；③执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误.二、预测押题不能少3．(1)程序框图如图，若是程序运行的结果为S ＝132，那么判定框中可填入( ) A ．k ≤10 B ．k ≥10 C ．k ≤11D ．k ≥11解析：选A 输出的S 值是一个逐次积存的结果，第一次运行S ＝12，k ＝11；第二次运行S＝132，k＝10.若是现在输出结果，那么判定框中的k的最大值是10.(2)假设某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的值是( ) A．2 B．3C．4 D．5解析：选C 逐次运行的结果是n＝3，i＝2；n＝4，i＝3；n＝2，i＝4.故输出的值是4.程序框图与概率的交汇算法是新课标高考中的一大热点，专门体此刻算法的交汇性问题上，这些问题题目背景新颖，交汇自然，要紧表此刻算法与函数、数列、不等式、概率及统计的交汇．一、经典例题领会好[例] (2021·四川高考节选)某算法的程序框图如下图，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)别离求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同窗依据自己对程序框图的明白得，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部份数据．甲的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………2 100 1 027376697乙的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………2 100 1 051696353当n＝2 100时，依照表中的数据，别离写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判定两位同窗中哪一名所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的散布列及数学期望． (1)学审题——审条件之审视图表和数据程序框图――→审图 计算输出y 的值为1,2,3的数的个数―――――――→古典概型公式 概率． (2)学审题 频数统计表――→审表 各小组频数―→频率―――――→与1比较 结论．(3)学审题 条件―→确信y 的取值13−−−−−−→每次发生的概率为求出散布列―→期望值． [解] (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.因此，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：输出y 的值为1的频率 输出y 的值为2的频率 输出y 的值为3的频率 甲1 0272 1003762 1006972 100 乙1 0512 1006962 1003532 100比较频率趋势与概率，可得乙同窗所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29， P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127， 故ξ的散布列为因此，E (ξ)＝3×13＝1.即ξ的数学期望为1.此题要紧考查算法与程序框图、古典概型、频数、频率、随机变量的散布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方式解决实际问题的能力，考查数据处置能力、应用意识和创新意识.解答此题的易错点为：一是错读程序框图使此题在求解第一步时就显现错误，二是处置频数散布表中数据时运算错误. 二、预测押题不能少某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如下图的长方体ABCD EFGH 材料切割成三棱锥H ACF .(1)假设点M ，N ，K 别离是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，依照艺术品加工需要，工程师必需求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如下图，那么运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？解：(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC . ∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ， 同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊂平面MNK，故MG∥平面ACF.(2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ， ∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ，∴e ＝12bc1－d 2＝12AC ·AF ·sin∠CAF ＝S △ACF .又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF ＝V 三棱锥H ACF .∵三棱锥H ACF 为将长方体ABCD EFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得， ∴V 三棱锥H ACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.1．(2021·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 因为x ＋y i 的共轭复数是x －y i ，应选B.2．(2021·福建质检)执行如下图的程序框图，假设输入的x 值为2，那么输出的x 值为( ) A ．3 B ．126C ．127D ．128解析：选C 假设输入的x ＝2，那么x ＝22－1＝3，而3<126，故x ＝23－1＝7，而7<126，故x ＝27－1＝127.因为127>126，因此输出的x 值为127. 3．(2021·郑州质量预测)假设复数z ＝2－i ，那么z ＋10z＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．4＋2iD ．6＋3i解析：选D ∵z＝2－i，∴z＋10z＝(2＋i)＋102－i＝(2＋i)＋102＋i2－i2＋i＝6＋3i.4．(2021·江西高考)阅读如下程序框图，若是输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i －2 ＝2*i －1C ．S ＝2*i ＝2*i +4解析：选C 此框图依次执行如下循环：第一次：i ＝1，S ＝0，i ＝1＋1＝2，i 是奇数不成立，S ＝2*2＋1＝5，继续循环； 第二次：i ＝2＋1＝3，i 是奇数成立，继续循环；第三次：i ＝3＋1＝4，i 是奇数不成立，S ＝2*4+1=9，继续循环；第四次：i ＝4+1=5，i 是奇数成立，由题意知现在应跳出循环，输出i ＝5，即S ＜10不成立. 故应填S =2*i (现在S =10＜10不成立).假设填S ＝2*i ＋4，那么在第二次循环中就跳出循环．应选C. 5．(2021·河南洛阳模拟)执行如下图的程序框图，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，那么能输出数对(x ，y )的概率为( )解析：选B 依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1表示的平面区域的面积等于12＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，y ≤x2表示的平面区域的面积等于∫10x 2d x ＝13x 310＝13，因此所求的概率为13.6．假设数列{a n }是等差数列，那么数列{b n }b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也为等差数列．类比这一性质可知，假设正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，那么d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：选D 假设{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；假设{c n }是等比数列，那么c 1·c 2·…·c n＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q 12n n (-)，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q12n -，即{d n }为等比数列，应选D.7．已知复数z ＝1－i ，那么z 2－2z z －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i－i·i＝－2i.答案：－2i8．(2021·山东高考)执行下面的程序框图，假设输入的ε的值为，那么输出的n 的值为________．解析：逐次计算的结果是F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；F 1＝5，F 0＝3，n ＝3，现在输出， 故输出结果为3. 答案：39．(2021·福建质检)观看以劣等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……那么当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)． 解析：由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1,1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4,12＝42－22； 由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8,39＝82－52；………依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案：n 2－m 210．已知复数z 1知足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.11．(2021·郑州质量预测)每一年的3月12日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)：甲：137,121,131,120,129,119,132,123,125,133；乙：110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(1)依照抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并依照你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；(3)假设小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率散布估量整体散布，求小王领取到的“良种树苗”的株数X的散布列．解：(1)茎叶图如下图：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为；④甲种树苗的高度大体上是对称的，而且大多数集中在均值周围，乙种树苗的高度散布较为分散．(2)依题意，x ＝127，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度的离散程度的量． S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越良莠不齐．(3)由题意可知，领取一株甲种树苗取得“良种树苗”的概率为12，那么X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，因此随机变量X 的散布列为12．(2021·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右极点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的极点时，判定四边形OABC 是不是可能为菱形，并说明理由． 解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右极点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，因此AC 与OB 彼此垂直平分． 因此可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.因此菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝3.(2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下： 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的极点，且直线AC 只是原点，因此可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，那么x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2.因此AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，因此直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，因此AC 与OB 不垂直．因此四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．因此当点B 不是W 的极点时，四边形OABC 不可能是菱形．。
考研数学积分方法总结
考研数学积分方法总结一、基本积分公式。
1.1 这就像是我们的基础装备。
基本积分公式是积分的根基啊，就像盖房子的砖头一样重要。
像∫x^n dx =(1/(n + 1))x^(n+1)+C（n≠ 1）这个公式，那是相当常见的。
很多简单函数的积分都得靠它。
例如求∫x^2 dx，直接套用公式就能得到(1/3)x^3 + C。
这就好比我们做饭，基本的调料得先备齐了，这些基本公式就是我们做积分题的基本调料。
1.2 牢记是关键。
一定要把这些基本公式牢记于心，可不能含糊。
这就好比练武之人要牢记基本功法一样。
要是连基本积分公式都记不住，那面对积分题就只能干瞪眼啦。
有些同学总是觉得公式太多记不住，其实就像背单词一样，多背几遍，多做几道题运用一下，自然而然就记住了。
二、换元积分法。
2.1 第一类换元法（凑微分法）这个方法可有点像变魔术呢。
比如说∫2xcos(x^2)dx，我们发现2x是x^2的导数，那我们就可以把它凑成∫cos(x^2)d(x^2)，然后就可以轻松得到sin(x^2)+C啦。
这就像是把原本不太好处理的东西，通过巧妙的变形，变成我们熟悉的形式，就像把一团乱麻给理清楚了一样。
不过这得需要我们有敏锐的观察力，能看出哪部分可以凑成一个整体的微分。
2.2 第二类换元法。
这第二类换元法就更像是走一条迂回的道路来解决问题。
当我们遇到像∫√(a^2 x^2)dx这种式子时，我们可以设x = asint，然后把整个式子进行替换化简。
这就好比我们要去一个地方，正面走不通，那就换个方向绕一下。
但这个方法在换元之后要记得把变量再换回来，可不能换完元就把自己给绕晕了，那就成了“丢了西瓜捡芝麻”，得不偿失了。
三、分部积分法。
3.1 公式及原理。
分部积分法的公式是∫u dv = uv ∫v du。
这个公式看起来有点复杂，但理解起来也不难。
就好比我们把一个复杂的任务分成两个部分来做。
比如说求∫x e^x dx，我们可以设u = x，dv = e^x dx，然后按照公式一步步来计算。
2022高考数学第十章算法初步统计与统计案例10.1算法初步学案
第十章算法初步、统计与统计案例10.1算法初步必备知识预案自诊知识梳理1.算法的定义通常是指按照一定规则解决某一类问题的和的步骤.2.程序框图(1)概念:程序框图又称,是一种用、及来表示算法的图形.通常程序框图由程序框和流程线组成,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;带方向箭头,按照算法步骤的执行顺序将连接起来.(2)程序框图的图形符号及其功能:3.三种基本逻辑结构续表(1)(1)(2)(2)4.中国古代数学中的算法案例(1)求两个正整数(奇数)最大公约数的算法①更相减损术:用两数中较大的数减较小的数,把得到的差,与较小的数再构成一对新的数.再用这对数中较大的数减较小的数,以同样的操作一直做下去,直到产生一对相等的数,这个数就是最大公约数.②辗转相除法:用两数中较大的数除以较小的数,把所得的余数和较小的数构成一对新的数,继续做上面的除法,直到较大的数被较小的数除尽,这个较小的数就是最大公约数.(2)秦九韶算法:计算多项式的值的一种方法,如下:f(x)=a n x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+…+a1x+a0=(a n x n-1+a n-1x n-2+a n-2x n-3+…+a1)x+a0=((a n x n-2+a n-1x n-3+a n-2x n-4+…+a2)x+a1)x+a0=…=(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)一个程序框图一定包含顺序结构,但不一定包含条件结构和循环结构.()(2)算法只能解决一个问题,不能重复使用.()(3)条件结构的出口有两个,但在执行时,只有一个出口是有效的.()(4)当型循环是给定条件不成立时,执行循环体,反复进行,直到条件成立为止.()(5)输入框只能紧接开始框,输出框只能紧接结束框.()2.某地区打的士收费办法如下:不超过2公里收7元,超过2公里时,每车收燃油附加费1元,并且超过的里程每公里收2.6元(其他因素不考虑),计算收费标准的程序框图如图所示,则①处应填()A.y=2.0x+2.2B.y=0.6x+2.8C.y=2.6x+2.0D.y=2.6x+2.8(第2题图)(第3题图)3.我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题,根据问题的条件绘制如图的程序框图,则输出的x,y分别是()A.12,23B.23,12C.13,22D.22,134.如图的程序框图,当输出y=15后,程序结束,则判断框内应该填()A.x≤1B.x≤2C.x≤3D.x≤4(第4题图)(第5题图)5.运行如图所示的框图对应的程序,输出的结果为.关键能力学案突破考点条件结构为主的结果输出型问题【例1】(1)对任意非零实数a,b,若a☆b的运算原理如图所示,则(lo g√22√2)☆(18)-23=() A.1 B.2 C.3 D.4(第(1)题图)(第(2)题图)(2)输入a=1+√7,b=√3+√5,c=√2+√6,经过如图所示的程序运算后,输出的a,b,c的值分别为()A.1+√7,√3+√5,√2+√6B.√3+√5,1+√7,√2+√6C.√3+√5,√2+√6,1+√7D.√2+√6,√3+√5,1+√7解题心得条件结构程序框图的解题技巧(1)利用条件结构解决算法问题时,要根据题目的要求引入一个或多个判断框,而判断框内的条件不同,对应的下一个程序框中的内容和操作要相应地进行变化,故要逐个分析判断框内的条件.(2)解决此类问题,可按下列步骤进行:①先弄清变量的初始值;②按照程序框图从上到下或从左到右的顺序,依次对每一个语句、每一个判断框进行读取,在读取程序框时,应注意判断后的结论分别对应着什么样的结果,然后按照对应的结果继续往下读取程序框图;③输出结果.(3)如果含有嵌套的条件结构,一定要分清外层条件与内层条件及上下逻辑关系.对点训练1(1)如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图,若输入的a=18,b=42,则输出的a=()A.2B.3C.6D.8(2)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.则按程序框图正确编程运行时输出y的值为3的概率为()A.12B.13C.16D.18考点循环结构为主的结果输出型问题(多考向探究)考向1逐步推理验证类型【例2】(1)执行如图所示的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足()A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x(2)执行如图所示的程序框图,则输出的n等于()A.1B.2C.3D.4解题心得解决循环结构程序框图问题的注意事项(1)搞清楚判断框内的条件由计数变量还是累加变量来表示;(2)要注意判断框内的不等式是否带有等号,这直接决定循环次数的多少;(3)要准确利用程序框图的赋值语句与两个变量之间的关系,把握程序框图的整体功能,这样可以直接求解结果,减少运算的次数.对点训练2(2017全国2,理8)执行下面的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S=()A.2B.3C.4D.5考向2归纳推理得出规律类型【例3】执行如图所示的程序框图,则程序最后输出的结果为()A.15B.25C.35D.45解题心得归纳推理法适用的循环结构程序框图类型(1)在解决一些有规律的科学计算问题,尤其是累加、累乘等问题时,往往可以利用循环结构来解决.执行循环结构首先要分清是先执行循环体,再判断条件,还是先判断条件,再执行循环体.其次注意控制循环的变量是什么,何时退出循环.最后要清楚循环体内的程序是什么,是如何变化的.(2)当循环次数较多时,逐一列出前面的若干步骤,观察、归纳,利用周期性或规律性得出答案.对点训练3执行如图所示的程序框图,则输出的结果n=.考点程序框图的补全问题【例4】如图程序框图是为了求出满足3n-2n>2 020的最小偶数n,那么在和两个空白框中,分别可以填入()A.A>2 020和n=n+1B.A>2 020和n=n+2C.A≤2 020和n=n+1D.A≤2 020和n=n+2解题心得补全程序框图的条件或内容时,应结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件,或累加、累乘的变量的表达式,明确进入循环体时变量的情况、累加或累乘变量的变化.具体解题方法有以下两种:一是先假定空白处填写的条件,再正面执行程序,来检验填写的条件是否正确;二是根据结果进行回溯,直至确定填写的条件是什么.注意:此类问题务必先分清是直到型循环结构还是当型循环结构,二者判断框中的条件在同一问题中相反.对点训练4执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是()A.s≤34B.s≤56C.s≤1112D.s≤2524考点程序框图的功能判断问题【例5】如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图,该程序所能实现的功能是()A.求1+3+5+…+(2n-1)B.求1+3+5+…+(2n+1)C.求12+22+32+…+n2D.求12+22+32+…+(n+1)2解题心得判断程序框图的功能,根据程序框图的运行,分析其功能即可.对点训练52020年国庆期间,全国共接待国内游客6.18亿人次,其中某30个景区日均实际接待人数与最大接待人数比值依次记为a i(i=1,2,…,30),若该比值超过1,则称该景区“爆满”,否则称为“不爆满”,则如图所示的程序框图的功能是()A.求30个景区的爆满率B.求30个景区的不爆满率C.求30个景区的爆满数D.求30个景区的不爆满数第十章 算法初步、统计与统计案例 10.1 算法初步 必备知识·预案自诊知识梳理1.明确 有限2.(1)流程图 程序框 流程线 文字说明流程线 程序框 (2)起始和结束 输入和输出的信息 赋值、计算 成立与否 先后顺序 3.反复执行 循环体考点自诊1.(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×2.D 当满足条件x>2时,即里程超过2公里,超过2公里时,每车收燃油附加费1元,并且超过的里程每公里收2.6元,所以y=2.6(x-2)+7+1=8+2.6(x-2),即整理可得y=2.6x+2.8.故选D .3.B 由程序框图,得x=1,y=34,S=138;x=3,y=32,S=134;x=5,y=30,S=130;x=7,y=28,S=126;…;x=23,y=12,S=94.输出x=23,y=12.故选B .4.C 当x=-3时,y=3;当x=-2时,y=0;当x=-1时,y=-1;当x=0时,y=0;当x=1时,y=3;当x=2时,y=8;当x=3时,y=15,x=4,结束.所以y 的最大值为15,可知x ≤3符合题意.判断框应填x ≤3,故选C .5.19 第一次循环:S=9>1,S=1,k=2;第二次循环:S=19,k=4;第三次循环:S=13,k=8;第四次循环:S=1,k=16;第五次循环:S=19,k=32;第六次循环:S=13,k=64;第七次循环:S=1,k=128;第八次循。
不定积分的基本性质与计算方法
不定积分的基本性质与计算方法不定积分是微积分中的重要内容，它可以用来求解函数的原函数。
在本文中，我们将探讨不定积分的基本性质以及计算方法。
1. 基本性质1.1 线性性质对于函数f(x)和g(x)以及常数a和b，有以下性质成立：∫[a,b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a,b] f(x) dx + b∫[a,b] g(x) dx这意味着在求不定积分时，我们可以将常数和函数分别积分，再将结果相加。
1.2 递推性质设F(x)是f(x)的一个原函数，那么对于任意常数c，有以下性质成立：∫ f(x) dx = F(x) + c这意味着不定积分的结果可以通过求函数的一个原函数来获得。
1.3 换元积分法如果函数f(x)可以表示为另一个函数u的导数乘以u对x的导数，即f(x) = u'(x)·u''(x)，那么可以通过换元积分法来求解不定积分。
具体步骤如下：1）选取合适的u，使得f(x)可以表示为u'(x)·u''(x)的形式；2）计算u(x)的导数u'(x)和u''(x)；3）将f(x)用u'(x)·u''(x)形式表示，并且将dx表示为u'(x)的导数；4）进行代换，将不定积分转化为求解u的不定积分；5）求解u(x)的不定积分；6）将结果重新换回x的形式，即得到f(x)的原函数。
2. 计算方法2.1 常数函数的不定积分对于常数C，不定积分∫ C dx等于Cx + k，其中k是常数。
2.2 幂函数的不定积分对于幂函数f(x) = x^n，n≠-1，不定积分∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + k，其中k是常数。
2.3 三角函数的不定积分对于三角函数的不定积分，有以下常用的计算公式：∫ sin(x) dx = -cos(x) + k∫ cos(x) dx = sin(x) + k∫ sec^2(x) dx = tan(x) + k∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + k∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + k∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + k2.4 指数函数和对数函数的不定积分对于指数函数和对数函数的不定积分，有以下常用的计算公式：∫ e^x dx = e^x + k∫ a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + k∫ 1/x dx = ln|x| + k2.5 分部积分法分部积分法是求解不定积分的常用方法之一，在计算两个函数的乘积的不定积分时特别有用。
f(x)dx的计算方法
我们要计算一个数学表达式 f(x)dx。
首先，我们要理解这个数学表达式的含义。
f(x) 是函数，而 dx 是微分。
当我们说 f(x)dx，我们实际上是在说对函数 f(x) 进行积分。
积分是微分的逆操作，它表示函数与坐标轴之间的面积。
为了计算 f(x)dx，我们需要知道 f(x) 的具体形式，然后使用积分公式或法则来计算。
例如，如果我们知道 f(x) = x^2，我们可以这样计算：
∫ x^2 dx = 1/3 x^3 + C
其中 C 是积分常数。
现在，假设我们有一个具体的 f(x) 形式，例如 f(x) = x^2 + 3x + 2，我们可以使用积分表或积分法则来找到其原函数。
f(x) 的不定积分为： x3/3 + 3*x2/2 + 2x
所以，f(x)dx 的计算结果为：x**3/3 + 3x**2/2 + 2*x + C。
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算法初步专题一．选择题（共30小题）
1．如图给出了一个算法程序框图，该算法程序框图的功能是（）
2．程序框图中所表示的算法是（）
3．下边程序框图表示的算法是（）
4．图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）
．B C．D 6．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）
8．程序框图（算法流程图）如图所示，其输出结果A=（）
9．下图程序框图表示的算法的功能是（）
10．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）
11．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x为（）
的值的值
的值的值
14．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果a是（）
16．程序框图（即算法流程图）如右图所示，其输出结果是（）
17．如图是一个算法的程序框图，当输入x=3时，输出y的结果是（）
．B C
18．右面的程序框图给出了计算数列{a n}的前8项和S的算法，算法执行完毕后，输出的S为
（）
19．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）
20．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断框内应填入的条件是（）
22．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）
23．右面是一个算法的程序框图，当输入的值x为5时，则其输出的结果是（）
24．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果s为10，则判断框内应填入的条件为（）
25．如图是一个算法的程序框图，当输入x的值为﹣9时，其输出的结果是（）
．D
27．如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S=1320，则在判断框中应填入关于i的判断条件是（）
28．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）
29．如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S=720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（）。