二元一次方程组培优竞赛专题讲解
(完整版)二元一次方程组优秀课件PPT
矩阵法解二元一次方程组
总结词
利用矩阵的运算性质和逆矩阵的性质，将二元一次方程组转化为线性方程组进行求解。
详细描述
矩阵法的基本思路是将二元一次方程组转化为线性方程组，然后利用矩阵的运算性质和 逆矩阵的性质求解。具体步骤包括：将二元一次方程组写成矩阵形式，然后对矩阵进行 变换，将其化为行最简形式，得到线性方程组；然后利用逆矩阵的性质求解线性方程组
示例
x + y = 1, 2x - y = 3
二元一次方程组的解法概述
01
02
03
消元法
通过加减或代入法消去一 个未知数，将二元一次方 程组转化为一元一次方程 求解。
替换法
通过一个方程中的未知数 表示另一个未知数，然后 将其代入另一个方程求解 。
矩阵法
利用矩阵表示方程组，通 过矩阵运算求解。
二元一次方程组的应用场景
化学问题
在化学中，有些问题涉及到两种化学物质之间的反应，如反 应速率和反应物浓度等，这时也可以用二元一次方程组来表 示和解决。
04
二元一次方程组的扩展知识
二元一次方程组的几何意义
平面直角坐标系
二元一次方程组可以表示平面上的点集，通过坐标系将代数问题与几何问题相互 转换。
直线交点
二元一次方程组的解对应于直线交点，即两个方程的公共解。
二元一次方程组的解的个数与性质
解的个数
二元一次方程组可能有无数解、唯一 解或无解，取决于方程组中方程的系 数和常数项。
解的性质
解的个数与方程组系数矩阵的秩和增 广矩阵的秩有关，通过比较两者可以 判断解的情况。
二元一次方程组的解的判定定理
定理内容
如果二元一次方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组有唯一解；如果秩不相等，则该 方程组无解或有无数解。
2020-2021学年数学初一培优和竞赛讲练-10-二元一次方程组解的讨论
2020-2021学年人教版数学初一讲练（培优和竞赛二合一）（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：1．当212121c c b b a a 时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效）①当212121c c b b a a 时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1"`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元2．一次方程整数解的求法进行。
求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待3．定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）【分类解析】例1. 选择一组a,c 值使方程组c y ax y x 275有无数多解， ②无解， ③有唯一的解①解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。
当 5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。
②解得a=10, c"`14。
③当 5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解，即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组得23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是6311051 a 答：当a 的取值为6311051 a 时，原方程组的解是正数。
例3. m 取何整数值时，方程组1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。
二元一次方程培优讲义(精品)
二元一次方程培优讲义(精品)
本讲义主要介绍如何高效解决二元一次方程的方法及策略，适用于需要掌握解二元一次方程的中学生和初级大学生。
以下是本讲义的主要内容：
一、二元一次方程基础知识回顾
回顾二元一次方程的定义、形式和求解过程，使学生能够对二元一次方程有更深入的理解。
二、消元法
介绍消元法的基本思想和具体实现方法，并逐步引导学生掌握消元法的思维模式和求解技巧。
三、代入法
介绍代入法的基本思想和求解过程，并通过实例演示如何运用代入法解决二元一次方程。
四、比较法
介绍比较法的基本思想和求解过程，让学生掌握比较法的优点和适用条件，并通过实例演示如何运用比较法解决二元一次方程。
五、图像法
介绍图像法的基本思想和具体操作，让学生了解图像法的优点和局限，并掌握基本的图像法思维模式。
六、应用实例
通过实际应用实例，让学生感受到各种方法的适用场景和实际效果。
通过本讲义的学习，学生不仅能够掌握解二元一次方程的多种方法和技巧，而且能够根据题目特点灵活选择和运用合适的方法，提高解题效率和准确性。
二元一次方程组培优竞赛专题讲解
专题：二元一次方程组例1、二元一次方程组的解１、若m 使方程组22x y x y m -=⎧⎨+=⎩的解的和为６,则m 的值为多少？２、已知方程组1620224ax by cx y +=-⎧⎨+=-⎩的解应为810x y =⎧⎨=-⎩,小明解题时把c 抄错了,得到解1213x y =⎧⎨=-⎩,则222a b c ++值为多少？例2、二元一次方程组的两种通用解法(1)用代入法解方程组1235x y x y -=⎧⎨-=⎩ (2）用加减法解方程组231351x y x y +=⎧⎨+=⎩ﻩ例3、解二元一次方程组及高元一次方程组(综合)(1)解方程组231763172357x y x y +=⎧⎨+=⎩ (2)解方程组1211631102221x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪-=⎪--⎩（３）解方程组1156117121134x y y z y z z x z x x y ⎧+=⎪++⎪⎪+=⎨++⎪⎪+=⎪++⎩ （４）解方程组13281237xy x y xy x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ (5)若15432a a a a a +++25431a a a a a +++=35421a a a a a +++=45321a a a a a +++=k a a a a a =+++=54321,且054321≠++++a a a a a ，求k 的值。
(6）已知正数,,,,,a b c d e f 满足解方程组49161419116bcdef a acdef b abdef cabcef dabcdf e abcde f ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪=⎪⎩，求()()a c e b d f ++-++的值。
7、解方程组12233419971998199819991219981999 (1)...1999x x x x x x x x x x x x x x +=+=+==+=+=⎧⎨++++=⎩例４、含绝对值的方程组１、解方程组||||72||3||1x y x y +=⎧⎨-=-⎩ ２、解方程组||1||2||3x y x y +=⎧⎨+=⎩例5、含字母系数方程组的解及杂题对于x 、ｙ的方程组中,a 1、ｂ1、c 1、a 2、ｂ2、ｃ２均为已知数,且ａ1与b 1、a ２与b ２都至少有一个不等于零,则ﻫ ①时,原方程组有惟一解; ②时,原方程组有无穷多组解;ﻫ ③时，原方程组无解.1、当,k b 为何值时,方程组(31)2y kx by k x =+⎧⎨=-+⎩有唯一解,无解,有无穷多解？２、已知关于,x y 的二元一次方程(1)(2)520a x a y a -+++-=，a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解,你能求出这个解吗?3、若4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠则代数式222222522310x y z x y z+---的值为多少?４、已知m 是整数，方程组436626x y x my -=⎧⎨+=⎩有整数解，求m 的值。
七年级数学竞赛 第13讲 二元一次方程组
阅读材料，善于思考的小军在解方程组
2x +5y 2x +11y
=3 =5
①
时，采用了一种“整体代换”的解法。
②
解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即 2(2x+5y)+y=5。③
把方程①代入③得：2×3+y=5，∴ y=−1，
把
y=−1
代人①得，x=4。∴方程组的解为
x=4 y = −1
。
|
x |
− x
y +
|= x y |=
+ x
y +
− 2
2
；
（3）
xy
3x + 2y
xy
= =
1 8 1
。
2x + 3y 7
（《数学周报》杯全国竞赛题） （“五羊杯”竟赛题）
13．整体方法 整体思考方法是将问题看成一个整体，从大处着眼由整体入手，突出对问题的整体结构的分析与改造，
从整体上把握问题的特征和解题方向。
刻意练习
1．已知方程组
2a − 3b = 13 3a + 5b = 30.9
的解为
a b
= =
8.3 1.2
，则方程组
2(x + 2) − 3( y −1) = 13 3(x + 2) + 5( y −1) = 30.9
的解是
。
（山东省枣庄市中考题）
2．已知关于
x，y
的方程组
2x − ay = 6
例 8．能否找到 7 个整数，使得这 7 个整数沿圆周排成一圈后，任 3 个相邻数的和都等于 29?如果能，请举 一例；如果不能，请简述理由。 解题思路：假设存在 7 个整数 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7 排成一圈后满足题意，
人教版数学七年级培优竞赛讲练教程(10)二元一次方程组解的讨论
2021年人教版数学七年级培优和竞赛二合一讲练教程（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：1．当212121c c b b a a 时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效）①当212121c c b b a a 时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1"`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可2．按二元一次方程整数解的求法进行。
求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再3．解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）【分类解析】例1. 选择一组a,c 值使方程组c y ax y x 275有无数多解， ②无解， ③有唯一的解①解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。
当 5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。
②解得a=10, c"`14。
③当 5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解，即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组得23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是6311051 a 答：当a 的取值为6311051 a 时，原方程组的解是正数。
例3. m 取何整数值时，方程组1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。
七年级数学培优(十三)——二元一次方程组解法
十三 二元一次方程组能力提升知识提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解.（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时,方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行.3． 求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数）,再解含待定系数的不等式或加以讨论。
(见例2、3）例题① 例1. 选择一组a ，c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 1.有无数多解， 2。
无解， 3.有唯一的解例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数?例3. m 取何整数值时,方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法.这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元"转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想. 2、灵活消元（1）整体代入法 （2)先消常数法1. 解方程组y x x y +=+-=⎧⎨⎪⎩⎪14232312。
解方程组433132152x y x y +=<>-=<>⎧⎨⎩ （3）设参代入法 (4)换元法3. 解方程组x y x y -=<>=<>⎧⎨⎩321432::4. 解方程组()()x y x y x y x y +--=+=-⎧⎨⎪⎩⎪23634(5)简化系数法5. 解方程组43313442x y x y -=<>-=<>⎧⎨⎩课堂练习1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：① ⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ②⎩⎨⎧=-=-32432y x y x ③⎩⎨⎧=-=+153153y x y x 2． a 取哪些正整数值,方程组⎩⎨⎧=--=+a y x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？3． 要使方程组⎩⎨⎧=-=+12y x k ky x 的解都是整数, k 应取哪些整数值?4． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三,鸡雏三,值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母,鸡雏都买，可各买多少？5． 小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和是242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和是341，正确的结果是多少？。
著名机构初中数学培优讲义二元一次方程组的概念及解法.第01讲(A级).学生版
内容 基本要求略高要求较高要求二元一次方程（组） 了解二元一次方程（组）的有关概念能根据实际问题列出二元一次方程组二元一次方程组的解 知道代入消元法和加减消元法的意义掌握代入消元法和加减消元法；能选用恰当的方法解二元一次方程组会运用二元一次方程组解决实际问题模块一 二元一次方程（组）的基本概念☞二元一次方程1.含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的次数为1——“一次”.2.二元一次方程的一般形式：0ax by c ++=(0a ≠，0b ≠)3.二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解. 【例1】 下列各式是二元一次方程的是（ ）A.30x y z -+=B.30xy y x -+=C.12023x y -=D.210y x+-= 【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【答案】故本题选C ．【巩固】下列方程是二元一次方程的是（ ）A.31x xy -=B.2430x x +=C.23y +=D.3x y =例题精讲中考要求二元一次方程组的概念及解法【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【答案】故选D ．【例2】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值. 【解析】由定义知：321m -=，11n -=，所以：1m =，2n =. 【答案】见解析【巩固】已知方程11(2)2m n m x ym ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值. 【解析】根据题意可得：20m -≠，11n -=，11m -=，所以2n =，0m =. 【答案】见解析【例3】 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程3kx y -=的解，那么k 的值是（ ）A.2B.2-C.1D.1-【解析】二元一次方程的解 【答案】A【巩固】已知21x y =⎧⎨=⎩是方程25x a +=的解，则a =【解析】略 【答案】A【例4】 方程310x y +=的正整数解有几组？（ ）A.1组B.3组C.4组D.无数组【解析】二元一次方程有无数组解，但它的正整数解是有数的，首先用其中一个未知数表示另一个未知数，然后可给定x 一个正整数的值，计算y 的值即可．【答案】方程可变形为103y x =-当1x =时，则1037y =-=； 当2x =时，则1064y =-=； 当3x =时，则1091y =-=．故方程310x y +=的正整数解有17x y =⎧⎨=⎩，24x y =⎧⎨=⎩，31x y =⎧⎨=⎩，共3组．故选B ．【巩固】⑴设x 、y 为正整数，求524x y +=的所有解⑵设x 、y 为非负整数，求25x y +=的所有解 ⑶设x 为正数，y 为正整数，求36x y +=的所有解【解析】略【答案】⑴119x y =⎧⎨=⎩，214x y =⎧⎨=⎩，39x y =⎧⎨=⎩，44x y =⎧⎨=⎩；⑵05x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，⑶531x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =⎧⎨=⎩，234x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，135x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩【例5】 若方程24341358m n m n x y --+--=是二元一次方程，则22()()m n m mn n -++的值为 . 【解析】由二元一次方程的概念可列二元一次方程组2413411m n m n --=⎧⎨+-=⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，22()()339m n m mn n -++=⨯=.【答案】见解析【巩固】若2211a b a b x y -+--=是二元一次方程，那么的a 、b 值分别是（ ）A 、1a =，0b =B 、0a =，1b =-C 、2a =，1b =D 、2a =，3b =- 【解析】本题考查二元一次方程的定义，由二元一次方程的定义可得到关于a ,b 的方程组。
浙教版七年级下册 第2章 二元一次方程 第1讲 二元一次方程组 培优讲义(含解析)
第2章 二元一次方程 第1讲 二元一次方程组命题点一：二元一次方程的定义 【思路点拨】二元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次.不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程. 例1若(m －1)x ＋10y |2m －1|＝250是关于x 的二元一次方程，则m 的值是(B )A ．0或1B ．0C ．1D ．任何数例2若3x 3m ＋5n ＋9＋4y 4m －2n －7＝2是关于x ，y 的二元一次方程，则m n等于(D )A ．73B ．37C ．－73D ．－37命题点二：解二元一次方程组 例3解下列方程组：(1)⎩⎨⎧4x －3y ＝17，y ＝7－5x . (2)⎩⎨⎧5x －2y ＝4，2x －3y ＝－5. 解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3. 解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.【思路点拨】对于(3)，运用整体叠加法解；对于(4)，可以整体设元后解决．(3)⎩⎨⎧2 017x －2 018y ＝2 016，2 016x －2 015y ＝2 017.(4)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y 4＋2x －3y3＝7，2x ＋3y 3＋2x －3y 2＝8.解：(3) ⎩⎨⎧2 017x －2 018y ＝2 016，①2 016x －2 015y ＝2 017.②①－②，得x －3y ＝－1.③ ①＋②，得4 033x －4 033y ＝4 033，即x －y ＝1.④ ④－③，得2y ＝2，解得y ＝1.把y ＝1代入③，得x ＝2，则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.(4)设2x ＋3y ＝a ，2x －3y ＝b ，则⎩⎨⎧a 4＋b3＝7，a 3＋b2＝8，解得⎩⎨⎧a ＝60，b ＝－24.即⎩⎨⎧2x ＋3y ＝60，2x －3y ＝－24.则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝9，y ＝14.(5)⎩⎨⎧3x ＋2y ＋z ＝13，x ＋y ＋2z ＝7，2x ＋3y －z ＝12.解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，z ＝1.例4解下列方程组：(1)⎩⎨⎧2a －b ＝32，a －3b ＝1. (2)⎩⎨⎧3(x －1)＝y ＋5，x ＋22＝y －13＋1. (3)⎩⎨⎧217x ＋314y ＝2，314x ＋217y ＝2.解：(1)⎩⎨⎧a ＝19，b ＝6. (2)⎩⎨⎧x ＝6，y ＝10.(3)⎩⎨⎧217x ＋314y ＝2，①314x ＋217y ＝2.②①＋②，得531(x ＋y )＝4，即x ＋y ＝4531. ③①－③×217，得97y ＝2－4×217531，解得y ＝2531. 将y ＝2531代入③，得x ＝2531，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2531，y ＝2531.(4)⎩⎨⎧3(x ＋y )－5(x －y )＝16，2(x ＋y )＋(x －y )＝15.(5)⎩⎨⎧3x －2y ＋z ＝6，2x ＋3y －z ＝11，x ＋2y ＋z ＝8.解：⎩⎨⎧x ＝4.y ＝3.解：⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，z ＝1.命题点三：方程组的解 例5(1)若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2的解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝6，则方程组⎩⎨⎧5a 1(x －1)＋3b 1(y ＋1)＝4c 1，5a 2(x －1)＋3b 2(y ＋1)＝4c 2的解为 ⎩⎨⎧x ＝5，y ＝7． (2)甲、乙两人同时解方程组⎩⎨⎧mx ＋y ＝5，①2x －ny ＝13. ②甲解题看错了①中的m ，解得⎩⎨⎧x ＝72，y ＝－2，乙解题时看错②中的n ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－7，则原方程组的解为 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3．例6(1)如果关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝－2，a 2x －b 2y ＝4的解为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，那么方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝－2＋a 1，a 2x －b 2y ＝4＋a 2的解为(C ) A ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3 B ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3 C ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 D ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2(2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝－26，ax －by ＝－4和方程组⎩⎨⎧3x －5y ＝36，bx ＋ay ＝－8的解相同，则b －2a 的值是 －3 ．命题点四：整数解问题【思路点拨】求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解. 例7阅读下列材料，然后解答后面的问题．我们知道方程2x ＋3y ＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由2x ＋3y ＝12，得y ＝12－2x 3＝4－23x .(x ，y 为正整数)∴⎩⎨⎧x ＞0，12－2x ＞0，则有0＜x ＜6.又∵y ＝4－23x 为正整数，则23x 为正整数．由2与3互质，可知x 为3的倍数，从而x ＝3，代入y ＝4－23x ＝2.∴2x ＋3y ＝12的正整数解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.(1)请你写出方程2x ＋y ＝5的一组正整数解： ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1(只要写出其中的一组即可) ．(2)若6x －2为自然数，则满足条件的x 值有(C ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个(3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？解：设购买单价为3元的笔记本m 本，单价为5元的钢笔n 支． 根据题意，得3m ＋5n ＝35，其中m ，n 均为正整数．变形，得n ＝35－3m 5＝7－35m ，得⎩⎨⎧m ＞0，7－35m ＞0.∴0＜m ＜353. 由于n ＝7－35m 为正整数，则35m 为正整数，可知m 为5的倍数．∴当m ＝5时，n ＝4；当m ＝10时，n ＝1.答：有两种购买方案：购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．例8(北京“迎春杯”竞赛题)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧2x －ay ＝6，4x ＋y ＝7的解是整数，a 是正整数，那么a 的值为 2 ．命题点五：解含参的二元一次方程组 【思路点拨】本题是一个含字母系数的方程组．解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零． 例9已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0， ①6x －my ＋3＝0 ②有无数个解，则m 的值为 9 ．例10已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋2y ＝1，①2x ＋3y ＝b .②(1)当a ，b 为何值时，方程组有唯一解？ (2)当a ，b 为何值时，方程组无解？ (3)当a ，b 为何值时，方程组有无穷解？ 解：(1)当a ≠43时，方程组有唯一解．(2)当a ＝43，b ≠32时，方程组无解．(3)当a ＝43，b ＝32时，方程组有无穷解．课后练习1．已知关于x ，y 的方程x 2m －n －2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为(A )A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．m ＝13，n ＝－43D ．m ＝－13，n ＝432．(2019·南通)已知a ，b 满足方程组⎩⎨⎧3a ＋2b ＝4，2a ＋3b ＝6，则a ＋b 的值为 (A )A ．2B ．4C ．－2D ．－43．已知方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋y ＝1的解满足x －y ＝3，则k 的值为(B )A ．2B ．－2C ．1D ．－14．已知方程组⎩⎨⎧4x －y ＝5，ax ＋by ＝－1和⎩⎨⎧3x ＋y ＝9，3ax ＋4by ＝18有相同的解，求a ，b 的值(B ) A ．a ＝2，b ＝3 B ．a ＝－11，b ＝7 C ．a ＝3，b ＝2 D ．a ＝7，b ＝－11 5．(2018·德州)对于实数a ，b ，定义运算“◆”：a ◆b ＝⎩⎨⎧a 2＋b 2，(a ≥b )ab .(a <b )例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3＝42＋32＝5.若x ，y 满足方程组⎩⎨⎧4x －y ＝8，x ＋2y ＝29，则x ◆y ＝ 60 ．6．(2018·滨州)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧3x －my ＝5，2x ＋ny ＝6的解是⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，则关于a ，b 的二元一次方程组⎩⎨⎧3(a ＋b )－m (a －b )＝5，2(a ＋b )＋n (a －b )＝6的解是 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12 ．7．(2019·越城区期末)3x ＋2y ＝20的正整数解有 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝7或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝6，y ＝1 .8．(2019·天台期末)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋3y ＝3k －1有以下结论：①当k ＝0时，方程组的解是⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1；②方程组的解可表示为⎩⎨⎧x ＝3k －2，y ＝1－k ；③不论k 取什么实数，x ＋3y 的值始终不变．其中正确的有 ①②③ ．(填序号) 9．根据要求，解答下列问题．(1)解下列方程组．(直接写出方程组的解即可)①⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝3的解为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1 ； ②⎩⎨⎧3x ＋2y ＝10，2x ＋3y ＝10的解为 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 ； ③⎩⎨⎧2x －y ＝4，－x ＋2y ＝4的解为 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4． (2)以上每个方程组的解中，x 值与y 值的大小关系为 x ＝y ． (3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解． 解：⎩⎨⎧3x ＋2y ＝25，2x ＋3y ＝25，解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝5.10．如果⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2是关于x ，y 的方程(ax ＋by －12)2＋||ay －bx ＋1＝0的解，求a ，b 的值．解：把⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2代入方程，得(a ＋2b －12)2＋||2a －b ＋1＝0.又根据非负数性质，得方程组⎩⎨⎧a ＋2b －12＝0，2a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5.11．阅读材料：善于思考的小军在解方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝3，①4x ＋11y ＝5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形，得4x ＋10y ＋y ＝5，即 2(2x ＋5y )＋y ＝5.③把方程①代入③，得2×3＋y ＝5. ∴y ＝－1.把y ＝－1代入①，得x ＝4. ∴方程组的解为⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－1.请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组⎩⎨⎧3x －2y ＝5，①9x －4y ＝19. ②(2)已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧3x 2－2xy ＋12y 2＝47，①2x 2＋xy ＋8y 2＝36. ②求x 2＋4y 2的值． 解：(1)把方程②变形，得3(3x －2y )＋2y ＝19.③ 把①代入③，得15＋2y ＝19，即y ＝2. 把y ＝2代入①，得x ＝3， 则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.(2)由①，得3(x 2＋4y 2)＝47＋2xy ， 即x 2＋4y 2＝47＋2xy3.③把③代入②，得2×47＋2xy3＝36－xy .解得xy ＝2， 则x 2＋4y 2＝17.12．关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋ay ＋1＝0，bx －2y ＋1＝0有无数组解，则a ，b 的值为(B )A ．a ＝0，b ＝0B ．a ＝－2，b ＝1C ．a ＝2，b ＝－1D ．a ＝2，b ＝1 13．若对任意有理数a ，b ，关于x ，y 的二元一次方程(a －b )x －(a ＋b )y ＝a ＋b 有一组公共解，则公共解为 ⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1.14．(全国初中数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求代数式5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．解：由⎩⎨⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z ， 得⎩⎨⎧x ＝3z ，y ＝2z .代入，得原式＝－13.。
二元一次方程组培优竞赛
二元一次方程组培优竞赛先来说说啥是二元一次方程组。
想象一下，它就像是一个神秘的密码锁，有两个未知数在里面藏着呢，等着我们用智慧的钥匙去打开。
比如说，我们遇到了这样一个情境：小明去买水果，苹果和香蕉一共花了20块钱，苹果每个3块，香蕉每根2块，他买的苹果和香蕉数量加起来一共8个。
这时候，我们设苹果的数量是x个，香蕉的数量是y个，那就能列出两个方程啦：3x + 2y = 20和x + y = 8。
这两个方程组合在一起，就是一个二元一次方程组，我们的任务就是通过各种巧妙的方法，把x和y 这两个神秘数字给找出来。
在培优竞赛中，解二元一次方程组可不能只用常规的代入消元法或者加减消元法哦，那太没挑战性啦！有时候，题目会给我们设下各种巧妙的陷阱和玄机。
比如说，有些方程组看起来特别复杂，数字又大又怪，这时候可别被吓住啦，我们得仔细观察，看看能不能通过变形、化简，把它变成我们熟悉的样子。
就像孙悟空面对妖怪的各种变化，我们也要有火眼金睛，识破题目的伪装。
还有一些实际问题，需要我们自己去找出其中的等量关系，然后列出方程组。
这就好比在生活的大迷宫里寻找线索，要把实际的情境转化成数学语言。
比如说行程问题，甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，他们的速度和相遇时间都有一定的关系，我们要根据这些条件，准确地列出方程组，才能算出他们相遇的地点和时间。
在培优竞赛中，速度和准确率那可是至关重要的。
就像在比赛跑步，不仅要跑得快，还要跑对方向。
我们要多做一些有挑战性的练习题，锻炼自己的解题能力和思维灵活性。
遇到难题的时候，别着急放弃，试着换个角度去思考，说不定灵感就会突然闪现，就像在黑暗中找到了一盏明灯。
而且，在竞赛中，团队合作也很重要哦。
大家可以一起讨论问题，分享解题思路。
有时候，别人的一个小提示，就能让我们豁然开朗。
就像在江湖中，大侠们也会互相切磋，共同进步。
七年级数学下培优辅导讲座第19讲 二元一次方程组拔尖训练能力提升竞赛辅导试题含答案
第19讲 二元一次方程组培优训练1．已知下列方程组：（1）⎩⎨⎧-==23y y x （2）⎩⎨⎧=-=+423z y y x （3）⎩⎨⎧==-237xy y x 其中属于二元一次方程组的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．（2013，杭州）若3=+b a ，7=-b a ，则=ab （ ）A ．－10B ．－40C ．10D ．403．已知方程组⎩⎨⎧-=-=+1242m ny x n y mx 的解是⎩⎨⎧-==11y x ，那m ，n 的值为（ ）A ．⎩⎨⎧-==11n m B ．⎩⎨⎧==12n m C ．⎩⎨⎧==23n m D ．⎩⎨⎧==13n m4．若方程组⎩⎨⎧=+=-+14346)1(y x y a ax 的解x ，y 的值相等，则a 的值为（ ）A ．－4B ．4C ．2D ．15．若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ky x 73的解满足方程632=+y x 2x ，那么k 的值为（） A ．－23B ．23C ．－32D ．326．方程的正整数解的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．若0)23(22=++-x y x ，则y x的值是8．已知方程组⎩⎨⎧-=+=-1332by ax y x 与⎩⎨⎧=+=+3321123by ax y x 的解相同，求222b ab a ++的值9．已知方程组⎩⎨⎧+=+=+25332n y x n y x 的解x，y 的和为12，求n 的值10．若等式021)42(2=-+-y x 中的x ，y 满足方程组，求⎩⎨⎧=+=+ny x y mx 16584，求mn n m 4122+-11．甲、乙二人同解方程组⎩⎨⎧-=-=+232y cx by ax ，甲正确解得⎩⎨⎧-==11y x ，乙因抄错了c ，解得⎩⎨⎧-==62y x ，求a ，b ，c 的值12．对于有理数x ，y 定义新运算：5++=*by ax y x 其中a ，b 为常数．已知921=*，3)3(*-2=，求a ，b 的值13．已知方程组⎩⎨⎧=+=-b ay x y x 91243有无穷多个解，试求a ，b 的值14．已知，且⎩⎨⎧=-+=--0720634z y x z y x ，求22222275632z y x z y x ++-+的值15．阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题．解方程组⎩⎨⎧=+=+②151617①171819y x y x我们如果直接考虑消元，那将非常麻烦，而采用下列的解法则是轻而易举的．由①－②得222=+y x ，所以1=+y x ③由③×16得161616=+y x ④由②－④得1-=x ，从而得2=y ，所以方程组的解是⎩⎨⎧=-=21y x 请你用上述的方法解方程组⎩⎨⎧=+-+201020112012201220132014y x y x ， 并猜想关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+++=+++b y b x b a y a x a )1()2()1()2(（b a ≠）的解是什么？并利用方程组的解加以验证竞赛训练16．（2011，全国竞赛）对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义有序数对（a ，b ）与（c ，d ）之间的运算“△”为：（a ，b ）△（c ,d ）＝（ac +bd ，ad +bc ）．如果对于任意实数u ，v ，都有（u ，v ）△（x ，y ）=（u ，v ）,那么（x ,y ）为（ ）A ．（0，1）B ．（1，0）C ．（－1，0）D ．（0，－1）17．（2011，“城市杯”八年级）已知对于任意的有理数a 、b ，关于x 、y 的二元一次方程 b a y b a x b a +=+--)()(都有一组公共解，则公共解为（ ）A ．⎩⎨⎧==00y xB ．⎩⎨⎧-==10y xC ．⎩⎨⎧=-=01y xD ．⎩⎨⎧==11y x 18．（2011，“希望杯”竞赛）若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+-=++0201a y bx ay x 没有整数解，则（ ） A ．2-=ab B ．2-=ab 且1≠a C ．2-≠ab D ．2-=ab 且2≠a19．（全国联赛）对于非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x ，y ，z ）的组数记为n a（1）求3a 的值；（2）求2001a 的值第19讲 二元一次方程1.A 2．A 【提示：由题意知⎩⎨⎧=-=+73b a b a 解得⎩⎨⎧-==25b a ，∴ab =－10】 3．D 【提示：把⎩⎨⎧-==11y x 代入原方程组得⎩⎨⎧-=+=-1242m n n m ，解得⎩⎨⎧==13n m 】 4．C 【提示：∵y x =，∴原方程组可化为⎩⎨⎧=+=-+14346)1(x x x a ax 解得⎩⎨⎧==22x a 】 5．B 【提示：解方程组可得⎩⎨⎧-==ky k x 25将此解代入方程632=+y x 可得23=k 】 6．B 【提示：因为y 为偶数，由05984>-=y x 得5319<y ，∴y =2，4，6，8，10，12，14，16，18相应的x 的取值为=x 22，2119，17，2114，12，219，7，214，2.故正整数解为⎩⎨⎧==222y x ⎩⎨⎧==617y x ，⎩⎨⎧==1012y x ，⎩⎨⎧==147y x ，⎩⎨⎧==182y x 】 7．23-【提示：依题意可得⎩⎨⎧=+=-02302x y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==342y x ，∴23-=y x 】 8．解方程组⎩⎨⎧=+=-1123332y x y x ，得⎩⎨⎧==13y x 代入方程组⎩⎨⎧=+-=+3321by ax by ax 解得⎩⎨⎧=-=52b a ， 所以9)(2222=+=++b a b ab a 12=+y x9．解方程组⎩⎨⎧+=+=+25332n y x n y x ，得⎩⎨⎧-=-=n y n x 462将此解代入可得12462=-+-n n ，∴14=n 10．依题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-021042y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==212y x 将此解代入方程组⎩⎨⎧=+=+n y x y mx 16584可得⎩⎨⎧=+=+n m 810822 即⎩⎨⎧==183n m ，∴2271834118184122=⨯⨯+-=+-mn n m 11．把⎩⎨⎧-==11y x 代入方程组⎩⎨⎧-=-=+232y cx by ax 得⎩⎨⎧-=+=-②23①2c b a 把⎩⎨⎧-==62y x 代入方程2=+by ax262=-b a ③，联关①③得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2125b a 由②可得5-=c ，∴25=a ，21=b ，5-=c 12．依题意可得95221=++=*b a ，25333)3(=++-=*-b a 联立方程得⎩⎨⎧=++-=++2533952b a b a 解得⎩⎨⎧==12b a 13．解方程组消x 可得36)12(-=+b y a∵方程组有无穷多个解，∴⎩⎨⎧=-=+036012b a 解得⎩⎨⎧=-=3612b a 14．解方程组得⎩⎨⎧==z y z x 23，代入22222275632z y x z y x ++-+，原式=32362474596439222222222==+⨯+-⨯+⨯z z z z z z z z 15．⎩⎨⎧=+=+201020112012201220132014y x y x ，由①－②得222=+y x ∴1=+y x 由③×2014得201420142014=+y x由④－①得y =2，从而得x =－1∴方程组的解仍是⎩⎨⎧=-=21y x ， 于是猜测方程组⎩⎨⎧=+++=+++⑥)1()2(⑤)1()2(b y b x b a y a x a 的解仍是⎩⎨⎧=-=21y x ，将⎩⎨⎧=-=21y x 代入⑤， 左边===++--=⨯++-+a a a a a 2222)1(1)2(）（右边 代入⑥，左边===++--=+++-b b b b b 222)1(2)2(右边 ∴⎩⎨⎧=-=21y x 是方程组的解 16．B 【提示：∵（vy ux +，xv uy +）=（u ，v ），∴⎩⎨⎧=+=+v xv uy u vy ux ，∴⎩⎨⎧=-+=+-0)1(0)1(v x yu yv u x 】 对任意实数u ，v 该方程组成立∴⎩⎨⎧==-001y x ∴⎩⎨⎧==01y x 17．B 【提示：由原方程得b a by ay by ax +=---，0)1()1(=++---b y x a y x ，对于任意的有理数a ，b ，该方程成立，∴⎩⎨⎧=++=--0101y x y x 解得⎩⎨⎧-==10y x 】18．A 【提示：⎩⎨⎧=+-=++②02①01a y bx ay x 由①得1--=ay x 代入②得02)1(=+---a y ay b ∴02=+---a y b aby ∴a b y ab -=+-)2(，∴a b y ab -=+)2(，当02=+ab 时，该方程没有解，即该方程解无有理数解∴2-=ab 】19．（1）当3=n 时，有32=++z y x ，由0≥x ，0≥y ，0≥z ，可得10≤≤z ①当1=z 时，有1=+y x 于是（x ，y ）=（0，1）或（1，0）有2组 ②当0=z 时，有3=+y x ，于是（x ，y ）=（0，3）或（1，2）或（2，1）或（3，0），有4组综上所述可得63=a（2）当2001=n 时，有20012=++z y x ，由x ≥0,y ≥0，z ≥0，可得0≤z ≤1000 当1000=z 时，有1=+y x ，于是（x ,y ）=(0,1)或（1，0）有2组 当999=z 时，有3=+y x 时，于是（x ,y ）=(0,3)或（1，2）或（2，1）或（3，0）4组； 当998=z 时，有5=+y x ，于是（x ,y ）=(0，5）或（1，4）或（2，3）或（3，2）或（4，1）或（5，0）有5=6组；……当0=z 时，有2001=+y x ，于是（x ，y ）=(0,2001)或（1，2000）或……或（2001，0）有2002组综上可得：数组（x ，y ，z ）共有2＋4＋6＋……＋2002=2（1＋2＋3＋……1001）=1003002（组），所以10030022001=a。
二元一次方程组及其解法(培优)
二元一次方程组及其解法(培优)二元一次方程组及其解法在研究二元一次方程组之前，需要先了解二元一次方程的概念。
二元一次方程必须同时具备三个条件：（1）这个方程中有且只有两个未知数；（2）含未知数的次数是1；（3）对未知数而言，构成方程的代数式是整式。
解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义是相同的，都是指方程的解集。
熟练掌握二元一次方程组的解法，可以用来解决许多实际问题。
例如，已知下列方程2xm1+3yn3=5是二元一次方程，则m+n=0.根据二元一次方程的概念可知：m-1=1，n+3=1，解得m=2，n=-2，故m+n=0.除了解二元一次方程组的基本方法外，还有加减消元法、代入法等解法。
在解题时需要根据具体情况选择最合适的方法。
变式题组：01.请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由。
⑴2x+5y=16 - 是二元一次方程，符合三个条件。
⑵2x+y+z=3 - 不是二元一次方程，因为含有三个未知数z。
02.若方程2xa1+3=y2b+(-5/1)+y=21(4)x2+2x+1=(5)2x+10xy=5x是二元一次方程，则a=,b=。
根据二元一次方程的定义，2xa1+3=y2b+(-5/1)+y=21(4)x2+2x+1=(5)2x+10xy=5x不是二元一次方程，因为含有x的二次项。
03.在下列四个方程组①{4x+3y=10.2x-4y=9}，②{4x+y=12.7xy=29}，③{1/x-2y=-45.2x+3y=4}，④{7x+8y=5.x-4y=1}中，是二元一次方程组的有（）只有①和③是二元一次方程组，因为它们都符合三个条件。
例2：（十堰中考）二元一次方程组{3x-2y=7.x+2y=5}的解是（）解法：二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解。
根据此概念，此类题有两种解法：（1）若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是该方程组的解；（2）若方程组较易解，则直接解方程组可得答案。
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论一、二元一次方程组的定义二元一次方程组是由两个方程组成的方程集合，其中每个方程都是二元一次方程。
二元一次方程的一般形式为：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f是已知的实数，而x和y是未知数。
二、二元一次方程组的求解方法1.消元法：通过消去其中一个未知数的系数，将方程组化简为只包含一个未知数的方程。
然后可以通过代入的方法求解另一个未知数的值，从而得到方程组的解。
2. Cramer法则：利用行列式的性质求解二元一次方程组。
具体步骤如下：a)计算系数行列式:D=，abdb)x的系数行列式:Dx=，cbfc)y的系数行列式:Dy=，acdd)计算方程组的解:x=Dx/D，y=Dy/D3.代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，从而得到只包含一个未知数的方程。
然后可以通过消元法或其他方法求解。
三、解的情况讨论1.唯一解：当二元一次方程组存在一个有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组有唯一解。
2.无解：当二元一次方程组不存在有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组无解。
3.无穷多解：当二元一次方程组存在无穷多个有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组有无穷多解。
这种情况下，方程组的两个方程是两个平行直线。
四、实例演示考虑以下二元一次方程组：2x+3y=74x-y=2通过消元法可得：2x+3y=78x-2y=4将第二个方程化为y的表达式：y=4x-2将y的表达式代入第一个方程：2x+3(4x-2)=7化简得到：2x+12x-6=7合并同类项：14x-6=7解方程得到：14x=13，x=13/14将x的值代入y的表达式：y=4(13/14)-2，化简得到：y=3/7所以，方程组的解为(x,y)=(13/14,3/7)。
总结：二元一次方程组的解的讨论涉及到三种情况：唯一解、无解和无穷多解。
最新【竞赛讲座】七年级上学期数学竞赛专家讲座：第10讲-二元一次方程组资料
第十讲：二元一次方程组一、相关知识点1、 二元一次方程的定义：经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。
2、二元一次方程的标准式： ()00,0ax by c a b ++=≠≠3、 一元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右两边的值相等的一对x 和y 的值，叫做这个方程的一个解。
4、 二元一次方程组的定义：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。
5、 二元一次方程组的解：使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
二、典型例题1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ C ）Ａ．123x y =⎧⎨+=⎩，． Ｂ．10x y x y +=⎧⎨-=⎩，． Ｃ．10x y xy +=⎧⎨=⎩，．Ｄ．21y x x y =⎧⎨-=⎩，． 2．有这样一道题目：判断31x y =⎧⎨=⎩，是否是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解？ 小明的解答过程是：将3x =，1y =代入方程250x y +-=，等式成立．所以31x y =⎧⎨=⎩，是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解． 小颖的解答过程是：将3x =，1y =分别代入方程250x y +-=和2350x y +-=中，得250x y +-=，2350x y +-≠．所以31x y =⎧⎨=⎩，不是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解．你认为上面的解答过程哪个对？为什么？3．若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k 的取值应是（ B ） A 、k=-4 B 、k=4 C 、k=-3 D 、k=3 分析：利用方程3x-y=7和2x+3y=1组成方程组，求出x 、y ，再代入y=kx-9求出k 值。
解⎩⎨⎧=+=-②y x ①y x 13273 得：⎩⎨⎧-==12y x将⎩⎨⎧-==12y x 代入y=kx-9，k=44．解方程组()()63101321002m n m n -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 方法一：（代入消元法） 解：由（2），得 ()10332mn -=把（3）代入（1），得 43m = 把43m =代入（3），得 3n = ∴ 433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩方法二：（加减消元法）解：（2）×2： 6m+4n-20=0 (3) (3)-(1): 7n=21 n=3把3n =代入（3），得43m = ∴433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 方法三：（整体代入法）解：由（1）得：()()2327103m n n +-+=由（2）得：()32104m n += 把（4）代入（3），得 3n = 把3n =代入（4），得43m = ∴ 433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩方法三：（整体代入法）解：由（1）得：()()2321072103m n n +--+=由（2）代入（3），得3n =把3n =代入（2），得43m = ∴ 433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩5．已知方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解是⎩⎨⎧==2.13.8b a ，则方程组()()()()⎩⎨⎧=-++=--+9.301523131322y x y x 的解是（ C ）A ．⎩⎨⎧==2.13.8y x B ．⎩⎨⎧==2.23.10y x C ．⎩⎨⎧==2.23.6y x D ．⎩⎨⎧==2.03.10y x6．4513453x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解：设11,a b x y ==，则原方程组可化为()()451314532a b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得：21a b =⎧⎨=⎩∴121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 7．解方程组()():3:213532x y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解：（参数法）∵32x y = ∴设3,2x k y k ==。
著名机构初中数学培优讲义二元一次方程组的应用.第05讲(B级).教师版
内容 基本要求略高要求较高要求二元一次方程（组） 了解二元一次方程（组）的有关概念 能根据实际问题列出二元一次方程组二元一次方程组的解 知道代入消元法和加减消元法的意义掌握代入消元法和加减消元法；能选用恰当的方法解二元一次方程组会运用二元一次方程组解决实际问题☞比赛问题【例1】 某中学足球赛共比赛10轮（即每队均需比赛10场），其中胜一场得3分，平一场1分，负一场得0分，香茗中学足球队在这次联赛中所负场数比踢平场数少3场，结果共得19分，香茗中学足球队在这次联赛中胜了多少场？【解析】略【答案】设胜了x 场，踢平y 场，根据题意得310319x y y x y ++-=⎧⎨+=⎩，解得54x y =⎧⎨=⎩答：香茗中学足球队在这次联赛中胜了5场【巩固】某市中学生举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分⑴在这次足球赛中，若小虎足球队踢平场数与所负场数相同，共积分16分，试求该队胜几场 ⑵在这次足球赛中，若小虎足球队总积分仍为16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，试推算小虎足球队所负场数的情况有几种。
【解析】略【答案】⑴设小虎队胜x 场，平y 场，负z 场，根据题意得17316x y z x y y z ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得377x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩答：该队胜3场⑵设小虎队胜x 场，平y 场，负z 场由题意得17316x y z x y y kz++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，k 是正整数，解得3523z k =+（k 为正整数）例题精讲中考要求二元一次方程组的应用∵0z ≥，且z 为整数，k =1，2，16 当1k =时，7z =，7y =，3x = 当2k =时，5z =，10y =，2x = 当16k =时，1z =，16y =，0x = 答：共有两种情况☞配套问题【例2】 某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等(如图(2))，再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒(如图(1)).现将300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？(注：图(1)中向上的一面无盖)2()乙甲1()【解析】略【答案】设可以做成甲、乙两种小盒各x 、y 个，根据题意可列方程组：433002150x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得3060x y =⎧⎨=⎩【巩固】某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告，15秒广告每播一次收费0.6万元，30秒广告每播一次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次 ⑴两种广告的播放次数有几种安排方式 ⑵电视台选择哪种播放方式收益较大【解析】略【答案】⑴设15秒广告播放x 次，30秒广告播放y 次。
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论二元一次方程组是初中数学中的一个重要内容，也是数学竞赛中经常出现的题型。
解二元一次方程组的方法主要有代入法、消元法和等式法。
下面是对这三种方法进行详细讨论的精品标准教程。
一、代入法代入法是解二元一次方程组最常见的方法之一、它的基本思想是通过一个方程的解来代入另一个方程，从而得到另一个未知数的解。
例题1：解方程组2x+y=6x-y=2解析：由于第二个方程的形式比较简单，所以可以先解x，然后带入第一个方程来解y。
解方程x-y=2得到x=2+y将x=2+y代入第一个方程2x+y=6得到2(2+y)+y=6化简得4+2y+y=6化简得3y=2解得y=2/3带入第一个方程2x+y=6得到2x+2/3=6化简得2x=6-2/3化简得2x=16/3解得x=8/3所以，解得x=8/3，y=2/3二、消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是通过消去一个未知数，得到只含有一个未知数的一次方程，从而求出这个未知数的值，然后代入原方程组来求出另一个未知数的值。
例题2：解方程组2x+y=6x-y=2解析：首先观察发现，两个方程都有x-y，所以可以消去y。
将第二个方程两边同时乘以2得到2x-2y=4将这个方程与第一个方程相加，得到(2x+y)+(2x-2y)=6+4化简得4x=10解得x=10/4=5/2将x=5/2带入第一个方程2(5/2)+y=6化简得5+y=6解得y=1所以，解得x=5/2，y=1三、等式法等式法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是将其中一个方程的左右两边都化成同样的形式，然后将两个方程相减或相加，从而消去一个未知数。
例题3：解方程组3x-2y=72x+3y=1解析：为了消去x或y，我们可以将第一个方程乘以3，将第二个方程乘以2，从而使得两个方程的x系数一样。
将第一个方程乘以3得到9x-6y=21将第二个方程乘以2得到4x+6y=2将两个方程相加，得到(9x-6y)+(4x+6y)=21+2化简得13x=23解得x=23/13将x=23/13带入第一个方程3(23/13)-2y=7化简得69/13-2y=7解得y=(69/13-7)/(-2)化简得y=5/13所以，解得x=23/13，y=5/13通过以上的讨论，我们可以看出代入法、消元法和等式法都是解二元一次方程组的有效方法。
人教版(五四制)七年级下册 二元一次方程组竞赛培优讲义设计
一次方程组一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，教材只介绍了二元一次方程组、三元一次方程组的概念、解法，类似地我们可得到四元一次方程组、五元一次方程组等，尽管元数可以增加，但是它们的解法却是一样的．“消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代人法、加减法是消元的两种基本方法． 解一些复杂的方程组(如未知数系数较大、方程个数较多等)，需要观察方程组下系数特点，着眼于整体上解决问题，常用到整体叠加、整体叠乘、设元引参、对称处理、换元转化等方法技巧．对于含有字母系数的二元一次方程组，我们可以进一步讨论解的特性、解的个数．基本思路是通过消元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨沦．【例1】 给出下列程序： ，且已知当输入x 值为1时，输出值为1；输入的x 值为一1时，输出值为一3，则当输入的x 值为21时，输出值为 ．思路点拨 建立关于k ，b 的方程组，解方程组先求出k 、b 的值．注：方程、方程组是代数研究的主要内容，当未知数增加、未知数的次数增高，就得到复杂的方程组和高次方程，这是后续学习的主要内容，但解法的思想却不变，即消元与降次．方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程蛆的解的基本方法．透彻理解方程蛆的概念并能灵活适用，是解与方程组的概念相关问题的关键．【例2】 若4x -3y -6z=0，x+2y -7z=0(xyz ≠0)，则代数式222222103225zy x z y x ---+的值等于( )． A ．21- B ．219- C ．—15 D ．—13思路点拨 视z 为常数，解关于x 、y 的方程组，这是解本例的关键． 【例3】 解下列方程组：(1)⎩⎨⎧-=-=+1327y x y x(2)⎩⎨⎧=+=+598719951997598919971995y x y x(3)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+324356p r rp r q qrq p pq思路点拨 对于(1)解关于x 、y 的方程组，对于(2)运用整体叠加法解；对于(3)通过取倒数、拆分得到关于p 1、q 1、r1的方程组． 【例4】 k 、b 为何值时，方程组⎩⎨⎧+-=+=2)13(x k y bkx y(1)有惟一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解?思路点拨 通过消元，将方程组的解的情况的讨论转化为一元一次方程解的情况讨论． 注： 所谓“整体叠加”就是说在解一些复杂的方程组，若方程组未知数系数规律可循，可直接把方程作加或作减，而不必拘泥于一般意义上的代入法、加减法，就能达到简化方程组目的．【例5】 已知m 是整数，方程组⎩⎨⎧=+=-266634my x y x 有整数解，求m 的值．思路点拨 先求出y ，运用整除的性质求出m 的值，需注意所求的整数m 要使得x 也为整数．【例6】已知方程组⎩⎨⎧=+=+4535y ax y x 与⎩⎨⎧=-=+5235y x by x 有相同的解，则b a ,的值为( )A ．⎩⎨⎧==21b a B ．⎩⎨⎧-=-=64b a C ．⎩⎨⎧=-=26b a D ．⎩⎨⎧==214b a思路点拨 由方程组的解的意义可知，它的解满足方程组⎩⎨⎧=-=+5235y x y x解之得⎩⎨⎧-==21y x ，代入⎩⎨⎧=+=+1545by x y ax 得解⎩⎨⎧==214b a ，故选D ．【例7】 若a 、c 、d 是整数，b 是正整数，且满足a+b=c ，b+c=d ，c+d=a ，那么a+b+c+d 的最大值是( )A ．－1B ．－5C ．0D ． 1思路点拨 有条件得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=b d b c ba 23，∴a+b+c+d=－5b∵b 是正整数，其最小值为1，于是a+b+c+d =－5b 的最大值是－5．故选B ．【例8】已知：⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-)2(1989)(1990)(1989)(1988)1(0)(1990)(1989)(1988222ΛΛx z z y y x x z z y y x ， 求z -y 的值．思路点拨∵x -y=(x -z)+(z -y)，代入方程组并化简得⎩⎨⎧-=-++-+=-+-)4(1989))(19891988())(19901988(2)3(0)()(2ΛΛy z z x y z z x （4）－(3)×(1988+1990)得z -y=1989学力训练1．（1）方程组⎩⎨⎧=+=++224)2(2y x y x x 的解是 ．(2)若关于x 的方程m(x 一1)＝2001一n(x 一2)有无数个解，则m 2003+n 2003＝ ．2．(1)已知方程组⎩⎨⎧-=-=+)2(24)1(155ΛΛby x y ax ，由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为⎩⎨⎧-=-=13y x ；乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为⎩⎨⎧==45y x ，若按正确的a 、b 计算，则原方程组的解为 ． (2)若mn a+23和都是52a 的同类项，则)()21()(235253nm m n m n ⋅÷的值是 ．3．若1-+y x 与3+-y x 互为相反数，则(x+y)2001＝ ．4．当a ＝ 时，方程组⎩⎨⎧-=+=-1872253a y x ay x 的解x 、y 互为相反数，方程组的解为 ．5．已知x -y=4，7=+y x ，那么x+y 的值是( )．A ．土23B ．土211 c ．士7 D ．土116．关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+1293y x y ax 无解，则a 的值为( )．A ．一6B ．6C ．9D ．307．若⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=+57cy bx by ax 的解，则a 与c 的关系是( )． A ．4a+c ＝9 B ．2a+c ＝9 C ．4a 一c ＝9 D ．2a —c ＝9 8．已知(x 一y+1)2十72-+y x ＝0，则x 2一3xy+2y 2的值为( )． A ．0 B ．4 C ．6 D ．129．解下列方程组：(1)⎩⎨⎧=+-=+102361463102463361y x y x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-+-152223*********yx y x yx y x（3）⎩⎨⎧-=-=-+-421621y x y x10．已知对任意有理数a 、b ，关于x 、y 的二元一次方程(a 一b)x 一(a 十b)y ＝a+b 有一组公共解，求这个方程的公共解．11．若21,2=-=-c a b a ，则49)(3)(3+---c b c b = ． 12．观察表格，由表格可得a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ．并在表格中的空格处填上正确的数．13．m 为正整数，已知二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+023102y x y mx 有整数解，即x 、y 均为整数，则m 2＝ ．14．当k 、m 的值符合条件 时，方程组⎩⎨⎧+-=+=4)12(x k y mkx y 至少有一组解．15．若方程组⎩⎨⎧=-=+4732by ax y x 与方程组⎩⎨⎧=-=+3546y x by ax 有相同的解，则a 、b 的值为( )．A ．a=2,b=1B ．a=2,b=-3C ．a=2.5,b=1D ．a=4,b=-5 16．设0,0,0.>>c b a ，若ba cc a b c b a x +=+=+=，则x 的值为（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．2 17．满足2200019991999=+++++yx xz z y 的整数组),,(z y x 有（ ）组A ．3B ．5C ．8D ．12 18．已知：c b a ,,三个数满足51,41,31=+=+=+a c ca c b bc b a ab ，则cabc ab abc++的值为（ ） A ．61 B ．121 C ．152D ．20119．解下列方程组：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====64321ea de cd bc ab （2）⎩⎨⎧=+=+321y x y x （3） 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-28)(35)(27)(y x z z x y z y x 的正整数解．20．若51~x x 满足下列方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++=++++962482242122625432154321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 求5423x x +的值．21．对于有理数y x 、定义一种运算“Δ”：x Δy=ax+by+c ，其中c b a 、、为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知3Δ5＝15，4Δ7＝28，求1Δ1的值． 22．已知)1(10Λ=++y x x ，)2(12Λ=-+y x y ， 求x+y 的值．参考答案。
(完整版)二元一次方程(组)补习、培优、竞赛经典归类讲解、练习及答案
二元一次方程（组）补习、培优、竞赛归类讲解及练习答案知识点：1、二元一次方程：（1）方程的两边都是整式，（2）含有两个未知数，（3）未知数的最高次数是一次。
2、二元一次方程的一个解：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组：含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。
4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。
（使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值）无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成⎩⎨⎧==y x 的形式。
5、二元一次方程组的解法：基本思路是消元。
（1）代入消元法：将一个方程变形，用一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。
主要步骤：变形——用一个未知数的代数式表示另一个未知数。
代入——消去一个元。
求解——分别求出两个未知数的值。
写解——写出方程组的解。
（2）加减消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。
变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数。
加减——消去一个元。
求解——分别求出两个未知数的值。
写解——写出方程组的解。
（3）列方程解应用题的一般步骤是：关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：① 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数。
② 找：找出能够表示题意两个相等关系。
③ 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。
④ 解：解这个方程组，求出两个未知数的值。
⑤ 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。
6、二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
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专题:二元一次方程组
例1、二元一次方程组的解
x - v = 2
1、若m 使方程组
的解的和为6,则m 的值为多少?
x + 2y = m
2、已知方程组ax""-16的解应为x =8 ，小明解题时把c 抄错了，得到解
cx+20y = —224 y = -10
例2、二元一次方程组的两种通用解法
x —1 - y
(1)用代入法解方程组
-y
J 2x - 3y = 5
Px+3y=1
(2)用加减法解方程组彳 \
J 3x 5 y = 1
例3、解二元一次方程组及高元一次方程组(综合)
k ，且 a 1 a 2 a 3 a 4 a^j 0，求 k 的值。
x =12
y
~ -13
则a 2 b 2 c 2值为多少?
'23x+17y =63
(1)
解方程组也+ 23二57
(2)解方程组
2x-2
2
1
6y-3 1 0
2y -1
(3)解方程组《
⑸若
1 1 5
-------- 十 -------- =——
x y y z 6
12 xy 1
I -------- -- -
l3x + 2y 8
(4)解方程组
—J
2x 3y 7
a ? a 3
a 4 a 1 a r *3
*4 *5
a 2
a r a ? a 4
_ a r a ? a 3
a 3
a 4
a 1 a 2
a 3 a 4
a
5
x-1 1
bcdef ,
-------- =4
a
acdef
-------- =9
b
abdef “
-------- =16
⑹已知正数a,b,c,d,e, f满足解方程组d，求(a c e^(^ d f)的值
abcef 1
d - 4
abcdf 1
e - 9
abcde _ 1
f _16
7、解方程组X1•屜=X2 •怡=X3 • X4二…二畑7 •为99厂畑8为999二1
X1 X? ' ... X1998 X1999 = 1999
例4、含绝对值的方程组
1、解方程组即3：二1
2、解方程组h+2寫3
例5、含字母系数方程组的解及杂题
对于x、y的方程组
与b i、a2与b2都至少有一个不等于零，则
①：」——时，原方程组有惟一解;
O)b I 产c I
③匚丁二时，原方程组无解.a i、b i、c i、a2、b2、C2均为已知数，且a i
Gi D| CI
②，.；「时，原方程组有无穷多组解;
y = kx b
1、当k，b为何值时，方程组y.(3k-1)X 2 有唯一解，无解，有无穷多解?
2、已知关于x,y 的二元一次方程（a-1）x • （a • 2）y • 5-2a = 0, a 每取一个值时就有一
个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个解吗？
4x —- 3y - 6
4
、已知m 是整数，方程组6x _my ：26有整数解，求口的值 5、已知x !,x 2,...x n 中每一个数值只能取-2,0,1中的一个，且满足x , x 2 ..^ x^ -17,
X ： - x - ... - X n 2
= 37, 求 x |3 * x f ... x n 的值。
【拓展训练】
1、若一个两位正整数的十位上的数字与个位数上数字的和为
6，那么符合条件的两位
数的个数是（ ）个
A . 7
B. 6
C . 5
D . 4 x 亠 y - 5 k
y
- 的解也是二元一次方程 x _ y = 9
A . ~6 B. 6 C . 9
D. 30
3、若 4x -3y -6z = 0, x 2y -7z 二 0(xyz = 0)贝M 弋数式 5x 2 2y 2 _ z 2
2x 2 —3y 2 -10z 2
的值为多少? 若关于x, y 的方程组
2x 3^ 6的解，贝U k 值为 4 - 3
G
3
一
4
B.
3
一 4
-
A-
6、a,b是给定的整数，某同学分别计算x 1,124时代数式ax - b的值，依次得到下
列四个结果，已知其中3个是正确的，那么错误的是( )
A. -a b =-1
B. a b=5
C. 2a b=7
D. 4a b=14
7、若x，y，z都不为o,由方程组2x?y34lo可得x:y:z是()
A. 1:2:1
B. 1:(—2):1
C. (一1):2:1
D. 1:2:(-1)
8、
若1 2 3=5,3 - 1 =7，
x y z x y z
12x y = 7
9、已知二元一次方程组，贝U x-y二，x，y
二
x +2y = 8
ax —- by - 4 x - 2
10、已知方程组iax + by】2的解为fy】1，则述恥 -------------------
11、已知关于x,y的方程组4：「；〔；6的解是整数，a是正整数，那么a =
12、已知方程组2a—3b = 13的解为a = 8.3
[3a + 5b=30.9 [b=1.2 则方程组2(x s3(ye13
[3(x + 2) + 5(y_1)=30.9
的解
13、已知关于x，y的方程组
｛觀+2y = 1 + 自，
2x +2 Ca - 0 y — 3*
分别求出当a为何值时，方程组
(1)有唯一一组解；
⑵无解；
(3)有无穷多组解.。