(完整版)高考不等式经典例题

高考不等式经典例题

【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小.

【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋

1a －2

(a ＞2)，n ＝x －

2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( )

A.m ＜n

B.m ＞n

C.m ≥n

D.m ≤n

【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋

1a －2＝a －2＋1a －2

＋2≥2＋2＝4，而n ＝x －2≤(1

2)－2＝4.

【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围.

【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )，

所以⎩⎨⎧-=--=+1,94μγμγ⇒⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=-=38

,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8

3(4a －c )∈[－1,20].

题型三 开放性问题

【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d

b ；③b

c ＞a

d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组

成多少个正确命题？

【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ⇔bc －ad

ab ＞0.

(1)由ab ＞0，bc ＞ad ⇒bc －ad

ab

＞0，即①③⇒②；

(2)由ab ＞0，bc －ad

ab ＞0⇒bc －ad ＞0⇒bc ＞ad ，即①②⇒③；

(3)由bc －ad ＞0，bc －ad

ab ＞0⇒ab ＞0，即②③⇒①.

故可组成3个正确命题.

【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况：

(1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2

m .

所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2

m

}；

(2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， 其对应方程两根为x 1＝－1，x 2＝2m ，x 2－x 1＝2

m －(－1)＝m ＋2m

.

①m ＜－2时，m ＋2＜0，m ＜0，所以x 2－x 1＞0，x 2＞x 1， 不等式的解集为{x |－1＜x ＜2

m }；

②m ＝－2时，x 2＝x 1＝－1，原不等式可化为(x ＋1)2＜0，解集为∅； ③－2＜m ＜0时，x 2－x 1＜0，即x 2＜x 1，不等式解集为{x |2

m ＜x ＜－1}.

【变式训练2】解关于x 的不等式

ax －1

x ＋1

＞0. 【解析】原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)＞0.

当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜－1}；当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＞1

a 或x ＜－1}；

当－1＜a ＜0时，不等式的解集为{x |1

a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，不等式的解集为∅；

当a ＜－1时，不等式的解集为{x |－1＜x ＜1

a

}.

【例3】已知ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集. 【解析】由于ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，因此a ＜0， 解得x ＜1

3

或x ＞1.

(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝2y ＋1

x ＋1的取值范围.

【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A (1,3)，B (3,1)，C (7,9). (1)易知直线x ＋2y －4＝z 过点C 时，z 最大. 所以x ＝7，y ＝9时，z 取最大值21. (2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方， 过点M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上， 故z 的最小值是(

|0－5＋2|2

)2＝9

2.

(3)z ＝2·y －(－12

)

x －(－1)

表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－1

2)连线斜率的2倍.

因为k QA ＝74，k QB ＝38，所以z 的取值范围为[34，7

2].

【例1】(1)设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，则( )

A .x ＋y ≥2(2＋1)

B .x ＋y ≤2(2＋1) C. x ＋y ≤2(2＋1)2 D. x ＋y ≥(2＋1)2 (2)已知a ，b ∈R ＋，则ab ，

a ＋b

2

，a 2＋b 22，2ab

a ＋b

的大小顺序是 . 【解析】(1)选A.由已知得xy ＝1＋(x ＋y )，又xy ≤(

x ＋y 2)2，所以(x ＋y

2

)2≥1＋(x ＋y ). 解得x ＋y ≥2(2＋1)或x ＋y ≤2(1－2). 因为x ＋y ＞0，所以x ＋y ≥2(2＋1). (2)由a ＋b 2≥ab 有a ＋b ≥2ab ，即a ＋b ≥2ab ab ，所以ab ≥2ab

a ＋

b .

又a ＋b 2

＝

a 2＋2a

b ＋b 2

4

≤2(a 2＋b 2)

4

，所以a 2＋b 22≥a ＋b

2

， 所以a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2ab

a ＋b

. 【变式训练1】设a ＞b ＞c ，不等式1a －b ＋1b －c ＞λ

a －c 恒成立，则λ的取值范围是 .

【解析】(－∞，4).因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0.

而(a －c )(

1a －b ＋1b －c )＝[(a －b )＋(b －c )](1a －b ＋1b －c

)≥4，所以λ＜4. 【例2】(1)已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋1

4x －5

的最大值为 ；

【解析】(1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0. 所以y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋1

5－4x )＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x ＝1

5－4x

，即x ＝1时，等号成立. 所以x ＝1时，y max ＝1.

【变式训练2】已知x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，求(a ＋b )2

cd 的取值范围.

【解析】由等差数列、等比数列的性质得a ＋b ＝x ＋y ，

cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝2＋x y ＋y x ，当y x ＞0时，(a ＋b )2cd ≥4；当y

x ＜0时，(a ＋b )2cd ≤0，

故(a ＋b )2

cd

的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).

例 已知28

,,0,

1x y x y

>+=，求xy 的最小值。

解：2

2284641323264y x xy xy xy x y x y ⎛⎫==+=++≥= ⎪

⎝⎭

g g 。 当且仅当

281

2

x y ==时，即 4.16x y ==，上式取“=”，故()min

64xy =。

例 已知01x <

<，求函数41

1y x x

=+

-的最小值。 解：因为01x <<，所以10x ->。