高一数学人教A版(2019)必修第二册 第六章 6.4 平面向量的应用(正弦定理)同步练习

高中数学人教A 版（2019）必修二 第六章 6.4 平面向量的应用（正弦定理）一、单选题1.已知 △ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且满足 acosB +bcosA =−√2ccosA ，则 A 等于（ ）A. π6 B. π4 C. π3 D. 3π42.若 △ABC 的面积为 √34(a 2+c 2−b 2) ，且 ∠C 为钝角， ca 的取值范围是（ ）A. (0,2)B. (0,√3)C. (√3,+∞)D. (2,+∞)3.设 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 bcosC +ccosB =asinA ，则 △ABC 的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 4.已知 △ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c .向量 m ⃗⃗ =(a,b +c) ， n ⃗ =(√3sinC +cosC,−1) ，若 m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则 A = （ ）A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π65.已知 △ABC 中， a =2√3,b =2√2,B =π4 ，那么满足条件的 △ABC （ ） A. 有一个解 B. 有两个解 C. 不能确定 D. 无解 6.在 △ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A. a =8 ， b =10 ， A =45° B. a =60 ， b =81 ， B =60° C. a =7 ， b =5 ， A =80° D. a =14 ， b =20 ， A =45°7.已知 ΔABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 A =60°,a =√3 ，则 b+csinB+sinC 等于（ ） A. 12 B. √3 C. √32D. 28.在 △ABC 中， B =45°,c =2√2,b =4 ，那么 A = （ ）A. 15°B. 75°C. 15° 或 75°D. 105°9.设 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且 3acosC =4csinA ，已知 △ABC 的面积为9， b =5 ，则 a 的值为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 910.在 △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若 a =1 ， A =π6 ， sinB =14 ，则 b = （ ） A. √36B. 12 C. 2 D. 2√311.在 △ABC 中， a =3 ， b =2√6 ， ∠B =2∠A ，则 sinA 的值为（ ） A. √34B. √33C. √32D. 1二、多选题12.在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b):(a+c):(b+c)=9:10:11，则下列结论正确的是（）A. sinA:sinB:sinC=4:5:6B. ΔABC是钝角三角形C. ΔABC的最大内角是最小内角的2倍D. 若c=6，则ΔABC外接圆半径为8√7713.已知△ABC中，AB=1，AC=4，BC=√13，D在BC上，AD为∠BAC的角平分线，E为AC中点下列结论正确的是（）A. BE=√3B. △ABC的面积为√13D. P在△ABE的外接圆上，则PB+2PE的最大值为2√7C. AD=4√3514.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A. a=8,b=16,A=30∘，有两解B. b=18,c=20,B=60∘，有两解C. a=5,c=2,A=90∘，无解D. a=30,b=25,A=150∘，有一解三、填空题15.已知ΔABC中，a=1,b=√2,B=45°，则角A等于________.16.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=√2AC=2，点M在BC上，且sin∠BAM=1，则3sin∠BMA=________，AM=________．17.在锐角ΔABC中，BC＝1，B＝2A，则AC的取值范围为________.18.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且3a⋅cosC=2c⋅cosA+b，则tan(A−C)的最大值为________.四、解答题19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，sinB−cosC=c2−a2.2ab（1）求A；c，且BC边上的高为2√3，求△ABC的面积.（2）若b=√3420.已知在△ABC中，A=π，a=13，c=15.3（1）求sinC；（2）若△ABC是钝角三角形，求△ABC的面积.21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足csinC+bsinB−asinA=2√3asinBsinC．（1）求角A的大小；−C)=ccosB，且b=4，求△ABC的面积．（2）若bcos(π222.在① bcosA−c=0，② acosB=bcosA，③ acosC+b=0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b=√2，c=4，满足______．（1）请写出你的选择，并求出角A的值；（2）在（1）的结论下，已知点 D 在线段 BC 上，且 ∠ADB =3π4，求 CD 长．答案部分一、单选题1. D2. D3. B4. B5. B6. A7. D8. D9. A 10. B 11. B 二、多选题12. A,C,D 13. A,C,D 14. B,D 三、填空题15. 30° 16. √63；√3 17. (√2,√3) 18. √612四、解答题19. （1）解：由 sinB −cosC =c 2−a 22ab得 2absinB −2abcosC =c 2−a 2 ，由余弦定理得 2absinB +c 2−a 2−b 2=c 2−a 2 ，所以 2asinB =b ， 由正弦定理得 2sinAsinB =sinB ， B 是三角形内角， sinB ≠0 ， 所以 sinA =12 ，又A 为锐角，所以 A =π6 （2）解：由（1） a 2=b 2+c 2−2bccosA =316c 2+c 2−2×√34c ⋅c ⋅cos π6=716c 2 ， a =√74c ，所以 S △ABC =12bcsinA =12a ×2√3 ，即 12×√34c 2×12=12×√74c ×2√3 ， c =4√7 ，b =√34c =√21 ，S △ABC =12bcsinA =12×√21×4√7×12=7√3 20.（1）解：在 △ABC 中,根据正弦定理得 AB sinC =BC sinA ，则 15sinC =13sinA ， 所以 sinC =15×√3213=15√326（2）解：因为 a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 所以 132=b 2+152−2×b ×15×12 . 解得 b =8 或 b =7 . 当 b =7 时， cosC =72+132−1522×7×13<0所以 C 为钝角，所以△ ABC 的面积 S =12bcsinA =1054√3当 b =8 时， cosC =82+132−1522×8×13>0 .此时 C 为锐角，不满足题意所以△ABC的面积1054√321. （1）解：由正弦定理及已知得sin2C+sin2B−sin2A=2√3sinAsinBsinC，所以c2+b2−a2=2√3bcsinA．所以cosA=c2+b2−a22bc=√3sinA，则tanA=√33，因为A∈(0,π)，所以A=π6（2）解：由bcos(π2−C)=ccosB可知，sinBsinC=sinCcosB，因为C∈(0,π)，所以sinB=cosB，则tanB=1，所以B=π4，所以C=π−π4−π6=7π12．又由bsinB =asinA，所以4sinπ4=asinπ6，解得a=2√2，所以S△ABC=12absinC=12×2√2×4sin7π12=4√2sin5π12=4√2sin(π6+π4)=4√2×(sinπ6cosπ4+cosπ6sinπ4)=4√2×√6+√24=2√3+222. （1）解：若选择条件①，得cosA=cb=2√2>1，不符合题意：若选择条件②，由余弦定理知a⋅a2+c2−b22ac =b⋅b2+c2−a22bc，化简得a=b，所以a+b=2√2<4，不符合题意：若选择条件③，由余弦定理得a⋅a2+b2−c22ab+b=0，所以a2+3b2−c2=0，所以a2=c2−3b2=16−6=10，所以cosA=b2+c2−a22bc =2×√2×4=√22，因为A∈(0,π)，所以A=π4（2）解：由（1）知cosC=b2+a2−c22ab =2×√2×√10=−√55，因为C∈(0,π)，所以sinC=√1−cos2C=2√55．所以sin∠CAD=sin(3π4−C)=sin3π4cosC−cos3π4sinC=√1010．在△ACD中，因为ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，所以CD=AC⋅sin∠CADsin∠ADC =√2×√1010√22=√105．。