湖北省荆州市2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析

湖北省荆州市2021届新高考第一次大联考数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设非零向量a r ，b r ，c r

，满足||2b =r ，||1a =r ，且b r 与a r 的夹角为θ，则“||b a -=r r 是“3

πθ=”

的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】C 【解析】 【分析】

利用数量积的定义可得θ，即可判断出结论． 【详解】

解：||b a -=r r ∴2223b a a b +-=r r

r r g ，221221cos 3θ∴+-⨯⨯⨯=，

解得1cos 2

θ=

，[0θ∈，]π，解得3π

θ=，

∴ “||b a -=r r 是“3

π

θ=”的充分必要条件．

故选：C ． 【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

2．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =u u u r

（ ）

A ．2132

AB AC +u u u

r u u u r

B ．1124

AB AC +u u u

r u u u r

C ．1123

AB AC +u u u

r u u u r

D ．2133

AB AC +u u u

r u u u r

【答案】B 【解析】 【分析】

设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r

，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32

x AP AE y AC =

+u u u r u u u r u u u r ， 由B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线,可知21x y +=，312

x

y +=,解得,x y 即可得出结果. 【详解】

设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r

，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32

x AP AE y AC =

+u u u r u u u r u u u r ， 因为B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线，

所以21x y +=，312

x y +=，所以1

2x =，14y =.

故选:B. 【点睛】

本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题. 3．若集合{}|sin 21A x x ==，,4

2k B y y k Z π

π

⎧⎫==

+

∈⎨⎬⎩

⎭

，则（ ） A ．A B A ⋃= B ．R R C B C A ⊆

C ．A B =∅I

D ．R R C A C B ⊆

【答案】B 【解析】 【分析】

根据正弦函数的性质可得集合A ，由集合性质表示形式即可求得A B ⊆，进而可知满足R R C B C A ⊆. 【详解】

依题意，{}|sin 21|,4A x x x x k k Z π

π⎧

⎫

====

+∈⎨⎬⎩

⎭

； 而|,4

2k B y y k Z π

π⎧

⎫==

+

∈⎨⎬⎩

⎭

()212|,,4242n n x x n Z x n Z π

πππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或

()21|,,442n x x n n Z x n Z π

πππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭

或，

故A B ⊆， 则R R C B C A ⊆. 故选：B. 【点睛】

本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.

4．用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（ ） A ．

427

B ．

13

C ．

127

D ．

19

【答案】C 【解析】 【分析】

由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为1

3

，结合独立事件发生的概率计算即可. 【详解】

∵每次生成一个实数小于1的概率为13.∴这3个实数都小于1的概率为3

11327⎛⎫= ⎪⎝⎭

. 故选：C. 【点睛】

本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.

5．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

，

:q x y

=则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】 【分析】

根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

再分析即可. 【详解】 因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫

=+= ⎪⎝⎭

,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5cos cos 33ππ=,

而

53

3

π

π

≠

,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】

本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题. 6．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( ) A ．

34

B ．

43

C ．-

43

D ．-

34

【答案】A 【解析】

分析：计算2z a i =-，由z 1()2z 3a 44a 3i =++-，是实数得4a 30-=，从而得解. 详解：复数z 1=3+4i,z 2=a+i,

2z a i =-.

所以z 1()()()2z 34i a i 3a 44a 3i =+-=++-，是实数，