6-4万有引力理论的成就

第六章 第四节

1．天文学家发现了某恒星周围有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运动周期．由此可推算出( )

A ．行星的质量

B ．行星的半径

C ．恒星的质量

D ．恒星的半径

解析：由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得M ＝4π2GT 2r 3

可求得恒星的质量，故选C.

答案：C

2．利用下列哪组数据，可以计算出地球的质量(已知万有引力常量为G )( ) A ．已知地球的半径R 地和地面的重力加速度g

B ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r 和周期T

C ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r 和线速度v

D ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和周期T 解析：

3．地球表面的平均重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ，可估算地球的平均密度为( )

A.3g 4πRG

B.3g 4πR 2G

C.g RG

D.g RG

2 解析：忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg ＝G Mm

R 2，又地球质量M ＝ρV

＝43πR 3ρ.代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝3g 4πRG

. 答案：A

4．宇宙飞船进入一个围绕太阳的近乎圆形的轨道运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是( )

A ．3年

B ．9年

C ．27年

D ．81年

解析：根据万有引力提供向心力有 G Mm r 2＝m 4π2

T 2r .T ＝ 4π2r 3

GM

∝ r 3. 即T 1T 2

＝ r 13r 2

3＝93

＝27. 所以宇宙飞船绕太阳运行的周期是27年． 答案：C

5．把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动，平均半径为1.5×1011m ，已知引力常量为：

G ＝6.67×10

－11

N·m 2/kg 2，可估算出太阳的质量大约是多少千克？(结果取一位有效数字)

解析：地球绕太阳运转周期T ＝365天＝365×24×3 600 s ＝3.15×107s 由牛顿第二定律得G Mm r 2＝m 4π2r

T 2

解得M ＝4π2r 3

GT

2

＝4×3.142×(1.5×1011)36.67×10－11×(3.15×107)2kg ＝2×1030kg. 答案：2×1030kg

(时间：45分钟 满分：60分)

1．下列说法正确的是( )

A ．海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的

B ．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的

C ．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的

D ．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星

解析：由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A 、B 、C 错误，D 正确．

答案：D

2．为了对火星及其周围的空间环境进行监测，我国于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别

为T 1和T 2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为G .仅利用以上数据，可以计算出( )

A ．火星的密度和火星表面的重力加速度

B ．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力

C ．火星的半径和“萤火一号”的质量

D ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

解析：设火星质量为M ，半径为R ，“萤火一号”的质量为m ，则有 G Mm (R ＋h 1)

2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 12(R ＋h 1)① G Mm (R ＋h 2)

2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 22(R ＋h 2)② 联立①②两式可求得M 、R ，由此可进一步求火星密度，由于mg ＝GMm R 2，则g ＝GM

R 2，显

然火星表面的重力加速度也可求出，正确答案为A.

答案：A

3．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比为( )

A.R 3t 2r 3T 2

B.R 3T 2

r 3t 2 C.R 3t 2r 2T 3 D.R 2T 3r 2t

3 解析：地球绕太阳公转，满足G Mm R 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ，则太阳质量M ＝4π2R 3GT 2

；月球绕地球公转，

满足G M ′m ′r 2＝m ′⎝⎛⎭⎫2πt 2r ，则地球质量M ′＝4π2r 3Gt 2，由此可知M M ′＝R 3t 2r 3T

2，故A 正确．

答案：A

4．设在地球上和在x 天体上以相同的初速度竖直上抛一物体达到的最大高度之比为k (均不计阻力)，且已知地球和x 天体的半径之比也为k ，则地球质量与x 天体的质量之比为( )

A ．1

B ．k

C ．k 2

D ．1/k

解析：做竖直上抛运动的物体的最大上升高度h ＝v 20

2g ；天体表面的重力加速度由G Mm R 2＝

mg 可得g ＝GM R 2；则有M 地M x ＝R 2地R 2x ·h x h 地＝k 21·1

k

＝k ，B 项正确．