(整理)工科数学分析ii期末复习提纲

《工科数学分析II 》期末考试复习提纲

第16章 重积分

二重积分、三重积分的定义以及性质；重积分的计算方法：化为累次积分或换元法；重积分的物理应用：计算重心坐标、转动惯量以及万有引力。

重点：1、正确交换积分顺序；2、灵活选择换元变量。第10、13题为典型题。

典型例题

1. 计算二重积分

(,)D

f x y dxdy 蝌

，其中2

[0,]D π=， cos() (,) 1 , x y x y f x y x y -≥⎧=⎨

<⎩，

. 解：将重积分化为累次积分即可。

2. 通过交换积分次序计算累次积分(1)

211

0y

x dx e dy ⎰⎰

,(2)8

2

dx ⎰. 解：可用作图法或不等式法交换积分顺序。例，01,1x x y ≤≤≤≤等价于

01,0y x y ≤≤≤≤。

3. 计算二重积分

cos()D

x xy dxdy

⎰⎰,

2||

x D

xy e dxdy ⎰⎰, 其中

{(,)||D x y x y

=+≤. 提示：关于y 轴的对称性。见223页注。

4. 通过换元计算椭圆盘2221ax bxy cy ++≤的面积. (其中20b ac -<) 提示：单位特征向量是一组标准正交基。

5.

计算二重积分

2222

4x y ππ≤+≤⎰⎰

,

22x y Rx

+≤⎰⎰

.

6.

计算二重积分D

⎰⎰

,其中2222{(,)|1,0,0}x y D x y x y a b =+≤≥≥.

提示： 。

7. 计算二重积分()sin()D

x y x y dxdy -+⎰⎰,其中{(,)|||||}D x y x y π=+≤.

提示：u=x-y, v=x+y 。 8. 计

算

二

重

积

分

2

2()D

x

y dxdy

+⎰⎰,其中D 由

22221,2,1,2x y x y xy xy -=-===所围而成。提示： 。

9. 设(,)f x y 为一连续函数, 求极限222

2

01

lim (,)r x y r f x y dxdy r π→++≤⎰⎰

.

提示：216页积分中值定理。

10.计算三重积分V

xyzdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 由曲面222,0,,1z x y z y x y =+===所

围而成. 解：积分区域由如下不等式确定： 。称它为一个x-y-z 型区域，即先对z 积分，再对y ，最后对x 。以此顺序则表达式最为简洁。

11.计算三重积分2

z dxdydz Ω

⎰⎰⎰，其中Ω为椭球222

2221x y z a b c ++≤。参考第6题。

12.计算三重积分222

222

l n (1)

1z x y z d x d y d z x y z Ω

++++++⎰⎰⎰，其中Ω为椭球222

2221x y z a b c

++≤.提示：积分区间关于xy 平面对称，积分函数是z 的奇函数，因此积分为0。

13.计算三重积分22()I x y dxdydz Ω

=+⎰⎰⎰，其中Ω

由曲面z =，1z =，

2z =所围而成。提示：积分区域及函数是xy-z 型区域，即先在圆盘上重积分（不妨用极坐标），再对z 积分。 14.计算三重积分2I z dxdydz Ω

=⎰⎰⎰，其中Ω

由曲面z =

和曲面

z =围成。提示：同上，对z 积分时注意分段。

15.设密度为1的平面薄板由(sin )(1cos )

x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩,(02)t π≤≤与x 轴围成，求它绕

x 轴旋转的转动惯量。

16.设薄片所占的闭区域D 是介于两个圆cos ,cos r a r b θθ==之间的闭区域，求均匀薄片的重心.

17.求密度为1的均匀球锥体（即锥体被球面截下的部分）对于在其顶点为

以单位质量的质点的吸引力，设球的半径为R ，而轴截面的扇形的角等

于

2

π.

第17章，向量场的曲线积分与Green 公式

第一型曲线积分的概念，性质与计算，第二型曲线积分的概念，性质与计算，Green 公式，积分与路径无关的四个等价条件，判断全微分并求其原函数，曲线积分的物理应用。

全微分求原函数以7-12题为例。

典型例题

1． 求第一型曲线积分22()C

x y ds +⎰，其中C 为曲线(cos sin )

x a t t t =+，(sin cos )y a t t t =-(02t π≤≤).见262页。第3、5题同理。

2． 求第一型曲线积分||C

y ds ⎰，其中C 为双扭线22222()()x y a x y +=-.

解：双扭线的极坐标方程为 ，因此 。利用对称性，原式=4

。

3． 求第一形曲线积分2C

y ds ⎰，其中C 为旋轮线(sin ),(1cos )

x a t t y a t =-=-的一拱.

4． 求螺线cos ,sin ,2h

x a t y a t z t π

===

（02t π≤≤）对x 轴的转动惯量. 5． 求第二型曲线积分222()2C

y z dx yzdy x dz -+-⎰，其中曲线C 为依参数增

加的方向行进的曲线23,,x t y t z t ===（01t ≤≤）. 6． 计算

⎰Γ

-+-+-z y x y x z x z y d )(d )(d )(222222,Γ为球面片1222=++z y x ，0≥x ，0≥y ，0≥z 的边界，方向是从)0,0,1(到

)0,1,0(到)1,0,0(再回到)0,0,1(.

提示：由对称性，原式=3⎰Γ

-x z y d )(22=3⎰Γ

-dy x x y 22d =6⎰Γ

x y d 2

7． 计算曲线积分(sin )(cos )x x AmO

e y my dx e y m dy -+-⎰

，其中AmO 为由点