答案二次函数矩形的存在性问题

参考答案

1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．

（1）求直线BD的解析式；

（2）求△OFH的面积；

（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点

D、F、M、N为顶点的四边形是矩形若存在，

请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

1.分析：（1）解方程可求得OC、BC的长，可求得B、D的坐标，

利用待定系数法可求得直线BD的解析式；

（2）可求得E点坐标，求出直线OE的解析式，联立直线BD、OE解析式可求得H点的横坐标，可求得△OFH 的面积；

（3）当△MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N点坐标．

解答：解：（1）解方程x2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC，∴BC=2，OC=4，∴B（﹣2，4），∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，

∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D（4，0），设直线BD解析式为y=kx+b，

把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD的解析式为y=﹣x+；

（2）由（1）可知E（4，2），设直线OE解析式为y=mx，

把E点坐标代入可求得m=，

∴直线OE解析式为y=x，令﹣x+=x，

解得x=，∴H点到y轴的距离为，

又由（1）可得F（0，），∴OF=，∴S△OFH=××=；

（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，

∴△DFM为直角三角形，

①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，

由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF∽△FOD，

∴=，即=，解得OM=，∴M（﹣，0），且D（4，0），∴G（，0），

设N点坐标为（x，y），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N点坐标为（，﹣）；

②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，

则有△FOD ∽△DOM ，

∴=，即=，解得OM=6，

∴M （0，﹣6），且F （0，）， ∴MG=MF=

，则OG=OM ﹣MG=6﹣

=，

∴G （0，﹣）， 设N 点坐标为（x ，y ），则=0，

=﹣， 解得x=﹣4，y=﹣

，此时N （﹣4，﹣

）；

③当∠FMD=90°时，则可知M 点为O 点，如图3， ∵四边形MFND 为矩形，

∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N （4，）； 综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（

，﹣）或（﹣4，﹣

）或（4，）．

2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线2

23y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C . 点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴相交于点E . （1）求直线AD 的解析式；

（2）如图1，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 的周长的最大值；

（3）点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是AM 为边的矩形，若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点T 的坐标.

x

y x

y x

y 26题备用图2

26题备用图1

26题图1

C

B

A

O

C

A

O

H

G

E D

C B

A

O

F

M

M

答案解：⑴AD ：1y x =+

⑵过点F 作x 轴的垂线，交直线AD 于点M ，易证△FGH ≌△FGM 故FGH FGM C C =△△ 设2(,23)F m m m -++

则FM =2223(1)2m m m m m -++-+=-++

则 C=21992

2(12)(12)()22

FM FM m ++⨯

=+=-+-+

故最大周长为9+92

⑶①若AP为对角线

如图，由△PMS∽△MAR可得

9

(0,)

2

P由点的平移可知

1

(2)

2

Q-，故Q点关于直线AM的对称点T为

1

(0,)

2

-

②若AQ为对角线

如图，同理可知P

1

(0,)

2

-由点的平移可知Q

7

(2,)

2

故Q点关于直线AM的对称点T为

9

(0,)

2

3. (2016 山东省东营市) 】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．

（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；

（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，

△AMA′的面积最大最大面积是多少并求出此时M的坐标；

（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为

（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，

当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

分析（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，

得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），

可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经

过点C、A、A′的抛物线的解析式；

（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；

（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．

解答解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），

∴点A′的坐标为：（4，0），

∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C、A、A′，

设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，

∴，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4；

（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，

∴，解得：，∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4，

设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），

则S△AMA′=×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，

∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，