三角函数的图像与性质()—正余弦函数的定义域值域

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2 1.3.2 三角函数的图像与性质（2）

一、课题：正、余弦函数的定义域、值域

二、教学目标：1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；

2.能说出函数sin y x =，x R ∈和cos y x =，x R ∈的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的x 的集合。

三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域的求法。

四、教学过程：

（一）复习：

1．三角函数的定义。

（二）新课讲解：

1

（1）sin 2y x =； （2）cos()3y x π=+

； （3）y =； （4）1sin 1

y x =+； （5）lgsin y x =． 解：（1）2x R ∈， ∴x R ∈； （2）3x R π

+∈， ∴x R ∈；

（3）sin 0x ≥， ∴[2,2]x k k πππ∈+()k Z ∈；

（4）sin 10x +≠，∴sin 1x ≠-， ∴{|x x x R ∈∈且2,}2x k k Z π

π≠-∈；

（5）2250sin 0x x ⎧-≥⎨>⎩

∴5522()x k x k k Z πππ-≤≤⎧⎨<<+∈⎩ ∴ [5,)[0,)x ππ∈--．

2．正、余弦函数的值域

（1）cos 1y x =+，x R ∈； （2）sin 2y x =，x R ∈． 解：（1）使函数cos 1y x =+，x R ∈取得最大值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x R ∈ 取得最大值的x 的集合{|2,}x x k k Z π=∈，

所以，函数cos 1y x =+，x R ∈的最大值是112+=．

（2）令2z x =，那么x R ∈必须并且只需z R ∈，且使函数sin y z =，z R ∈取得最大值 的z 的集合是{|2,}2z z k k Z π

π=+∈，由222x z k π

π==+，得4x k π

π=+，

即：使函数sin 2y x =，x R ∈取得最大值的x 的集合是{|,}4

x x k k Z ππ=

+∈，函数的最大值是1． 说明：函数sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的最值：最大值||A ，最小值||A -． 例3：求下列函数的值域：

（1）21sin 1y x =+； （2）sin sin 2

x y x =+． 解：（1）∵20sin 1x ≤≤，∴21sin 12x ≤+≤， ∴

112

y ≤≤

所以，值域为

1

{|1}

2

y y

≤≤．

（2）

2

sin

1

y

x

y

=

-

，∴1sin1

x

-≤≤，∴

2

11

1

y

y

-≤≤

-

，

解得

1

1

3

y

-≤≤，所以，值域为

1

{|1}

3

y y

-≤≤．

五、练习：

六、小结：1．正、余弦函数的定义域、值域；

2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值域。

七、作业：

补充：求下列函数的值域：

（1）

2sin

1sin

x

y

x

+

=

+

；（2）

cos3

cos2

x

y

x

+

=

+

；（3）y asinx b

=+（其中,a b为常数）．

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