算术_几何平均值不等式的证明

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(完整版)均值不等式及其证明

1平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。

平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。

1.1 平均值不等式一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为12...,nn a a a A n+++=几何平均值记为112(...)nn n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。

12...n a a a n+++≥即 n n A G ≥，当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。

上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。

平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。

为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。

供大家参考学习。

1.2 平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1）当2n =时，已知结论成立。

（2）假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对0,1,2,...,,i a i k >=有11212...(...)kk n a a a a a a k+++≥。

那么，当1n k =+时，由于1211 (1)k k a a a A k +++++=+，1k G +=，关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥.所以 11112111(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-===2111...()k k k a a a a A k++++++-=≥即12111...()kk k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。

2. 三个正数的算术——几何平均不等式

∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028，当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号，即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大．因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．
用平均不等式求解实际问题例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b

对数均值不等式的证明方法

对数均值不等式的证明方法对数均值不等式（AM-GM不等式）是数学中常用的一种不等式，它是初等数学和高等数学中必学的知识点之一。

本文将介绍针对对数均值不等式的证明方法。

一、对数均值不等式的表述对数均值不等式又称为算术平均数和几何平均数不等式，它的数学表述为：对于任意非负实数$x_1, x_2, \ldots, x_n$，有：$$\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} $$其中，$n$为非负整数。

二、直接证明法对数均值不等式的证明方法有多种，其中一种是直接证明法。

这种方法通过将不等式两边进行变换和分析，从而得到等价的形式，最终得证。

首先，根据不等式的左侧，我们可以将$x_1, x_2, \ldots, x_n$的乘积写成指数的形式：$$x_1 \cdot x_2 \cdots x_n = e^{\ln(x_1 \cdot x_2 \cdots x_n)}$$然后，利用指数函数的性质，我们知道：$$e^{\ln(x_1 \cdot x_2 \cdots x_n)} = e^{\ln x_1 + \ln x_2 + \cdots + \lnx_n}$$接下来，我们可以应用算术平均数和指数函数的关系，即：$$\frac{\ln x_1 + \ln x_2 + \cdots + \ln x_n}{n} \ge \ln\left(\frac{x_1 +x_2 + \cdots + x_n}{n}\right)$$再次利用指数函数的性质，我们有：$$e^{\frac{\ln x_1 + \ln x_2 + \cdots + \ln x_n}{n}} \gee^{\ln\left(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\right)}$$化简后得：$$\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}因此，我们通过直接证明法证明了对数均值不等式。

均值不等式所有公式

均值不等式所有公式
均值不等式（平均值不等式）是数学中的一种基本不等式，它表示对于两个数 a 和 b，它们的平均值不小于它们的几何平均值。

一般来说，均值不等式的公式可以表示为：
(a + b) / 2 ≥√(ab)
当且仅当 a = b 时，等号成立。

这里列举一些常见的均值不等式：
1. 算术平均数（均值）不小于几何平均数：
(a + b) / 2 ≥√(ab)
2. 调和平均数不小于算术平均数：
(a + b) / (1/a + 1/b) ≥ 2√(ab)
3. 几何平均数不小于平方根平均数：
sqrt(ab) ≤ (a + b) / 2
4. 平方根平均数不小于算术平均数：
sqrt(a * b) ≤ (a + b) / 2
5. 三次方根平均数不小于算术平均数：
cube_root(a * b * c) ≤ (a + b + c) / 3
这些公式在不同情况下可以用来估计各种平均值之间的关系。

注意，这些不等式在 a 和 b 为正实数时成立。

对于负实数，需要对不等式进行适当调整。

三项均值不等式公式

三项均值不等式公式三项均值不等式公式是初中数学学习中比较重要的一个概念，也是比较常用的一个公式。

它是一种基于数学统计学原理的不等式，可以用来描述一组数字的大小关系。

三项均值不等式公式的应用非常广泛，可以用来证明各种数学问题，也可以应用到经济学、物理学等其他领域。

三项均值不等式公式的原理非常简单，它是基于算术平均数、几何平均数和谐平均数的大小关系推导而来的。

其中，算术平均数是指一组数字的和除以数字的个数，几何平均数是指一组数字的乘积开根号，谐平均数是指一组数字的倒数的平均数的倒数。

三项均值不等式公式的表达式为：(a+b+c)/3 ≥ (abc)^(1/3) ≥ 3/(1/a+1/b+1/c)。

三项均值不等式公式的应用非常广泛，可以用来解决各种数学问题。

例如，在三角形中，三角形的三条边的长度分别为a、b、c，那么根据三项均值不等式公式可得：a+b+c/3 ≥ (a bc)^(1/3)，即(a+b+c)^3 ≥ 27abc，这个不等式被称为三角形的海涅不等式。

这个不等式可以用来证明很多与三角形相关的问题。

三项均值不等式公式还可以应用到经济学中。

例如，在投资组合中，如果一笔投资的收益率为r1，另外一笔投资的收益率为r2，那么这两笔投资的平均收益率为(r1+r2)/2。

如果这两笔投资的风险分别为s1和s2，那么这两笔投资的平均风险为(1/s1+1/s2)/2的倒数。

根据三项均值不等式公式可得：(r1+r2)/2 ≥ (r1r2)^(1/2) ≥ 2/(1/s1+1/s2)，即(r1+r2)^2 ≥ 4r1r2，这个不等式可以用来指导投资组合的选择。

三项均值不等式公式还可以应用到物理学中。

例如，在电路中，电阻的并联和串联是两种常见的电路连接方式。

根据三项均值不等式公式可得，对于两个电阻值分别为r1和r2的电阻，它们并联后的电阻值为(r1r2)/(r1+r2)，它们串联后的电阻值为r1+r2。

因此，如果要使得并联电路的电阻最小或者串联电路的电阻最小，就需要根据三项均值不等式公式来进行计算。

幂平均不等式证明

幂平均不等式证明
幂平均不等式，又被称为加权算术-几何平均不等式，是数学中的一个重要不等式。

以下是它的证明过程，我将分要点进行详细介绍：
定义与前提条件
设(a_1, a_2, ..., a_n) 为一组正实数。

设(p_1, p_2, ..., p_n) 为一组非负实数，且(p_1 + p_2 + ... + p_n = 1)，这些数可以看作是权重。

幂平均的定义
加权算术平均：(A = \sum_{i=1}^{n} p_i a_i)
加权几何平均：(G = \prod_{i=1}^{n} a_i^{p_i})
幂平均不等式表述
幂平均不等式表示为：(A \geq G)
证明过程
利用Jensen不等式证明：
考虑函数(f(x) = \ln(x))，这是一个凹函数（在其定义域上）。

根据Jensen不等式的性质，对于凹函数和任意的正数(a_i)，有：(\sum_{i=1}^{n} p_i \ln(a_i) \leq \ln(\sum_{i=1}^{n} p_i a_i))
对上述不等式两边取指数，得到：(\prod_{i=1}^{n} a_i^{p_i} \leq \sum_{i=1}^{n} p_i a_i)
这正是我们要证明的幂平均不等式。

利用AM-GM不等式证明：
对于非负实数，算术平均数总是大于或等于几何平均数。

通过将这一性质应用于加权的情境，我们也可以得出幂平均不等式。

结论
幂平均不等式表示，对于一组正实数和相应的非负权重，其加权算术平均总是大于或等于其加权几何平均。

算术几何平均不等式与其应用

算术几何平均不等式与其应用算术几何平均不等式是数学中的一种重要的不等式关系，它在数学推导和实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍算术几何平均不等式的概念、证明以及一些常见的应用。

一、算术平均与几何平均的定义与性质在介绍算术几何平均不等式之前，我们先来了解一下算术平均和几何平均的定义与性质。

1. 算术平均：对于一组数a₁，a₂，...，aₙ，它们的算术平均记为A，即A=(a₁+a₂+...+aₙ)/n。

算术平均是指将一组数的和除以这组数的个数所得到的值。

2. 几何平均：对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，它们的几何平均记为G，即G=(a₁a₂...aₙ)^(1/n)。

几何平均是指将一组数的乘积开n次方所得到的值。

算术平均和几何平均都是常见的求平均值的方法，它们有以下性质：性质1：对于任意一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。

性质2：当且仅当a₁=a₂=...=aₙ时，有G=A。

二、算术几何平均不等式的概念与证明算术几何平均不等式是指对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A，即几何平均不大于算术平均。

下面我们将给出算术几何平均不等式的证明。

假设a₁，a₂，...，aₙ是一组正数，我们来证明G≤A。

首先，我们考虑当n=2的情况。

此时，算术平均和几何平均分别为A=(a₁+a₂)/2，G=(a₁a₂)^(1/2)。

我们可以通过平方的方式来证明G≤A。

由(a₁-a₂)²≥0可得a₁²-2a₁a₂+a₂²≥0，进一步变形得到a₁²+a₂²≥2a₁a₂。

再对不等式两边同时开2次方，即得到(a₁²+a₂²)^(1/2)≥(2a₁a₂)^(1/2)。

即G≥(2a₁a₂)^(1/2)，进一步化简得到G≥(a₁+a₂)/2=A。

所以，当n=2时，算术几何平均不等式成立。

接下来，我们假设当n=k时，算术几何平均不等式成立。

即对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。

均值不等式证明

均值不等式证明均值不等式是一个非常重要的数学定理，它被广泛应用于数学、物理、经济等学科中。

均值不等式的证明是数学证明中的一种非常重要的方法，通过均值不等式的证明，我们可以体会到数学证明的思路和方法。

本文将详细介绍均值不等式的证明，让读者更深入地了解这个重要的数学定理。

首先，我们来介绍一下均值不等式的概念。

均值不等式是指对于n个实数a1，a2，……，an，它们的算术平均数和它们的几何平均数之间有如下关系：(a1+a2+……+an)/n ≥ (a1×a2×……×an)^(1/n)其中“≥”表示大于等于的关系。

这个不等式告诉我们，对于一组实数，它们的算术平均数一定大于等于它们的几何平均数。

并且，当这组实数中每个数都相同时，这个不等式取等。

这就是均值不等式，它是一个非常重要的不等式。

接下来，我们将介绍均值不等式的证明方法。

首先，我们来证明一个简单的均值不等式，即两个数的均值不小于它们中的较小值。

假设a和b是两个实数，不妨假设a≥b，那么它们的算术平均数是(a+b)/2，它们的几何平均数是(a×b)^(1/2)。

我们需要证明(a+b)/2 ≥ (a×b)^(1/2)。

我们先把等式两边平方，得到：(a+b)^2/4 ≥ a×b化简后得到：a^2+b^2+2ab/4 ≥ a×b即：a^2+b^2 ≥ 2ab这个不等式显然成立，因为它等价于(a-b)^2 ≥ 0。

因此，我们证明了两个数的均值不小于它们中的较小值。

接下来，我们来证明n个数的均值不等式。

我们先不妨假设这n个数是正实数，否则我们可以通过取绝对值来获得正实数的情况。

假设a1，a2，……，an是n个正实数，它们的算术平均数是A，几何平均数是G。

则有：A = (a1+a2+……+an)/nG = (a1×a2×……×an)^(1/n)接下来，我们需要证明A≥G。

算术平均值和几何平均值的不等式公式

算术平均值和几何平均值的不等式公式好的，以下是为您生成的文章：在数学的广袤世界里，算术平均值和几何平均值的不等式公式就像是一座神秘的桥梁，连接着不同的数学概念和实际应用。

这玩意儿听起来可能有点高大上，但别担心，咱慢慢唠。

先来说说啥是算术平均值。

比如说，有几个数，像 3、5、7，把它们加起来再除以个数，（3 + 5 + 7）÷ 3 = 5，这个 5 就是这几个数的算术平均值。

那几何平均值又是啥呢？还拿3、5、7 这几个数来说，把它们相乘，再开个方，³√（3×5×7）≈ 4.87，这个4.87 左右就是它们的几何平均值。

而算术平均值和几何平均值的不等式公式就是说，对于任意的正实数 a₁，a₂，…，aₙ，有（a₁ + a₂ + … + aₙ）/ n ≥ ³√（a₁ × a₂ × …× aₙ），而且等号成立的条件是当且仅当 a₁ = a₂ = … = aₙ 。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别有趣的事儿。

当时我在黑板上写下了一组数：2、4、8。

我问同学们：“你们觉得这几个数的算术平均值和几何平均值哪个大呀？”同学们有的说是算术平均值大，有的说是几何平均值大，还有的一脸懵，不知道从哪儿下手。

我就引导他们一步一步来算。

先算算术平均值，（2 + 4 + 8）÷ 3 = 14÷3 ≈ 4.67。

再算几何平均值，³√（2×4×8）= ³√64 = 4 。

这一算，结果很明显啦，算术平均值大于几何平均值。

这时候有个聪明的小家伙就问我：“老师，那这个公式到底有啥用啊？”我笑着说：“用处可大啦！比如说，你要规划一个花园，种三种不同的花，每种花需要的种植面积不一样，但是你又想让花园看起来最协调美观，这时候就可以用这个公式来算一算怎么分配面积啦。

”同学们听了恍然大悟，原来数学不是只在书本上的那些枯燥的数字和公式，而是能实实在在用到生活中的。

算术几何平均间不等式的证明

算术几何平均间不等式的证明在数学中，算术平均和几何平均是两个常用的概念。

算术平均是一组数的总和除以数的个数，而几何平均是一组数的乘积的n次方根。

算术几何平均间不等式是一种基本的不等式，它提供了一种关于算术平均和几何平均之间的关系。

本文将对算术几何平均间不等式进行证明。

设有正数x₁,x₂,x₃,...,xₙ,它们的算术平均为A，几何平均为G。

那么我们可以得到以下关系：x₁+x₂+x₃+...+xₙ ≥ n√(x₁·x₂·x₃·...·xₙ) ——（1）首先，我们通过归纳法证明这个不等式对于n=2时成立。

当n=2时，不等式可以变为：x₁+x₂ ≥ 2√(x₁·x₂) ——（2）我们可以将不等式（2）两边平方，得到：x₁²+x₂²+2x₁x₂ ≥ 4x₁x₂接着，我们可以重写上式为：(x₁-x₂)² ≥ 0这是显然成立的，所以当n=2时，算术几何平均间不等式成立。

接下来，我们假设当n=k时，不等式成立。

即对于k个正数的情况下，算术几何平均间不等式成立。

我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立。

对于k+1个正数的情况，我们可以将这些数分成两组：前k个数和最后一个数。

我们假设前k个数的算术平均为A，几何平均为G₁；最后一个数的值为xₙ₊₁。

根据归纳法的假设，我们知道不等式对于前k个数成立：x₁+x₂+x₃+...+xₙ ≥ k√(x₁·x₂·x₃·...·xₙ) ——（3）现在，我们考虑最后一个数与前k个数的几何平均的关系。

即：G₂ = (x₁·x₂·x₃·...·xₙ·xₙ₊₁)^(1/(k+1))我们可以将G₂重写为：G₂ = (G₁^k ·xₙ₊₁)^(1/(k+1))根据虚根定理，不等式√G₁^k·xₙ₊₁ ≥ (G₁+xₙ₊₁)/2 成立。

三个正数的算术几何平均不等式

当且仅当a=b=c时，等号成立.
所以 (
1 1 1 2 )(a b c) 27. 2 2 2 a b c
用平均不等式解应用题
【典型例题】
1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内的一点，则P到这个
三角形三边距离乘积的最大值是_______. 2.制造容积为立方米的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属板
【拓展提升】
1.用不等式解决实际问题的方法与技巧应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解.
2.利用平均不等式解决应用题的一般步骤 (1)理解题意，设变量，设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最值. (4)验证相等条件，得出结论.
【证明】1.因为a,b,c∈R+,
所以(a+b)+(b+c)+(a+c)
3 3 (a b)(b c)(a c)，
所以 a b c 3 3 (a b)(b c)(a c).
又 1 1 1 33 1 1 1 ,
ac ab bc ac 1 1 1 9 所以 (a b c)( ) . ab bc ac 2 ab bc
2.由y=sin θcos2θ得，y2=sin2θcos4θ
1 2sin 2 cos 2 cos 2 2 1 2sin 2 cos 2 cos 2 3 4 ( ) , 2 3 27
2 3 . 9
当且仅当2sin2θ=cos2θ，即 sin 3 时取等号，此时

高中数学人教A版选修4-5第一讲一 3.三个正数的算术—几何平均不等式课件

当且仅当x－a＝x－1 a2即x＝a＋1时，取等号．
∴2x＋x－1 a2的最小值为3＋2a. 由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
答案：2
8．设a，b，c∈R＋，求证：
(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92. 证明：∵a，b，c∈R＋， ∴2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥
6．若a>2，b>3，则a＋b＋a－21b－3的最小值为________．
解析：a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0. 则a＋b＋a－21b－3＝(a－2)＋(b－3)＋a－21b－3＋5
3 ≥3
a－2×b－3×a－21b－3＋5＝8.
当且仅当a－2＝b－3＝
解析：设圆柱半径h＝πr2·6－2 4r＝πr2(3－2r)≤πr＋r＋33－2r3＝π. 当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．
答案：B
5．设0<x<1，则x(1－x)2的最大值为 ________.
解析：∵0<x<1，∴1－x>0. 故3 2x1－x1－x ≤2x＋1－x3＋1－x＝23. ∴x(1－x)2≤247当且仅当x＝13时取等号. 答案：247
解：∵6＝x＋3y＋4z＝
x 2
＋
x 2
＋y＋y＋y＋
4z≥66 x2y3z， ∴x2x3z≤1当x2＝y＝4z时，取“＝”. ∴x＝2，y＝1，z＝14时，x2y3z取得最大值1.
10．有一块边长为36 cm的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？解：剪下的三个全等的四边形如图所示，设A1F1＝ x，则AF1＝ 3x， ∴A1B1＝F1F2＝36－2 3x. ∴V＝ 43(36－2 3x)2·x ＝32 3(6 3－x)(6 3－x)·2x.

均值不等式公式四个及证明

均值不等式公式四个及证明1.算术均值-几何均值不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1*a2*...*an)证明：当n=2时，不等式成立。

因为(a1+a2)/2≥√(a1*a2)，即a1+a2≥2√(a1*a2)。

假设当 n=k 时，不等式成立，即(a1+a2+...+ak)/k ≥√(a1*a2*...*ak)。

现在考虑 n=k+1 的情况，即要证明(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) ≥ √(a1*a2*...*ak*ak+1)。

根据已知条件，我们有：(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) = [(a1+a2+...+ak)/k]*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1)由归纳假设，(a1+a2+...+ak)/k ≥ √(a1*a2*...*ak)。

因此，上式可以表示为：(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) ≥ (√(a1*a2*...*ak))*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1)根据加权平均不等式，我们有：(√(a1*a2*...*ak))*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1) ≥√(a1*a2*...*ak*ak+1)因此，不等式成立。

2. 广义均值不等式（Cauchy不等式）：对于非负实数 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p) * (b1^q+b2^q+...+bn^q)^(1/q) ≥ a1*b1+a2*b2+...+an*bn其中，p和q是正实数，满足1/p+1/q=1证明：当n=2时，不等式成立。

因为(a1^p+a2^p)^(1/p)*(b1^q+b2^q)^(1/q)≥a1*b1+a2*b2假设当 n=k 时，不等式成立，即 (a1^p+a2^p+...+ak^p)^(1/p) * (b1^q+b2^q+...+bk^q)^(1/q) ≥ a1*b1+a2*b2+...+ak*bk。

算术——几何平均值不等式的几则数学归纳法证明

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均值不等式证明数学归纳法均值不等式证明

均值不等式证明数学归纳法|均值不等式证明一、已知x,y为正实数，且x+y=1 求证xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√xy得xy≤1/4而xy+1/xy≥2当且仅当xy=1/xy时取等也就是xy=1时画出xy+1/xy图像得01时，单调增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥1/4+1/1/4=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：证xy+1/xy≥17/4即证4xy-17xy+4≥0即证4xy-1xy-4≥0即证xy≥4，xy≤1/4而x,y∈R+，x+y=1显然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√xy∴xy≤1/4，得证法三：∵同理0xy+1/xy-17/4=4xy-4-17xy/4xy=1-4xy4-xy/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!二、已知a>b>c，求证：1/a-b+1/b-c+1/c-a>0a-c=a-b+b-c≥2√a-b*b-c于是c-a≤-2√a-b*b-c<0即：1/c-a≥-1/【2√a-b*b-c那么1/a-b+1/b-c+1/c-a≥1/a-b+1/b-c-1/【2√a-b*b-c≥2/【√a-b*b-c】-1/【2√a-b*b-c】=3/2/【2√a-b*b-c】>0三、1、调和平均数：Hn=n/1/a1+1/a2+...+1/an2、几何平均数：Gn=a1a2...an^1/n3、算术平均数：An=a1+a2+...+an/n4、平方平均数：Qn=√ a1^2+a2^2+...+an^2/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

概念：1、调和平均数：Hn=n/1/a1+1/a2+...+1/an2、几何平均数：Gn=a1a2...an^1/n3、算术平均数：An=a1+a2+...+an/n4、平方平均数：Qn=√ [a1^2+a2^2+...+an^2/n]这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qna1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时劝=”号均值不等式的一般形式：设函数Dr=[a1^r+a2^r+...an^r/n]^1/r当r不等于0时;a1a2...an^1/n当r=0时即D0=a1a2...an^1/n则有：当r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D-1≤D0≤D1≤D2由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/1/a+1/b≤√ab≤a+b/2≤√[a^2+b^2/2]方法很多，数学归纳法第一或反向归纳、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

关于平均数的不等式证明(老黄学高数第70讲)

1、证明：(1)当an>0时，(n=1,2,…)，An≥Gn. 证：当n=1时， An=a1=Gn；
当n=2时， An=
当a1=a2时， An=Gn.
1、证明：(1)当an>0时，(n=1,2,…)，An≥Gn. 证：当n=1或n=2时，已证！运用数学归纳法，设当n=k时，命题成立，即
≥a1·a2·…·ak；当n=k+1时，记S=a1+a2+…+ak，则
Hn=Gn=An=Qn.
老黄学高数
第70讲数列前n项
平均数的不等式证明
常见的平均数： 1、算术平均数：An= 2、调和平均数：Hn=
3、几何平均数：Gn= 4、平方平均数：Qn=
若an>0，(n=1,2,…)， 1、求证： Hn≤Gn≤An≤Qn； 2、试问在什么条件下，Hn=Gn=An=Qn.
设a≥0，b≥0(或a+b≥0)，则(a+b)n≥an+nan-1b. 由牛顿二项展开式易证！
命题得证！
≥a1·a2·…·ak+1.
1、证明：(2)当an>0时，(n=1,2,…)，Gn≥Hn. 证：(2)由(1)的结论有：
∴Hn= 命题得证！
=Gn ；
1、证明：(3)当an>0时，(n=1,2,…)，Qn≥An. 证：由
得：An= 命题得证！
=Qn.
2、在什么条件下，Hn=Gn=An=Qn. 解：当n=1或a1=a2=…=an时，

均值不等式的推导过程有哪些

均值不等式的推导过程有哪些均值不等式是数学中的⼀个重要公式。

也是⼗分常⻅的⼀个考点。

下⾯是由店铺编辑为⼤家整理的“均值不等式的推导过程有哪些”，仅供参考，欢迎⼤家阅读本⽂。

公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过⼏何平均数，⼏何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平⽅平均数。

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、⼏何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平⽅平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满⾜Hn≤Gn≤An≤Qn 的式⼦即为均值不等式。

推导过程关于均值不等式的证明⽅法有很多，数学归纳法(第⼀数学归纳法或反向归纳法)、拉格朗⽇乘数法、琴⽣不等式法、排序不等式法、柯⻄不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这⾥简要介绍数学归纳法的证明⽅法： (注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明⽅法。

) ⽤数学归纳法证明，需要⼀个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则，且仅当B=0时取等号。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明(⽤数学归纳法)(或⽤⼆项展开公式更为简便)。

原题等价于：当且仅当时取等号。

当n=2时易证; 假设当n=k时命题成⽴，即 , 当且仅当时取等号。

那么当n=k+1时，不妨设是中最⼤者，则设根据引理当且仅当且时，即时取等号。

利⽤琴⽣不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯⻄归纳法等等⽅法。

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平均值不等式是数学分析中解决许多极限问题以及其他应用问题的一个重要依据，特别是算术平均值－几何平均值不等式（以下简称算几不等式）的应用更是尤为广泛，许多极限问题的证明都要应用到这一不等式，而关于这一不等式的证明方法，常见的有利用数学归纳法及詹生不等式的证明，下面介绍几种另外的证明方法。

１利用二项式定理
证明：首先，对于ａ，ｂ＞０由二项式定理，得
（ａ＋ｂ）ｎ＞ａｎ＋ｎａｎ－１ｂ
由数学归纳法，若ｎ－１时为真，对于ｎ，假设ａｎ≥ａｎ－１≥…≥ａ２≥ａ１≥０．又设ａ＝１ｎ－１
ｎ－１
ｉ＝１"ｘｉ，ｂ＝１ｎ（ｘｎ－ａ），故有ａ，ｂ≥０及１
ｎｎ－１ｉ＝１"ｘｉ#$ｎ
＝
（ａ＋ｂ）ｎ＞ａｎ＋ｎａｎ－１ｂ＝ｘｎ１ｎ－１ｎ－１ｉ＝１"ｘｉ%&ｎ－１≥ｘｎ（ｘ１ｘ２…ｘｎ－１）即ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ’（ｘｉ≥０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．
２利用不等式ｅｘ≥１＋ｘ（ｘ≥－１）
证明：设Ａｎ＝ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ
，Ｇｎ＝ｘ１ｘ２…ｘｎｎ’（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）由不等式ｅｘ≥１＋ｘ（ｘ≥－１）可知，
对于每一ｉ，有ｅｘｐｘｉＡｎ－%&
１≥ｘｉＡｎ求乘积，得
１＝ｎｉ＝１(ｅｘｐ
ｘｉＡｎ－%$１＝ｅｘｐｎｉ＝１"ｘｉＡｎ－%$１%$≥ｎｉ＝１(ｘｉＡｎ
＝Ｇｎ
Ａｎ%$ｎ算术－几何平均值不等式的证明
故Ａｎ≥Ｇｎ，即ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ
≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ"（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．３利用泰勒公式
证明：设ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（０＜ａ＜１，ｘ＞０），则ｆ″（ｘ）＝１ｘ２１ｎａ＞０，将ｆ（ｘ）在点ｘ０处展开，有ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）＋ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）＋ｆ″（ｘ）２
（ｘ－ｘ０）２，!＝ｘ０＋"（ｘ－ｘ０）（０＜"＜１）
因此有ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ０）＋ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０），
取ｘ０＝１ｎｎ
ｉ＝１
#ｘｉ（ｘｉ
∈（ａ，ｂ），（ｉ＝１，２，…，ｎ），则有ｆ（ｘｉ）≥ｆ１
ｎ
ｎｉ＝１%ｘｉ&’＋ｆ′１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(ｘｉ－ｎｉ＝１%ｘｉ&(（ｉ＝１，２，…，ｎ）故
ｎ
ｉ＝１%ｆ（ｘｉ）≥ｎｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(＋ｆ′１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(＋ｎｉ＝１%ｘｉ－ｎｉ＝１%ｘｉ&(＝ｎｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(即ｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(≤１ｎｎｉ＝１
%ｆ（ｘｉ）
．因此有ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）≤１ｎ
（ｌｏｇａｘ１＋ｌｏｇａｘ２＋…ｌｏｇａｘｎ）即１ｎｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）≥ｌｏｇａ１ｎ
（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）亦即ｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）１
ｎ≥１ｎ
ｌｏｇａ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）（０＜ａ＜１）故有ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ
≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ"（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．４利用函数凹凸性
证明：设ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（ａ＞１，ｘ＞０），则ｆ″（ｘ）＝－１ｘ２１ｎａ＜０，故ｆ（ｘ）是上凸函数，因此有ｎｉ＝１%ａ
ｉｆ（ｘｉ）≤ｆｎｉ＝１%ａｉｘｉ
&(，取ａｋ＝１ｎ
（ｋ＝１，２，…，ｎ），有１ｎ（ｌｏｇａｘ１＋ｌｏｇａｘ２＋…ｌｏｇａｘｎ）≤ｌｏｇａ１ｎ
（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）即１ｎｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）≤ｌｏｇａ１ｎ
（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）亦即ｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）１
ｎ≤ｌｏｇａ１ｎ
（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）故有ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ"（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．。