数学归纳法及应用举例2

练习：
2、用数学归纳法证明：1+2+22+…+2n-1=2n-1 (n∈N*) 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立，就是 1+2+22+…+2k-1 =2k-1 那么， 1+2+22+…+2k-1 +2k=2k-1 + 2k =2×2k-1 =2k+1-1 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。 因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N* 都成立。
2.1 数学归纳法及其应用举例
新授课 1．在等差数列 {a n } 中，已知首项为 a1，公差为 d ， a1 a1 0 d , a2 a1 1 d , a3 a1 2 d , a4 a1 3 d , a n ? 归纳
a n a1 ( n 1)d
2 2 a 2．数列通项公式为：n ( n 5n 5) 验证可知：a1 1, a２ 1, a３ 1, a４ 1,
?
如 a5 25 1
对任何n N , an ( n 2 5n 5)2 1
2.1 数学归纳法及其应用举例
新授课 定 义 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题 我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第 一个值n0(例如n0=1) 时命题成立，然后假设当n=k(k∈N,k≥n0) 时命题成立证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数 学归纳法. 数学归纳法的两个步骤： (Ⅰ)证明当n＝n0(n＝1)(如n＝1或2等)时，结论正确； (Ⅱ)假设n＝k(k∈N*且k≥n0)时结论正确，并应用此假设证明n ＝k＋1时结论也正确． 注意:运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可
2.1 数学归纳法及其应用举例
新授课
如果{a n } 是等差数列，已知首项为 a1，公差为 d ，那么 a n a1 ( n 1)d 对一切n N 都成立．
左边 a1 , 右边 a1 0 d a1 , 证明：（1）当n=1时， 等式是成立的． （2）假设当n=k时等式成立，就是a k a1 ( k 1)d , 那么 a k 1 a k d
练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题
2.1 数 学 归 纳 法 及 其 应 用 举 例
1 1 1 n 1 2 2 3 n (n 1) n 1 的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?
1 1 , (1).当n=1时,左边= 1 2 2
1 1 右边= 1 1 2
k 2 [( 2( k 1) 1] k 2 2k 1 ( k 1)2
这就是说，当n=k+1时，等式也成立．
n N 都成立． 由（1）和（2），可知的等式对任何
练习： 用数学归纳法证明：1、1+2+3+…+n=n(n+1)/2 (n∈N)； 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立，就是 1+2+3+…+k =k(k+1)/2 那么， 1+2+3+…+k+(k+1)= k(k+1)/2+ (k+1) =(k+1)[(k+1)+1]/2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。 因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N都成立。
(2).假设n=k时命题成立 即
1 1 1 k 1 2 2 3 k (k 1) k 1
那么n=k+1时, 1 1 1 1 1 左边 (1 2 ) ( 2 3 ) ( k 1 k 2 )
1 k 1 =右边, k 2 ( k 1) 1
2
2 2
推理变形为1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)
2.1 数学归纳法及其应用举例
例题讲解
2 例1 用数学归纳法证明 1 3 5 ( 2n 1) n .
证明： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．
（2）假设当 n k 时，等式成立，就是 1 3 5 ( 2k 1) k 2 . 那么 1 3 5 ( 2k 1) [2( k 1) 1]
即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.
2004，11，20
哥 德 巴 赫 猜 想
返 回

德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象： 任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,他猜 想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.1742 年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学 家欧拉,欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明 任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉 对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结 论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出： “任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不 能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。” 这就是著名的哥德巴赫猜想.
[a1 (k 1)d ] d a1 [(k 1) 1]d
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
n N 都成立． 由（1）和（2），可知的等式对任何
2.1 数学归纳法及其应用举例
递推依据 数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是： 新授课 递推基础
（1）证明当 n 取第一个值 n0 （如 n0 1或2等）时结论正确； “找准起点，奠基要稳” （2）假设时 n k ( k N且k n0 ) 结论正确，证明 n k 1 时结论也正确． “用上假设，递推才真” 小时候学数数的经历：先会数1，2，3；再数到10；再数到20 以内的数再数到30以内的数……，终于有一天我们可以骄傲地说： 我什么数都会数了，为什么呢?因为会数1，2，3……有了数数的 基础,会在前一个数的基础上加班1得到后一个数，进行传递，所 以，可以说什么数都会数了．
2.1 数学归纳法及其应用举例
①归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法； 课 ②数学归纳法的科学性：基础正确；可传递； 堂 ③数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论； 小 ④数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的 结 缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种 科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、 由有限到无穷． 数学归纳法的基本思想： 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限” 的手段来解决“无限”的问题 数学归纳法的核心: 在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二 步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数 学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限 到无限的飞跃。
数学归纳法 及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
课题引入 数学小常 识
①观察：6＝3＋3，8＝5＋3，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝3 ＋ 11，16＝5＋11，·78＝67＋11，·我们能得出什么结论？ · · · · 任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和． 不完全归 纳法 ②教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及 完全 格” ． 归纳 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常 法 叫做归纳法． 这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法 叫归纳法．归纳法是否能保证结论正确?(1)是不完全归纳法， 有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确．(2)是完全 归纳法，结论可靠，但一一核对困难．
2
2
2.1 数学归纳法及其应用举例
例题讲解
2 例1 用数学归纳法证明 1 3 5 ( 2n 1) n .
【分析】(2) 第一步应做什么?本题的n0应取多少?
n0=1, 1 1
2
（3）在证传递性时，假设什么？求证什么? 假设1+3+5+…..+（2k-1）=k 2 求证1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1) （4）怎样将假设1+3+5+…..+（2k-1）=k
2.1 数学归纳法及其应用举例
例题讲解
2 例1 用数学归纳法证明 1 3 5 ( 2n 1) n . 2 【分析】①1+3+5…+(2n—1)=n
当n分别取值1、2、3….k、k+1时的命题是什么？ 2 n=1 命题：1=1 n=2 命题：1+3=2
2Baidu Nhomakorabea
n=3 命题：1+3+5=3 …… 2 n=k 命题：1+3+5+…..+（2k-1）=k n=k十1 命题：1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)