绝对值知识点及练习

绝对值知识点及练习

1定义：(1)几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做 a的绝对值，记

作I a I ,读作“绝对值a”。

(2)代数定义：一个正数的绝对值是它本

身；一个负数的绝对值是它的相反数；O 的绝对值是0.实数a的绝对值是：Ial

①a为正数时，|a|=a(不变)

②a为0时，|a|=0|

③a为负数时，|a|= -a(为a的绝对值)

任何数的绝对值都大于或等于0 ,因为距离没有负的。

2、实数的绝对值具有以下性质：

(1) |a|大于等于0(实数的绝对值是非负实数);

(2) ∣-a∣=∣a∣(互为相反数的两实数绝对值相等);

(3) -|a|小于等于a小于等于|a|;

(4) ∣a∣>b可以推出a<-b或a>b , a<-b或a>b可以推出∣a∣>b;

(5) |a ∙∣=∣a∣ |b|;

(6) ∣a∣∕∣b∣=∣a∕b∣(b ≠ 0);

(7) ∣a+b∣小于等于∣a∣+∣b∣ ,当且仅当a、b同号时，等式成立

(8) ∣a-b∣大于等于∣∣a∣-∣b∣∣ ,当且仅当a、b同号时，等式成立

(9) a属于R时，|a|的平方等于|a|的平方。特别提醒：(1)绝对值具有非负性，即|a| ≥ 0;

(2)绝对值相等的两个数，它们相等或互为相反数；

(3) 0是绝对值最小的有理数。］

3、利用绝对值比较大小

(1) 利用绝对值比较两个负数的大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小• 比较的具体步骤：

①先求两个负数的绝对值；

②比较绝对值的大小；

③根据两个负数，绝对值大的反而小”作出判断.

(2) 几个有理数的大小比较

①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较： a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数,

绝对值大的反而小.

②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝

对值或借助于数轴来进一步比较.

4、利用绝对值解决实际问题

绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类：

(1) 判断物体或产品质量的好坏］

可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好. 方法：

①求每个数的绝对值；

②比较所求绝对值的大小；

③根据绝对值越小，越接近标准”作出判断.

(2) 利用绝对值求距离

路程问题中，当出现用 牛”、 「号表示的带方向的路程，求最后的总路程时，实际上就是

求绝对值的和.

方法：

①求每个数的绝对值；

②求所有数的绝对值的和； ③写出答案.-∣

5、去绝对值符- 号的几种常用方法： (1)利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即| χ

I=

.-

X(X :: O)

，有∣x∣

；

X ：：： -c 或 X C(C 0)

：=X= 0(c =0)

∣X ∣>C X

R(C ：: O)

(2) 利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化 ∣X

∣

或∣x ∣>c (c

>0)来解，如|aX b

|>c (c

>0)可为aX b > c

或

aχ∙b <— c ； ∣aχ∙b∣

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，

也可利用结论“ a

≤ ∣x

∣≤ b 二a

≤ X

≤

b 或—b ≤ X ≤— a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

(3) 利用平方法去掉绝对值符号

2 2

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用I x

I =X 可在两边脱去绝对值符号来解，

这

样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷， 解题时还要注意不等式两边 变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数， 需要进行分类讨论，只有

不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式 时更必须

注意这一点。

⑷利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法，是指：若数

X1

, x2

,……,Xn

分别使含有I x

— X1

|, I x

— X 2|,……,I x

—Xn

I 的代数式中相应绝对值为零，称

Xl

, X 2 ,……,Xn 为相应绝对值的零点，零点

Xl

,

x2

,……,Xn

将数轴分为m

+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号， 得到代数式在各段

上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解， 即令每项等于零，得到的值作为

讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式， 最后应求出解集的并集。零点分段法是解

含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法， 它可以把

求解条理化、思路直观化。 (5) 利用数形结合去掉绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合， 利用绝对值的几何意义画出数轴，

将绝对值转化为数