泰勒公式例题

泰勒公式及其应用

等价无穷小在求函数极限中的应用及推广

泰勒公式及其应用

１ 引言

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识

定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有

'''

200000()()

()()()()1!2!

f x f x f x f x x x x x =+-+-+

()000()()(())

!

n n n f x x x o x x n +-+-

（1）

这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.

当0x =0时,（1）式变成)(!

)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n

n x o x n f x f x f f x f +++++= ,

称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.

定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则

''()'

2

0000000()()()()()()()...()()2!!

n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ ,

（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()

()()(1)!

n n n f R x x x n ξ++=

++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.

当0x =0时,（2）式变成''()'

2(0)(0)()(0)(0)...()2!!

n n

n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.

常见函数的展开式：

12)!

1(!!21+++++++=n x

n x

x n e n x x x e θ .

)()!

12()1(!5!3sin 221

253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 246

22cos 1(1)()2!4!6!(2)!

n

n

n x x x x x o x n =-+-+

+-+.

)(1

)1(32)1ln(11

32++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(111

2n n x o x x x x

+++++=- +-+

+=+2

!

2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得

00)(μ=x f .

3 泰勒公式的应用 3.1 利用泰勒公式求极限

为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.

例3.1 求极限2

2

4

0cos lim x x x e x -→-.

分析：此为0

型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22

x e

-

分

别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.

解 由244

cos 1()2!4!

x x x o x =-++,2

22242

()21()22

x x x e o x --=-++得

244442

2111

cos (

)()()4!22!12

x x e

x o x x O x -

-=-+=-+⋅, 于是

2

4

42

4

4001()

cos 1

12lim

lim 12

x x x x O x x e x x -→→-

+-==-. 例3.2极限1sin 2lim sin cos x

x x

x x x x x

e →0---- .

分析：此为00

型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx, x

e

分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.

解： 由1sin 2x

x x x e

---=233

33

1()())2626

x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+

=

34

3

3

3

()()6

12

6

o o x x

x

x x ++=

+,

3

2

3

3

sin cos ()(1())62

x x x o x o x x x x -x =-+--+

3

3

()3

o x

x =

+

于是

1sin 2lim sin cos x

x x x x x x x e →0----3

333()162

()3

o o x x x x +==+

例3.3利用泰勒展开式再求极限 。

解：

，