第3课-噪声分析

6）噪声混叠
两个噪声叠加在一起，每个单个噪声源的均方值已知， 则组合信号的均方值：
噪声源不相关：均方值是通过正交矢量叠加而成。
2 2 2 Vno V V ( rms ) n1( rms ) n 2( rms )
噪声源相关：均方值是由线性叠加而成
2 2 Vno [ V V ] ( rms ) n1( rms ) n 2( rms )
Ry ( ) E[ y(t ) y(t )]
Ry ( )

h(t1)h(t2 ) Rx ( t2 t1)dt1dt2

傅立叶变换，y(t)的功率谱密度函数为
S y ( )

即：


R y ( )e j d
h(t1 )h(t2 ) Rx ( t2 t1 )dt1dt2
• 互相关函数的几个重要特点：
互相关函数不再是偶函数； 互相关函数的上界由下式确定：
Rxy ( ) Rx (0) Ry (0)
对于平稳随机噪声，互相关函数仅与时间差τ有关，与时 间起点无关； 当τ趋于无穷时，互相关函数反映两随机噪声均值的乘积。
Rxy () x y
1）有效噪声水平
多数噪声的算术平均值是零，不能用算术平均值衡 量， 需要用均方根值衡量。 例如一电压测量系统：
VN (V )
~
i 2 1/2 N
( V / M )
i 1 i2 N
M
1/2
M值应比较大，有效噪声水平才有意义。
2）响应度、有效噪声功率
任何传感器必须有能量的输入，才能完成信息的转换， 响应度＝输出信号/输入信号的功率； 输出信号：电压、电流；
Rxy ( ) Rx ( ) * h( )
2）通过非线性系统： 2.1 平方律检波器
y (t )
y(t ) x2 (t ) dy 2x dx
x(t )
O
y(t)的概率密度函数为： px ( x1 ) px ( x2 ) p y ( y) dy dy | |x y | |x dx 1 dx 2 px ( y ) px ( y ) 2 y 2 y
xy ( )
Rxy ( ) Rx (0) Ry (0)
1 xy ( ) 1
用于噪声源识别、噪声相关抵消、建模补偿
4）信噪比与信噪改善比：
SNR=S/N＝10log[Ps/Pn]; SNIR=SNRO/SNRI
5）随机噪声的功率谱密度函数Sx(ω)——PSD
设x(t)的功率为Px，在ω与ω＋Δω之间的功率为ΔPx， 则： Px

exp(
x2
2 2 x
)dx
x2 为x(t)的方差
py ( y) 0.5 ( y 1) 0.5 ( y 1)
y(t)的自相关函数与x(t)的自相关函数之间的关系：
Ry ( ) E[ y(t ) y(t )] 1 P[ x(t ) x(t ) 0] 1 P[ x(t ) x(t ) 0]
第一项为y(t)直流分量相关函数，第二项为交流分量的相关函 数. 对Ry(τ)进行傅立叶变换，可得平方律检波器的Sy(ω)为
4 2 S y () F{Ry ( )} F{ x } F{2Rx ( )}
F{●}表示傅立叶变换。
S y ( )
4 x ( ) 2 S x (v) S x ( 4 x ( ) 2S x ( ) * S x ( )
• 方差 x
2
：
随机噪声瞬时取值与均值之差的平方的数学期望。
E[ x(t ) x ] [ x(t ) x ]2 p( x)dx
2 x 2

各态遍历的平稳随机噪声，统计平均用时间平均表示：
x
2
1 lim T 2T

T
T
[ x(t ) x ]2 dt
• 自相关函数的几个重要特点：

对实信号，自相关函数是τ的偶函数； 当τ＝0时，有最大值； Rx(0)反映随机噪声的功率； 如果x(t)包含周期性分量，则Rx(τ)包含同样周期的周期性 分量； 互不相关的两个随机噪声之和的自相关函数等于两个随机噪 声自相关函数之和； 对于平稳随机噪声，相关函数仅与时间差τ有关，与时间起 点无关； 当τ趋于无穷时，自相关函数反映随机噪声直流分量的功率。
S x ( ) lim
0

根据维纳－辛钦定理，对于有限能量的平稳随机过程， 自相关函数与功率谱密度之间满足傅立叶变化，其复数表 示法为： i
S x ( ) Rx ( )e

d
1 Rx ( ) 2



S x ( )ei d
功率谱密度具有下列特点：
RV Vo / Pi
若输入信号为零，相当于输入功率为零，但仍会有噪 声输出，假设此有效噪声，相当于一定功率的输入信号产 生的，则此功率成为有效噪声功率（NEP)。
NEP VN / RV P /(VS / VN )
1/NEP成为探测度，表示为探测器可测量的最低信号功率
3 噪声特征分析与表征
能用解析函数描述，只能用概率和统计的方法描述。常用的特
征值： PDF、数学期望、方差、均方值、信噪比、相关函数 （时域分析）、噪声谱密度（频域分析）等； 有多种方法对噪声进行分类： 白噪声与色噪声；
按噪声产生机理分：电子噪声、机械噪声、热噪声、声噪等；
噪声 VS 干扰 频谱 VS 功率谱
2 噪声的度量
• 均方值 x 2 ：随机噪声瞬时取值的平方的数学期望
x E[ x (t )] x2 (t ) p( x)dx
2 2

用时间平均表示：
1 x lim T 2T
2

T
T
x(t ) 2 dt
均值、方差、均方值之间的关系：
2 2 x2 x x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3）随机噪声的相关性分析
2 2 R ( ) E [ y ( t ) y ( t )] E [ x ( t ) x (t )] y(t)的自相关函数为： y
Ry ( ) E[ x 2 (t )]E[ x2 (t )] 2{E[ x(t ) x(t )]}2
2 2 4 2 Ry ( ) Rx (0) 2Rx ( ) x 2Rx ( )
y(t)的均值：
E[ y (t )]

yp y ( y )dy
1 1 y[ ( y 1) ( y 1)]dy 2 2 1 1 1 1 [ 1] [1] 0 2 2 2 2
2.3 全波检波器
y (t ) x(t )
dy dx dy dx 1
对于确定性输入信号x(t)
y (t ) x(t ) * h(t )
其傅立叶变换：


x( )h(t )d
Y ( j ) X ( j ) H ( j )
对于随机噪声，通过线性系统后输出也为随机噪 声，其幅度的不确定性使傅立叶谱得不到，只等用统 计特性来表述其之间的关系。y(t)的自相关函数为：
布也不一定是高斯分布。 频谱 VS 功率谱 平稳 各态遍历
2）随机噪声的均值、方差、和均方值
均值x ： 对于连续的随机信号x(t)
x E[ x(t )] x(t ) p( x)dx


电路中的噪声普遍具有各态遍历性质，统计平均用时 间平均表示： 1 T x lim x(t )dt T T 2T 对于电压或电流性的随机信号，均值就是直流分量

v)dv
2.2 过零检测器
1
y(t)
1, 若x(t ) 0 y (t ) 1, 若x(t ) 0
x(t) -1
经过过零检测器后，随机噪声的幅度信息丢失， 只用二值函数表示其符号.
x2
对于平稳的零均值高斯输入噪声，Fx(x)表示为：
Fx ( x)
x
1
2 2 x
1）
随机噪声的概率密度函数（PDF）：
P(a x b) p( x)dx
a b
定义：表示的是噪声电压x(t)在t时刻取值为x的概率



p( x)dx 1
高斯分布：正态分布，如果噪声是由许多相互独立的噪声源产 生的综合结果，根据中心极限定理，符合高斯分布。 注意：符合高斯分布的噪声不一定是白噪声，白噪声的幅度分
• 自相关函数：是其时域特性的平均度量，反映同一随机噪 声在不同时刻取值的相关程度。
Rx (t1, t2 ) E[ x(t1 ) x(t2 )]
各态遍历的平稳随机噪声，统计特征量与时间起点无关：
Rx ( ) E[ x(t ) x(t )] 1 lim T 2T

T
T
[ x(t ) x(t )]d
• 互相关函数与互协方差函数：
反映两个不同的随机噪声在不同时刻取值的相关程度。
Rxy (t1, t2 ) E[ x(t1 ) y(t2 )]
各态遍历的平稳随机噪声，统计特征量与时间起点无关：
Rxy ( ) E[ x(t ) y (t )] 1 lim T 2T

T
T
[ x(t ) y (t )]d
微弱信号检测
北航光电工程系
2018年5月19日
第三堂课 噪声分析
1. 2. 3. 4. 5. 6. 噪声分类 噪声的度量 噪声特征分析与表征 噪声通过电路系统的特征 噪声产生机理 噪声的抑制方法
1 噪声分类
与信号相比，是无用的，希望被抑制的信号； 噪声大多是随机变量随时间变化的过程，瞬时值不确定，不
4 噪声通过电路系统的特征
1）通过线性系统：
x(t ) h(t ) H ( j ) y (t )
动态特性用冲激响应函数h(t)或频率相应函数 H(jw)表述，一对傅立叶变换。
H ( j ) h(t )e jt dt

h(t )
1 2


H ( j)e jt d
Rx(τ)是τ的实偶函数， Sx(ω)为ω的实偶函数； 功率谱密度函数曲线下覆盖的面积表述噪声的功率。
互谱密度函数：
两个平稳随机噪声的互相关函数的傅立叶变换。
S xy ( ) Rxy ( )e i d


1 Rxy ( ) 2



S xy ( )ei d
Ry ( ) Rx ( ) * h( ) * h( )

S y ( ) H ( j) H * ( j)S x ( ) | H ( j ) |2 S x ( )
其傅立叶反变换：
x(t)和y(t)的互谱密度函数Sxy(ω)与Rxy(τ） 与Sx(ω)与Rx(τ）之间的关系： S xy () S x () H ( j)
y
对于平稳的零均值高斯输入噪声，Px(x)表示为：
p x ( x) 1
2 2 x
exp(
x2
2 2 x
)
x2 为x(t)的方差
px ( y ) y p y ( y) 0, 1
2 y 2 x
exp(
y
2 2 x
),
y0 y0
2 2 E [ y ( t )) E ( x ( t )) R ( 0 ) y(t)的均值为： y x x
x(t)是高斯零均值平稳噪声： P[ x(t ) x(t ) 0] arcsin x ( )
1 2 1 P[ x(t ) x(t ) 0] arcsin x ( ) 2
x ( )
是x(t) 的归一化自相关函数
Rx ( ) Ry ( ) arcsin x ( ) arcsin Rx (0) 2 2
• 互协方差函数：
Cxy (t1 , t2 ) E{[ x(t1 ) x ][ y(t2 ) y ]} Rxy (t1 , t2 ) x y
• 若 Cxy (t1, t2 ) 0 ，则称x(t),y(t)互不相关
• 归一化相关函数：
Rx ( ) x ( ) R0 ( )