人教版初中《面积问题与面积方法》竞赛专题复习含答案

人教版初中数学《面积问题与面积方法》竞赛专题复习

15.1.1★如图，（b ）、（c ）、（d ）、（e ）中直线AP 与直线BC 交于点D ，则：（a ）中有ABD

ACD

S BD CD S =

△△；（b ）、（c ）、（d ）、（e ）中有

ABP

ACP

S BD CD S =

△△. (a)

C

D B

A

D

P A C

B

P D C

B A P

C

D B

A

P

C

D

B

A

(e)

(d)

(c)

(b)

解析 只要作相应的高，并运用比例即可.

15.1.2★若ABC △中有一点P ，延长AP 、BP 、CP ，分别交对边于点D 、E 、F ，则

1PD PE PF

DA EB FC

++=. C

D

B

P

E

F

A

解析 如图，易证

BPC ABC S PD DA S =△△，APC ABC S PE EB S =△△，APB

ABC

S PF FC S =

△△，三式相加即得结论.

15.1.3★求证：若点A 、B 、C 、D 是一直线上依次的任意四个不同点，点P 是直线外一点，

则有

sin sin sin sin APC BPD AC BD

BPC APD BC AD ∠⋅∠⋅=

∠⋅∠⋅. 解析 如图， P

D

C B A

sin sin APC BPC S AC PA PC APC

BC S PB PC BPC

⋅⋅∠==

⋅⋅∠△△ sin sin PA APC

PB BPC

∠=

∠，

sin sin PBD APD S BD BP BPD

AD S AP APD

∠==

∠△△， 两式相乘，即得结论.

评注 这个定理叫交比定理，在这里作为例子是为了强调交比（即上述比值）是一个重要的不变量，交比为2时，四点称为调和点列，此时AB CD BC AD ⋅=⋅，这种情形在几何中十分常见.

15.1.4★★如图，设

BD p CD =，CE q AE =，AF

r BF

=，试用p 、q 、r 表示

PQR ABC S S △△. B

D

R

P

E

Q

F

A

解析 用面积比或梅氏定理得出，

1(1)DQ QA r p =+，于是1AQC ACD ABC

AQ r

S S S AD r pr

==++△△△以及ABR S △与BPC S △的表达式，最后算得

2

(1)(1)(1)(1)

PQR ABC

S pqr S r pr p pq q qr -=++++++△△. 15.1.5★★ 已知E 为ABC △的角平分线AD 上任一点，AB 、AC 延长线上分别有点M 、N ，CM BE ∥，BN CE ∥，求证：BM CN =.

解析 如图，连结ME 、NE .E 至AB 、AC 距离相等，即sin sin BE ABE CE ACE ⋅∠=⋅∠，

由CM BE ∥，BN CE ∥，有BME BEC ECN S S S ==△△△，故1

sin 2BM BE ABE ⋅⋅∠=

1

sin 2

CN CE ACE ⋅⋅∠，于是BM CN =.

N

M

D

C

B

E

A

15.1.6★★在ABCD 的两边AD 和CD 上各取一点F 和E ，使得AE CF =，AE 与CF 交于P ，求证：BP 是APC ∠的平分线.

解析 如图，易知1

2

ABE ABCD

BCF S S

S ==△△，又AE CF =，故B 至AE 的距离与B 至CF 距

离相等，于是BP 平分APC ∠.

C

B E

P

D F

A

15.1.7★★已知ABC △的边BC 、CA 、AB 上分别有点D 、E 、F ，且AD 、BE 、CF 共点，求证： 1

4DEF ABC S S △△≤. 解析 如图，设

1BF k AF =，2AE k EC

=，3CD

k BD =，则由塞瓦定理知1231k k k =. C

D B E

F

A

又知原式等价于证明

34AFE BFD EDC ABC S S S S ++△△△△≥，而212(1)(1)

AFE ABC S k AF AE

S AB AC k k =⋅=

++△△，同理，1

13(1)(1)BFD ABC S k S k k =

++△△，323(1)(1)

EDC ABC S k S k k =++△△，于是问题变为证明 1231223311233

(1)(1)(1)4k k k k k k k k k k k k ++++++++≥，去分母、考虑1231k k k =并移项整理得上式等价于

123123

111

6k k k k k k +

++++≥.这显然成立，取等号仅当1231k k k ===，此时D 、E 、F 为各边中点.

15.1.8★在凸四边形ABCD 中，17AB =，7BC =，22DA =，90ABC ∠=︒，135BCD ∠=︒，