线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化

解: A的特征值为: 1=5, 2=3= 1
1 1=5: 基础解系: P1 1 1
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1 1 2=3= 1 : 基础解系: P2 1 , P3 0 0 1 ∵A有三个线性无关的特征向量 A可对角化. 5 1 1 1 1 令 P 1 1 , 则有P AP= 1 0 1 1 1 0
推论 设n阶方阵A有n个不同的特征值,则A 必与对角矩阵相似.
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定理:n阶矩阵A与对角阵相似的充要条 件是A的每个特征值对应的特征向量线 性无关的最大个数等于该特征值的重数.
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(2)A未必能与相似. 如果A的特征方程有重根,此时A不一 定有n个线性无关的特征向量,从而矩阵A 不一定能对角化,但如果能找到n个线性无 关的特征向量,还是能对角化.
解: |IA|=
1
2 2
2 2 1 2 2 1
=(5)(+1)2 A的特征值为: 1=5, 2=3= 1
1=5: 解方程组 (5IA)X=0
4 2 2 1 0 1 5IA= 2 4 2 →0 1 1 0 0 0 2 2 4 1 基础解系: P1 1 1
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n
换言之: 若有可逆矩阵P,使得P1AP=,则 1,2,,n是A的特征值.
（5）相似矩阵有相同的秩
231页性质
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5.2 矩阵可对角化的条件 问题: 对n阶方阵A,如何求相似矩阵P,使得 1 2 ? 1 P AP=
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(4) 相似矩阵有相同的行列式. 1AP|=|B| 1 | P ∵P AP=B |P1||A||P|=|B| |A||P1||P|=|B| |A||P1P|=|B| |A|=|B| 推论
1 若n阶方阵A与对角阵
2
相似,则1,2,,n是A的特征值.
二、特征值和特征向量的计算方法 AX=X(IA)X=0
(1)为A的特征值为特征方程|IA|=0 的根 (2)在复数范围内,n阶方阵有n个特征值. (3)若=i为A的一个特征值,则由方程组 (iIA)X=0的非零解X=Pi就是A的对应于i 的特征向量. (4)若Pi为A的对应于i的特征向量,则kPi (k0)也是对应于i的特征向量.
n
分析: 若P,|P|0,使得 P1AP= 记P=(P1,P2,,Pn)
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(AP1,AP2,,APn)=(1P1,2P2,,nPn) APi=i Pi (i=1,2,,n)
1 2 A(P1,P2,,Pn) ( P1 , P2 , , Pn ) n
2
1 基础解系: P1 1 1 A不能对角化.
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解方程组 (IA)X=0
(3)
|IA|=
1
2 2
2 2 2 4 =(2)2(+7) 4 2
A的特征值为: 1=2=2, 3= 7
2 2 基础解系: P 1 1 ,P 2 0 0 1 解方程组 (7IA)X=0
例1 求对角方阵=
解: 的特征多项式: 1 |I|=
1
2
的特征值. n
2

n =(1)(1)(n) 的特征值为: 1,2,,n
1 2 2 例2 求矩阵 A 2 1 2 的特征值和特征 向量. 2 2 1
三、特征值和特征向量的性质 定理 设矩阵A,如果,是A的对应于两个不 同特征值的特征向量,则与线性无关. [证]设,分别是特征值1,2 (12)所对应 的特征向量,则有A=1 , A=2 假设有数k1,k2,使得 k1+k2=0 (1) 同时左乘A,得: k1(A)+k2(A)=0 k11+k22=0 (2) (2)2(1)k1(12)=0 ∴k1=0 同理可得k2=0 ∵12 ,0 ∴与线性无关
AP=P P1AP=
i为A的特征值,而Pi就是A的对应于i的 特征向量. P可逆A有n个线性无关的特征向量.
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注: (1)A有n个线性无关的特征向量P1,P2,,Pn, 则P=(P1,P2,,Pn)可逆. 从而有
定理 n阶方阵与对角矩阵相似A有n个 线性无关的特征向量.
注: (1)对应于不同特征值的特征向量是线性无 关的． (2)对应于同一特征值的特征向量的非零线 性组合仍是对应于这个特征值的特征向量.
(3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯 一;一个特征向量不能对应于不同的特征 值．
四、相似矩阵的概念和性质 定义 设A、B都是n阶方阵,如果存在可逆 矩阵P,使得P1AP=B,则称B是A的相似矩阵, 或者说A与B相似,记为A~B.可逆矩阵P称 为把A变成B的相似变换矩阵. 相似满足: (1)反身性: A~A (2)对称性: 若A~B,则B~A (3)传递性: 若A~B, B~C,则A~C
a11 a12 a a 21 22 I A an 2 an1
a1n a2 n ann
称为A的特征矩阵. 设n阶方阵A=(aij)的特征值为1,2,,n,则有 (1)1+2++n=a11+a22++ann (2)12n=|A| 226页定理5.2
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证：(2)∵AX=X A(AX)=A(X) =(AX) =(X) A2X=2X 再继续施行上述步骤m2次,就得 AmX=mX m是矩阵Am的特征值,且X是Am的对应于 m的特征向量.
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(4)当A可逆时, 0 ∵AX=X A1(AX)=A1(X) =A1X X=A1X 1X=A1X 1是矩阵A1的特征值,且X是A1的对应 于1的特征向量.
对应于1=5的全部特征向量为: k1P1 (k10)
2=3= 1 : 解方程组 (IA)X=0
2 2 2 1 IA= 2 2 2 → 0 0 2 2 2 1 基础解系: P2 1 , P3 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1
推广 设1,2,,r是矩阵A的对应于不同特 征值1,2,,r的特征向量,则1,2,,r线性 无关. 定理 如果1,2,,r是矩阵A的不同特征值, 而i1,i2,, 是 的对应于特征值i ikA i (i=1,2,,r)的线性无关的特征向量,则向量组 11,12,, 1k1,21,22,, 2 k 2,,r1,r2,, rkr 也线性无关.
解: (1)
2 3 |IA|= 2 1 3 =(+1)(9) 3 3 6 A的特征值为: 1=0, 2= 1, 3=9
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1
∵A有三个不同的特征值 A可对角化.
(2)
1 2 |IA|= 5 3 3 =(1)3 1 0 2 A的特征值为: 1=2=3=1
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定理 若A与B相似,则 (1)A与B有相同的特征多项式; (2)A与B有相同的特征方程; (3)A与B有相同的特征值.
证: 若A与B相似 即存在可逆矩阵P,使得 P1AP=B B的特征多项式: |IB|= |IP1AP| =|P1(I)PP1AP| =|P1(IA)P| =|P1||IA||P| =|IA||P1||P| =|IA||P1P| =|IA|
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解方程组 (2IA)X=0
1 2 基础解系:P3 1 1 ∵A有三个线性无关的特征向量
A可对角化.
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1 2 2 例2 设 A 2 1 2 ,判断A是否可以对角 2 2 1 化,若可以对角化,求出可逆阵P,使得P1AP 为对角阵,并求A100.
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5 5 1 1 (3) P AP 1 A P 1 P 1 1 100 5 100 1 A P 1 P 1 1 1 1 5100 100 (1) 1 1 0 1 0 1
求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤:
(1)求A的特征方程|IA|=0的所有解1,2, ,n,即为A的全部特征值 (2)对每一个特征值i (i=1,2,,n),求出齐次 线性方程组(iIA)X=0的基础解系,便是A 的对应于i的线性无关的特征向量,而对应 于i的全部特征向量就是此基础解系的所 有非零线性组合.
第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化
5.1矩阵特征值，特征向量，相似矩阵
5.2 矩阵可对角化的条件
5.3 实对称矩阵的对角化
1
5.1 特征值与特征向量 相似矩阵
1.特征值和特征向量的概念 2.特征值和特征向量的计算方法
3.特征值和特征向量的性质 4.相似矩阵的概念和性质
一、特征值和特征向量的概念 定义 设A为n阶方阵,如果存在数及非零 向量X,使得AX=X.则称为A的特征值,非 零向量X称为A的对应于特征值的特征向 量. 注: 特征向量非零. AX=X (IA)X=0 其有非零解的充要条件是: |IA|=0 (1) 方程|IA|=0称为A的特征方程. |IA|=n+k1n1++kn1+kn是的n 次多项式,称为A的特征多项式.
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求可逆矩阵P,使得A与对角矩阵相似 的步骤: (1)由A求出特征值i (i=1,2,,n) (2)求出对应于i的特征向量Pi (i=1,2,,n) (3)作出矩阵P=(P1,P2,,Pn),则AP=P 1 2
n
(4)若P可逆,则P1AP=. 即A与相似.
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例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵?
1 2 3 2 1 2 1 2 2 (1) 2 1 3 ( 2) 5 3 3 ( 3) 2 2 4 4 2 3 3 6 1 0 2 2
对应于2=3= 1的全部特征向量为: k2P2+k3P3 (k2,k3不全为0)
定理：若是矩阵A的特征值,X是A的对应于 的特征向量,则 (1)k是kA的特征值； (2)m是Am的特征值(m是正整数); (3) 是AT的特征值； (4)当A可逆时,1是A1的特征值,1|A|是A* 的特征值； (5)若f(x)是x的多项式,则f()是f(A)的特征值 特征向量保持不变