对应用层次分析法确定权重系数的探讨_廖红强
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表 1 判断矩阵标度及其定义
标度 （uij 取值 ） 1 3 5 7 9 2， 4， 6， 8 倒数 1/v （v 为 1～9 ） 定义 （重要性等级 ） 相似元 ui 和 uj 相比较， 同等重要 相似元 ui 和 uj 相比较， ui 比 uj 稍微重要 ui 比 uj 明显重要 相似元 ui 和 uj 相比较， 相似元 ui 和 uj 相比较， ui 比 uj 强烈重要 相似元 ui 和 uj 相比较， ui 比 uj 极端重要 介于相邻判断的两个标度之间时， 取中值 相似元 ui 和 uj 相比较后判断 uij，则相似元 uj 与相似元 ui 比较得判断 uji=uij-1
（1 ） 计算判断矩阵 P 每一行元素的乘积 Mi Mi=仪uij i=1， 2， …， N
j=1
（2 ） 计算 Mi 的 N 次方根 Wi Wi= 姨Mi ， i=1， 2， …， N （3 ） 将向量 W＝ ［W1， W2， …， Wn］ 归一化
图1
调整 判断 矩阵 否
建立递阶层次 构造判断矩阵 计算权重系数 一致性检验 满足一致性 是 结束
权重系数在相似度量 、 效能评估 、 方案评价 等方 面常用于衡量被度量或评估要素、指标的权重或贡献大 小。 其确定方法很多， 可以分为主观定权法、 客观定权法， 以及主客观结合的定权法。主观定权法在实际使用中有 以九标度法 一定的优点和适用范围， 而基于层次分析法、 构建专家判断矩阵，计算要素或指标权重是目前较为常 用的一种主观定权法。 现有文献资料对层次分析法中判断矩阵各元素的取 值有两种定义： （1 ） 所有元素根据下标代表的两要素或指 标直接比较取值［2，3］； （2 ） 直接比较得出第一行元素值后， 通 过给定的一致性条件间接计算出其他元素值 。 前者所得判
N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N
由上述步骤得到的特征向量 β＝ （β1， β2， …， βn ） 即为各 可通过用下列 相似元的权重系数。该权重系数的合理性， 指标检验矩阵 P 的一致性来判断。引入一致性指标 CI： CI= （λmax-N ） /N－1 其中 λmax 为矩阵 P 的最大特征值， 表 2 判断矩阵 N 为 P 的阶数。λmax 的计算可参考方根 法， 或通过 MATLAB 软件直接算出。 对于多阶判断矩阵， 即相似元很多 的情况下， 还需引入判断矩阵的平均随 机一致性指标，记为 RI，对于 n =1， 2， …， 9 阶判断矩阵的 RI 值如表 2 所示 。 则随机一致性比率 CR=CI/RI 当 CR <0.10 时， 便认为判断矩阵具 有满意一致性， 否则需要调整判断矩阵， 使其满足 CR<0.10，达到具有满意的一 致性为止。 3 判断矩阵满足一致性条件时具有的结论
关键词： 层次分析法； 权重系数； 一致性条件； 权重确定方法 中图分类号： O221.1; V421.1 文献标识码： A
LIAO Hong-qiang, QIU Yong, YANG Xia,
文章编号： 1002－2333 （2012 ） 06－0022－04
WANG Xing-gang, GE Ren-wei
N
判断矩阵是层次分析法重要的信息载体，是层次分 析法的信息基础。判断矩阵中的元素根据标度方法确定、 应满足标度定义。如果判断矩阵不满足一致性条件， 则必 须进行一致性检验。判断矩阵满足一致性条件的情况， 分 析推导如下。 3.1 分析推导一 当判断矩阵满足一致性条件： uij=uik×ukj 时， 对于任意 i， j， k， 假设经专家判断后得知： 相似元 ui、 uj、 uk 的相对重 要性为 ui>uj>uk， 则当选取 1～9 标度法时应有： uik>ujk>1 所以有 uik/ujk>1。 而 ukj=1/ujk， 所以判断矩阵中任意 uij= uik×ukj=uik/ujk>1， 即相对重要性为 ui>uj， 所得结果与专家判 断结果一致。 上述推理过程说明， 当判断矩阵满足一致性条件时， 矩阵中任意元素 uij 的取值所表示的相对重要性与初始的 两两比较结果均一致。 又由文献 ［6］ 可知， 当判断矩阵满足一致性条件时该 矩阵称为正定互反矩阵，此时其最大特征根等于判断矩 阵维数 N， 即 λmax=N。 则由前述一致性检验方法可知， 其一
） 每一列归一化后的判断矩阵按行相加 （2 軈i=Σuij （i， β j =1， 2， …， N ）
j=1 T 軈i＝ 軈1， 軈2， 軈n β β ） 对向量β （β …， ） 进行归一化处理 （3 n
軈i βi=β
軈 Σβ
i=1
i
（i， j =1， 2， …， N ）
根据上述数值标度及定义，通过对评估因素集 U 中 元素进行两两比较， 构造判断矩阵 P 如下。
［4］
层次分析法 （Analytic hierarchy process ，简称 AHP 法） 是美国运筹学专家 T.L.Saaty 教授于 1970 年代提出 的一种定性与定量相结合的多目标决策分析方法，它能
基金项目： 中国工程物理研究院 “双百人才工程 ” 人选自选课 题 （ZX04005 ）
!!!!!!!!!!!!!!!!
1 2 3 4 5 6 7 8 9
u11 u12 … u21 u22 … … … u i1 u i2 … … …
u1j … u2j … … uij … … uNj …
u1N u2N uiN … uNN …
P＝
uN1 uN2 …
N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N
法的权重系数确定方法的主要内容以及方根法、 和法两种判断矩阵处理方法的使用步骤 。对判断矩阵满足一致性条件 的情况进行分析与推导后得出结论： 不用进行一致性检验且最终所得权重系数为判断矩阵任意一列元素归一化所得结 结合层次分析法思想， 探讨了一种简单实用的权重系数确定方法， 并进行了实例应用。 果。根据所得结论，
的 RI 值
阶数 n RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
在矩阵 P 中，显然有： uij>0， uij=0， uij=1/uji，其中 i， j= 1， 2， …， N。另外， 对判断矩阵 P， 若对任意 i、 j、 k 均有 uij= uik×ukj， 则称该矩阵为一致性矩阵。 应用层次分析法确定权重系数的问题，可归结为判 断矩阵的特征向量和最大特征值计算问题 ［3］。一般来说， 计算判断矩阵的最大特征值及对应的特征向量并不需要 追求较高的精度， 因为判断矩阵本身有相当的误差范围， 且应用层次分析法给出的层次中各因素优先排序权值从 本质上来说只是表达某种定性概念［3］。因此一般可用迭代 法在计算机上求得近似的最大特征值及其对应的特征向 量。主要方法有方根法、 和法、 特征根法、 最小二乘法、 幂 法等 ［2，3］。下面介绍其中两种常用方法的计算步骤。 2.2.1 方根法 ［3］
A Study of Weight Coefficient Computing Method Based on AHP
（Institute of System Engineering, CAEP, Mianyang 621900, China）
Abstract： There are many methods to compute index weight, AHP is one useful and convenient method of them. The paper introduces the main content of weight coefficient computing method based on AHP, and the step of root and sum of two judgement matrix disposal method. After the reasoning of the instance when the judgement matrix meet coherence condition, two conclusions are gained: it doesn ’t need do coherence verification; the finally weight coefficient is the judgement matrix ’s any column ’s unitary result. According to the conclusion and the AHP ’s principle, the paper discusses a convenient weight coefficient computing method and gives an example of applying. Key words ： analytic hierarchy process ；weight coefficient ；coherence condition ；weight computing method
学术交流
ACADEMIC COMMUNICATION
理论 ／ 研发 ／ 设计 ／ 制造
对应用层次分析法确定权重系数的探讨
廖红强， 邱勇， 杨侠， 王星刚， 葛任伟 ） （中国工程物理研究院 总体工程研究所， 四川 绵阳 621900
摘
确定评价指标权重有很多方法， 层次分析法是其中一种简单直观、 方便实用的方法。文中介绍了基于层次分析 要：
［1］
层次分析法的使用 流程与步骤
首先按问题要求建立一个能描述系统功能或系统特征的 内部独立有序的递阶层次结构，给出相应比例标度及定 义；然后通过比较递阶层次结构各层中两两元素的相对 重要性， 构造上层某要素对下层相关元素的判断矩阵； 通 过处理判断矩阵，以获得相关元素对上层某要素的相对 重要程度序列， 最后进行一致性检验。 层次分析法的使用 流程与步骤如图 1 所示。 2.2 AHP 法确定权重系数的使用方法 ［2-5］ 确定权重系数是度量系统或方案间相似度中的重要 内容， 下面就以度量机械系统相似度为例， 论述 AHP 法 确定权重系数的使用方法。 从客观上说，相似机械系统中每一个由相似特征属 性构成的相似元对系统的相似度量影响是不等同的 ［5］。 把相似元作为评估因素， 建立评估因素集 ［5］ U＝ ｛u1， u2， …， ui， …， uN ｝
22
机械工程师
2012 年第 6 期
学术交流
理论 ／ 研发 ／ 设计 ／ 制造
ACADEMIC COMMUNICATION
式中， u i∈ U， （i =1， 2， …， N ） 。 设定 uij 表示 ui 对 uj 的 2， …， N， uij 的取值选择常用的 相对重要性数值， 其中 j=1， 1～9 标度方法， 如表 1 所示。
断矩阵若满足后者所用的一致性条件， 则称该判断矩阵为 一致性矩阵； 后者所得判断矩阵必定为一致性矩阵。本文 在简要介绍层次分析法的基本思想、 使用步骤和权重系数 确定方法、 判断矩阵处理方法的基础上， 对应用层次分析 法确定权重系数进行分析探讨， 对判断矩阵满足一致性条 件的情况进行详细分析与推导， 得出有用结论。 2 2.1 基于层次分析法的权重系数确定方法 层次分析法简介
［5］
的情况下使用。另外， 由于在对复杂事物的各因素进行两 两比较时做到完全一致的度量很困难，通常存在一定误 差， 因此为提高权重评价的可靠性， 需要对判断矩阵作一 致性检验。检验方法详见和法。 2.2.2 和法 ［5］
n
（1 ） 将判断矩阵每一列归一化 uij=uij
n
Σu
k =1
kj
（i， j =1， 2， …， N ）
1
引
言ห้องสมุดไป่ตู้
［1］ ［2］ ［3］
把定性因素定量化，从而使 评价趋于定量化。它体现了 人们决策的基本思维特征， 即分解 -判断 -综合 ［4］。该方 法的核心是将决策者与专家 的经验判断给予量化，从而 为决策者提供定量形式的决 策依据。该方法在目标结构 复杂且缺乏必要数据的情况 下较为实用。 其基本思想是：
标度 （uij 取值 ） 1 3 5 7 9 2， 4， 6， 8 倒数 1/v （v 为 1～9 ） 定义 （重要性等级 ） 相似元 ui 和 uj 相比较， 同等重要 相似元 ui 和 uj 相比较， ui 比 uj 稍微重要 ui 比 uj 明显重要 相似元 ui 和 uj 相比较， 相似元 ui 和 uj 相比较， ui 比 uj 强烈重要 相似元 ui 和 uj 相比较， ui 比 uj 极端重要 介于相邻判断的两个标度之间时， 取中值 相似元 ui 和 uj 相比较后判断 uij，则相似元 uj 与相似元 ui 比较得判断 uji=uij-1
（1 ） 计算判断矩阵 P 每一行元素的乘积 Mi Mi=仪uij i=1， 2， …， N
j=1
（2 ） 计算 Mi 的 N 次方根 Wi Wi= 姨Mi ， i=1， 2， …， N （3 ） 将向量 W＝ ［W1， W2， …， Wn］ 归一化
图1
调整 判断 矩阵 否
建立递阶层次 构造判断矩阵 计算权重系数 一致性检验 满足一致性 是 结束
权重系数在相似度量 、 效能评估 、 方案评价 等方 面常用于衡量被度量或评估要素、指标的权重或贡献大 小。 其确定方法很多， 可以分为主观定权法、 客观定权法， 以及主客观结合的定权法。主观定权法在实际使用中有 以九标度法 一定的优点和适用范围， 而基于层次分析法、 构建专家判断矩阵，计算要素或指标权重是目前较为常 用的一种主观定权法。 现有文献资料对层次分析法中判断矩阵各元素的取 值有两种定义： （1 ） 所有元素根据下标代表的两要素或指 标直接比较取值［2，3］； （2 ） 直接比较得出第一行元素值后， 通 过给定的一致性条件间接计算出其他元素值 。 前者所得判
N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N
由上述步骤得到的特征向量 β＝ （β1， β2， …， βn ） 即为各 可通过用下列 相似元的权重系数。该权重系数的合理性， 指标检验矩阵 P 的一致性来判断。引入一致性指标 CI： CI= （λmax-N ） /N－1 其中 λmax 为矩阵 P 的最大特征值， 表 2 判断矩阵 N 为 P 的阶数。λmax 的计算可参考方根 法， 或通过 MATLAB 软件直接算出。 对于多阶判断矩阵， 即相似元很多 的情况下， 还需引入判断矩阵的平均随 机一致性指标，记为 RI，对于 n =1， 2， …， 9 阶判断矩阵的 RI 值如表 2 所示 。 则随机一致性比率 CR=CI/RI 当 CR <0.10 时， 便认为判断矩阵具 有满意一致性， 否则需要调整判断矩阵， 使其满足 CR<0.10，达到具有满意的一 致性为止。 3 判断矩阵满足一致性条件时具有的结论
关键词： 层次分析法； 权重系数； 一致性条件； 权重确定方法 中图分类号： O221.1; V421.1 文献标识码： A
LIAO Hong-qiang, QIU Yong, YANG Xia,
文章编号： 1002－2333 （2012 ） 06－0022－04
WANG Xing-gang, GE Ren-wei
N
判断矩阵是层次分析法重要的信息载体，是层次分 析法的信息基础。判断矩阵中的元素根据标度方法确定、 应满足标度定义。如果判断矩阵不满足一致性条件， 则必 须进行一致性检验。判断矩阵满足一致性条件的情况， 分 析推导如下。 3.1 分析推导一 当判断矩阵满足一致性条件： uij=uik×ukj 时， 对于任意 i， j， k， 假设经专家判断后得知： 相似元 ui、 uj、 uk 的相对重 要性为 ui>uj>uk， 则当选取 1～9 标度法时应有： uik>ujk>1 所以有 uik/ujk>1。 而 ukj=1/ujk， 所以判断矩阵中任意 uij= uik×ukj=uik/ujk>1， 即相对重要性为 ui>uj， 所得结果与专家判 断结果一致。 上述推理过程说明， 当判断矩阵满足一致性条件时， 矩阵中任意元素 uij 的取值所表示的相对重要性与初始的 两两比较结果均一致。 又由文献 ［6］ 可知， 当判断矩阵满足一致性条件时该 矩阵称为正定互反矩阵，此时其最大特征根等于判断矩 阵维数 N， 即 λmax=N。 则由前述一致性检验方法可知， 其一
） 每一列归一化后的判断矩阵按行相加 （2 軈i=Σuij （i， β j =1， 2， …， N ）
j=1 T 軈i＝ 軈1， 軈2， 軈n β β ） 对向量β （β …， ） 进行归一化处理 （3 n
軈i βi=β
軈 Σβ
i=1
i
（i， j =1， 2， …， N ）
根据上述数值标度及定义，通过对评估因素集 U 中 元素进行两两比较， 构造判断矩阵 P 如下。
［4］
层次分析法 （Analytic hierarchy process ，简称 AHP 法） 是美国运筹学专家 T.L.Saaty 教授于 1970 年代提出 的一种定性与定量相结合的多目标决策分析方法，它能
基金项目： 中国工程物理研究院 “双百人才工程 ” 人选自选课 题 （ZX04005 ）
!!!!!!!!!!!!!!!!
1 2 3 4 5 6 7 8 9
u11 u12 … u21 u22 … … … u i1 u i2 … … …
u1j … u2j … … uij … … uNj …
u1N u2N uiN … uNN …
P＝
uN1 uN2 …
N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N
法的权重系数确定方法的主要内容以及方根法、 和法两种判断矩阵处理方法的使用步骤 。对判断矩阵满足一致性条件 的情况进行分析与推导后得出结论： 不用进行一致性检验且最终所得权重系数为判断矩阵任意一列元素归一化所得结 结合层次分析法思想， 探讨了一种简单实用的权重系数确定方法， 并进行了实例应用。 果。根据所得结论，
的 RI 值
阶数 n RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
在矩阵 P 中，显然有： uij>0， uij=0， uij=1/uji，其中 i， j= 1， 2， …， N。另外， 对判断矩阵 P， 若对任意 i、 j、 k 均有 uij= uik×ukj， 则称该矩阵为一致性矩阵。 应用层次分析法确定权重系数的问题，可归结为判 断矩阵的特征向量和最大特征值计算问题 ［3］。一般来说， 计算判断矩阵的最大特征值及对应的特征向量并不需要 追求较高的精度， 因为判断矩阵本身有相当的误差范围， 且应用层次分析法给出的层次中各因素优先排序权值从 本质上来说只是表达某种定性概念［3］。因此一般可用迭代 法在计算机上求得近似的最大特征值及其对应的特征向 量。主要方法有方根法、 和法、 特征根法、 最小二乘法、 幂 法等 ［2，3］。下面介绍其中两种常用方法的计算步骤。 2.2.1 方根法 ［3］
A Study of Weight Coefficient Computing Method Based on AHP
（Institute of System Engineering, CAEP, Mianyang 621900, China）
Abstract： There are many methods to compute index weight, AHP is one useful and convenient method of them. The paper introduces the main content of weight coefficient computing method based on AHP, and the step of root and sum of two judgement matrix disposal method. After the reasoning of the instance when the judgement matrix meet coherence condition, two conclusions are gained: it doesn ’t need do coherence verification; the finally weight coefficient is the judgement matrix ’s any column ’s unitary result. According to the conclusion and the AHP ’s principle, the paper discusses a convenient weight coefficient computing method and gives an example of applying. Key words ： analytic hierarchy process ；weight coefficient ；coherence condition ；weight computing method
学术交流
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理论 ／ 研发 ／ 设计 ／ 制造
对应用层次分析法确定权重系数的探讨
廖红强， 邱勇， 杨侠， 王星刚， 葛任伟 ） （中国工程物理研究院 总体工程研究所， 四川 绵阳 621900
摘
确定评价指标权重有很多方法， 层次分析法是其中一种简单直观、 方便实用的方法。文中介绍了基于层次分析 要：
［1］
层次分析法的使用 流程与步骤
首先按问题要求建立一个能描述系统功能或系统特征的 内部独立有序的递阶层次结构，给出相应比例标度及定 义；然后通过比较递阶层次结构各层中两两元素的相对 重要性， 构造上层某要素对下层相关元素的判断矩阵； 通 过处理判断矩阵，以获得相关元素对上层某要素的相对 重要程度序列， 最后进行一致性检验。 层次分析法的使用 流程与步骤如图 1 所示。 2.2 AHP 法确定权重系数的使用方法 ［2-5］ 确定权重系数是度量系统或方案间相似度中的重要 内容， 下面就以度量机械系统相似度为例， 论述 AHP 法 确定权重系数的使用方法。 从客观上说，相似机械系统中每一个由相似特征属 性构成的相似元对系统的相似度量影响是不等同的 ［5］。 把相似元作为评估因素， 建立评估因素集 ［5］ U＝ ｛u1， u2， …， ui， …， uN ｝
22
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2012 年第 6 期
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式中， u i∈ U， （i =1， 2， …， N ） 。 设定 uij 表示 ui 对 uj 的 2， …， N， uij 的取值选择常用的 相对重要性数值， 其中 j=1， 1～9 标度方法， 如表 1 所示。
断矩阵若满足后者所用的一致性条件， 则称该判断矩阵为 一致性矩阵； 后者所得判断矩阵必定为一致性矩阵。本文 在简要介绍层次分析法的基本思想、 使用步骤和权重系数 确定方法、 判断矩阵处理方法的基础上， 对应用层次分析 法确定权重系数进行分析探讨， 对判断矩阵满足一致性条 件的情况进行详细分析与推导， 得出有用结论。 2 2.1 基于层次分析法的权重系数确定方法 层次分析法简介
［5］
的情况下使用。另外， 由于在对复杂事物的各因素进行两 两比较时做到完全一致的度量很困难，通常存在一定误 差， 因此为提高权重评价的可靠性， 需要对判断矩阵作一 致性检验。检验方法详见和法。 2.2.2 和法 ［5］
n
（1 ） 将判断矩阵每一列归一化 uij=uij
n
Σu
k =1
kj
（i， j =1， 2， …， N ）
1
引
言ห้องสมุดไป่ตู้
［1］ ［2］ ［3］
把定性因素定量化，从而使 评价趋于定量化。它体现了 人们决策的基本思维特征， 即分解 -判断 -综合 ［4］。该方 法的核心是将决策者与专家 的经验判断给予量化，从而 为决策者提供定量形式的决 策依据。该方法在目标结构 复杂且缺乏必要数据的情况 下较为实用。 其基本思想是：