第四章常微分方程参考答案(1)

爱
启
航
在
线
考
研
第四章常微分方程
4.1答案：应选（C ）
解析：原方程写成2
3e 0+'+=y
x
yy ，分离变量有2
3e d =e d y x y y x --，积分得
2
32e 3e --=x y C ，其中C 为任意常数.
4.2答案：应填sin e
=C x
y ，其中C 为任意常数.
解析：原方程分离变量，有
d cos d ln sin =y x
x y y x
，积分得1ln |ln |ln |sin |ln =+y x C ，
通解为ln sin =y C x 或sin e
=C x y ，其中C 为任意常数.
4.3答案：应填(
)
21
12
e
-=x y x 解析：原方程化为
d 1d ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
y x x y x .积分得通解211ln ||ln ||2y C x x =-，即
122
e
x y Cx -=.由初值(1)1=y 解出1
2
e C =得特解.故答案为：()
21
12
e
-=x y x .
4.4答案：应选（B ）
解析：原方程求导得()2()'=f x f x ，即
()
2()
'=f x f x ，积分得2()e =x f x C ，又(0)ln 2=f ，故ln 2=C ，从而2()e ln 2=x f x .故应选（B ）.
4.5解：曲线()=y f x 在点(,)x y 处的切线方程为()'-=-Y y y X x ，令0=X ，得到切线在y 轴截距为'=-xy y xy ，即(1)'=-xy y x .
此为一阶可分离变量的方程，于是
d 11d ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
y x y x ，两边积分有1ln ||ln =-y C x x ，得
爱
启
航
线
考
研
到e =
x Cx y .又(
)1
1e y -=，故1=C ，于是曲线方程为e =x
x y .4.6解：22d d 11+y y y x x x x =
∆=+，得2d d 1=+y y x x ，变量分离2
d 1
d 1=+y x y x
.两边积分得1ln arctan y x C =+.可得arctan e
x
y C =又()0y =π，则C =π.所以
arctan πe
x
y =，
()π
arctan1
4
1πe
πe y ==.
4.7解：令
=y
u x
，即=y ux ，则y u x u ''=+，又由题给表达式可得2y u u '=，即有u x u '+2u u =-d 1
d 22=-x x
u u ，两边积分得1ln 1ln ln u x C -=+，即
ln(1ln ln 1=-+⇒-
=⇒-=y C
u x C x xy C x x
.4.8答案：应填2
(ln ||)
=+x y y C 解析：将x 看成未知函数，原方程改写为2d 1
d 222+==+
x x y x y xy y x
这是一个伯努利方程，令2
=z x ，有d 1d -=z z y y ，得11
d d 2
e e
d (ln ||)-⎛⎫⎰⎰==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎰y y y y x z y C y y C .故答案为：2
(ln ||)=+x y y C ，其中C 为任意常数.4.9答案：应填()cos +x C x
解析：属于一阶非齐次线性方程，直接根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式即
可得出答案.故答案为：()cos +x C x ，其中C 为任意常数.
4.10答案：应填1
爱
启
航
在
线
考
研
解析：()
2d 2d 22e 4e d e
4e
d x x x
x
y x x C x x C
--⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭
⎰
⎰222e (21)e (21)e x x x
x C x C --⎡⎤=-+=-+⎣⎦
.当0=x 时，1=-y ，则0=C .可得21=-y x ，则()11=y .故答案为1.4.11答案：应填1
解析：由1
1()()'+=y P x y Q x 及22()()'+=y P x y Q x 得()()1212()()()αββαβ'+++=+y y P x ay y Q x .又因12αβ+y y 满足原方程，故应有
()()()β+=a Q x Q x ，即1αβ+=.故答案为1.
4.12解：()sin d sin d e cos e d -⎛⎫⎰
⎰=+ ⎪⎝⎭
⎰x x
x x g
x x x C ()
cos cos e cos e
d -=+⎰x
x
x x C
又()00g =，故()()cos cos cos 0
e cos e
d cos e
d lim
lim
e lim x
x
x
x x x x x C
x x C
g x x
x
x
--→→→++==
⋅=⎰⎰cos 0
e lim cos e 1x x x -→⋅=.
4.13解：
2d 1d 2y x x y =-，则2d 2d x x y y =-，即2
d 2d x x y
y
-=-()()
2d 2d 222222111e e d e e d e 224y
y y y y x y y C y y C y y C --⎛⎫⎰
⎰⎡⎤=-+=-+=+++ ⎪⎣⎦⎝⎭
⎰⎰.4.14解：令=tx u ，则u t x d d =，则代入到题给表达式10
1()d ()d x
f tx t f u u x =⎰
⎰，可
得
20
()d 2()x
f u u xf x x =+⎰
.
两边求导得
()2()2()2f x f x xf x x '=++，则()2()2f x xf x x '+=-.从而
11131
d d 2222
222()e (1)e
d 33x x x x f x x C x x C x Cx -
--⎛⎫⎛⎫⎰⎰=-+-+=-+ ⎪⎝ ⎝⎭=⎪⎭
⎰.
爱
启
航
在
线
考
研
4.15解：将原方程改写成
211cos sin y x x y
y '+=-，并令1z y =，则2
1
z y y ''=-，且原方程化为sin cos z z x x '-=-.
d d
e (sin cos )e d x x z x x x C -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰
e (sin cos )e d x x x x x C -⎡⎤=-+⎣⎦⎰()
e sin e
d cos
e d x
x
x x x x x C --=-+⎰⎰，
其中()
sin e d sin d e sin e e cos d x x x x x x x x x x ----=-=-+⎰
⎰
⎰
，故
(
)
e sin e e sin x x x z x C C x -=-+=-，即
1
e sin x C x y
=-为所求通解.4.16答案：应选（C ）
解析：因原方程阶数为2，通解中应包含两个任意常数（可求出通解为
3126++x C C x ）；特解中不含有任意常数（3*
6=x y 为特解）；36
+x Cx 满足原方程，为原方程的解，故选项（A ），（B ），（C ）都不对，应选（C ）.
4.17解：（1）令y p '=，则d d p y x ''=
，从而2d 1d p
p x
=+，则2
d d 1p x p =+积分得p arctan 1arctan p x C =+，故()1d tan d y
p x C x
=+=
，则两边对x 积分1d tan()d y x C x =+⎰⎰，得()1121sin()
d ln cos cos()x C y x x C C x C +=
=-+++⎰.
（2）()10
xy xy C '''=⇒=，即1
y x
C '=
，故12ln y C x C =+.4.18解：由21e x y =，得2
1
2e x y x '=，(
)2
2124e x y x ''=+；由2
2e x y x =，得2
22(12)e x y x '=+，(
)
2
2364e x y x x ''=+.因
爱
启
航
在
线
考
研
()()
()
22
2
22211144224e 42e 42e 0x x x y xy x y x x x x '''-+-=+-⋅+-=.
()()
()
()
2
2
2
23222
2244264e 412e 42e 0x x x y xy x y x x x x x x '''-+-=+-++-=.故
1y 与2y 都是方程的解.又因
2
1
y x y =不等于常数，故1y 与2y 线性无关.于是方程的通解为()2
112212e x y C y C y C C x =+=+.
4.19答案：应选（A ）
解析：根据高阶线性微分方程根的形式可知，选（A ）.4.20答案：应选（B ）
解析：由题意可知，-1是特征方程二重特征根，1是特征方程的特征根，故特征方
程为()
()2
110
+-=r r ，即3210+--=r r r .故三阶常系数齐次线性方程为
0y y y y ''''''+--=.故选（B ）.
4.21答案：应选（C ）
解析：：特征方程为2220++=r r 即2
(1)
1+=-r ，解得特征根为1,21i r =-±.
而
()e sin x f x x -=，i 1i w ±=-±λ是特征根，故特解的形式为*e (cos sin )x y x a x b x -=+.
4.22答案：应填(
)
*22e x
y x ax bx c dx =+++解析：特征方程为220-=r r ，特征根10r =,22r =.
对
21()1=+f x x ，10λ=是特征根，所以()*21y x ax bx c =++.
对22()e
x
f x =，22λ=也是特征根，故有*
22
e =x y dx .从而***
12=+y y y 就是特解.故答
案为(
)
*22e x y x ax bx c dx =+++.
4.23解：所给微分方程的特征方程为
256(2)(3)0++=++=r r r r ，特征根为
12=-r ,23=-r .
于是，对应齐次微分方程的通解为2312)e e x
x y x C C --=+.
爱
启
航
在
线考研
设所给非齐次方程的特解为*e x
y A -=.将*()y x 代入原方程，可得1A =.
由此得所给
非齐次方程得特解*
e x
y -=.从而，所给微分方程得通解为2312()e e e x
x x y x C C ---=++，其
中1C ,2C 为任意常数.
4.24答案：应选（C ）
解析：将()()000y y '==代入3e x
y py qy '''++=，得
()01''=y .(
)()
()()()
2
20
00ln 122
lim
lim
lim
lim 2x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+===='''.故选C.4.25答案：应填12e
(cos sin )e x
x
C x C x ++解析：所给微分方程的特征方程为22201i -+=⇒=±r r r ，从而齐次通解为
12e (cos sin )x C x C x +，设特解为e x A ，代入方程得e 2e 2e e 1x x x x A A A A -+=⇒=，
即得特解为e x .非齐次通解为12e
(cos sin )e x
x C x C x ++.。