专题31 古典概型-2021年高考数学一轮复习专题讲义附真题及解析
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（1）求频率分布直方图中 a 的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；
（3）从评分在[40, 60) 的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在[40, 50) 的概率.
3． 2020 年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机
因此
. 故选中的 2 人都来自 C 组的概率为 .
1 2．【答案】（Ⅰ）0.006；（Ⅱ） 0.4 ；（Ⅲ）
10
【解析】Ⅰ）因为
，所以
……..4 分)
（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为
1．【答案】B
考法二 古典概型小题
【解析】从五条线段中任取三条共有
种可能，
其中能构成三角形的有
，
，
三种可能，
故所取三条线段能构成一个三角形的概率为 ,故选 B
2．【答案】D
【解析】平均分为 30 10 5 2 6 7 8 15 15 16 20 37 ，而高于 37 的评分有 5 个，不高于 10
解析：
【常见考法】 1．【答案】ABD
考法一 概念辨析
【解析】古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相 等.
显然 A､B､D 符合古典概型的特征，所以 A､B､D 是古典概型；
C 选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选：ABD.
抽取若干居民进行评分.根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图.已知评分在80,100 的居民有 600
人.
满意度评分
40, 60
满意度等级
不满意
60,80
基本满意
80, 90
满意
90,100
非常满意
（1）求频率分布直方图中 a 的值及所调查的总人数；
（2）定义满意指数 满意程度的平均分 ，若 0.8 ，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大 100
所以及格率为 75%
平均分为：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
（3）
分数段的学生人数为：
人，即 C 组只有 3 人；把从 B 组抽取的 2 人记为
、 ； 组的 3 人记为 、 、 ，则从 B、C 两组的 5 人中抽选 2 人去参加竞赛的基本事件有：
的有 5 个，则至少有
1
个高于平均分的概率 P
1
C52 C120
1
2 9
7 9
.
故选：D
3．【答案】C
【解析】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有 7 种可能，故基本事件是 7 7 49 种，“心有灵犀”的情况
包括：① a b 0 ，即 a b ，有 7 种可能；② a b 1，若甲说的是 1 和 7 时，“心有灵犀”的情况各 有 1 种，若甲说的数字是 2，3，4，5，6 时，各有 2 种，共有 7 2 1 5 2 19 种，故他们“心有灵犀”
4
A．
9
5
B．
9
2wk.baidu.comC．
9
7
D．
9
3．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字 记为 b ，其中 a, b {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，若 | a b | 1，就称甲乙“心有灵屏”.现任意找两人玩这个游戏，则
他们“心有灵犀”的概率为（ ）
1．有五条线段长度分别为1, 3, 5, 7, 9 ，从这 5 条线段中任取 3 条，则所取 3 条线段能构成一三角形的概率
1
A．
10
3
B．
10
1
C．
2
7
D．
10
2．2020 年 2 月初，由于 A 地叫外卖人数的猛然增多以及商家工作人员的不足，外卖骑手的配送速度饱受批 评，客户给骑手的评分(满分 50 分)也是参差不齐，现将某骑手一个上午得到的评分统计如图所示，则任取 2 个评分，至少有1个高于平均分的概率为（ ）
（3）把从
分数段选取的最高分的两人组成 B 组，
分数段的学生组成 C 组，现从 B，C 两
组中选两人参加科普知识竞赛，求这两个学生都来自 C 组的概率.
2．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的
评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50),[50, 60),...,[80,90),[90,100]
1
A．
9
12
B．
49
19
C．
49
4
D．
9
考法三古典概型解答题
1．某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段
，
…，
，
，然后画出如下部分频率分布直方图.
观察图形的信息，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60 分及 60 分以上为及格）和平均分；
【思维导图】
考点 31 古典概型
【常见考法】
考法一 概念辨析
1．下列概率模型是古典概型的为( )
A．从 6 名同学中选出 4 人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小
B．同时据两枚质地均匀的骰子,点数和为 6 的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10 人站成一排,其中甲,乙相邻的概率
考法二 古典概型小题
（b1,b2）（b1,c1）, （b1,c2）, （b1,c3）, （b2,c1）, （b2,c2）, （b2,c3）,（ c1,c2）, （ c1,c3）, （ c2,c3）共 10 种.设选中的 2 人都来 C 组的事件为 ,则 包含的基本事件有（ c1,c2）, （ c1,c3）, （ c2,c3） 共 3 种.
19 概率为 ，故选 C .
49
考法三古典概型解答题 1．【解析】（1）设第四组的频率为 x，则根据频率分布直方图可有： (0.01 0.015 2 0.025 0.005) 10 x 1 ，解得：x=0.3.所以第四组频率为 0.3. 频率分布直方图如下：
（2）60 分及 60 分以上为第三、四、五、六组，频率和为 0.15+0.3+0.25+0.05=0.75
调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？
（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在40, 50 、50, 60 ）中用分层抽样的方法
抽取 6 名居民，倾听他们的意见，并从 6 人中抽取 2 人担任防疫工作的监督员，求这 2 人中仅有一人对防疫
工作的评分在40,50 内的概率.
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；
（3）从评分在[40, 60) 的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在[40, 50) 的概率.
3． 2020 年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机
因此
. 故选中的 2 人都来自 C 组的概率为 .
1 2．【答案】（Ⅰ）0.006；（Ⅱ） 0.4 ；（Ⅲ）
10
【解析】Ⅰ）因为
，所以
……..4 分)
（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为
1．【答案】B
考法二 古典概型小题
【解析】从五条线段中任取三条共有
种可能，
其中能构成三角形的有
，
，
三种可能，
故所取三条线段能构成一个三角形的概率为 ,故选 B
2．【答案】D
【解析】平均分为 30 10 5 2 6 7 8 15 15 16 20 37 ，而高于 37 的评分有 5 个，不高于 10
解析：
【常见考法】 1．【答案】ABD
考法一 概念辨析
【解析】古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相 等.
显然 A､B､D 符合古典概型的特征，所以 A､B､D 是古典概型；
C 选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选：ABD.
抽取若干居民进行评分.根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图.已知评分在80,100 的居民有 600
人.
满意度评分
40, 60
满意度等级
不满意
60,80
基本满意
80, 90
满意
90,100
非常满意
（1）求频率分布直方图中 a 的值及所调查的总人数；
（2）定义满意指数 满意程度的平均分 ，若 0.8 ，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大 100
所以及格率为 75%
平均分为：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
（3）
分数段的学生人数为：
人，即 C 组只有 3 人；把从 B 组抽取的 2 人记为
、 ； 组的 3 人记为 、 、 ，则从 B、C 两组的 5 人中抽选 2 人去参加竞赛的基本事件有：
的有 5 个，则至少有
1
个高于平均分的概率 P
1
C52 C120
1
2 9
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.
故选：D
3．【答案】C
【解析】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有 7 种可能，故基本事件是 7 7 49 种，“心有灵犀”的情况
包括：① a b 0 ，即 a b ，有 7 种可能；② a b 1，若甲说的是 1 和 7 时，“心有灵犀”的情况各 有 1 种，若甲说的数字是 2，3，4，5，6 时，各有 2 种，共有 7 2 1 5 2 19 种，故他们“心有灵犀”
4
A．
9
5
B．
9
2wk.baidu.comC．
9
7
D．
9
3．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字 记为 b ，其中 a, b {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，若 | a b | 1，就称甲乙“心有灵屏”.现任意找两人玩这个游戏，则
他们“心有灵犀”的概率为（ ）
1．有五条线段长度分别为1, 3, 5, 7, 9 ，从这 5 条线段中任取 3 条，则所取 3 条线段能构成一三角形的概率
1
A．
10
3
B．
10
1
C．
2
7
D．
10
2．2020 年 2 月初，由于 A 地叫外卖人数的猛然增多以及商家工作人员的不足，外卖骑手的配送速度饱受批 评，客户给骑手的评分(满分 50 分)也是参差不齐，现将某骑手一个上午得到的评分统计如图所示，则任取 2 个评分，至少有1个高于平均分的概率为（ ）
（3）把从
分数段选取的最高分的两人组成 B 组，
分数段的学生组成 C 组，现从 B，C 两
组中选两人参加科普知识竞赛，求这两个学生都来自 C 组的概率.
2．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的
评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50),[50, 60),...,[80,90),[90,100]
1
A．
9
12
B．
49
19
C．
49
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D．
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考法三古典概型解答题
1．某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段
，
…，
，
，然后画出如下部分频率分布直方图.
观察图形的信息，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60 分及 60 分以上为及格）和平均分；
【思维导图】
考点 31 古典概型
【常见考法】
考法一 概念辨析
1．下列概率模型是古典概型的为( )
A．从 6 名同学中选出 4 人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小
B．同时据两枚质地均匀的骰子,点数和为 6 的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10 人站成一排,其中甲,乙相邻的概率
考法二 古典概型小题
（b1,b2）（b1,c1）, （b1,c2）, （b1,c3）, （b2,c1）, （b2,c2）, （b2,c3）,（ c1,c2）, （ c1,c3）, （ c2,c3）共 10 种.设选中的 2 人都来 C 组的事件为 ,则 包含的基本事件有（ c1,c2）, （ c1,c3）, （ c2,c3） 共 3 种.
19 概率为 ，故选 C .
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考法三古典概型解答题 1．【解析】（1）设第四组的频率为 x，则根据频率分布直方图可有： (0.01 0.015 2 0.025 0.005) 10 x 1 ，解得：x=0.3.所以第四组频率为 0.3. 频率分布直方图如下：
（2）60 分及 60 分以上为第三、四、五、六组，频率和为 0.15+0.3+0.25+0.05=0.75
调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？
（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在40, 50 、50, 60 ）中用分层抽样的方法
抽取 6 名居民，倾听他们的意见，并从 6 人中抽取 2 人担任防疫工作的监督员，求这 2 人中仅有一人对防疫
工作的评分在40,50 内的概率.