全等三角形培优竞赛讲义(二)
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全等三角形培优竞赛讲义(二)
【知识点精读】
1. 全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法:若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形,记作“△ABC ≌△A′B′C′其中,“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等;
4. 寻找对应元素的方法
(1)根据对应顶点找
如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
(2)根据已知的对应元素寻找
相等的角是对应角,相等的边是对应边;相等的角所对的边是对应边,相等的边所对的角是对应边;两个对应角所夹的边是对应边;
(3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
①翻折如图(1)∆BOC≌∆EOD,∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的;
②旋转如图(2)∆COD≌∆BOA,∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的;
③平移如图(3)∆DEF≌∆ACB,∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5. 判定三角形全等的方法:
(1)边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理
(2)推论:角角边定理
6. 注意问题:
(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等;
(2)不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即AAA;b :有两边和其中一角对应相等,即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知识。
【分类解析】全等三角形知识的应用
(1)证明线段(或角)相等
例1:如图,已知AD=AE,AB=AC.求证:BF=FC
分析:由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE,而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中,因此先证明ΔACD≌ΔABE,再证明ΔDBF≌ΔECF,既可以得到BF=FC.
证明:在ΔACD和ΔABE中,
AE=AD
∠A=∠A
AB=AC.
∴ΔACD≌ΔABE (SAS)
∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)
又∵AD=AE,AB=AC.
∴AB-AD=AC-AE
即BD=CE
在ΔDBF和ΔECF中
∠B=∠C
∠BFD=∠CFE(对顶角相等)
BD=CE
知BF⊥AC,DE⊥AC,知∠DEC=∠BFA=90°,且已知DE=BF,AF=CE.显然证明ΔABF ≌ΔCDE条件已具备,故可先证两个三角形全等,再证∠C=∠A,进一步证明AB∥CD.
证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC (已知)
∴∠DEC=∠BFA=90°(垂直的定义)
在ΔABF与ΔCDE中,
AF=CE (已知)
∠DEC=∠BFA (已证)
DE=BF (已知)
∴ΔABF≌ΔCDE(SAS)
∴∠C=∠A (全等三角形对应角相等)
∴AB∥CD (内错角相等,两直线平行)
(3)证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3:如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,取AB的中点E,连接CD和CE. 求证:CD=2CE
分析:
(ⅰ)折半法:取CD中点F,连接BF,再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD 中位线这个条件。
证明:取CD中点F,连接BF
∴BF=1
2AC,且BF∥AC (三角形中位线定理)
∴∠ACB=∠2 (两直线平行内错角相等) 又∵AB=AC
∴∠ACB=∠3 (等边对等角)
∴∠3=∠2
在ΔCEB与ΔCFB中,
BF=BE
∠3=∠2
CB=CB
∴ΔCEB≌ΔCFB (SAS)
∴CE=CF=1
2CD (全等三角形对应边相等)
即CD=2CE
(ⅱ)加倍法
证明:延长CE到F,使EF=CE,连BF.
∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)
∴AC=BF, ∠4=∠3 (全等三角形对应边、对应角相等)
∴BF∥AC (内错角相等两直线平行)
∵∠ACB+∠CBF=180o,
∠ABC+∠CBD=180o,
又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC
∴∠CBF=∠CBD (等角的补角相等)
在ΔCFB与ΔCDB中,
CB=CB
∠CBF=∠CBD
BF=BD
∴ΔCFB≌ΔCDB (SAS)
∴CF=CD
即CD=2CE
说明:关于折半法有时不在原线段上截取一半,而利用三角形中位线得到原线段一半的
AD=DC
∠ADO=∠CDB=90o
OD=DB
∴ΔADO≌ΔCDB (SAS)
∴AO=BC, ∠OAD=∠BCD(全等三角形对应边、对应角相等)
∵∠AOD=∠COE (对顶角相等)
∴∠COE+∠OCE=90o
∴AO⊥BC
5、中考点拨:
例1.如图,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使DF=DE,连结FC.
求证:∠F=∠A.
分析:证明两个角相等,常证明这两个角所在的两个三角形全等,在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中,但由已知可证得EF∥AC,因此把∠A通过同位角转到△BDE 中的∠BED,只要证△EBD≌△FCD即可.
证明:∵AB=AC,
∴∠ACB=∠B,
∵EB=ED,
∴∠ACB=∠EDB.
∴ED∥AC.
∴∠BED=∠A.
∵BE=EA.
∴BD=CD.
又DE=DF,∠BDE=∠CDF
∴△BDE≌△CDF,
∴∠BED=∠F.
∴∠F=∠A.
说明:证明角(或线段)相等可以从证明角(或线段)所在的三角形全等入手,在寻求全等条件时,要注意结合图形,挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。
例2 如图,已知△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连接CE、DE.求证:EC=ED