高二数学直线与平面平行的性质2
高二数学 空间平行关系
高二数学空间平行关系知识要点（一）直线与直线平行的判定方法1、利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；2、利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；3、利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；4、利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；5、利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；6、利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。
（二）直线与平面平行的判定方法1、利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；2、利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）。
3、利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面。
（三）平面和平面平行的判定方法1、利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；2、利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；3、利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；4、利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．5、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（四）直线与平面平行的性质1、性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；2、直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。
（五）平面与平面平行的性质1、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
2、平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线均平行于第二个平面。
第03讲 空间直线、平面的平行 (精讲)-1(含答案解析)
第03讲空间直线、平面的平行(精讲）-1第03讲空间直线、平面的平行（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定角度2：直线与平面平行的性质题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定角度2：平面与平面平行的性质题型三：平行关系的综合应用第四部分：高考真题感悟知识点一：直线与平面平行1、直线与平面平行的定义直线l 与平面α没有公共点，则称直线l 与平面α平行.2、直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号表述：a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭3、直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：a αP ，a β⊂，b αβ= ⇒a b知识点二：平面与平面平行1、平面与平面平行的定义两个平面没有公共点2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.符号表述：,////,//a b a b P a b ββαβαα⊂⊂⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⎭3、平面与平面平行的性质定理3.1性质定理两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.符号语言////a a bb αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭3.2性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面符号语言：,a a αβαβ⊂⇒∥∥（2022·全国·高一课时练习）1．判断正误．（1）若平面//α平面β，l ⊂平面β，m ⊂平面α，则lm ．()（2）夹在两平行平面之间的平行线段相等．()（2022·全国·高一课时练习）2．已知长方体ABCD A B C D -'''',平面α 平面ABCD EF =,平面α 平面A B C D E F ''''''=,则EF 与E F ''的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定（2022·全国·高一课时练习）3．在正方体1111F EFG E G H H -中，下列四对平面彼此平行的一对是A ．平面11E FG 与平面1EGH B ．平面1FHG 与平面11F H G C ．平面11F H H 与平面1FHE D ．平面11E HG 与平面1EH G （2022·全国·高一课时练习）4．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是（）A ．一定平行B ．一定相交C ．平行或相交D ．以上判断都不对（2022·全国·高一课时练习）5．直线a ∥平面α，平面α内有n 条直线交于一点，那么这n 条直线中与直线a 平行的直线（）A ．至少有一条B ．至多有一条C ．有且只有一条D ．不存在（2022·全国·高二课时练习）6．若平面//α平面β，直线a α⊂，则a 与β的位置关系是____________．题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定典型例题例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））7．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，2AC =，BC =，4AB =，12AA =，点D 是AB 的中点(1)求证：1//AC 平面1CDB ；(2)求直线1AC 与直线1CB 所成角的余弦值．例题2．（2022·四川凉山·高一期末（文））8．已知直三棱柱ABC A B C '''-中，AA C C ''为正方形，P ，O 分别为AC '，BC 的中点．(1)证明：PO ∥平面ABB A ''；(2)若ABC 是边长为2正三角形，求四面体B AOC '-的体积．题型归类练（2022·四川成都·高一期末（理））9．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面PAB ，点,E F 分别在线段,CB AP 上，且CE EB =，=AF FP ．求证：//EF 平面PCD .（2022·重庆市第七中学校高一期末）10．如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，E 为线段11B C 的中点，F 为正方形11ACC A 对角线的交点．(1)求证：EF ∥面1B AC ；(2)求三棱锥111C B A C -的体积．（2022·河北石家庄·高一期末）11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ==90ACB ∠=︒．12AA =，D 为AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1B CD ；(2)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值．（2022·四川南充·高二期末（文））12．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，PD 的中点，且2PA AD ==．(1)求证：AF ∥平面PEC ；(2)求三棱锥C PEF -的体积．角度2：直线与平面平行的性质典型例题例题1．（2022·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）13．如图，四边形ABCD 为长方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，4=AD ，点E 、F 分别为AD 、PC 的中点．设平面PDC 平面PBE l =．(1)证明：//DF 平面PBE ；(2)证明：//DF l ；(3)求三棱锥P BDE -的体积．例题2．（2022·吉林·双辽市第一中学高三期末（文））14．如图，三棱锥-P ABC 中，AC ，BC ，PC 两两垂直，AC BC =，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，ABC 的面积为8，四棱锥P ABFE -的体积为4.（1）若平面PEF 平面=PAB l ，求证：//EF l ；（2）求三棱锥-P ABC 的表面积.题型归类练（2022·重庆巴蜀中学高二期末）15．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面是直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠= ，AC和BD 相交于点N ，面PAC ⊥面ABCD ，22BC AD ==，1CD =，2PA PC ==．在线段PD 上确定一点M ，使得//PB 面ACM ，求此时PM MD 的值.（2022·安徽池州·高一期末）16．在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，BC ⊥平面VAB ，VA VB ⊥，设平面VAB 与平面VCD 的公共直线为l .写出图中与l 平行的直线，并证明。
§9线面平行(1)
§9 直线与平面平行的位置关系（一）教学目标：1、掌握直线与平面的位置关系2、掌握直线和平面平行的判定定理与性质定理教学重点：直线与平面的位置关系教学难点：直线与平面的平行与判定教学过程：一、情境引入1．通过观察身边的实物发现直线与平面的位置关系二、建构数学1、直线与平面的位置关系及表示2、直线和平面平行的判定定理符号语言：三、数学运用例1.如图，已知E、F分别是三棱锥A－BCD的侧棱AB、AD中点，求证：EF//平面BCD．变式：若M、N分别是△ABC、△ACD的重心，则MN//平面BCD吗? AE FBCD3、直线与平面平行的性质定理：符号语言：例2. 一个长方体木块如图所示，要经过平面A 1C 1内一点P 和棱BC 将木块锯开，应怎样画线?思考：在平面A 1B 1C 1D 1内所画的线与平面ABCD 有何位置关系?例 3.求证： 如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行．思考：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中的两条直线相交， 那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系?四、反馈练习：34-35P五、课堂小结PABCDA 1D 1 C 1B 1·§9直线和平面平行的位置关系作业班级 学号 姓名 得分1、已知,//a b αα⊂，则a b 与的位置关系是2、//,//a b b α，则a α与的位置关系是3、下列说法正确的是 （填上所有正确的序号） ⑴直线l 平行于α内的无数条直线，则//l α ⑵直线a 在平面α外，则//a α ⑶若直线a ∥,b b α⊂，则//a α⑷直线上有两点到平面距离相等，则直线平行于该平面⑸若直线a 和平面α平行，则平面α中必定存在直线与直线a 平行 4、下列命题正确的有 个。
（1）如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行； （2）过直线外一点有无数个平面与这条直线平行； （3）过平面外一点有无数条直线与这个平面平行．5、已知直线a ，b 与平面α，下列命题正确的有 （填上所有正确的序号） （1）、若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b （2）、若a ∥α，b ∥α，则a ∥b （3）、若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α （4）、若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α或a ⊂α6、如图，在长方体1AC 的侧面和底面所在的平面中：（1）与直线AB 平行的平面是 （2）与直线1AA 平行的平面是（3）与直线AD 平行的平面是 7、如图：一块矩形木板ABCD 的一边AB 在平面α内，把这块矩形木板绕AB 转动，在转动过程中，AB 的对边CD 是否都和平面α平行？为什么？8．如图，AB //α，AC //BD ，αα∈∈D C ，，求证：AC =BD ．A B CDA 1 D 1C 1B 19．如图，αγβγαβα//,,,AB AB EF CD =⋂=⋂=⋂，求证：EF CD //．10．如图， E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 求证：（1）E 、F 、G 、H 四点共面；（2）BD //平面EFGH ，AC //平面EFGH ．11．如图，在四棱锥P －ABCD 中，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若ABCD 是平行四边形，求证：MN //平面P AD ．PNCBAM DA B C E F D β α γ AC F B E HD G。
数学高二上册知识点归纳
数学高二上册知识点归纳数学高二上册知识点归纳一：总体和样本①在统计学中,把研究对象的全体叫做总体。
②把每个研究对象叫做个体。
③把总体中个体的总数叫做总体容量。
④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：x1，x2，....，研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量。
简单随机抽样也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随。
机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础,高三。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
数学高二上册知识点归纳二：简单随机抽样常用的方法①抽签法②随机数表法③计算机模拟法④使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。
抽签法①给调查对象群体中的每一个对象编号;②准备抽签的工具，实施抽签;③对样本中的每一个个体进行测量或调查。
数学高二上册知识点归纳三：函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;数学高二上册知识点归纳四：立体几何初步(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
高二数学复习1：空间中的平行与垂直关系
.高二数学作业空间中的平行与垂直关系[知识要点]要点1、空间中的平行关系： ◆平行直线：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
◆线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．◆线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒．◆两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。
定理的模式：//////a b a b P a b ββαβαα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。
推论模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒◆两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面； 〔2〕如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
◆注意体会以下平行问题的转化思路、方向与转化条件、途径：要点2、空间中的垂直关系： ◆线线垂直〔1〕线线垂直的定义：所成的角是直角，两直线垂直。
〔2〕垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
◆线面垂直〔1〕定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l 与平bab aααP P ab βαc b a βα2面α垂直记作：l ⊥α。
〔2〕直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
高二数学选择性必修一知识点
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高二数学教案两个平面平行的判定和性质
教学设计示例一9.5 两个平面平行的判定和性质第一课时教学目标：1．掌握两平面的空间关系种类，会画两个平行平面．2．掌握空间两个平面平行的判定定理与性质定理，并能简单应用．3．理解两平行平面间的距离的概念．教具准备：三角板．教学过程：［设置情境］教室里相对的两个墙面有什么特点？这种位置关系的平面怎么命名？如何证明两个平面具有这样的位置关系呢？［探索研究］1．两个平面的位置关系我们一起观察教室的墙壁、地面、屋顶，由观察结果归纳出两个平面的两种不同的位置关系．（1）两个平面平行如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．（2）两个平面相交如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交．（3）两个平面的位置关系只有两种①两个平面平行——没有公共点．②两个平面相交——有一条公共直线．（4）两个平面平行的画法画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（图1，而不应画成图2那样．平面和平行，记作．2．两个平面平行的判定两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．已知：在平面内，有两条直线、相交且和平面平行．求证：．证明：用反证法证明．假设．∵ ，，∴ ．同理．∴ ．这与题设与是相交直线矛盾．∴ ．以上是判定两个平面平行的一个定理，可让同学们想象一下是否还有其他的判定方法．3．两个平面平行的性质（1）一个结论根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，容易得出下面的结论．，．这就是说，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．（2）两个平面平行的性质定理教师提问：如果两个平面平行，并且它们都和第三个平面相交，交线有何关系？很容易得出结论：交线平行．这可以由两个平面平行及平行线定义得出．两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即设，，，则．图1．4．两个平行平面的距离（1）两个平行平面的公垂线及公垂线段和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段．（2）两个平行平面的距离如图2，，如果、都是它们的公垂线段，那么．根据两个平面平行的性质定理，有，所以四边形是平行四边形，所以．因此，两个平行平面的公垂线段都相等．我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．5．例题分析例1 求证：垂直于同一条直线的两个平面平行．已知：，（图3）．求证：．分析：可设法证明内有两条相交直线都平行于．为此，要根据已知条件找出这样的直线．证明：设经过直线的两个平面分别与平面交于直线和．∵ ，∴ ，，∵ ，，∴ ．于是．同理可证．又，∴ ．这个例题也可以当成两个平面平行的判定定理之二．例2 求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．此性质的已知、求证、证明可以请一名学生上台板演，其他的学生在座位上自己画图完成证明过程．教师在黑板上画出图形，如图2，而后点评学生的证法．［演练反馈］1．课本P32练习1，2．2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（）A．都平行 B．都相交C．在这两个平面内 D．至少与其中一个平面平行3．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面（）A．平行 B．相交C．重合 D．平行或相交4．已知平面与不重合，则的一个充分条件是（）A．，且B．，且，C．，且D．，且5．下列命题：①平行于同一直线的两个平面平行．②垂直于同一直线的两个平面平行．③平行于同一平面的两个平面平行．④与一直线成等角的两个平面平行，其中正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个D．4个6．若，，则与的位置关系是_____________________．7．如图1，已知是两条异面直线，平面过且与平行，平面过且与平行．求证：．8．如图2，在正方体中，分别是棱的中点．求证：平面平面．［参考答案］1．略2．D 3．D 4．D 5．B 6．平行或异面7．提示：任取点，令点与直线确定的平面交平面于直线，证明．8．提示：连，证明，同理再证．［总结提炼］［学生回忆，教师补充完善．］1．两个平面的空间位置关系种类．2．两个平行平面的画法．3．平行平面的判定定理．4．平行平面的性质．5．两平行平面的公垂线、公垂线段、距离．布置作业：课本P32习题9.5 1，2，3，4，5．板书设计：教学设计示例二9.5 两个平面的平行和判定第二课时教学目标：1．巩固复习两平面的位置关系．2．巩固复习平行平面的判定与性质．3．能应用平行平面的判定与性质解题．教具准备：三角板、投影胶片．教学过程：［复习引入］1．两个平面的位置关系．2．两个平面平行的判定（两个判定）．3．两个平面平行的性质（三个性质）．4．两个平行平面的距离的概念．［探索研究］例1 如图， 是正方体， 分别是 的中点．（1）求证：平面 平面 ；（2）若正方体棱长为，求平面与平面间的距离．证明：（1）取 的中点 ，连结∵ 是正方体∴ 是平行四边形∴又 也是平行四边形∴，∴又 且∴平面 平面 ．（2）取 中点 ，中点 ，作 于，由平面得 ，∴平面，即的长是两个平行平面与间的距离．∵∴ ，于是 ．评析：第（1）问还可以通过证明 平面，平面，得出面面，这也是证明两个平面平行的重要方法．例2 如图，已知夹在两个平行平面 间的两条异面线段 所成角为，它们在平面内的射影长分别为2和12，且和平面所成的角之差为，求两个平行平面与 之间的距离．分析：首先将已知条件用图形表示出来，即作出有关的角和距离，再通过解平面图形求解．解：过点在与所确定的平面内作交于，则是异面直线和 所成的角，所以．作于， 于，连结，则，，．∵ ，∴ ，设 ，即设 间距离为 ．在 中， ，在 中， ．∴ ＝ ，即，解得：或6．即平面与之间的距离为4或6．例3 如图，平面平面，，，是的公垂线，且，是斜线，若，，分别是和的中点．（1）求证：平面；（2）求的长．（1）证明：连结，取的中点，连结、．在△ 中，是的中点∴ 平面∴同理∵∴又是两相交直线∴平面平面平面∴ 平面．（2）解：连结，在△ 与△ 中，是的公垂线∴是的中点，又∴△ ≌△ ，于是是的中点，∴在△ 中，，∴在△ 中，∴ ．［演练反馈］1．是不重合的两个平面，则下列条件中，可推出的是（）A．都与直线成等角B．内有不共线的三点到的距离相等C．是内的两条直线且，D．是异面直线且，，，2．若平面，直线，点，则在内过点的所有直线中（）A．不一定存在与平行的直线B．只有两条与平行的直线C．存在无数条与平行的直线D．有且只有一条与平行的直线3．命题：①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边．②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边．③与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在的平面．其中假命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．设是两条互不垂直的异面直线，过分别作平面，对于下列4种情况：①② ③ ④ 可能的情况有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种5．夹在两个平行平面之间的线段，且与成角，则与之间的距离为_____________．6．设平面平面，，，直线，若，，，则7．如图1，已知平面外一点，三条射线分别交于，交于、、．（1）求证：△ ～△ ；（2）若，，，求的长．8．如图2，直线分别交两平行平面于两点，直线分别交平面于两点．直线分别平于面于两点．若，，，且，求．［参考答案］1．D 2．D 3．B 4．B 5． 6．或687．提示：通过证明、、，得到．8．解：由平面与平面平行的性质先证，∴且，则∴ ．［总结提炼]要证面面平行，通常先证线面平行，而通过线面平行的判定定理又转化为证线线平行．线线平行的发现途径很广泛：利用比例相等、平行四边形对边、梯形两底边、公理4等均可得到，做题时应灵活应用．布置作业：课本P33习题9.5 6，7，8，9．板书设计：习题精选一、选择题1．设是两个平面，是两条直线，下列命题中，可以判断的是（）．A．且B．且C．，且D．，且2．已知是互不垂直的异面直线，是两个平面，，，则下列结论中不可能成立的是（）．A．B．C．D．3．已知直线和平面，则的一个必要但不充分条件是（）．A．B．，C．， D．及与成等角．4．给出下列四个命题：①经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；②过平面外一点且平行于这个平面的所有直线，都在过该点且平行于这人平面的一个平面内；③平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与平行或相交；④夹在两平行平面之间的平行线段的长相等．其中正确命题的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题5．夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面间的位置关系是_________．6．△ 中，，，点平面．若平面，且△在平面内的射影是等腰直角三角形，则与平面所成的角为___________．7．给出下述四个命题：①若直线与平面、平面成相等的角，则；②若平面平面，直线与平面相交，则直线与也相交；③两条直线被三个平行平面所截，则所截得的对应线段成比例；④若直线直线，平面，平面，则．其中正确命题的序号是___________________．三、解答题8．如图，，是两个平行平面，，，且直线与是异面直线．已知，，，又直线，异面成的角．求异面直线，所成角的大小．9．已知点是△ 所在平面外一点，点，，分别是△ ，△ ，△的重心，求证：平面平面．10．已知，是平面内的两条平行直线，和的距离是．直线是平面外的一条直线，且并与的距离是，若与平面的距离是，求与的距离．参考答案：一、选择题：1．D 2．C 3．D 4．A二、填空题：5．平行或相交 6． 7．②、③三、解答题：8．9．略证：设分别是边的中点，则，且，从而得，面；同理平面．10．或。
高二数学教案：直线和平面平行
aαaα直线和平面平行一、课题：直线和平面平行二、教学目标：1．掌握空间直线和平面的位置关系；2．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化。
三、教学重点、难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用．四、教学过程：（一）复习：1．公理1 ．2．异面直线的概念、判定定理、所成角的概念及其范围．（二）新课讲解：1．直线和平面的位置关系．观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．，a Aα=I，//aα．2．线面平行的判定．定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m lααα⊄⊂⇒．证明：假设直线l不平行与平面α，∵lα⊄，∴l Pα=I，若P m∈，则和//l m矛盾，若P m∉，则l和m成异面直线，也和//l m矛盾，∴//lα．3．线面平行的性质．定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l mαβαβ⊂=⇒I．证明：∵//lα，∴l和α没有公共点，又∵mα⊂，∴l和m没有公共点；即l和m都在β内，且没有公共点，∴//l m．βαmlαβmlPδγβα_b _acd例1 已知：空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：//EF BCD 平面．证明：连结BD ，在ABD ∆中，∵,E F 分别是,AB AD 的中点， ∴//EF BD ，EF BCD ⊄平面，BD BCD ⊂平面，∴//EF BCD 平面．例2 求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．已知：//,,,//l P P m m l αα∈∈，求证：m α⊂．证明：设l 与P 确定平面为β，且m αβ'=I ，∵//l α，∴//l m '；又∵//l m ，,m m '都经过点P ， ∴,m m '重合，∴m α⊂．例3 已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面αI 平面β=b， 求证//a b ．证明：经过a 作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ，∵a ∥平面α，a ∥平面β，∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ，又∵d ⊂平面β，c ∉平面β， ∴c ∥平面β，又c ⊂平面α，平面α∩平面β=b ，∴c ∥b ，又∵a ∥c ， 所以，a ∥b ． 五、课堂练习：课本17P 练习1，2，3，4．六、小结：“线线”与“线面”平行关系：一条直线和已知平面平行，当且仅当这条直线平行于经过这条直线的平面和已知平面的交线．七、作业： 课本17P 练习5，习题9.3第3，5，6．补充： 1．设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、面1111A B C D 如图：（1）证明：//PQ 平面11AA B B ；（2）求线段PQ 的长。
直线和平面平行的判定和性质
高 二 数 学（第15周） 主讲教师：徐 瑢主审教师：陈云楼【教学内容】1、直线和平面的位置关系2、直线和平面平行的判定和性质【教学目标】1、领会并叙述直线与平面的三种位置关系.2、学会用“线线平行”得“线面平行”定理的应用.3、学会由“线面平行”得“线线平行”定理的应用.【知识讲解】1、直线与平面的位置关系：直线在平面内——有无数个公共点即 a ⊂α相交——只有一个公共点即a ∩α=A直线不在平面内平行——没有公共点，记为a ‖α2、画图时要注意如下几点：(1)线在面内．直线不要超出表示平面的平行四边形的各条边．(2)线面相交．交点到水平线这一段是不可见的，注意画成虚线或不画．(3)线面平行．直线要与表示平面的平行四边形的一组对边平行．3、直线和平面平行的判定方法：⑴根据定义：证明直线与平面没有公共点。
通常用反证法，先假设直线a 与平面α不平行，则a ⊂α或a ∩α=A ，然后一一否定。
⑵利用判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
即 a ⊄αb ⊂α⇒ a ‖α，可简记为：“线线平行，则线面平行”，“线a ‖b线”指平面α外直线a ，平面α内直线b,“线面”指直线a 与平面α。
利用判定定理时，首先要检查是否符合这三个条件，在证明过程中也因明确写出这三个条件。
判定定理的实质是：在平面内找出一条直线和已知直线平行，就可断定这条已知直线必和这个平面平行．4、直线和平面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
即 a ‖αa ⊂β ⇒a ‖bα∩β=b这个定理可简记为“线面平行，则线线平行”，“线面”是指平面α及平面α外直线a,“线线”指直线a ，平面α和β的交线b 。
性质定理的实质是：如果线面平行，则过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．值得注意的是：由线面平行 线线平行,并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a ∥α，若b α，则b 与a 的关系是：盐中网校版权所有不得转录异面或平行．即平面a内直线分成两大类，一类是与a平行，有无数条；另一类是与a异面，也Ｄ不对，忽略了m在平面α内的情况。
高二数学知识点总结
高二数学知识点总结高二数学知识点总结1考点一：向量的概念、向量的基本定理【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能利用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。
【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。
由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。
高二数学专题复习平行问题【内容提要】直线与平面平面与平面平行的定义及其判定定理和性质定理线线平行 线
高二数学专题复习：平行问题学号______________ 姓名_______________【内容提要】1．直线与平面、平面与平面平行的定义及其判定定理和性质定理线线平行 线面平行 面面平行2．在各类平行问题的论证中，应注意“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”间 的转化及转化的条件，已知“线面平行”、“面面平行”必须通过作辅助面才能得到“线线平行”。
【基础训练】1．如果l ∥α，则l 平行于α内的 （ ） （A ）全部直线 （B ）过l 的平面与α的交线 （C ）任一直线 （D ）唯一确定地直线2．过直线l 外两点，作与l 平行的平面，这样的平面 （ ）（A ）能作出无数个 （B ）只能作出一个 （C ）不能作出 （D ）上述都有可能 3．b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b ∥α的是（）A 、b 与α内一条直线不相交B 、b 与α内两条直线不相交C 、b 与α内无数条直线不相交D 、b 与α内所有直线不相交4．如果一条直线和一个平面平行，为了使夹在它们间的两条线段相等，其充要条件是（）A 、两条线段平行B 、两条线段垂直于平面C 、两条线段与平面所成角相等D 、两条线段垂直于已知线段 5．满足下列哪个条件，可以确定直线a ∥平面β（）A 、a 上有两点A 、B 到平面β的距离相等 B 、 a ∥b ，b ⊂βC 、b ⊥a ，b ⊥βD 、a ⊄β，a ∥b ，b ∥β6．在△ABC 中，AB=5，AC=7，∠A=60°，G 是△ABC 的重心，过G 的平面α与BC 平行，AB α=M ，AC α=N ，则MN=__________________。
7．下列命题中可以判断平面α∥平面β的是 (1)α⊥γ，β⊥γ(2)直线l 与平面α、β成等角(3)α、β分别过两平行直线 (4)a 、b 异面，α过a 平行于b ，β过b 平行于a (5)α内不共线的三点到β的距离相等8．平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=__________________.9．平面α∥平面β，A 、B ∈α，C ∈β，AA ′⊥β于A ′，BB ′⊥β于B ′，若 AC ⊥AB ，AC 与面β成60°角，AC=8cm ，B ′C=6cm ，则异面直线AC 与BB ′间的距离为________.10．l ∥α，m ⊂α，则l 与m 的位置关系是_______________________；11．l 1∥12，l 1∥α，则l 2与α的位置关系是_______________________；12．a ∥l 1，a ∥l 2，l 1⊂α，l 2⊂α，则a 与α的位置关系是__________________。
人教A高中数学必修二2.2直线与平面平行的判定
典型例题
例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于 经过另外两边所在的平面．
已知：空间四边形ABCD中， E，F分别AB，AD的中点．
求证：EF//平面BCD．
证明：连接BD.
AA EF
D
B
C
因为, E，F分别AB，AD的中点 所以 EF//BD（三角形中位线的性质）
因为 EF 平面BCD,BD 平面BCD
由直线与平面平行的判断定理得: EF//平面BCD.
随堂练习
1．如图，长方体 ABCD ABCD中，
（1）与AB平行的平面是 平面
平面
；
（2）与 AA平行的平面是平面
（3）与AD平行的平面是 平面
平面
；
平面
；
D A
D A
C B
C B
作业 P56 2
a
b
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该 直线与此平面平行．
a
图形语言
b
a
b
a //
a
// b
符号语言
证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能得 到线面平行的结论．
怎样判定直线与平面平行？
（1）定义法：证明直线与平面无公共点； （2）判定定理：证明平面外直线与平面内直线平 行．
直线与平面平行的判定
人教版高二数学必修2
复习引入
直线与平面有几种位置关系？ 有三种位置关系：在平面内，交、平行．
a
a A
a //
其中平行是一种非常重要的关系，不仅应用较多， 而且是学习平面和平面平行的基础．
怎样判定直线与平面平行呢？
根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定 直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长， 平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？
高二数学 平行关系的判定及其性质
基础梳理
1. 平行直线 (1)定义：__________不相交的两条直线叫做平行线． (2)公理4：平行于________的两条直线互相平行． (3)线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行， ____________的平面和这个平面相交，那么这条直线就和 ______平行． (4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个 平面相交，那么它们的______平行． (5)线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于________， 那么这两条直线平行．
4. 有一木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平 行于平面A′C′及棱B′C′，要经过P和棱BC将木料锯开， 锯开的面必须平整，有N种锯法，N为( ) B
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数
解析：由题意知，点P与直线BC确定一平面a，设a 与面A′C′交于直线l，由BC平行平面A′C′及棱B′C′知， l∥BC∥B′C′，故只有1种锯法．
模型中容易观察出②中a，c还可以平行或异面；③中a，b还可
以相交或异面；④是真命题，故C正确．
4. B 解析：由题意知，点P与直线BC确定一平面a，设a与面 A′C′交于直线l，由BC平行平面A′C′及棱B′C′知，l∥BC∥B′C′，
故只有1种锯法．
5. 2 39 3
解析：如图，由题意知MN / / 2 BC, 3
证明：EF∥平面PAD；
知识准备：知道空间几何体的线面平行定理；
解：在△PBC中，E，F分别是PB，PC 的中点，∴EF∥BC.
又BC∥AD，∴EF∥AD. 又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD. ∴EF∥平面PAD.
由题意易知，
FG∥1/2CD， FG=CD， 又BE∥CD，BE=1/2CD， 所以FG∥BE，FG=BE， 故四边形BEGF为平行四边形． 所以BF∥EG， 又EG⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE， 所以BF∥平面A′DE.
人教A版高二数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.2.3 知识表格【素材】 【课件】(共3张PPT)
2
为
2
．
解析：连接B1D、AD1，
D1
因为PQ//面AB1D，PQ面 D1AB1,
面 D 1 A B 1 面 A B 1A B 1 ,
A1
C1 Q
B1
所以PQ//AB1，
Байду номын сангаас
P
因为点P是面AA1D1D的中心，
D
所以PQ是△AB1D1的中位线，
C
所以PQ
1 2
AB1
2. 2
A
B
4.线面平行与面面平行的性质定理
定理 表示
文字语言
线面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面 与此平面的交线与该直线 平行
面面平行的性质定理
如果两个平行平面同时 和第三个平面相交，那 么它们的交线平行
符号语言
a∥
a
a∥ b
b
∥ β
a
a∥ b
β = b
图形语言
2.直线a∥平面α ，平面α 内有n条交于一点的直
线，那么这n条直线和直线a平行的 ( B )
A.至少有一条
B.至多有一条
C.有且只有一条
D.不可能有
4.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D
的中心，点Q是B1D1上一点，且PQ//面AB1D，则线段 PQ长
高二上学期数学重要知识点总结
高二上学期数学重要知识点总结高二上学期数学重要知识点基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
高二年级数学知识点空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp。
空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp。
空间向量法若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直。
直线与平面平行的性质定理(公开课教案设计)
2.2.3 直线与平面平行的性质时间： 地点：高二（ ）班 授课人：一、教学目标 1.知识与技能通过教师的适当引导和学生的自主学习，使学生由直观感知获得猜想，经过逻辑论证，推导出直线与平面平行的性质定理，并掌握这一定理． 2.过程与方法(1)通过直观感知和操作确认的方法，发展几何直觉、运用图形语言进行交流的能力； (2)体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程； (3)通过直线与平面平行的性质定理的实际应用，让学生体会定理的现实意义与重要性． 3.情感、态度与价值观通过主动参与、积极探究的学习过程，提高学生学习数学的自信心和积极性，培养合作意识和交流能力，领悟化归与转化的数学思想，提高学生分析、解决问题的能力． 二、教学重点与难点教学重点：直线与平面平行的性质定理．教学难点：综合应用线面平行的判定定理和性质定理． 三、授课类型：新授课 四、教学方法：师生合作探究 五、教具准备：三角板、小黑板 六、课时安排：1课时 七、教学过程教学内容师生互动 【回顾旧知】1.直线与平面的位置关系；线在面内；线面平行、线面相交（统称为“线在面外”） 2.直线与平面平行判定定理的内容.通过复习直线与平面平行的判定定理，温故而知新，为后面线线平行与线面平行的相互转化做铺垫．ααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄【新课引入】思考：1.如果一条直线a 与平面α平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？2.在平面α内，哪些直线与直线a 平行？3.在什么条件下，平面α内的直线与直线a 平行呢？ 通过演示实验，让学生观察、发现规律，并对发现的结论进行归纳.引导学生结合直观感知，层层递进，逐步探索，体会数学结论的发现过程．学生根据问题进行直观感知，进而提出合理猜想．并逐步探索，认真思考，画出相应图形，进行观察、感知、猜想．发现：过直线a 的某一平面，若与平面α相交，则直线a 就平行于这条交线. 已知：//a α，a β⊂，b αβ=．求证：//a b ．证明：因为 b αβ=，所以 b α⊂．又因为 //a α， 所以 a 与b 无公共点． 又因为ββ⊂⊂b a ,， 所以 b a //．引导学生得出猜想，形成经验性结论，体会与感受数学结论的发现与形成过程：直观感知→操作确认→逻辑证明→形成经验．要求学生用语言描述发现的结论，并给出证明．【直线与平面平行的性质定理】一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα要求学生总结归纳，并能用文字语言、符号语言图形语言描述直线与平面平行的性质定理，为学生正确使用定理打下基础．【定理探微】1.定理可以作为直线与直线平行的判定方法；2.定理中三个条件缺一不可．．．．； 3.提供了过已知平面内一点作与该平面的平行线相平行的直线的方法，即：辅助平面法．明确定理的条件和结论及定理的用途．【例题讲解】例1（教材P59例3） 如图所示的一块木料中，棱BC 平行于面''A C ． （1）要经过面''A C 内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线与平面AC 是什么位置关系？ ★思路点拔1．怎样确定截面？过点P 所画的线应怎样画？ 2．“线面平行” 与“线线平行”之间有怎样的联系？ ★解答过程 解：（1）在平面''A C 内，过点P 作直线EF ，使//''EF B C ，并分别交棱''A B ，''C D 于点E ，F ．连接BE ，CF ，则EF ，BE ，CF 就是应画的线． （2）因为棱BC 平行于平面''A C ，平面'BC 与平面''A C 交于''B C ，所以//''BC B C ，由（1）知，//''EF B C ，所以，//EF BC ，因此引导学生分析画截面的关键是确定截面与上底面的交线，怎样过P 点作BC 的平行线是作图的难点．学生经过认真思考，运用所学知识找到作图方法，体会到解决问题后成功的喜悦，认识到数学来源于实践又反过来为实践服务，加强用数学的意识．////EF BCEF AC EF AC BC AC ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面BE ，CF 显然都与平面AC 相交．思想方法：例2（教材P59例4）已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面． ★思路点拔1．文字性命题的解题步骤是什么? 2．“线面平行”与“线线平行”之间有怎样的联系？ ★解答过程已知：如图所示,已知直线a 、b ，平面α， 且//a b ，//a α，a α⊄，b α⊄． 求证：//b α． 证明：过a 作平面β，使c αβ=．因为//a α，a β⊂，c αβ=，所以//a c ．又因为//a b ，所以//b c ．因为c α⊂，b α⊄，所以//b α．引导学生分析问题的条件与结论，并结合图形写出己知和求证．通过分析寻找解题途径．本题的解题关键是实现线线平行与线面平行的转化．通过教师的板书，规范解题步骤与格式． 【课堂练习】1.如图，α∩β=CD ，α∩γ=EF ，β∩γ=AB ，AB ∥α 求证：CD ∥EF ．学生独立完成练习l ，检查学习效果，使学生掌握证明线面平行问题的方法、步骤与格式，提高综合运用所学知识的能力．。
第五节两个面平行的判定和性质
学科: 数学年级：高二版本：人教版期数：2331本周教学内容：第五节两个平面平行的判定和性质【基础知识精讲】1.两个平面的位置关系(1)两平面平行——没有公共点，若α与β平行，记作α∥β.(2)两平面相交——有一条公共直线，若α与β有交线a，记作α∩β＝a.注意：画两个互相平行的平面时，表示平面的两个平行四边形的对应边应画平行，如图：画两个相交平面时：(i)先画表示两个平面的平行四边形的相交的两边.(ii)再画出表示两个平面交线的线段；(iii)过第(i)步图中线段的端点分别引线段，使它平行且等于第(ii)步图中表示交线的线段.(iv)最后画表示两个平面的平行四边形的第四边，其演示过程如下：2.两个平面平行的判定(1)两个面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.aβ,bβ,a∩b＝A,a∥α,b∥α⇒α∥β.在实际生活中要判断一个平面是否水平时，把水准器在该平面上交叉放两次如果汽泡居中，就可利用该定理判定该平面与水平面平行.(2)书中粗体字：垂直于同一直线的两个平面平行.也可以用来作面面平行的判定.即α⊥AA′，β⊥AA′⇒α∥β.3.两个平面平行的性质(i)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.这为线面平行进一步提供了证明方法，但分居两平行平面的直线有平行与异面两种可能.(ii)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.α∥β，γ∩α＝a,γ∩β＝b⇒a∥b.(iii)一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，它也垂直于另一个平面.(iv)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.4.两个平行平面的距离首先我们可以验证夹在两个平行平面间的平行线段相等.(1)两个平行平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线.这与两异面直线公垂线不同的是两平行平面的公垂线有无数条.根据线面垂直的性质定理可知这些公垂线相互平行.(2)两个平行平面的公垂线段：两个平行平面的公垂线夹在两平行平面间的部分.由上可知，两个平行平面的公垂线段都相等，我们把夹在两个平行平面间的公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.【重点难点解析】两个平面平行的判定和性质是本节的重点，平行平面间的距离是本节的重点概念，判定定理的证明是本节的难点，要深刻理解面面平行的概念和一些重要定理，在验证中应注意线线平行，线面平行，面面平行之间的相互转化.例1已知a、b是异面直线，a⊂α,a∥β,b⊂β,b∥α,求证α∥β.分析证明两个平面平行通常利用判定定理来证.证明如图，过a作任一平面γ和平面β交于a′,∵a∥β∴a∥a′.又a′⊂β,a′⊄α∴a′∥α且a′与b相交，∵b⊂β，b∥α.∴α∥β.另证设c是异面直线a、b的公垂线，则过a、c可以确定一个平面γ，设γ∩β＝a′∵α∥β，∴a′∥a,∵c⊥a,∴c⊥a′又∵c⊥b,a′,b相交，∴c⊥β同理可证：c⊥α，∴α∥β例2已知：平面α∥平面β，且aα，b平面β，a,b为两条异面直线.求证：异面直线a、b间的距离等于平面α，β之间的距离.证：设AB是异面直线a、b的公垂线段，如图过点B，作直线a′，使a′∥a.∵α∥β，a⊂β,∴a∥β,∴a′⊂β.∵AB⊥a,∴AB⊥a′又AB⊥b，且a′∩b＝B.∴AB⊥β∵α∥β，∴AB⊥α∴AB的长是平行平面α，β间的距离.说明求两异面直线间的距离有时可能转化为求两平行平面间的距离.例3如果一条直线和两个平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交.已知：α∥β,l∩α＝A.求证：l与β相交.证明：∵α∥β,l∩α＝A∴Aβ.假设l与β不相交，则l∥β在平面β内任取一点D，则D l.∴点D，l确定平面PBD，如图∵α与平面PBD相交于过A的一条直线AC，β与平面PBD相交于过点D的一条直线BD.又α∥β∴AC与BD无公共点.∵AC和BD都在平面PBD内，∴AC∥BD.由l∥β可知l∥BD.∴AC∥l且l与AC相交于A.∴AC与l重合，又AC在平面α内.∴l在α内与l∩α＝A矛盾.∴假设不成立，∴l与β必相交.例4如图，正四棱锥S—ABCD的底面积长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC 上，并且BP∶PD＝1∶2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长.分析要求出PQ的长，一般设法构造三角形，使PQ为其一边，然后通过解三角形的办法去处理.作PM ∥AD 交CD 于M 连QM ，∵PM ∥平面SAD ，PQ ∥平面SAD.∴平面PQM ∥平面SAD ，而平面SCD 分别与此两平行平面相交于QM ，SD. ∴QM ∥SD.∵BC ＝a,SD ＝2a.∴PD BP ＝21. ∴BC MP ＝BD PD ＝32,MP＝32a, SD MQ ＝CDMC ＝BD BP ＝31.∴MQ ＝31SD ＝32a,又∠PMQ ＝∠ADS.∴cos ∠PMQ ＝cos ∠ADS ＝a a221＝41. 在ΔPMQ 中由余弦定理得 PQ 2＝(32a)2+(32a)2-2·32a ·32a ·41＝96a 2. ∴PQ ＝36a. 评析：本题的关键是运用面面平行的判定和性质，结合平行线截比例线段定理，最后由余弦定理求得结果，综合性较强.例5 已知：如图，α∥β，异面直线AB 、CD 和平面α、β分别交于A 、B 、C 、D 四点，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：(1)E 、F 、G 、H 共面；(2)面EFGH ∥平面α.证明 (1)∵E 、H 分别是AB 、DA 的中点，∴EH ∥21BD.同理FG ∥21BD.∴FG ∥EH.∴四边形EFGH 是平行四边形，即E 、F 、H 、G 共面.(2)平面ABD 和平面α有一个公共点A ，设两平面交于过点A 的直线AD ′∴α∥β，∴ AD ′∥BD.又∵BD ∥EH ，∴EH ∥BD ∥AD ′.∴EH ∥平面α，EH ∥平面β，同理EF ∥平面α，EF ∥平面β.∴平面EFHG ∥平面α∥平面β.【难题巧解点拨】例1 点A 为异面直线a 、b 外一点，过A 与a 、b 都平行的平面( ) A.只有一个 B.只有两个 C.至多有一个 D.有无数个分析：本题考查线线位置关系，线面位置关系，平面基本性质，以及空间想象能力解法一：过点A 作a ′∥a,b ′∥b ，根据公理3，a ′与b ′确定一个平面为α，则异面直线a 与b 至多有一条在α内，当a 、b 都不在α内时，过A 与a 、b 都平行的平面恰有一个，即α；当a 、b 中有一条在α内时，过A 与a 、b 都平行的平面不存在，故选C.解法二：过异面直线a 、b 分别作平面α、β使α∥β，若点A 在α或β上，则过A 与a 、b 都平行的平面不存在；若点A 在α外且在β上，则过A 恰有一个平面平行于α、β，则过点A 与a 、b 都平行的平面恰有一个.例2 有四个命题(1)一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行 (2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行 (3)平行于同一平面的两条直线平行(4)如果直线a ∥平面α，a ⊂平面β，且α∩β＝b,则a ∥b. 其中假命题共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解 此题考查线线位置关系和线面位置关系，以及空间想象能力.一条直线和另一条直线平行，它可能在经过另一条直线的平面内，故(1)是假命题.一条直线和另一个平面平行，它与这个平面的直线可能平行，也可能异面，故(2)也是假命题，平行于同一平面的两条直线，也可能平行，也可能异面或相交，故(3)也是假命题，而命题(4)是真命题，也是线面平行的性质定理.例3 已知直线a 、b 、c ，平面α∩平面β＝a,b ⊂α，c ⊂β，且b 与c 无公共点，则b 与c 不平行的充要条件是( )A.b 、c 都与α相交B.b 、c 中只有一条与α相交C.b 、c 中至多一条与α相交D.b 、c 中至少有一条与α相交分析：本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，充要条件，以及空间想象能力和等价转化能力.解法一：若直线b 与c 不平行，又由b 与c 无公共点，则b 与c 必定异面，根据异面直线的定义和线面位置关系可知或者b 与c 都与a 相交，或者b 、c 中有一条与a 相交，另一条与a 平行，即b 、c 中至少有一条与α相交，即D 成立；反之，当D 成立时，不难证明b 与c 必不平行，所以应选D.解法二：由题设及异面直线的定义可知，若b 、c 都与a 相交能推出b 与c 异面，即b 与c 不平行；反过来，b 与c 不平行不一定推出b 、c 都与a 相交，即A 是充分非必要条件，而不是充要条件，同理，B 也是充分非必要条件，而非充要条件，又由b 、c 中至多有一条与a 相交，包含b 、c 中有一条与a 相交和b 、c 都不与a 相交两种情形，而对于后者，即b ∥a 且c ∥a ，则b ∥c.故c 既非充分又非必要条件，综上所述，排除A 、B 、C 三个选择项，从而选择D.例4 已知A ，B ∈平面α，C ，D ∈平面β，α∥β，AB ＝13，BD ＝15，AC 、BD 在平面α上的射影长之和是14，求AC 、BD 在平面α上的射影长，以及平面α、β的距离.解 如图，设α、β的距离是h ，则AC 在α内的射影长是2213h -，BD 在α内的射影长是2215h -.根据题意，2213h -+2215h -＝14. 解这个方程，h ＝12.∴ 2213h -＝5, 2215h -＝9.故AC 、BD 在平面α上的射影长分别是5和9，平面α、β的距离是12.点评 平行平面间距离通常转化为点面距离或线面距离最终转化为点面距离.例5 如图，已知线段PQ 、PD 、QF 分别和平行平面α、β交于A 、B 、C 、D 、E 、F ，若AP ＝BQ ，求证：S ΔACF ＝S ΔBDE .略证 由已知得AC ∥BD ，EB ∥AF ，∠CAF ＝∠EBD ，又AC ∶BD ＝PA ∶PB ＝QB ∶QA ＝EB ∶AF ，∴AC ·AF ·sin ∠CAF ＝BE ·BD ·sin ∠DBE.∴S ΔACF ＝S ΔBDE .例6 如图，在三棱锥S —ABC 中，A 1、B 1、C 1分别是ΔSBC 、ΔSCA 、ΔSAB 的重心，(1)求证：平面A 1B 1C 1∥平面ABC ；(2)求三棱锥S —A 1B 1C 1与S —ABC 体积之比.分析：本题显然应由三角形重心的性质，结合成比例线段的关系推导出“线线平行”再到“线面平行”到“面面平行”，至于体积的比的计算只要能求出相似三角形面积的比和对应高的比就可以了.证：(1)：∵ A 1、B 1、C 1是ΔSBC 、ΔSCA 、ΔSAB 的重心，连SA 1、SC 1并延长交BC 、AB 于N 、M ，则N 、M 必是BC 和AB 的中点.连MN∵SMSC 1＝SN SA 1＝32， ∴A 1C 1∥MN.∵MN ⊂平面ABC ， ∴A 1C 1∥平面ABC.同理可证 A 1B 1∥平面ABC. ∴ 平面A 1B 1C 1∥平面ABC. (2)由(1)MN C A 11＝32，MN ∥21AC ， ∴A 1C 1∥31AC. 同理可证：A 1B 1∥1AB ， B 1C 1∥1BC. ∴ ΔA 1B 1C 1∽ΔABC ， S 111C B A △＝91S ΔABC . 设三棱锥S —ABC 的高为h ，S —A 1B 1C 1的高为h 1则有：h h 1＝SN SA 1＝32,∴h 1＝32h.∴ABCS C B A S V V --111＝h S hS ABC ABC ⋅⋅⋅⋅△△91313231＝272. 评析：要掌握线面平行的相互转化的思想方法外，还要有扎实的相似形和线段成比例的基础.例7 如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，求证：(1)平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；(2)对角线A 1C 被平面AB 1D 1和平面C 1BD 三等分.分析：本题若根据“一个平面内两条相交的直线分别与另一平面内两条相交的直线平行，则两平面平行”是很容易解决论证平面AB 1D 1∥平面C 1BD 的，但兼顾考虑(2)的论证，(1)我们还是采用“两平面垂直于同一直线则两平面平行”的判定的方法.证：(1)连AC ，∵BD ⊥AC ，AC 是A 1C 在底面上的射影，由三条垂线定理得A 1C ⊥BD ，同理可证A 1C ⊥BC 1.∴A 1C ⊥平面C 1BD ，同理也能证得A 1C ⊥平面AB 1D 1. ∴平面AB 1D 1∥平面C 1BD.(2)设A 1到平面AB 1D 1的距离为h ，正方体的棱长为a ，则有：31h ·43(2a)2＝31a · 21a 2. ∴h ＝33a.同理C 到平面C 1BD 的距离也为33a ，而A 1C ＝3a.故A 1C 被两平行平面三等分.评析：论证A 1C 被两平行平面三等分，关键是求A 1到平面AB 1D 1的距离，C 到平面C 1BD 的距离，这里用三棱锥体积的代换，若不用体积代换，则可以在平面A 1ACC 1中去考虑：连A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，AC ∩BD ＝0，如图连AO 1，C 1O ，AC 1，设AC 1∩A 1C ＝K.A 1C ∩AO 1＝M ，C 1O ∩A 1C ＝N.可证M 为ΔA 1AC 1的重心，N 为ΔACC 1的重心，则可推知MN ＝NC ＝A 1M.另外值得说明的是：A 1C 是面AB 1D 1和面BC 1D 的公垂线. 异面直线AD 1和C 1D 的距离也等于MN.例8 如图，已知直线a ∥平面α；求证：过a 有且只有一个平面平行于α.证明 (1)存在性：设过a的平面γ与α交于a′，∵a∥α，∴a∥a′.在α上，设直线b′∩a′＝A′,在a上取点A，A与b′确定平面δ，在δ上过A作b∥b′.则a、b是相交直线(若重合，则显然b′∥a′，矛盾).∴a,b确定平面β，则β∥α.(2)唯一性：设过a还有一个平面π∥α，∵π与δ有公共点A，∴π与δ相交于过A 的直线b″，又π∥a，δ∩b′，∴b″∥b′,∴b″∥b,而b″与b都过点A，故重合，故π与β重合.【课本难题解答】1.经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.已知：Aα，A∈β，β∥α求证：β是唯一的.证：设l过A点，且l⊥α，这样的直线是唯一的.又β∥α，则β⊥l，过点A与α平面的平行一定和l垂直.∵过点A和直线l垂直的平面是唯一的.∴过点A和α平行的平面是唯一的.2.一条直线和两个平行平面相交，求证：它和两个平面所成的角相等.已知：α∥β，直线a分别与α和β相交于点A和A′.求证：a与α所成的角与a与β所成的角相等.(1)当a⊥α时，∵α∥β，∴α⊥β.即a与α所成的角与a与β所成的角都是直角.(2)当a是α的斜线时，如图，设P是a上不同于A、A′的任意一点，过点P引a′⊥α, a′∩α＝B,a′∩β＝B′.连结AB和A′B′.∵α∥β，a′⊥α.∴a′⊥β由此可知，∠PAB是a和α所成的角，∠P′A′B是a和β所成的角，而AB∥A′B′.∴∠PAB＝∠PA′B′即 a和α所成的角等于a和β所成的角.3.a 和b 是两条异面直线，求证：过a 且平行b 的平面必平行于过b 且平行于a 的平面. 已知：a,b 是异面直线，a ⊂α，b ⊂β,a ∥β,b ∥α. 求证：α∥β.证：过b 作平面γ与平面α交于b ′4.如图，直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截. 求证：BC AB ＝EFDE 证：(i)当AC ，DF 共面S 时，连AD ，BE ，CF 则AD ∥BE ∥CF 从而BC AB ＝EFDE (ii)当AC 、DE 异面时，连CD 设CD ∩β＝G 连AD 、BG 、GE 、CF ，如图∵α∥β 平面ACD ∩β＝BG ，平面ACD ∩α＝AD. ∴BG ∥AD ∴BCAB ＝GC DG同理可证：EG ∥CF ，∴GCDG ＝EF DE∴BC AB ＝EFDE 综合(i)(ii)知：BC AB ＝EF DE .【命题趋势分析】本节应掌握两平面平行的概念、判定定理及性质定理，能运用这些概念、定理进行论证和解决有关问题.面面平行这一节直接出题的情况不多，各年高考中基本上都与其他章节知识综合出题，常以同学科知识间的单综合形式命题.【典型热点考题】例1 设直线a 在平面α内，则“平面α∥平面β”是“直线a ∥平面β”的( )条件A.充分但不必要B.必要但不充分C.充分且必要D.不充分也不必要解 若α∥β，∵a α，∴a 与β无公共点，∴a ∥β.若a ∥β，a α，则α，β的关系不能确定，所以应选A.例2 设a 、b 是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是( )A.经过直线a 有且只有一个平面平行于直线bB.经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线bC.存在分别经过直线a 和b 的两个互相平行的平面D.存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面解 A 、C 、D 均为真命题，B 为假命题；∵若过a 的平面α⊥b,则b 垂直α内的直线a ，从而a ⊥b ，那么限制a,b 必须垂直，而条件中没有指明a 、b 是否垂直.例3 α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可以判定平面α∥β的是( )A.α、β都垂直于平面γB.α内不共线的三点到β的距离相等C.l 、m 是α内的直线，且l ∥β，m ∥βD.l 、m 是两条异面直线，且l ∥α,l ∥β,m ∥α,m ∥β解 显然B 、C 不能推出α∥β，有α、β相交的情况存在，对于A 、D ，学了“面面垂直”后，就可以说明A 不能推出α∥β，α、β有相交的可能，从而选D.事实上，l ∥α，m ∥α，在α内任取一点A ，过A 作l ′∥l ，m ′∥m,因为l,m 异面，所以l ′,m ′相交，则可推出l ′∥β，m ′∥β.由面面平行的判定定理可推出α∥β.本周强化练习：【同步达纲练习】一、选择题1.一直线平行于两个平行平面中的一个，必与另一个( )A.平行B.相交C.平行或相交D.平行或在平面内2.平行于同一个平面的两个平面( )A.平行B.平行或者重合C.有可能相交D.以上都不对3.若平面α∥β，a α，b β，则a 与b( )A.平行B.异面C.平行或异面D.以上都不对4.两个平面都与二条直线平行，则这两个平面( )A.平行B.平行或相交C.相交D.以上都不对5.若平面α与两异面直线所成角相等，平面β与它们所成的角也相等，则α与β( )A.平行B.平行或相交C.相交D.以上都不对6.若a 、b 为异面直线，P 为空间一点，过P( )A.必可作一个平面与a 、b 都平行B.最多可作一个平面与a 、b 都平行C.可作一个平面与a 、b 都垂直D.可作一个平面与a 、b 都成定角α(0＜α＜2π)7.若空间三个不同的平面两两相交，则( )A.不可能只有两条交线B.必定相交于一点C.必定相交于一条直线D.必相交于三条平行直线8.下列命题中正确的是( )A.过平面外一点平行于此平面的直线在同一平面内B.平行于同一个平面的两条直线平行C.直线在平面外就是直线与平面没有交点D.空间两个平面不平行便垂直9.使平面α和平面β平行的条件是( )A.平面α内有无穷多条直线都与平面β平行B.直线a ∥α,a ∥β，且直线a 不在平面α内也不在平面β内C.直线a ⊂α直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥βD.平面M 内的任何直线都与平面N 平行10.已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过P 点的两条直线PAC 、PBD 分别交α于A 、B ，交β于C 、D ，且PA ＝6，AC ＝9，AB ＝8，则CD 的长为( )A.20B.4C.12D.20或411.a、b为互不垂直的两异面直线，过a、b分别作平面α、β，那么下列四种情形中：①b∥α;②b⊥α；③α∥β;④α⊥β，不可能出现的情形有( )A.1种B.2种C.3种D.4种12.已知AB、CD是夹在两平行平面α、β间的两条线段，AB⊥CD，｜AB｜＝2，AB与平面α成30°的角，则线段CD的长度范围是( )A.(332，23) B.［332,+∞］C.(1，332) D.［1,+∞)二、填空题1.若直线l与平面α，β所成的角均为θ，则α与β .2.若直线a∥直线b,a⊂α，b⊂β，则平面α与β .3.若平面α∩平面β＝1，A∈1,B∈1,AC⊂α，BD⊂β，则AC，BD .4.夹在两个互相平行的平面间有一条长4cm的垂线和一条长6cm的斜线，在每一个平面内，这两线段端点的距离都是3cm，则这垂线中点到斜线中点的距离是 .5.已知平面α∥平面β，在α内取四个点，在β内取三个点，这七个点最多可以确定_______个与α和β都相交的平面.三、解答题1.两条直线与两个平行平面相交，求证夹在两平行平面间的两条线段的中点的连线与两个平面平行.2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：(1)AP⊥MN；(2)平面MNP∥平面A1BD.【素质优化训练】1.如图，空间折线ABCD的各段分别交两个平行平面α，β于点M、M′、N、N′、P、P′，已知｜BN′｜＝16,｜CN｜＝9,｜MN′｜＝12,SΔMNP＝72.求SΔM′N′P′的值是多少?2.已知平面α∥平面β，AB、CD为夹在平面α、β之间的线段，并且AB+CD＝342.AB、CD在β内的射影分别为78，36.求平面α，β之间的距离.3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、M、N、Q分别为棱A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，CD的中点.求证：平面EFG∥平面MNQ.4.试证明：平行且相等的三条线段，如果不在同一平面内，那么它们对应端点所在的两个平面平行.5.以空间一点O为中点作三条不共面线段，AA1、BB1、CC1，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.6.两条异面直线AC，DF，依次与三个平行平面α、β、r相交于A、B、C和D、E、F，又AF，CD与平面β的交点为G，H，求证：HEGB为平行四边形.7.夹在两个平行平面α、β间有一条长8cm的垂线段AB和一条长12cm的斜线段CD，其中A、B为垂足，C、D为斜足，若AC＝BD＝6cm，E为AB中点，F为CD中点，求EF的长度.【生活实际运用】长方体AC1容器内注入一定数量的水以后，把容器底面一边BC置于水平桌面上，再将容器倾斜，当水面与长方形的四条侧棱分别交于E、F、G、H四点时(如图所示)，随着倾斜角度的变化，如下四个命题：①水的部分ABCDEFGH始终是直棱柱；②水面EFGH始终与棱A1D1平行；③水面EFGH的面积始终保持不变；④AE+BF始终不变其中正确的命题是( )A.①②B.①③C.①②③D.①②④提示：水平EFGH始终平行水平桌面，EH∥AD∥GF.从而②正确.AD⊥面A1B，从而①正确，因为水的体积未变，把面ABFE当作底面，高AD没发生改变，从而ABFE的面积没有变，则AE+BF始终不变，从而④正确，由S射＝S·cosθ知，随着角度的变化，而EFGH的射影面积始终是ABCD，所以EFGH的面积在发生变化，从而③不正确.∴应选D.【知识验证实验】小明到他父亲的木工房，看到一个如图所示，棱长为50cm的立方体工件，从立方体的前、后、左、右、上、下看，都有两个相通的正方形孔，请你算一算这个立体剩下的体积是多少?解 若没有孔的话，体积应为503＝125000(cm 3)，现在前后、左右、上下有6个“通孔”，每一个体积为10×10×50＝5000(cm)3，还应当看到任一“通孔”与另外两个“通孔”有交叉部分，这样共有6个交叉部分，每个部分体积为10×10×10＝1000(cm 3)，所以，所求体积为503-6×5000+6×103＝101000(cm 3).【知识探究学习】已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中：(1)若AB ＝5，AA 1＝4，AD ＝3.试求在长方体表面上从A 到C 1的最短路线.(2)若AB ＝a,AA 1＝b,AD ＝c ，且a ＞b ＞c ，试求长方体表面上从A 到C 1的最短距离.解 (1)将有关平面折直.(i)沿表面经过A 1D 1(或BC)到C 1点：AC 1＝212DC AD +＝22)54(3++＝90(ii)沿表面经过A 1B 1(或DC)到C 1点AC 1＝212BC AB +＝22)43(5++＝74(iii)沿表面经过B 1B(或DD 1)到C 1点AC 1＝212CC AC +＝224)35(++＝80从而，从A 经A 1B 1(或CD)到C 1距离最短，从而最短距离为74(2)由(1)的解及a ＞b ＞c 可知：22)(c b a ++＜22)(c a b ++＜22)(b a c ++即从A 点经过A 1B 1(或CD)到达C 1的路线最短. 其最短长度为22)(c b a ++参考答案【同步达纲练习】1.D2.A3.C4.B5.B6.B7.A8.A9.D 10.D 11.B 12.B二、1.若θ＝2π时，α∥β，若θ≠2π时，α、β平行或相交. 2.平行或相交.3.异面4.2cm5.30三、1.提示：分两种情况考虑.(i)当两直线共面时，可利用面面平行的性质定理进行证明；(ii)当两直线异面时，可利用面面平行的判定定理证明.(可参考课本难题解答第4题)2.(1)提示：AP 在平面BC 1内的射影BC 1⊥MN.∴AP ⊥MN(2)利用面面平行的判定定理.【素质优化训练】1.962.1603.略4.略5.略6.提示：连结AD ，证明BH ∥GE.7.4cm。
直线与平面平行的性质.许兴华
(key) a // b // c.
兴 T 华
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件
D1 A1 D P
N
B1
C1
C B
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兴 T 华
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A
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[应用举例]
高二数学
9.3直线与平面平行 的性质(2)
( 20121102 )
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[复习内容] 一.直线和平面平行
一条直线和一个平面没 有公共点, 叫做直线与平面平行. 直线a平行于平面α, 记作a//α.
二.直线和平面的位置 关系 1.直线在平面内 a 有无数个公共点 a α α 2.直线与平面相交 有且仅有一个公共点 a A α aα A
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β
a
b
a
α
b
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