有限元平面三角形网格的优化_张均锋

第16卷第3期山　东　矿　业　学　院　学　报Vol.16№3 1997年9月JOU RNAL OF SHANDONG MINING INSTITUTE Sep.1996

有限元平面三角形网格的优化

张均锋 刘桂斋 陈　刚

(山东矿业学院) (武汉大学)

摘　要　本文对有限元平面三角形网格优化的基础上,系统地提出了“结构优化”的概念,并对以往的网格光顺算法做了改进,提出了一种将结构优化和位置优化相结合的网格优化方法,弥补了以往的优化方法中对结构优化的忽视,使网格优化更加完善。

关键词　有限元;网格优化;结构优化;位置优化

分类号　O242.21

在利用电子计算机进行有限元分析过程中,可充分利用其容量大、速度快的特点,自动生成后序计算所需要的网格节点信息,而由于给定区域边界的不规则,一般来说这样生成的网格会有畸形(即瘦长或扁平形状),因此对生成的网格需作进一步的调整,使之尽量均匀化,即通常所称的网格优化。在实践中,不管用哪种方法产生的初始网格,都可通过优化程序使网格形状得到进一步改善,而随着网格规模的扩大,优化在网格生成的全过程中所占的时间比已从原来的50%上升到大于98%〔1〕,可见这一步工作的重要程度。

平面三角形网格优化的目标是使网格在总体上接近等边三角形网格,而这又主要进行两种性质的优化:“结构优化”和“位置优化”。前者调整网的拓扑结构,后者调整内部节点的位置。

网格的形状同它的结构有着密切的关系。在讨论网格结构时,首先引进节点的“度”的概念。在图论中,一个无向图中节点的度是共享该节点的边的数目。在本文中重新定义节点的度为共享该节点的单元数目。对于共享同一内部节点的正三角形单元来说,该节点的度为6,也就是说三角形网格内部节点的理想度为6。为了使输出三角形网格中不包含钝角单元,因此限定节点的度≥5,又根据文献〔2〕的经验,三角形网格内部节点的度应该≤8。用δ表示三角形网格内部节点的度,那么5≤δ≤8是较为合适的。

1　结构优化

按照节点的度的不同,分别讨论各种结构的单元节点(包括边界点和内部节点):

(1)度为1的节点　度为1的节点是边界节点,包含该节点的单元有两条边在边界上。设

收稿日期:1996—10—23

张均峰:男,1970年生,讲师,中科院力学研究所,博士学位研究生。

以该节点为顶点的单元内角为α,作如图1所示的变换

。

图

1图2

(2)度为2的节点　三角形网格中度为2的节点是边界节点,若以该节点为顶点的单元内角大于π2

,作如图2所示的变换。(3)度为3的节点　若三角形网格内部节点的度为3,那么以共享该节点的三个单元刚好拼成一个新的三角形,如图3所示

。

图

3图4

(4)度为4的节点　度为4的节点在边界上可以不予考虑。若内部节点的度为4,则要设法使它增至5。如图4所示,节点N 的度为4,由共享N 的三角形围成的四边形为ABCD ,设α为以N 为顶点的内角中最大的一个,那么作如图4所示的变换。

(5)度大于8的节点　度大于8的节点无论在边界上还是内部,都可以不考虑出现大内角的情况,因为在后面的“位置优化”中会把大内角调整为小内角,所用的方法与图4所示的类似。

在以上的讨论中,度为5、6、7、8的内部节点都不需要进行结构优化,而其它的所有节点都要接受检查,有的还要进行优化处理。边界节点由于不能位置优化,因而结构优化对它们显得尤为重要。总的原则是张角过大则增加度,张角过小则减少度。采用的方法是“相邻单元改变公共边”(见图4),所不同的是相邻单元的选择,如果张角过大,选择的相邻单元是与角α相对的单元(图2)。

2　位置优化

位置优化被抽象成一个带约束的最优化问题。设被优化网格有n 个内部节点,m 个单元,则设计向量D

(x 1,y 1,x 2,y 2,…,x n ,y n ),问题被描述成:

MinF (D )=-1n ∑m i =1α2i S ub .to :g i (D )≤0 (j =1,2,…,m )

(1)276 山　东　矿　业　学　院　学　报 第16卷

其中α是衡量单个三角形形状好坏的指标,其定义为〔3〕:设三角形ABC 的3个顶点坐标分别为(x A ,y A )、(x B ,y B )、(x C ,y C ),三角形面积为S ■ABC ,则

α=S ■ABC AB 2+ BC 2+ CA 2=0。5＊x A y A 1

x B y B 1

x C y C 1

(

x A -x B )2+(y A -y B )2+(x B -x C )2+(y B -x C )2+(x C -x A )2+(y C -y A )

2(2)

α的值在三角形为等边三角形时达到最大αmax =

0.1443,当三角形离等边三角形越远(如图5)时,α的值也就越小。

图5

约束条件g j (D

)定义为一个小正数δ与第j 个三角形的有向面积之差,即

g j (D )=δ-0.5＊x jA y jA 1

x jB y jB 1x jC y jC 1

(3)

对于拓扑结构正确的网格,其单元有向面积必须大于零,δ代表所允许的有向面积的最小值。

这里采用可行方向法解决该优化问题,它是解决约束优化问题的一类基本方法,其迭代格式是:

①从可行点D

0开始,设已迭代到容许点D k ;②在D

k 处用某种方法确定一个下降可行方向P k ;③在P

k 方向上寻找新迭代点D k +1=D k +t k P k ,使得D k +1是可行点且F (D k +1)

(D k ),置k =k +1,然后转②,直到某迭代点满足最优条件为止。

不同的可行方向法的主要区别在于确定下降可行方向的方法不同,还有在迭代点超出可行域之后的处理策略也有所不同。我们在这里将Topkis _Veinott 可行方向法作一下改动,形成以下的迭代算法:

(a )网格的初始坐标D

0作为初始点,置k =0;(b )关于约束问题

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