管理运筹学06非线性规划PPT课件

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1.1 非线性规划问题举例
Example1:
某商店经销A、B两种产品，售价分别 为20和380元。据统计，售出一件A 产品 的平均时间为0.5小时，而售出一件B 产品 的平均时间与其销售的数量成正比，表达 式为1 + 0.2n。若该商店总的营业时间为 1000小时，试确定使其营业额最大的营业 计划。
在此例中，约束h(X )x1x260对最优解发生 了影响，若以 h (X )x1x260代替原约束， 则非线性规划的最优解是X (2,2)，即图中的 C点，此时 f(X)0。由于最优点位于可行域 的内部，故事实上约束 h(X )x1x260并未 发挥作用，问题相当一个无约束极值问题。
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1.3 非线性规划问题的图示
[注] 线性规划存在最优解，最优解只能在 其可行域的边缘上（特别能在可行域的顶 点上）得到；而非线性规划的最优解（如 果存在）则可能在可行域的任意一点上得 到。
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2. 极值问题
局部极值与全局极值 极值点存在的条件 凸函数和凹函数 凸函数的性质 函数凸性的判定
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1.3 非线性规划问题的图示
x2 6
3 2
0
23
f(X)=4 f(X)=2
x1 6
由左图可见,等值线 f (X)=2和约束条件直 线6-6相切，切点D即
为此问题的最优解， X*=(3, 3)，其目标函 数值 f (X*)=2。
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1.3 非线性规划问题的图示
由数学分析可知，f (X) 的方向为X*点处 等值面（等值线）的法线方向，沿这一方 向函数值增加最快，如图所示。
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f (X)
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必要条件
f (X)方向
X*
满足 f(X)0的点
称为平稳点或驻点。
极值点一定是驻点；
但驻点不一定是极值
点。
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充分条件
充分条件 设R是En上的一个开集，f (X)在R上具有二 阶连续偏导数，对于XR，若 f(X)0且 对任何非零向量有：
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2.2 极值点存在的条件
必要条件
设R是En上的一个开集，f (X)在R上有一阶 连续偏导数，且在点 X R取得局部极值，
则必有
或
0 f(X) f(X)
x1
x2
f(X) xn
f (X) 0
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必要条件
f(X )( f (x X 1), f (x X 2), , f (x X n))T为函数 f (X) 在 X*点处的梯度。
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1.1 非线性规划问题举例
现需要从判断矩阵求出各属性的权重，
为使求出的权重向量W在最小二乘意义上
能最好地反映判断矩阵的估计，由
aij=wi/wj可得：
nn
mifn (w ) (aijw j w i)2 i 1 j 1 n wi 1 i 1
wi 0
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1.2 非线性规划问题的数学模型
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1.1 非线性规划问题举例
[解] 设x1和x2分别为商店经销A、B两种产品 的件数，于是有如下数学模型：
mfa(xx )2x0 138 x20 0.5x1x20.2x2 21000
x10,x2 0
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1.1 非线性规划问题举例
Example 2: 在层次分析（Analytic Hierarchy Process,
ZTH(X*)Z0
则X*为 f (X)的严格局部极小点。H (X *) 称为 f (X)在点X*处的海赛（Hesse）矩阵。
mifn(X),XEn
h i(X ) 0 ,(i 1 ,2 , ,m )
s.t.
g j(X ) 0 ,(j 1 ,2 , ,l)
其中 X(x 1,x2, ,xn)T是n维欧氏空间En中 的向量点。
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1.2 非线性规划问题的数学模型
由于，mfa (X )x m if(n X )[,]“≤”不等式仅乘 “-1”即可转换为“≥”不等式；因此上述数学 模型具有一般意义。又因为等价于两个不 等式： hi(X);0 hi(X),因0此非线性规划 的数学模型也可以表示为：
则称 X*为 f (X)在 R上的严格局部极小点， f (X*)为严格局部极小值；
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全局极值
对于X,X* ∈R均有不等式 f (X) ≥ f (X*) ， 则称 X*为 f (X)Байду номын сангаас R上的全局极小点，f (X*) 为全局极小值；
对于X,X* ∈R均有不等式f (X) > f (X*) ， 则称X*为f (X)在R上的严格全局极小点， f (X*)为严格全局极小值。
非线性规划问题及其数学模型 极值问题 凸规划 一维搜索 无约束极值问题 约束极值问题
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1. 非线性规划问题及其数学模型
非线性规划问题举例： Example1：第82页例6-1 Example2：第82页例6-2
非线性规划问题的数学模型 非线性规划问题的图示
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2.1 局部极值与全局极值
线性规划 最优解
全局最优解
非线性规划 局部最优解 未必全局最优
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局部极值
对于X-X* < 均有不等式 f (X) ≥ f (X*) ，
则称 X*为 f (X)在 R上的局部极小点，f (X*) 为局部极小值；
对于X-X*< 均有不等式 f (X) > f (X*) ，
简记为 AHP）中，为进行多属性的综合评 价，需要确定每个属性的相对重要性，即 它们的权重。为此，将各属性进行两两比 较，从而得出如下判断矩阵：
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1.1 非线性规划问题举例
a11 … a1n
J= …
…,
an1 … ann
其中： aij是第i个属性与第j个属性的重 要性之比。
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mifn(X),XEn
g j(X ) 0 ,(j 1 ,2 , ,l)
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1.3 非线性规划问题的图示
m f(X i) n ( x 1 2 ) 2 ( x 2 2 ) 2
h (X )x1x2 60
若令其目标函数f (X)=c,目标函数成为一 条曲线或一张曲面；通常称为等值线或等 值面。此例，若设f (X)=2和f (X)=4可得两 个圆形等值线，见下图：