数学建模论文++饮酒驾车的数学模型

饮酒后的驾车问题

摘要

本文解决的是一个司机安全驾车与饮酒的问题，目的是通过建立一个数学模型（结合新的国家驾驶员饮酒标准）分析司机如何适当饮酒不会影响正常的安全驾驶。根据一定合理的假设，建立人体内酒精浓度随时间变化的微分方程模型，并通过拟合曲线对数据进行分析。在不同饮酒方式下进行分类讨论，得出体内酒精浓度随时间的变化函数。在讨论过程中，我们得出两个结论：在短时间喝酒形式形式下，达到最大值的时间为1.23小时，与喝酒量无关；在长时间喝酒形式下，喝酒形式下，喝酒结束时酒精量含量最高。最后，我们讨论了模型的优缺点，并结合新的国家标准写一篇关于司机如何饮酒的一篇短文。

关键词：微分方程、模型。

一、问题重述

据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？

请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：

1. 对大李碰到的情况做出解释；

2. 在很短时间内喝了4瓶啤酒或者八两低度白酒后，多长时间内驾车就会违反上述标准？

3.在一小时内匀速喝了半斤白酒的人，多长时间后开车可以不被认定为饮酒驾车?

4. 如果每天喝一瓶啤酒，是否还能开车？

5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据

1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包

括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2. 体重约70kg 的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：

二、模型假设

1、酒精从胃转移到体液的速率与胃中的酒精浓度成正比。

2、酒精从体液转移到体外的速率与体液中的酒精浓度成正比。

3、酒精从胃转移到体液的过程中没有损失，且不考虑误差。

4、酒精在体液中均匀分布。

三、符号说明

k 0:酒精从体外进入胃的速率；

f 1(t):酒精从胃转移到体液的速率；

f 2(t):酒精从体液转移到体外的速率；

X(t):胃里的酒精含量；

Y(t)：体液中酒精含量；

V 0:体液的容积；

K 1:酒精从胃转移到体液的速率系数；

K 2:酒精从体液转移到体外的速率系数；

C(t):体液中的酒精浓度。

0D ：短时间喝酒情况下进入胃中的初始酒精量。

T ：较长时间喝酒所用的时间或达到浓度最大值所需时间。

四、模型的分析与建立

（一）、模型分析：

假设酒精先以速率0k 进入胃中，然后以速率)(1t f 从胃进入体液，再以速率f 2(t)

从体液中排到体外。

（二）模型建立：找到C(t)与t 的关系

用x(t)与y(t)分别表示酒精在胃、体液中的酒精量，c(t)表示酒精在体液中的浓度。根据前面的假设可知：

)()(11t x k t f =

)()(22t y k t f =

1.对胃建立方程： dx(t)=k 0dt-f 1(t)dt

)()(10t f k dt

t dx -= 可得：

01)()(k t x k dt

t dx =+ 利用一阶线性常微分方程求解，可以得到；

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=-01110111)0()(1x x A c k k A A e c t x t k 又因为)()(11t x k t f = ，联合式可得：

111111)(A k e c k t f t K +=-

0111k e c k t k +=-

00011)(k e

k x k t k +-=-

2又对中心室可建立方程组如下；

120

()()()(0)dy t f t f t dt y y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 同理：

12()()()dy t f t k y t dt

=- 因为000111)()(k e k x k t f t k +-=-，将其代入上式可得到：

000121)()()(k e k x k t y k dt

t dy t k +-=+- 利用微分求解：

t k t k t k t k e B A e c e k k k x k k k e c t y 121222212001202)(----++=--++= 又酒精浓度为酒精量与体液容积之比，0)()(v t y t c =

，即： t k t k e B A e c t c 12333)(--++=

（其中 023v c c =，0203v k k A =，0

120013)(v k k k x k B --=，0333)0(c c C B A ==++）。 （三）模型的讨论：

情况一 1当酒是在较短时间内喝时

此时有00)0(x D x ==，00=k ，00=c 。

由上可得：03=A ，012013)(v k k D k B -=

，33B c -= 因此有：

]333121212[)

()(t k t k t k t k t

k t k e e A e e B e B e B t c -------=--=+-= （其中 0

21013)(v k k D k B A -=-=） 利用数表一：（喝下两瓶啤酒 取0.25小时以后）

通过Matlab 命令lsqcurvefit 进行曲线拟合可得：

>> tdata=[ 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16]; cdata=[30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4]; 得到1k k1=1.8835,2k =0.1951

A=120.1100

根据查阅资料可知：一瓶啤酒的酒精量一般为640ml ，密度为810mg/ml 酒精浓度不超过

4.5%，所以两瓶啤酒的酒精总量02640810 4.5%46656D mg =⨯⨯⨯=

由于体重为70kg,体重的65%左右，体液密度为1.05g/ml 33.433100

05.110%65703

0=⨯⨯⨯=v 百毫升。

可得短时间内喝下两瓶啤酒时关系式如下；

0.1951 1.8835()120.1100[]t t c t e e --=-