2019年的一个高考数学第6题解法

2019年的一个高考数学第6题解法 2019年全国高考理科数学试卷的第6题是：

6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A 165

B 3211

C 3221

D 1611 这道题是一道考察排列、组合以及古典概率的基础题。排列、组合、古典概率是高中数学的必修内容，教材在讲授这些内容时，常常要用一些简单的模型作为例题或者习题的载体，诸如排队、摸球、掷骰子之类的事例，有时还需要结合一些科学文化，游戏娱乐的内容。今年的高考试题所引用的“易卦”（试题中称为重卦是更传统的说法）就是一个很好的例子。易卦不仅可以作为排列组合的典型例题，而且它还蕴含着十分丰富的数学内容，而且其中很大一部分都能与高中数学教材紧密结合。

一

《易经》是我国浩如烟海的先秦古籍中一部最具魅力的经典，古代经学家曾把它列为群经之首。它对我国古代的哲学思想甚至中华民族的整个文化都产生过极为深远的影响。

卦是《易经》中特有的符号，它是由两种不同的符号“一”和“－－”构成的。“一”叫做阳爻，“－－”叫做阴爻，阳爻和阴爻统称为爻。每一个卦都有专门的名称。如

······

乾坤屯蒙既济未济

传统的易学研究认为，由六个爻组成的易卦是由两个三爻的卦上下重叠而成的。所以自古以来便有“伏羲画卦，文王重卦”的说法。三爻的卦共有8个，称为“八经卦”，它们是：

坤艮坎巽震离兑乾

经卦也称为单卦，易卦则称为重卦。由排列组合知，由8个经卦两两重叠而成的重卦有82=64个。

一个六爻的重卦还可以看成是由三个二爻卦叠合而成的，二爻的卦共有四个，称为四象，它们也有专门的名称：

太阴少阴少阳太阳

一个重卦还可以看成是由三个二爻卦重叠而成，这样的卦有43=64个。

易卦这套符号系统，有许多奇异的功能，特别是构建模型的功能。所以历代都有易学家试图将这套符号系统发展为包罗宇宙、人生万象的图式。《周易·系辞下传》说：“昔者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。”这一观点认为：伏羲所作的卦，是通过对天地间一切事物的观察，从各种不同的方面抽象出来的一种“类万物”的综合性的模式。东汉经学家郑玄将其概括为：“《易》一名而含三义：易简，一也；变易，二也；不易，三也。”

这就是说，《易经》提出了宇宙人生、万事万物的一种简化了的模型（易简），通过模型以帮助人们了解事物变化的规律（变易），研究其中不变的原理（不易），从而解决各种疑难问题。

二

我国魏晋时期的数学家刘徽曾经说过：“观阴阳之割裂，总算学之根源”。阴阳爻的互变，可以是许多数学原理的基础。

（1） 易卦与组合论

易卦除了与排列组合有密切的关系外，也与二项式定理等内容密切相关。例如对今年的高考试题，试用A 代表阳爻，B 代表阴爻，则在二项式

（A+B)6=A 6+6A 5B+15A 4B 2+20A 3B 3+15A 2B 4+6AB 5+B 6

的展开式中，A 3B 3一项的系数就是恰有三个阳爻的重卦的个数，因为重卦共有64个，所以在所有重卦中随机取一重卦，该卦恰有3个阳爻的概率是16

56420 。 （2）易卦与数的进位制

1703年，德国数学家兼哲学家莱布尼兹（Leibniz,1646—1701）惊奇地发现，他发明的二进制数与中国古老的易卦具有同构关系，如果把易卦中的阳爻与1对应，阴爻与0对应，则每一个六爻卦都对应一个六位的二进制数（为统一计，允许在不足六位的二进数前补0，使凑足六位）。任何一个自然数都是可以用二进制来表示的，这就意味着，任何一个自然数也都是可以用一个（不限于六爻的）易卦来表示的。如

0011012=13

反过来，每一个不超过63的自然数，把它化为二进制数后，也一定可以表示为一个易卦，如：

39=1001112

把一个卦的爻数不断增加，可以表示更大的自然数；

同样地，我们还可以用四象作为“四进制数”的四个数码（0, 1, 2，3），或者把8个经卦借用为“八进制数”中的8个数码（0,１,２,３,４,５,６,７），那么每一个重卦就可以表示为0—63之间的“四进制数”或“八进制数“。例如37可表是为

1001012 2114 458

（3）易卦与集合论

设G={a1, a2，a3，a4，a5，a6}是一个6元集合(集合的元素本来没有顺序，为了需要也可以给他编序)，任取它的一个子集例如H={a1, a3，a6},那么我们取一个第1、第3、第6爻是阳爻，其余各爻都是阴爻的卦，即(贲卦)和它对应；反过来，对于任何一个易卦，例如(大过卦)，它的第二、三、四、五爻是阳爻，我们便可以取G的一个子集S={a2，a3，a4，a5}和它对应。这样我们就在6元集G的子集与易卦之间建立起一一对应的关系。如

{ a1, a2，a5，a6}→（中孚卦）；

{ a2，a4，a6 }→（未济卦）；

空集 →（坤卦）；

全集H→（乾卦）。

反过来，对于任何一个易卦，都可以找到6元集G的一个子集和它

对应，如

（离卦）→{ a1, a3，a4，a6}

（夬卦）→{ a1, a2，a3，a4，a5}。

因此，我们可以把每一个易卦看成6元集G的一个子集，全体易卦所成之集则是G的幂集。

(4)易卦与数论

《周易》中为了随机的得到一个卦，还有一套“揲蓍成卦”的方法，称为“大衍之术”。大衍之术是一套严格的程序，它与同余式、概率论等都有直接的联系。我国宋代著名数学家秦九韶发明了一次同余式组的解法，那是数学史上一项重要的成果，外国称它为“中国剩余定理”，而秦九韶本人却称它为“大衍求一术”。可见大衍之术的确与数论有某些联系。

（5）易卦与群论

当我们对全体易卦的集合引进适当的运算之后，易卦集就成为一个群。为简单计，以三爻的经卦为例，定义它的乘法如下：两卦相乘时，如果两个卦在同一爻位上的爻性相同，那么乘积在该爻位就得到阳爻；如果两个卦在同一爻位上的爻性相反，积中该爻位就到阴爻，如图所示。

八卦乘法示意图

这个乘法显然可以推广到任意爻数的卦中去。与有理数乘法的符号规则“同号得正，异号得负”类似，可以把这个乘法规则称为“同