带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类

带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类
命题人：罗 通 审题人：吉彬
一、单直线边界磁场
1．进入型：带电粒子以一定速度υ垂直于磁感应强度B 进入磁场. 规律要点：
（1）对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成
θ角的速度离开磁场.如图1所示.
（2）完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的圆弧轨道恰构成一个完整的圆；
正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场时，两粒子轨道圆弧对应的圆心角之和等于2π rad ，即2+-+=ϕϕπ，且2-=ϕθ（或
2+=ϕθ）.
2．射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面各个方向以相同速率发射同种带电粒子. 规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例） （1）最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于
1
2
圆周时且与边界相切（如图2中a 点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）；
（2）最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于
1
2
圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b 点）为带电粒子射出边界的最远点.
图2中，在ab 之间有带电粒子射出，设ab 距离为x ，粒子源到磁场边界的距离为d ，带电粒子的质量为m ，速度为υ，则
m υr=
Bq
()22
22aO=r -d-r =dr-d ()
2
22Ob=r -d
22224x=ab=aO+Ob=dr-d +r -d
例1．如图所示，在y ＜0的区域存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B.一带正电的粒子以速度υ0从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面，与x 轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为l ，求该粒子的电量和质量之比
m
q 。

υ
υ θ θ υ
υ
O －
O ＋ θ φ＋ φ－ 图1
图2
d S
b
O 2
O 1 a O
二、双直线边界磁场
规律要点：
最值相切：当粒子源在一条边界上向纸面各个方向以相同速率发射同一种粒子
时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切.图3所示. 对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线. 在图3中，ab 之间有带电粒子射出，可求得2
22ab=dr-d
最值相切规律可推广到矩形区域磁场中.
例2．一足够长的矩形区域abcd 充满磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁
场，矩形区域的左边界ad 宽为L ，现从ad 中点O 垂直于磁场射入一带电粒子，速度
大小为0υ方向与ad 边夹角为30°，如图所示。

已知粒子的电荷量为q ，质量为m （重力不计）。

（1）若粒子带负电，且恰能从d 点射出磁场，求0υ的大小；
（2）若粒子带正电，使粒子能从ab 边射出磁场，求0υ的取值围以及此围粒子在磁场中运动时间t 的围。

三、圆形边界
1．圆形磁场区域：
（1）相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心；（如图4所示）
（2）直径最小：带电粒子从圆与某直径的一个交点射入磁场则从该直径与圆的另一交点射出时，磁场区域最小.（如图5所示） 2．环状磁场区域：
（1）带电粒子沿（逆）半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆（沿）半径方向射出磁场； （2）最值相切：（如图6所示）当带电粒子的运动轨迹与圆相切时，粒子有最大速度υm 或磁场有最小磁感应强度B .
r 1
O ’
r
r
υ υ
r 2 图6
B
b a O
θ B
R b a O
υ
υ r B
O
r R b a O ’
υ υ
图3 d O 2
O 1 a
b
υ S
例3．地磁场可以“屏蔽”来自太空的带电粒子，防止这些高速运动的带电粒子对地球带来的危害.在高能物理实验中，为了避免宇宙射线中的带电粒子对实验的影响，可在实验装置外加磁场予以屏蔽.如图所示，半径为r 2的圆管形实验通道为实验中高能带电粒子的通道，在r 2到r 1的圆环形加有匀强磁场.假设来自太空的带电粒子的最大速度为υ，粒子均沿半径方向射入磁场区，为了使这些粒子均不能进入实验通道，则磁感应强度B 至少为多大？已知带电粒子的质量均为m ，电荷量均为-q .
四、带电粒子在磁场中运动的极值问题
寻找产生极值的条件： ① 直径是圆的最大弦； ② 同一圆弦对应大的圆心角； ③ 由轨迹确定半径的极值。

例4．如图半径r ＝10cm 的圆形区域有匀强磁场，其边界跟y 轴在坐标原点O 处相切；磁场B ＝0．33T 垂直于纸面向，在O 处有一放射源S 可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106
m/s 的α粒子；已知α粒子质量为m=6.6×10-27
kg ，电量q=3.2×10-19
c ，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t 各多少？
练习
1.如图所示，一束电子（电量为e ）以速度v 垂直射入磁感强度为B ，宽度为d 的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是 ，穿透磁场的时间是 。

m
υ
2.长为L的水平极板间，有垂直纸面向的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（）
A．使粒子的速度v<BqL/4m；
B．使粒子的速度v>5BqL/4m；
C．使粒子的速度v>BqL/m；
D．使粒子速度BqL/4m<v<5BqL/4m。

3.如图所示，带负电的粒子垂直磁场方向进入圆形匀强磁场区域，出磁场时速度偏离原方向60°角，已知带电粒子质量m=3×10-20kg，电量q=10-13C，速度v0=105m/s，磁场区域的半径R=3×10-1m，不计重力，求磁场的磁感应强度。

4.圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿OO＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间。

M
L
O＇
N
带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类参考答案
例1.解析：根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，找出圆心A ，向x 轴作垂线，垂足为H ，由与几何关系得： R L sin θ=
12
①
带电粒子在磁场中作圆周运动，由 qv B mv R
00
2
=
解得R mv qB
=
②
①②联立解得
q m v LB
=
20sin θ
例 2.解析：此例包括单直线边界进入型、双直线边界中的最值相切两种类型。

（1）为单直线边界进入型，由图可知：O 1为轨道圆心，由于对称性，速度的偏转角θ1＝60°，故轨道半径12
L
r =
据2
001m υq υB r =， 则102qBr qBL
υm m
==
（2）当0υ最大时，轨道与cd 相切：
11cos602
L
R R -︒=，得R 1=L
则1max qBR qBL
υm m
==
当0υ最小时，轨道与ab 相切： 22sin302
L
R R +︒=，得23L R =
则2min 3qBR qBL υm m == 03qBL qBL
υm m
∴<≤
带电粒子从ab 边射出磁场，当速度为max υ时，运动时间最短。

min 15053606m t T Bq
π==
速度为min υ时，运动时间最长 max 24043603m
t T Bq
π== ∴粒子运动时间t 的围5463m m
t Bq Bq
ππ≤<
例3.解析：要使带电粒子不进入实验通道，则粒子运动的轨道只能与半径为r 2的圆相切，因此由几何关系可得
()2
2221r+r =r +r ① m υ
r=
Bq
② 联立解得 221222r -r m υ=r Bq ，即(
)
2
2212
2m υr B=q r -r
O 3 O 2
O 1 60°
例4．解析：α粒子在匀强磁场后作匀速圆周运动的运动半径：r 2m 2.0qB
m v
R ===
α粒子从点O 入磁场而从点P 出磁场的轨迹如图圆O /
所对应的圆弧所示，该弧所对的圆心角即为最大偏转角θ。

由上面计算知△SO /
P 必为等边三角形，故θ＝60° 此过程中粒子在磁场中运动的时间由
即粒子在磁场中运动的最长时间。