机械制图第十一章

(a)
(b)
斜口四棱柱管的展开图
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2.平面立体的表面展开图案例
【案例2】根据图（a）所示四棱台形管的主视图和俯视图，画出其表面展开图。
机械制图
线面分析：该四棱台形管的四条棱线延长后交于一点S，因此其基本
形体为四棱锥，且锥顶S的水平投影落在上、下底面水平投影的中心处，
(b)
所以该四棱锥是正四棱锥。可以先将四棱锥展开，然后在四棱锥的展开
制件立体表面按其几何性质不同分为可展表面和不可展表面两类。凡 表面是平面或直线面中素线是平行或相交的曲面（如柱面、圆锥面等）都 是可展表面，其他所有的曲面（如球面、环面、螺旋面）都是不可展表面。 不可展表面只能采用近似展开的方法画出其表面展开图。
机械制图
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2
平面立体的表面展开图
机械制图
平面立体的表面都是平面多边形，因此将组成该立体表面的各平面多边形的 实形依次相连地画在一个平面上，即可得到其表面展开图。绘制表面展开图时经 常会遇到求作线段实长和平面实形的问题。求作线段实长和平面实形的方法很多， 除了前面所讲的换面法和已介绍过的直角三角形法外，常用的还有旋转法。
图上截取四棱台形管的展开图。
四棱锥前后两侧面和左右两侧面分别为两对全等的等腰三角形。四 棱锥的底面棱边是水平线，水平投影反映实长。四条侧棱是一般位置直
(a)
四棱台形管的展开图
(c)
线，且长度相等，可利用直角三角形法或旋转法求出其实长，然后根据
等腰三角形的底边和腰的实长，依次画出四棱锥的4个侧面（即4个等腰
① 在俯视图上将圆锥的底圆分成n等分（如12等分）。 ② 根据“长对正”在主视图上求出各等分点对应的圆锥素线的V 面投影，如图（a）所示。 ③ 以锥顶S为圆心，以圆锥母线长L为半径画弧Ⅰ-Ⅰ，然后以圆 锥底圆上任一等分的弦长（用弦长代替弧长）在弧Ⅰ-Ⅰ上依次量取12 等分，得等分点Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，…，Ⅶ，…，Ⅰ，最后过锥顶S用直线分 别连接两个Ⅰ点，即得圆锥的近似展开图。 ④ 以锥顶S为圆心，以圆锥母线L1为半径画弧，则两个扇形的差 就是正圆锥台表面展开图，如图（b）所示。
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机械制图
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1 2
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概述 平面立体的表面展开图 可展曲面的展开图 不可展曲面的近似展开图
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1
概述
将制件各理论表面按实际形状和大小展开，并画在同一平面上的图形 称为立体的表面展开图。
画立体表面展开图的过程一般是先按适当的比例画出制件的平面图， 然后根据平面图画出其表面展开图。画展开图的实质就是求制件各表面的 实形，求各表面实形的关键是求制件表面各条棱边的实长。
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2.平面立体的表面展开图案例
机械制图
【案例1】根据图（a）所示斜口四棱柱管的主视图和俯视图，画出其表面展开图。
线面分析：由于组成该四棱柱管的四个侧面均为平面四边形，前、后面为 两个全等的梯形，左面和右面均为矩形，且该四棱柱管所有棱边的实长均能在 主视图或俯视图上找到。
作图步骤（参见图（b））： ① 四棱柱管的底边展开为一条水平线，在该水平线上依次量取AB＝ab， BC＝bc，CD＝cd，DA＝da。 ② 由A，B，C，D，A各点分别向上作垂线，并在各垂线上依次量取AE ＝a′e′，BF＝b′f′，CG＝c′g′，DH＝d′h′，AE＝a′e′。 ③ 用直线依次连接端点E，F，G，H，E，即可得斜口四棱柱管的展开 图。
(a)
(b)
(c)
多节等径圆管直角弯头的展开图
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2.正圆锥面的展开图
1．计算法
如图（a）所示，圆锥面展开后是一个扇形。扇 形的圆心是锥顶S，扇形的半径等于圆锥母线的实长 L，扇形的圆心角a=180°×D/L（其中D为圆锥的底圆 直径）。根据计算得到的圆心角a和圆锥的主视图和 俯视图，即可画出圆锥面的展开图。
由于各段圆管斜口与其圆柱轴线的夹角相等，为了简 化作图和省料，可将这4节斜口圆管拼成一个直圆管来展 开，即将A1和B1段绕其轴线旋转，使其与A，B段拼成一段 直圆柱管，如图（b）所示，然后用棱柱法或计算法按斜 口圆柱管的展开方法画Biblioteka Baidu其展开图即可。
(a)
(b)
(c)
多节等径圆管直角弯头的展开图
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机械制图
机械制图
(a)
(b)
正圆锥面的展开图（棱锥法）
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机械制图
2.正圆锥面的展开图
3．圆锥面展开图绘制案例
【案例】图（a）所示为斜截口正圆锥管的立体图，图（b）为其主视图和俯视图，绘制其展开图。
线面分析：斜截口正圆锥管的展开方法和正圆锥面的展开方 法相同，只是斜截口正圆锥管表面上相邻等分点处两素线长度不再 相等，而且除转向轮廓线上的素线外，其余素线在主视图上不再反 映实长。
差），则直角三角形S1O1E1的斜边S1E1即为侧棱SE的实长，如图（b）所示。
② 在S1O1上量取OO1等于四棱台的高H（E，A点的Z坐标差），然后
过O点作水平线OA1交直角三角形的斜边于A1，则A1E1即为四棱台侧棱AE的
实长。
(a)
③ 作四棱锥侧面的展开图。根据已知侧棱的实长和三角形底边的实长，
1.柱面的展开图
1．棱柱法
棱柱法就是将圆柱面近似看作是一个棱柱面，然后按棱柱 面的展开方法作近似展开。如图所示为斜口圆柱管的展开，其作 图步骤如下：
① 在俯视图上将底圆分成n等份（如12等份）。 ② 根据“长对正”在主视图上求出各等分点对应的素线高。 ③ 在主视图右侧作一条水平线，然后在该水平线上从A点 开始，依次量取各线段等于一个等分的弦长（用弦长代替弧长）。 ④ 根据投影关系，依次过A，B，C等各点作垂线，然后从 主视图上量取对应素线的实长，最后将得到的这些交点用光滑曲 线连接，即可得斜口圆柱管的展开图。
图（b）所示为正圆锥台的主视图和俯视图，圆 锥台表面展开图按其下底圆和上底圆对应的两个圆 锥展开，下底圆锥面的扇形减去上底圆锥面的扇形 即为正圆锥台表面的展开图，如图（c）所示。
机械制图
(a)
(b)
(c)
正圆锥及圆锥台面的展开图（计算法）
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2.正圆锥面的展开图
2．棱锥法
棱锥法就是将圆锥面近似看作是一个棱锥面，然后按棱锥面的展 开方法作近似展开。如图所示的正圆锥台表面的展开图，其作图步骤 如下：
利用计算法或棱锥法画出完整圆锥面的展开图后，再求出斜 截口的展开曲线，二者之间的部分就是斜截口正圆锥管的展开图。 求斜截口展开曲线上的等分点时，可先采用旋转法求出一般位置素 线的实长。
(a) (b)
斜截口正圆锥管面的展开图
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机械制图
2.正圆锥面的展开图
3．圆锥面展开图绘制案例
【案例】图（a）所示为斜截口正圆锥管的立体图，图（b）为其主视图和俯视图，绘制其展开图。
度相等，所以a′b1′也是直线AB的实长。
由于B点在旋转到B1位置时Z坐标不变，而且AB和AB1的水平投影长度相等，
因此可以根据AB的投影求出AB1的投影，如图（b）所示。
(a)
旋转法求一般位置直线的实长及其与投影面的夹角
(b)
(c)
具体作图步骤如下： ① 过A点的水平投影a作OX轴的平行线，然后以a点为圆心，ab为半径画弧，其圆弧与水平线的交点即为b1点。 ② 过b1点作OX轴的垂线，然后过b′点作OX轴的平行线，这两条直线相交于b1′点，则b1′点为B1点的V面投影。 ③ 连接a′b1′，则a′b1′为直线AB和AB1的实长。a′b1′与OX轴的夹角a就是直线AB与H面的夹角。 如果将直线AB绕过A点的正垂线AC旋转成水平线AB1，则B点和B1点的Y坐标相同，直线AB和AB1的V面投影长度相等，AB1的 水平投影ab1反映实长，即为直线AB的实长。ab1与OX轴的夹角b就是直线AB与V面的夹角，如图（c）所示。
三角形）的实形，最后去掉被截部分即可。
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机械制图
2.平面立体的表面展开图案例
【案例2】根据图（a）所示四棱台形管的主视图和俯视图，画出其表面展开图。
作图步骤：
① 利用直角三角形法求四棱锥侧棱的实长。以水平投影se的长度作水
平线O1E1，自O1点作垂线S1O1，使S1O1等于四棱锥的高H0（E，S点的Z坐标
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机械制图
1.旋转法求一般位置直线的实长
投影面保持不变，将空间几何元素绕某一定轴旋转到有利于解题的位置，再求出其旋转后的投影，这种方法 称为旋转法。
如图（a）所示，直线AB是一般位置直线，过端点A作回转轴AC，并使AC
垂直于投影面H（即AC为铅垂线），然后将AB绕回转轴AC旋转至平行于V面的
AB1位置。此时，AB1是正平线，V面投影a′b1′反映AB1的实长，由于AB和AB1长
作图步骤如下：
1．近似柱面展开法
① 在球面的俯视图上将球面等分为12等份，此时，主视图 中轴线n′s′右侧的圆弧n′o′s′是与正右方一等份相切的圆柱面的V面
如图（a）和（b）所示，过NS轴作若干个铅垂面，将球面 投影，该段圆柱面的水平投影是△nab。
等分成若干等份（如12等份），每一等份球面用一块与该球面相
机械制图
计算法绘制斜口圆柱管的展开图
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机械制图
1.柱面的展开图
3．圆柱面展开图绘制案例
【案例】根据图（a）所示多节等径圆管直角弯头的主视图，绘制其展开图。
形体分析：等径圆管直角弯头常用于连接两个垂直相 交的大口径圆管，这种圆管直角弯头在工程中常采用多节 斜口圆管拼接而成。图（a）所示为4节等径圆管直角弯头， 由A，B两种形状的斜口圆管组成。
作图步骤： ① 用棱锥法画出圆锥表面的展开图，然后等分俯视图中的圆周，并根据 “长对正”在主视图上作出各等分点处的素线，如图（b）所示。 ② 利用旋转法求出斜截口正圆锥管各等分点处素线的实长。过图（b） 中主视图上各截点的V面投影a′，b′，c′，…，g′作水平线，并使其与圆锥右侧 的转向轮廓线相交，所得各交点到1′点的距离就是斜截口正圆锥管各等分点处 素线的实长。 ③ 将各素线实长用画圆弧的方法分别与圆锥展开图中相应素线s′Ⅰ，s′Ⅱ， s′Ⅲ，…，s′Ⅶ相交，即得到的交点A，B，C，…，G即为斜截口展开曲线上的 点。利用对称性可求出斜截口展开曲线上的其余点，最后用光滑曲线依次连接 各点，即可得斜截口正圆锥管面的展开图，如图（b）所示。
1.柱面的展开图
3．圆柱面展开图绘制案例
【案例】根据图（a）所示多节等径圆管直角弯头的主视图，绘制其展开图。
作图步骤： ① 将四段斜口圆管拼成图（b）所示的直圆柱管，然后画出该 直圆柱管A1段的底圆（画出半圆即可），接着将该半圆6等分，并在 直圆柱管上求出底圆上等分点对应的素线实长，如图（b）所示。 ② 在直圆柱管右侧作一条水平线，在此水平线上从Ⅳ点开始， 依次量取各线段等于一个等分弦长（用弦长代替弧长），得等分点 Ⅳ，Ⅲ，Ⅱ，Ⅰ等各点。 ③ 依次过Ⅳ，Ⅲ，Ⅱ，Ⅰ等各等分点作垂线，然后从直圆柱 管上量取A段斜口各点对应素线的实长，最后将得到的各点光滑连 接，即得A段斜口圆柱管的展开图。 ④ 采用同样的方法依次画出B1，B，A1段斜口的展开曲线，最 后按“高平齐”画出四周的边界即可得到完整的展开图，如图（c） 所示。
并按各侧面的顺序依次作出侧面三角形SEF，SFG，SGH，SHE的实形，即
为四棱锥的展开图。
④ 作四棱台形管的展开图。在四棱锥展开图上依次量取SA＝SB＝SC
＝SD＝SA＝S1A1，得A，B，C，D，A各点，连接这些点，即得四棱台形管 的展开图，如图（c）所示。
(b)
四棱台形管的展开图
(c)
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可展曲面的展开图
机械制图
棱柱法绘制斜口圆柱管的展开图
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1.柱面的展开图
2．计算法
计算法就是将圆柱面按底圆的周长L＝πd（d为圆柱的直径） 展开，底圆上任意点对应的素线长度可从与圆柱轴线平行的视 图中量取。右图所示为斜口圆柱管的展开，其作图步骤如下：
① 在俯视图上将底圆分成n等份（如12等份）。 ② 根据“长对正”在主视图上求出各等分点对应的素线高。 ③ 在主视图右侧作一条水平线段，使该水平线段的长度等 于底圆的周长πd，然后将该线段n等分（如12等分），得到等分 点Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，…，Ⅶ，…。 ④ 依次过Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，…各等分点作垂线，然后从主视图 上量取对应素线的实长，最后将得到的这些交点用光滑曲线连 接即可。
(a) (b)
斜截口正圆锥管面的展开图
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不可展曲面的近似展开图
工程上常见的球面、环面、螺旋面等， 在理论上都是不可展曲面。不可展曲面只 能用近似方法展开，其原理就是将这些不 可展曲面适当地分为若干部分，然后将每 一部分表面看成是可展开的平面、柱面或 锥面来进行展开。
机械制图
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机械制图
1. 球面的近似展开