垂径定理及推论教学设计

24.1.2 垂径定理及其推论教学设计

【教材分析】

本节是《圆》这一章的重要容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。

【教学目标】

根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识目标：

使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

方法与过程目标：经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。

情感态度与价值观目标: 在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。

【重点与难点】

重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。难点：对垂径定理及其推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。

【学生分析】

九年级学生已了解圆的有关概念；但根据皮亚杰的认知发展理论：这个阶段的学生思维正处于具体思维向抽象思维发展、逻辑思维向形式思维发展、部心理上逐步朝着自我反省的思维发展。虽然他们具有一定的数学活动经验、生活经验和操作技能，会进行简单的说理，但他们的逻辑思维能力和抽象思维能力还比较薄弱。对如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型的能力较差。

【教学方法】

鉴于教材特点及九年级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平，让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验--- 观察--- 猜想--- 证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学” 的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。

设计理念】

在教学设计和课堂教学中应充分了解学生，研究学生，我们不仅要备教材，而且还要备学生。要真正树立以学生的发展为本的教学理念。只有这样，才能为学生提供充分的教学活动和交流的机会，使学生从单纯的的知识接受者变为数学学习的主人。

【教师准备】

《问题导读--- 评价单》、《问题生成--- 评价单》、《问题训练--- 评价单》

教学过程的设计】

①这个图形是对称图

形吗

②你能发现图中有哪

些相等的线段和

弧？请说明理由。

③你能用一句话概括这些结论吗？

垂径定理：垂直于弦的直径平分

弦，并且平分弦所对的两条弧。

④你能用几何方法证明这些结论

吗？

⑤你能用符号语言表达这个结论吗？

3．垂径定理的推论如上图，若直径CD平分弦AB则①直径CD 是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？②你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）③如果弦AB 是直径，以上结论还成立吗？

例题示，变式练习

学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正。

教师明确定理中的条件和结论，初步理解“知二得三” 口诀的含义。

教师提出问题，引导学生进行思考和讨论。

学生尝试得出垂径定理和推论，教师规并板书。

教师提醒学生此中的弦一定不能是直径。

在例1 中教师可通过问题设置, 引导学生联系弦、半径、弦心距或者拱高等因素，从而构成直角三角形，利用勾股定理解决问题。这也是解决计算问题的主要方法，教师一定要重点重申。

例1. 如图。在⊙ O 中弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离

OD=3cm，则⊙ O的半

径为cm

（1）连结什么可得到

一个直角三

形？培养学生的观察能力，概括能力，分析能力，从而调动学生学习积极性，使学生主动的获得知识

让学生进一步熟悉垂径定理的条件与结论，并为探索垂径定理的推论打基础

让学生亲自探索出各条推论，以使学生以后在应用中可明明白白不加怀疑的应用知二推三，并培养学生的团队意识及资源共享的意识

2）利用什么知识可以解得半径。

此题是垂径定理计算题中另一种题

型，主要利用将垂径定理、勾股定

理、方程的知识进行综合应用。

C

2、已知：如图，⊙ O 中 AB 为弦 C 为 AB

的中点，OC 交 AB 于 D ，AB = 6cm ，

CD=1cm. 求⊙O 的半径 OA.

学生畅所欲言， 从知识、 方 法、情感态度等方面谈收

获， 谈 体会， 并结合本节教学目标， 发 现在学习中学会了什么， 还存在

3) 从中你可总结出利用垂径定

理计算的什么技巧？

例 2. 如图，是州桥的几何示意图， 若其中

AB 是桥

的跨度

为 37.4 米 , 桥拱 高 CD 为

7.2 米 , 你能求出它所在的圆的主桥

拱半径吗 ?

灵活应用，提高能力

1.已知：如图 ,AB 是⊙ O 直径， CD 是

弦， AE ⊥CD ，BF ⊥ CD. 求证： EC ＝DF

教师在提示后让学生进行小组 讨论，然后进行总结， 得出结论， 让学生做好笔记， 养成良好的学 习习惯。

学生独立练习， 而后再与同桌交

流， 上讲台演示， 教师要重点关 注“学困生” ．

生独立完成问题评价单中的练 习题， 老师进行讲评， 主要培养 学

生独立解题能力

垂径定理的应用， 了解圆中辅助线的 添法，并规论证书 写过程，能利用图 形迅速获取信息， 并找出垂径定理所 需的条件，巩固并 熟练垂径定理的使 用方法

综合应用，巩固提 高课本例题涉及的 问题，因此设计该 分层推进的补充 题，巩固本节所学 知识。

B

C

B

A

D

O