方阵问题(1)
小学数学典型应用题16：方阵问题(含解析)
小学数学典型应用题16：方阵问题（含解析）方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵）。
根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4解题思路和方法方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。
那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？解：1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。
2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。
所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。
例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？解法1：1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。
2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。
知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。
最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。
方阵问题公式
方阵问题公式
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。
（2）空心方阵:(最外层每边人数）2-(最外层每边人数-2×层数)2=中空方阵的人数。
或者是(最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解一先看作实心方阵,则总人数有10×10=100(人)
再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是10—2×3=4（人)
所以，空心部分方阵人数有4×4=16(人）
故这个空心方阵的人数是100—16=84（人)
解二直接运用公式。
根据空心方阵总人数公式得
(10—3)×3×4=84(人)。
方阵问题
方阵问题【知识要点】1.方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2.方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83.方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数【典型题解】例1.四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？分析：方阵中的任何1人，既是其中一排中的人，也是其中一列中的人。
去掉一行一列，不管去掉哪一行哪一列，总有1人被去掉了两次，因此，求去掉一行一列去掉多少人，就是求比原来方阵中2行的人数少1人是多少人解：82115⨯-=（人）⨯-=（人）881549答：要去掉15人，还剩49人例2.菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？分析：正方形空心花坛是空心方阵，依题意，四个角上的1盆在横、竖排中各计算了一次。
求李师傅共要用多少盆，就是求这个空心方阵的总数，可以4个5盆中减去重复计算的4个1盒解：541416⨯-⨯=（盆）答：李师傅摆这个花坛共要用16盆菊花例3.某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？分析：在三层空心方阵中，外层比中层多8，中层比内层多8，如果中层、内层的人数与外层同样多，需要加上3个8人，这样总人数180就多了()83⨯人，平均分成3份，就可求出最外层有多少人，然后求外层每边多少人解：()180833204368+⨯÷=÷=（人） 684117118÷+=+=（人）答：这个方阵外层每边有18名学生例4.某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？分析：排成一个实心方阵多7人，增加一行一列后少4人，说明增加一行一列的总人数是()74+人，就可先求出原来方阵中一排的人数，然后求出抽出学生总数 解：()74121025+-÷=÷=（人） 55725732⨯+=+=（人）答：共抽出学生32人【能力训练】A 卷1.同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2.同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3.小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？4.一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？5.学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？6.同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？7.沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
小学三年级奥数第7讲 方阵问题附答案解析
第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。
第2讲方阵问题(1)
总数:44+36+28=108(枚)。
方法二:因为每相邻两层差8,所以这三层的个数为等差数列:
最外层为:12×4-4=44(枚);
中间层为:44-8=36(枚);
三层总数为:36×3=108(枚)。
答:这个方阵共有108枚棋子。
练习4
同学们在军训时排成了一个三层空心方阵,最外面一层每边有19人,请问这个
答:这个方阵最外层每边有13盆花。
练习5
解放军进行队列表演,组成一个外层有48人,内层有16人的多层中空方阵,这
个方阵有几层?一共有多少人?
秘籍3：空心方阵加一层
例6
小明用棋子摆了一个五层中空方阵,一共用了200枚棋子,如果想在最外面
再加一层,问:需要增加多少枚棋子?
【解析】因为中间层x层数=空心方阵的总数,所以中间层为:200÷5=40(枚),再加的一层
【解析】因为方阵的行数和列数相同,而且13×13=169,所以方阵的每行、每列都有13人。
方阵最外层的人数:13×4-4=48(人)或(13-1)x4=48(人)。
这个方阵最外层有48人。
练习2
解放军战士排成一个每边30人的实心方阵,请问:这个方阵一共有多少名战士，方阵最外一层共有多少名战士?
例3
某校四年级学生把玻璃球排成一个方阵,最外一层的玻璃球数为60个,问
(1)每层数=每边数x4-4
=(每边数-1)×4
(2)每相邻两层,一条边上的个数相差2个;
(3)每相邻两层的个数相差8个,(注意:奇数层实心方阵最里层和相邻层除外。因为奇数
层方阵的最里层是1,1的相邻层是8)
2.空心方阵的总数
三年级奥数方阵问题.doc
方阵问题-' 方阵问题(1)明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.(2)每边的个数=总数：4 + 1”；(3)每向里一层每边棋子数减少2；(4)掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
一' 方阵问题【例1】在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】根据时间多少和学生具体情况可考虑教给学生平方数的概念，并记住一些简单的平方数.10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数应该在50—100之间，可取64或81,运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64人，小方阵有36 人. 【答案】大方阵有64人，小方阵有36人【巩固】小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计队伍中人数大概在30至50人之间，你能告诉他到底有多少人吗？【考点】方阵问题【难度】3星【题型】解答【解析】方阵总人数的特点:它是两个相同自然数的积，而三角形队列总人数的特点是:总数是从1开始若干个连续自然数的和，我们只要在3070的范围内找出同时满足这两个条件的数就可以得出总人数.由于队伍可以排成方阵，在30至50人的范围内人数可能是6x6=36人或7x7=49人，又因为36 = 1 + 2 + 3 + 4 + ...+8, 49 = 1 + 2 + 3 + 4 + ...+9 + 4,所以总人数是36人.【答案】36人【例2】学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉11A，问这个方阵共有多少人?【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】由上题思路，带领学生进行逆向思维.学生排成一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了11人, 那我们就要思考每行去掉了几个同学，因为是正方形队列，所以每行每列人数一样多，但在数的时候，站在角落的同学被数了两个，那么现在求每行的人数时就要在11里面多加一个.现在每行的人数是：（11 + 1） + 2 = 6 （人），共6x6 = 36 （人）.【答案】36人【巩固】学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13人，问这个方阵共有多少人？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】每行：（13 + 1—2 = 7 （人），总人数：7x7 = 49 （人）.【答案】49人【例3】二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】可先让学生自己画图实践，从3乘3的方阵变成4乘4的如何进行，掌握画法后再来思考这题. 因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是17人，因有1人是既在他所在的行，又在他所在的列.若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，则原来一行或一列的人数可求.参加健美操表演的人数可求.列式：（17 — 1） + 2 = 16 + 2 = 8 （人），8X8=64（A）.【答案】64人【巩固】某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共17人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现共有多少战士？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】后来的战士加入方阵时，是在原方阵外侧横竖方向各增加一排，那么有一个战士要站在这两排的交界处，计算横排竖排的人数时，对他进行了重复计算，也就是说现在每一排实际人数是（17+1）+2=9（人），因此可以求出总人数：9x9=81 （人）.【答案】81人【例4】育新小学召开秋季运动会，准备在正方形的操场周围插上彩旗.如果4个角上都要插上一面彩旗，要使每边有7面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗才行？【解析】心急的学生会很配合的说28,此时可提示他们想想，彩旗不够，能不能少点？根据题目的要求画出【考点】方阵【难度】2【题型】解示意图：我们把这些彩旗按照图中所示的方式分成相等的4部分，可以看出每一部分都有7-1=6面旗.（7 — l）x4 = 24（面），一共准备24面彩旗.【答案】24面【巩固】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？【考点】方阵问题【难度】3星【题型】解答【解析】根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数44 + 1,可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了.所以方阵最外层每边人数：60+4 + 1 = 16（人），整个方阵共有学生人数：16x16 = 256 （A）.【答案】方阵最外层每边人数16人，整个方阵共有学生人数256人.【例5】新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13 人，彩车周围的少先队员有多少人？【考点】方阵问题【难度】3星【题型】解答【解析】先让学生自己思考，待大家都有结果后，让学生思考一个问题：相邻两层差几个人.外层13x4-4=4$人，内外相差8人（教师可举例说明），内层48-8 = 40人，共88人.【答案】88人列【考点】方阵【难度】3【题型】填【巩固】节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外层的一层每边摆了 12盆花，一共3层,一共用去多少盆花？【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】让学生利用上题思考结果加以解决.（法1）不论是空心方阵还是实心方阵，每向里一层，每边的花盆就少2个，每层的花盆就少8个，因此可以依次求出每层花盆的个数.最外层有花盆:Q2-l ）x4 = 44（盆），第二层有:44-8 = 36（盆），第三层有:36-8=28（盆），共有:44+ 36+ 28=108（盆）.（法2）将三层花盆分成四块，形成四个相等的长方形.它们的长是（12-3）个，宽是3个， （12-3*3=2,个，即每个长方形中包括27个花盆，再将结果乘以4就得到总数是108个，于是 我们可以总结为:空心方阵中点的总个数=（最外层每边的个数-层数）x 层数x 4 .（法3）也可以将这种情况看作从一个大的实心方阵中取出一个小的实心方阵.【答案】108盆【例6】 在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共多 少人？【考点】方阵问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】根据最外层和最内层人数，可以分别求出内外层每边的人数，一个空心方阵，可以看做从一个最 外层有64人的实心方阵中，减去了一个小方阵.外层每边人数：64+4 + 1 = 17 （人）.内层每边 人数：32+4 + 1 = 9 （人），空心方阵人数：17x17-（9 —2）x （9-2） = 240 （人）.【答案】240人【巩固】希望小学举行运动会，全体运动员的编号是从1开始的连续整数，他们按图1中实线所示，从第 1行第1列开始，按照编号从小到大的顺序排成一个方阵。
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8人
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方 阵 问 题（2）
a
19
思考：在方阵中每隔一圈相差几个？为什么？
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20
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体育课上，老师让全班同学摆成了一个三层的空心方 阵，最外层每边有10个人，问全部共有多少学生？
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同学们再见！
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方 阵 问 题（1）
方阵：学生排队，士兵列队，横着排叫
做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都 相等，则正好排成一个正方形，这种图
形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问 题）。
a
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一个方阵的最外层每边站了5人。 这个方阵一共有多少人?
4×4 = 16（人）
5×4－ 4 = 16（人）
3×4 + 4=16（a 人）
5×2 + 3×2=16(人) 16
一个方阵最外层每边站8人。最外层一共站多少人？
（8－1）×4 = 28
a
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如果在最外层再加一层需要加多少人？
方法一：9+8=17人
方法二：9×2-1=17
人
8人
方法三：9×9-8×8=17人
55Leabharlann 5×5=25（人）a
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一个方阵的最外层每边站了5人。
这个方阵的最外层一共站了多少人？
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学习要求：
①在学具纸上圈一圈，要
求能让人一眼就看出你是
方阵问题PPT---PPT课件
方法一：9+8=17人
方法二：9×2-1=17
人
8人
方法三：9×9-8×8=17人
8人
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思考：在方阵中每隔一圈相差几个？为什么？
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一个海军方队最外层每边站了30人。
（1）这个方阵一共有多少人？ 30×30＝900（人）
（2）最外面一圈共有多少人？ 30×4－4＝116（人）
（3）从外往里数第二圈共有多少人？ 116－8＝108（人）
方阵问题
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1
在排队时，横着排叫行，竖着排叫 列，当行数和列数相等，正好排成一个 正方形，这样的方队我们就叫做方阵。 方阵有中实方阵和中空方阵。
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学习目标
正确区分最外层总数和方阵共有人数
，并能够掌握最外层总数和方阵共有人数 的公式。
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一个方阵的最外层每边站了5人。 这个方阵一共有多少人?
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5×5=25（人）
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一个方阵最外层每边站5人。最外层一共站多少人？
4×4 = 16（人）
5×4－ 4 = 16（人）
3×4 + 4=16（精品人ppt ）
5×2 + 3×2=16(一共站多少人？
（8－1）×4 = 28
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如果在最外层再加一层需要加多少人？
（4）如果在这个方阵外面再站上一圈，需要再 来多少人？
116＋8＝124（人）
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A BCD
1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方 阵问题的核心）
2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人 数÷4）＋1
小学三年级奥数第7讲 方阵问题(含答案分析)
第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。
五年级下册数学奥数课件-1方阵问题 人教版 PPT精品课件
例3：朋朋用棋子摆了一个实心方阵，如果再加上7枚棋子， 就可以使原来的方阵增加一行一列，成为一个大一点的方阵。 原来的方阵由多少枚棋子组成？
原来方阵最外层每边棋子数量： (7-1)÷2=3(枚)
方阵棋子总数： 3×3=9(枚)
答：原来的方阵由9枚棋子组成。
即学即练
一个正方形花坛，原来摆了一些花，组成一个实心方阵，后 来运走了11盆花，使原来的方阵减少一行一列成了一个小一点的 实心方阵。原来摆了多少盆花？
总人数=（最外层每边人数-空心方阵 层数）×空心方阵层数×4
即学即练
团体操表演时，少先队员们排成四层的中空方阵，最外层每 边的人数是10人，参加团体操表演的少先队员共有多少人？
(10－4)×4×4=96（人）
答：参加团体操表演的少先队员共有96人。
例5：四年级同学排成一个三层的空心方阵，最里面一层每 边排5人，则这个方阵一共有多少人？
答：这个方阵一共有72人。
即学即练
团体操表演时，少先队员们排成四层的中空方阵，最里面一 层每边的人数是5人，参加团体操表演的少先队员共有多少人？
最外层每边人数：5+2+2+2=11（人） 总人数：(11-4)×4×4=112（人）
答：参加团体操表演的少先队员共有112人。
今天你学到了什么？
实心方阵：
答：方阵外层每边有21人，共有五年级学生441人。
例3：朋朋用棋子摆了一个实心方阵，如果再加上7枚棋子， 就可以使原来的方阵增加一行一列，成为一个大一点的方阵。 原来的方阵由多少枚棋子组成？
可以先用一个“正方形”代替 ，画出增加一行一列的变化图 来，看能不能发现什么。
原来的方阵有多大不知道 ，怎么办呢？
原来每边：(11+1)÷2=6（盆）
方阵问题的公式(一)
方阵问题的公式(一)方阵问题的公式1. 方阵的阶数方阵的阶数表示方阵的行数（或列数），记作n。
例如，一个3阶方阵表示有3行3列的方阵。
2. 方阵的转置方阵的转置是指将方阵的行与列互换得到的新方阵。
设A为一个n阶方阵，A T表示A的转置。
例如，对于一个3阶方阵：A=[a b c d e f gℎi]则其转置为：A T=[a d gb eℎc f i]3. 方阵的逆矩阵设A为一个n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，满足AB=BA=I n，其中I n为n阶单位矩阵，则称A为可逆方阵，B为A的逆矩阵，记作A−1。
A=[210 014−103]则其逆矩阵为：A−1=[32−120 2−14 1212−12]4. 方阵的特征值和特征向量设A为一个n阶方阵，若存在一个非零向量v和一个标量λ，使得Av=λv，则称λ为A的特征值，v为对应于特征值λ的特征向量。
例如，对于一个3阶方阵：A=[310 121 013]其特征值为λ=4,2,2，对应的特征向量为v1=[1−1 1]，v2=[−11]，v3=[111 ]。
5. 方阵的行列式方阵的行列式是一个标量，记作|A|或det(A)，表示一个方阵的某种性质。
A=[213 0−14−120]其行列式为|A|=det(A)=13。
6. 方阵问题的解法方阵问题涉及了方阵的转置、逆矩阵、特征值和特征向量，以及行列式等相关公式。
解决方阵问题可以使用线性代数的方法，通过求解逆矩阵、特征值和特征向量，以及计算行列式等，来得到方阵的相关信息。
总结以上列举的公式，我们可以应用于具体的实际问题，并通过计算和求解得到结果。
方 阵(一)
方阵（一）姓名【学法指导】正方形队列在日常生活中经常看到，如盛大的庆典活动时，各种大型团体操的表演，又如陆、海、空三军仪仗队都是方阵。
方阵还可以由棋子、树木、红旗等实物排成。
方阵分为空心方阵和实心方阵，解决这类问题要注意以下三点：1、根据题意确定是空心方阵还是实心方阵问题，然后选用适当的方法解答。
2、对于较复杂的问题可画图帮助理解题意，分析思考找出解题方法。
3、分清每层总数和每边数之间的数量关系，牢记相邻两边的个数相差2.【例1】有一个正方形池塘，四个角都栽一棵树，如果每边在6 棵，四边一共栽多少棵？····················试一试1、在大楼的正方形平顶四周等距离的装上彩灯，四个角都装上一盏，每一边装有8盏，一共有多少盏灯？【例2】一个正方形草地四周等距离的种菊花，一共80棵，四个角各种一棵，每一边种几棵树？试一试2、在正方形围墙四周等距离的装96盏灯，四个角上都装一盏，这样每边有多少盏？【例3】四（1）班学生进行队列训练，排成如图所示的正方形，已知最外层每边有6 人，求这个班一共有多少人？································试一试3、小朋友做游戏排成两层空心方阵，外层每边有8人，求做游戏的小朋友的人数。
【例4】用围棋排成三层空心方阵，最里层共有12颗，求这个方阵共有棋子多少颗？试一试4、一个班的同学组成一个三层空心方阵，最里层有8人，求这个班共有多少人？练一练1、在正方形鱼池四周等距离种上树，四个顶点都种一棵，这样每边都有22 棵，四周共种树多少棵？练一练2、52 个小朋友手拉手围成一个正方形，四个角上都站一个人，则正方形的每一边上站几个人？练一练3、小林用彩旗排成一个两层空心方阵，最里层每边有5面彩旗，求这个空心方阵共有彩旗多少面？练一练4、一个正方形的树林，内外一共有三层，中间层有32 棵树，这个树林共有树多少棵？练一练5、在正方形的围墙四周插上红旗，四个角上都有一面，这样每边都有18面，一共插了多少面红旗？练一练6、有28粒玻璃球,要求围成一个正方形,且每个角上都要有一粒,则每一边上有多少粒?练一练7、一个两层的空心方阵，最里层每边有16人，这个方阵总共有多少人？。
方阵问题1
方阵问题每边数与四周数之间的数量关系：
四周数＝每边数×4－4
每边数＝(四周数＋4)÷4
实心方阵和空心方阵的关系式为：
（1）实心方阵： 总数＝最外层每边个数×最外层每边个数
3、在一个六边形的花坛周围等距离摆上花盆，六个顶点各摆一盆，每边摆了5盆，一共摆了多少盆？
4、某校开秋季运动会，准备在正方形操场的四周都插上一行彩旗，使每边有6面彩旗，那么最少可以插多少面？最多可以插多少面？
5、沿一个正五边形会场周围等距离插彩旗一行，五个角上都插一面，共插了45面彩旗，每边插彩旗多少面？
3、某校五年级学生排成一个实心方阵，最外层一共有60人。
（1）这个方阵外层每边有多少人？
（2）这个方阵一共有多少人？
模块二【空心方阵】
1、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，如果每边栽9棵，四边一共栽多少棵树？
2、在一块正方形场地的四周竖电线杆，四个角上都竖1根，一共竖28根，正方形场地每边竖多少根电线杆？
（2）空心方阵： 总数＝(最外层每边数－层数)×层数×4
最外层每边数＝总数÷4÷层数＋层数
最里层每边数＝最外层每边数－2×(层数－1)
模块一【实心方阵】
1、少先队检阅时，仪仗队要排成一个8行8列的实心方阵，一共需要少先队员多少人？
2、用一些棋子摆成一个实心方阵，最外层每边有10颗棋子，这个实心方阵一共有多少颗棋子？
方阵问题
方阵问题第一讲方阵问题知识点拨一、方阵的基本特点:(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4例题精讲例1、计算：⑴ 36196419⨯+⨯ ⑵ 361964144⨯+⨯百炼成钢1、178×101－17884×36+64×84例2、11353715⨯-⨯百炼成钢2、99666667818⨯+⨯⨯++⨯3520703578⨯-⨯．例3：343535353434百炼成钢3：33201020102010330033⨯-⨯=⨯-⨯＝200720082008200820072007例4：8822557344443355⨯+⨯-⨯-⨯=百炼成钢4：⨯+⨯+⨯+⨯= 3334343535363637_______⨯+⨯+⨯= 67200254335467⨯+⨯+⨯例5、534671548254百炼成钢5：⨯ -⨯ 333332332333332333333332⨯-⨯200920082007200720082009⨯+⨯+⨯例6：237539879207601339876832百炼成钢6：⨯+⨯-⨯１２４×３８＋６５482594115932359×１２４＋７６×１１０－７６×７例7：99999777783333366666⨯+⨯百炼成钢7：⨯+⨯９９９９99999222223333333334×３６＋６６６６×３×３２÷+÷+÷+÷例8：315325335345⨯÷+⨯÷7652132776532727百炼成钢8：⨯+÷-⨯+÷91791175174517⨯+÷-⨯+÷1719931910174019解题我最牛：1）467+999×999+532 1)（25×99+25）×16 3）６２×４＋４４×５＋５×１８4）888888×19+666666×8 5）535×353+535×432+785×4656）1995×19961996-1996×199519957）⨯-+⨯80199539901995228）200620052006200520062005⨯-⨯ 9）347×12+347×35＋347×52+34710）777777×12+222222×8 11 ）21÷9＋22÷9＋23÷9＋24÷912）287÷12-18÷12-29÷12 13）6000÷25÷4014）720÷（36÷5）15）467×500÷25016）2090÷24+310÷24 17）372÷162×54智巧故事：数学教授在一所大学的操场上，政治学教授、哲学教授和语言学教授围着一根旗杆。
四年级 方阵问题 老师用 (1)
第三讲 方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层总人数比内一层总人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。
【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶这个方阵共用围棋子多少个？ 解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。
行测方阵问题详细总结
行测方阵问题详细总结在行测考试中，方阵问题是一个较为常见的题型。
它看似复杂，但只要我们掌握了其中的规律和解题方法，就能轻松应对。
接下来，让我们深入探讨一下方阵问题。
首先，我们要明确什么是方阵。
方阵是一种行数和列数相等的矩阵排列形式。
比如一个 5 行 5 列的正方形排列，就是一个 5 阶方阵。
方阵问题主要有以下几个重要的知识点：一、方阵的基本要素1、边长：方阵每行或每列的元素个数。
2、层数：方阵相邻两层之间的差值。
3、总数：方阵中元素的总和。
二、方阵的特点1、相邻两层的边长相差 2。
2、相邻两层的总数相差 8（这是一个非常重要的规律，在解题中经常用到）。
三、方阵问题的常见类型及解法1、实心方阵（1）总数＝边长×边长例如，一个 5 阶实心方阵，总数就是 5×5 ＝ 25 个元素。
（2）最外层人数＝ 4×边长 4以 5 阶方阵为例，最外层人数为 4×5 4 ＝ 16 人。
2、空心方阵（1）总数＝大实心方阵小实心方阵假设一个大的 5 阶空心方阵，内部的小实心方阵是 3 阶，那么总数就是 5×5 3×3 ＝ 16 个元素。
（2）最外层人数＝ 4×（边长层数）比如一个 5 阶空心方阵，层数为 2，最外层人数就是 4×（5 2）＝12 人。
3、方阵的增减（1）增加一行一列增加一行一列时，增加的人数＝边长＋ 1例如，原本是 4 阶方阵，增加一行一列，增加的人数就是 4 ＋ 1 ＝5 人。
（2）减少一行一列减少一行一列时，减少的人数＝边长 1假设是 5 阶方阵，减少一行一列，减少的人数就是 5 1 ＝ 4 人。
四、例题解析为了更好地理解方阵问题，我们来看几个具体的例子。
例 1：用棋子摆成一个实心方阵，最外层共 36 枚棋子，这个方阵共有多少枚棋子？首先，我们知道最外层人数＝ 4×边长 4，那么边长＝（最外层人数＋ 4）÷ 4 ＝（36 ＋ 4）÷ 4 ＝ 10。
方阵问题1
方阵问题教学目标：1、探索并认识方阵中的简单规律，并能将这种认识应用到实际问题中。
2、初步培养学生从实际问题中探索规律、找出解决问题的有效方法的能力。
3、让学生感受数学在日常生活中的广泛应用。
教学重难点：1、探索并认识方阵中的简单规律，并能将这种认识应用到实际问题中。
2、用数学的方法解决实际生活中的简单问题。
教学准备：课件、练习纸、方阵图形。
教学过程：一、情景导入师：同学们，我们做一个猜谜游戏吧。
课件出示：十九乘十九，黑白两对手，有眼看不见，无眼难活久。
（打一棋类名称）生：围棋。
师：真厉害！如果围棋盘中摆满棋子，你看，这样组成了一个方阵，板书：方阵。
如果只摆了最外边一层，这样也是一个方阵，如果只摆了两层，这样也是一个方阵，（边说边课件出示）师：再来看看，（边说边课件出示）（阅兵式中的方阵、运动会中的方阵、鲜花摆成方阵）师：在队列问题中，通常横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵。
日常生活中遇到编排正方形体操队伍，在方形台上或操场上摆鲜花、插彩旗，在正方形棋盘上摆棋子等问题，在数学中就称为方阵问题。
这节课我们来研究方阵问题。
课题板书补充：问题。
二、探索方阵中的规律1、认识方阵师：数学中的方阵分两类：一类是实心方阵，像这样的（课件出示摆满棋子的围棋盘），里面是填满的，一类是空心方阵，像这样的（课件出示只摆了一层的围棋盘，以及只摆了两层的围棋盘），里面没有填满的。
2、动手操作师：现在让我们一起动手画一个实心方阵吧。
比如：最外层每边有4个小圆圈。
教师边说边板演画实心方阵的过程。
注：用红粉笔画外层，再用白粉笔画里层。
师：大家也动手画一个实心方阵吧。
要求：跟老师刚才画的不一样。
画完思考：一共有多少个小圆圈？你是怎样想的？可以怎样列式计算？投影学生作品，并请学生上台说说想法。
（学生有可能画的是每边2个、3个、5个、6个等等）师：实心方阵总数=行数×列数。
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方阵问题
基本知识；
方阵问题的特点：
方法；最外层每边数= 最外层总数=
实心方阵的总数= 空心方阵的总数=
例1、有若干人排成一个正方形方阵，最外层每边10人，求这个方阵队伍有多少人？最外层有多少人？
例2、有一个正方形表演队，第一横行和第一竖列共有25人，求这个表演队共有多少人？
例3、某校把五年级同学排成一个正方形方阵，剩下15人，如果在方阵的外面再增加一层，则少85人，求五年级共有学生多少人？
练习：
1、用若干柜子排成一个实心方阵，最外层每边8枚，这个棋阵共有多少枚棋子？最外层有几枚棋子？
2、用棋子摆了一个正方形方阵，去掉一行一列则去年13个柜子，求原来方阵有多少个棋子？
3、同学们排成10行10列的方阵，去掉一行一列，要去掉多少人？
4、同学们站队，排成了一个实心方阵，最外层每边10人，去掉两行两列，是去掉多少人？
5、明明用棋子摆成了一个实心方阵，丽丽用15枚棋子使这个方阵增加了一行一列，问明明摆的方阵有多少枚棋子？
6、一个实心方阵队伍，如果在外面再增加一层就需要48人，求原来这个方阵有多少人？
7、有学生若干人，排成一个正方形方阵多出9人，如果想在方阵的外面增加一层，就缺27人，求原来有学生多少人？
8、有一个实心方阵队伍，最外层有40人，求这个实心方阵的总人数。
9、参加军训的学生进行队列表演，排成一个正方形方阵，多出8人，如果想增加一行一列还缺17人，求参加军训的学生有多少人？
10用围棋子组成一个正方形实心方阵，最外层用黑子，共用了100颗，里面全部是白子，求白子有多少颗？。