中国剩余定理

中国剩余定理一般指孙子定理。

孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。

是数论中一个重要定理。

又称中国余数定理。

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一
元线性同余方程组：
有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
设
是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设
是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。

设为模的数论倒数
(
为模意义下的逆元)
方程组的通解形式为
在模的意义下，方程组只有一个解：
证明：
从假设可知，对任何，由于
，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数。

考察乘积可知：
所以
满足：
这说明就是方程组的一个解。

另外，假设和都是方程组的解，那么：
而两两互质，这说明整除. 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍。

而另一方面，是一个解，同时所有形式
为：的整数也是方程组的解。

所以方程组所有的解的集合就是：。