《大学物理》第七章 功和能
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解： 月球所受的万有引力指向地球并提 供月球的向心力，沿月球轨道向内。
任意时刻月球的位移方向与圆周相 切，与速度方向一致，垂直于半径 和引力方向。
万有引力的方向与瞬时位移方向的 夹角为90度，因此万有引力做功为 零。
§7-2两个矢量的标量积
（a）标量和矢量相乘=矢量
1、一个正标量乘以一个矢量，只改变其大小不改变其方向。
1.恒力的功 恒力：力的大小和方向不随时间变化
等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。
F
F
A Fr cos
F
r
r
明确几点
f静
（1）功是标量，有正负之分
（2）作功与参照系有关
恒力对物体做功：
其中F 是恒力的大小，d 是物体的位移量，θ 则表 示力与位移方向之间的夹角
在SI 单位制中用牛顿·米（N·m）作为功的单位，这个单位称为焦耳
§7-3变力做功
物体在变力的作 用下从a运动到b。
b 怎样计算这个力 a 的功呢？
采用微元分割法
把路径分成很多小段
总功等于每一个区间上做功之和： 分得段数越多，结果越接近真实值，结果 越精确
当每一段都趋于零（这样我们会得到无限多个区间），于是可 以得到功的精确值：
在直角坐标系中，任意的力都能写成 同样，位移可以写成： 那么功就能写成：
drr
(Ftert
Fnern )dsert
Ftds
合力的功
Aab
b
r F
drr
a
b a
r (F1
r F2
r Fn
)
drr
n
功率
A1 A2 An Ai
i
（1）平均功率
P
A t
（2） 功率 P lim A dA
t0 t dt
恒力的功率：
p
F
v
P dA
r F
drr
F
2、如果一个负标量乘以一个矢量，大小依然是 向和 相反
，但方
（b）矢量和矢量点乘=标量
比如：力和位移的标量积的形式—功
例7-4 使用点积。如图7-7 中所示力的大小为F=20N ，与地面成 30°角。使用式7-4 计算这个力在地上被拖行货车100 米所做的 功。 解：
建立坐标系：选择x 轴向为水平向右。y 轴向为垂直向上。
直角坐标系： 受力
元位移
rrrr
F Fxi Fy j Fzk (N)
drr
r dxi
r dyj
r dzk
(m)
元功 d A Fx d x Fy d y Fz d z
总功
Aab
xb xa
Fxdx
yb ya
Fydy
zb za
Fz dz
自然坐标系：
Aab
ห้องสมุดไป่ตู้sb sa
Ft ds
r F
§7-4动能和动能定理 一、日常生活中的能量
能量在转移和转化的过程中是“守恒的”
二、能量
能量是各种运动形式的一般量度，是物体状
态的单值函数，反映物体做功的本领。
三、动能定理
解： 1.画一幅自由体受力图
2.选择坐标系
我们要研究的是背包竖直方向上的运动，所以选择y 轴坐标正方向竖直向上。
3.运用牛顿定理
4.求解力所做的功 登山者所做的功为：
重力对背包所做的功： 5.计算所有力的净功：
概念理解 例7-3 地球对月球做功吗？ 月球以大致恒定的线速度在绕地球近似圆周的轨道上运动，这 通过地球对其施加的引力来维持（图7-5）。引力对月球（a） 做正功，（b）做负功，或（c）不做功？
简单！！
例7-5 对弹簧做功（a）一个人拉伸弹簧如图7-10，拉长了 3.0cm，需要最大的力为75N，人做了多少功？（b）如果相反， 这个人压缩弹簧3.0cm，人做了多少功？
解：（a）首先需要计算弹簧常量k：
因此人对弹簧做的功为：
（b）人对弹簧施加的力仍为F=kx，尽管现在x和F都是负的（x 向右为正）。做功为
v
dt
dt
弹力做功----胡克定律
弹簧方程或胡克定律：
其中k是常数，称为弹簧的劲度常数； x是弹簧偏离平衡位置的位移；负号 表示“恢复力”的方向
计算一下：把一个弹簧从它的原长拉伸到x的伸长量，外界对 弹簧做了多少功？假设拉伸的过程是缓慢的。 解：将弹簧伸长的方向规定为x 轴的正方向 方法一：
方法二： 把一个弹簧拉长x，外界做的功 等于曲线F=kx下面三角形的面积：
力所做的功为0，因为 他们垂直于位移方向x
外力F所做的功为 （b）净功可以通过两种等效的方法计算
其中
计算外力做功的一般步骤
1.受力分析 2.建立坐标系 3.求解未知力 4.计算每个恒力做的功 5.计算所有外力的净功
例7-2 对背包做的功 （a）计算登山者背着一个15kg 的背包登 上h =10m 高的山丘所做的功，如图7-4a 所示。（b）计算重 力对背包做的功。（c）合力对背包做的功。简单起见，假设 地面光滑且人的速度是恒定（加速度为零）。
本章内容
7-1 恒力做功 7-2两个矢量的标量积 7-3 变力做功 7-4 动能和动能定理
❖ 对物体做功---实例
人通过打气筒对气体做功
棒球运动员对棒球做功
❖开篇问题---- 请猜一猜
你用力地推一个很重的书 桌，试图移动它。哪种情 况你会对它做功？
(a) 不管它动不动，只要你 施加了力. (b) 只有当它开始移动 (c) 只有当它不动 (d) 从不——它对你做了功 (e) 以上都不对
（J）：1 J =1N·m。
功是标量
哪个人做了功？？
例7-1 对箱子做的功。如图7-3 所示，一个人用恒力F=100N与 水平夹角37°的力水平拉动一个50kg 的箱子在水平地面上移 动了40 米，地面光滑无摩擦力。求（a）作用在箱子上的每个 力所做的功（b）对箱子做的净功。
解：（a）重力和支持
那个人做功了？
怎样才算做功?
当一个力作用在物体上，物体在这个力作 用下通过了一段距离，这个力的作用就有了成 效，力学里说这个力做了功。
1、物体要受力的作用 2、物体要在力的方向上通过一定的距离
有力无距离不做功 冰柱在光滑的冰面上滑动
有力无距离不做功
没有力对它做功
力和物体运动方向垂直时力不做功
§7-1 恒力做功 一、功的概念
例7-6 （一个更复杂的力学系统——机械臂）力是x 的函数。 在自动化监控系统中摄像机的状态由机械臂控制（如图7-12）， 通过电动机施加在臂上的力来操纵，这个力设为：
其中
，x 为机械臂末端的位置。如果臂
从0.010m移动到0.050m，电动机做了多少功？
解：曲线F(x)下面区域的面积就是F(x)所做的功 我们把数值代入可得
任意时刻月球的位移方向与圆周相 切，与速度方向一致，垂直于半径 和引力方向。
万有引力的方向与瞬时位移方向的 夹角为90度，因此万有引力做功为 零。
§7-2两个矢量的标量积
（a）标量和矢量相乘=矢量
1、一个正标量乘以一个矢量，只改变其大小不改变其方向。
1.恒力的功 恒力：力的大小和方向不随时间变化
等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。
F
F
A Fr cos
F
r
r
明确几点
f静
（1）功是标量，有正负之分
（2）作功与参照系有关
恒力对物体做功：
其中F 是恒力的大小，d 是物体的位移量，θ 则表 示力与位移方向之间的夹角
在SI 单位制中用牛顿·米（N·m）作为功的单位，这个单位称为焦耳
§7-3变力做功
物体在变力的作 用下从a运动到b。
b 怎样计算这个力 a 的功呢？
采用微元分割法
把路径分成很多小段
总功等于每一个区间上做功之和： 分得段数越多，结果越接近真实值，结果 越精确
当每一段都趋于零（这样我们会得到无限多个区间），于是可 以得到功的精确值：
在直角坐标系中，任意的力都能写成 同样，位移可以写成： 那么功就能写成：
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合力的功
Aab
b
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功率
A1 A2 An Ai
i
（1）平均功率
P
A t
（2） 功率 P lim A dA
t0 t dt
恒力的功率：
p
F
v
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r F
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F
2、如果一个负标量乘以一个矢量，大小依然是 向和 相反
，但方
（b）矢量和矢量点乘=标量
比如：力和位移的标量积的形式—功
例7-4 使用点积。如图7-7 中所示力的大小为F=20N ，与地面成 30°角。使用式7-4 计算这个力在地上被拖行货车100 米所做的 功。 解：
建立坐标系：选择x 轴向为水平向右。y 轴向为垂直向上。
直角坐标系： 受力
元位移
rrrr
F Fxi Fy j Fzk (N)
drr
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(m)
元功 d A Fx d x Fy d y Fz d z
总功
Aab
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自然坐标系：
Aab
ห้องสมุดไป่ตู้sb sa
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§7-4动能和动能定理 一、日常生活中的能量
能量在转移和转化的过程中是“守恒的”
二、能量
能量是各种运动形式的一般量度，是物体状
态的单值函数，反映物体做功的本领。
三、动能定理
解： 1.画一幅自由体受力图
2.选择坐标系
我们要研究的是背包竖直方向上的运动，所以选择y 轴坐标正方向竖直向上。
3.运用牛顿定理
4.求解力所做的功 登山者所做的功为：
重力对背包所做的功： 5.计算所有力的净功：
概念理解 例7-3 地球对月球做功吗？ 月球以大致恒定的线速度在绕地球近似圆周的轨道上运动，这 通过地球对其施加的引力来维持（图7-5）。引力对月球（a） 做正功，（b）做负功，或（c）不做功？
简单！！
例7-5 对弹簧做功（a）一个人拉伸弹簧如图7-10，拉长了 3.0cm，需要最大的力为75N，人做了多少功？（b）如果相反， 这个人压缩弹簧3.0cm，人做了多少功？
解：（a）首先需要计算弹簧常量k：
因此人对弹簧做的功为：
（b）人对弹簧施加的力仍为F=kx，尽管现在x和F都是负的（x 向右为正）。做功为
v
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弹力做功----胡克定律
弹簧方程或胡克定律：
其中k是常数，称为弹簧的劲度常数； x是弹簧偏离平衡位置的位移；负号 表示“恢复力”的方向
计算一下：把一个弹簧从它的原长拉伸到x的伸长量，外界对 弹簧做了多少功？假设拉伸的过程是缓慢的。 解：将弹簧伸长的方向规定为x 轴的正方向 方法一：
方法二： 把一个弹簧拉长x，外界做的功 等于曲线F=kx下面三角形的面积：
力所做的功为0，因为 他们垂直于位移方向x
外力F所做的功为 （b）净功可以通过两种等效的方法计算
其中
计算外力做功的一般步骤
1.受力分析 2.建立坐标系 3.求解未知力 4.计算每个恒力做的功 5.计算所有外力的净功
例7-2 对背包做的功 （a）计算登山者背着一个15kg 的背包登 上h =10m 高的山丘所做的功，如图7-4a 所示。（b）计算重 力对背包做的功。（c）合力对背包做的功。简单起见，假设 地面光滑且人的速度是恒定（加速度为零）。
本章内容
7-1 恒力做功 7-2两个矢量的标量积 7-3 变力做功 7-4 动能和动能定理
❖ 对物体做功---实例
人通过打气筒对气体做功
棒球运动员对棒球做功
❖开篇问题---- 请猜一猜
你用力地推一个很重的书 桌，试图移动它。哪种情 况你会对它做功？
(a) 不管它动不动，只要你 施加了力. (b) 只有当它开始移动 (c) 只有当它不动 (d) 从不——它对你做了功 (e) 以上都不对
（J）：1 J =1N·m。
功是标量
哪个人做了功？？
例7-1 对箱子做的功。如图7-3 所示，一个人用恒力F=100N与 水平夹角37°的力水平拉动一个50kg 的箱子在水平地面上移 动了40 米，地面光滑无摩擦力。求（a）作用在箱子上的每个 力所做的功（b）对箱子做的净功。
解：（a）重力和支持
那个人做功了？
怎样才算做功?
当一个力作用在物体上，物体在这个力作 用下通过了一段距离，这个力的作用就有了成 效，力学里说这个力做了功。
1、物体要受力的作用 2、物体要在力的方向上通过一定的距离
有力无距离不做功 冰柱在光滑的冰面上滑动
有力无距离不做功
没有力对它做功
力和物体运动方向垂直时力不做功
§7-1 恒力做功 一、功的概念
例7-6 （一个更复杂的力学系统——机械臂）力是x 的函数。 在自动化监控系统中摄像机的状态由机械臂控制（如图7-12）， 通过电动机施加在臂上的力来操纵，这个力设为：
其中
，x 为机械臂末端的位置。如果臂
从0.010m移动到0.050m，电动机做了多少功？
解：曲线F(x)下面区域的面积就是F(x)所做的功 我们把数值代入可得