薄板理论分析精品PPT课件

r
(3-4)
几何方程：
r
z
d 2w dr 2
z r
dw dr
式中，为圆板材料的弹性模量和泊松比。
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r 板内二向应力 r ， 均为 的函数，且沿板
厚线性分布。在中性面 z = 0处， r = =0；
在板的上、下表面 z = S 处，两向应力分别
曲面。由此可知，板中面内任何点处的剪应变 xz、 yz
应等于零。
（3）不挤压假设：薄板各层纤维在变形前后均互不
挤压，即垂直于板面的应力分量 略去不计。
z
和应变分量
z
20 January 2021 上述假定统称为克希霍夫（Kirchhoff）假定。
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第二节 圆板的轴对称问题
在化工设备中，应用最多的是受轴对称载荷的圆形
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几何方程：
r
d 2w z
dr 2
z r
dw dr
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（三）物理方程
根据基本假设（3）， z 0 ，圆板上任意一点均处 于二向应力状态。在平面应力状态下，由广义虎克 定律，圆板轴对称问题的物理方程为
或
r
1 E
r
1 E
r
r
E 1 2
r
E 1 2
平面且垂直于中面，只是分别转过了角度
和 d 。这里有两个方向的变形：
（1）径向变形
变形前m、n两点间距离即微线段长度mn为dr ，变形 后微线段mn变为mn= dr z( d ) z 则离中面距离为z
处的径向应变为
r
dr
z(
d ) z
dr
dr
d
z dr
（b）
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薄板，简称圆板。圆板的轴对称问题，采用圆柱坐
标系（r 、 、z ）。
q
q
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q x
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为了求得圆板在q(r) 作用下的各内力素，用相 距d的两个圆柱面，夹角为d的两个径向平面， 沿板厚截取一微小六面体abcd。
Mr－作用在圆柱面沿中面单位长度上的径向 弯矩；
M－作用在径向平面沿中面单位长度上的周 向弯矩；
第三章 薄板理论
20 January 2021
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第一节 薄板的基本概念及基本假定
平板是以两个平面为界，且两平面之间的距离
远较其它尺寸为小的物体，此两平面之间的距离为 平板的厚度S，与两平面等距离的中间面叫做平板 的中面，参考坐标系位于中面内。
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Qr－作用在圆柱面沿中面单位长度上的横向 剪力。
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（一）平衡方程
由微元六面体的空间力系，根据平衡条件， 可列出六个平衡方程，其中
Fx 0 Fy 0 M x 0 M z 0
自然满足，只能得到下列两个平衡方程,
Fz 0
Mx 0
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研究平板时，常把平板分为薄板与厚板。所 谓薄板是指板的厚度S与板面最小尺寸之比相 当小的平板，其定义范围一般为
0.01 S b 0.2
以区别于薄膜与厚板。
平板的形式很多,有方形、矩形、圆形、椭圆
形等多种。对于圆形薄板，其定义范围是指
板的厚度与其直径之比在上述范围之内，即
0.01 S D 0.2
M
Qr .r
0
（3-2）
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（二）几何方程
圆板受轴对称横向载荷后，其基本变形特点 呈双向弯曲，即径向弯曲和周向弯曲，中面 弯曲成以对称轴为旋转轴的回转曲面，仍保 持中性。
（a）圆板中面的变形
（b） （a）中部放大图
20 January 2021 图3-3 受轴对称载荷圆板的几何变形
达到最大值，其应力为 2
( r ) max
ES
2(1
2
)
d2 w dr2
r
dw dr
(
) max
ES
2(1
2
)
1 r
dw dr
d2 w dr2
（3-5）
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（四）圆板轴对称弯曲的挠度微分方程
微元体由取径向平面上中面线段ab，cd
及同心圆柱面上中面线段ac，bd均为单位长
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q
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q
q x
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q
q x
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沿z轴方向力的平衡方程 Fz 0
Qr
d Qr dr
d rr
d r d
Qr r d
q(r)r d r d
0
展开合并，略去高阶微量，得
即 Qr
r d Qr dr
rq(r)
d(rQr ) rq(r) dr
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弹性薄板小挠度理论的基本假设
（1）中性面假设：板弯曲时，中面保持中性，即
板中面内各点只有垂直位移w，无平行于中面的位移，
即
(u)z0 (v) ， z0 0 (w) z0 w。(x, y)
（2）直法线假设：弯曲变形前垂直于薄板中面的直 线，变形后仍为直线，且长度不变，仍垂直于弹性
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2）周向(环向)变形
变形前过m点的圆周，其周长为2 r ，变形后此圆
周为过m点的圆周，其周长为2 (r z)，则离中面
距离为 z 处的周向(环向)应变为
（c2） (r
ห้องสมุดไป่ตู้
z) 2 r
2
r
z
r
将式（a）代入式（b），（c），得
r
d2 w z
dr2
z r
dw dr
（3-3）
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度。
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在ac面上作用径向应力 r ，离中性面为 z 处取微小
条d ，z 其上作用的力为 r d z ，所引起的力矩
在ac面上作用的总力矩为 d M r r d z z
M r
S 2d
S 2
M
r
S
S
2
2
r
z
d
z
（f）
20 January 2021
（3-1）
沿x轴方向力矩的平衡方程
Mx 0
Mr
d Mr dr
d rr
d r d
Mrr d
2 M
d r sin( d ) 2
Qr r d r d
q(r)r d r d
dr 2
0
因为d 是个小角度，sin d d ，略去高阶微量， 22
Mr
r
d Mr dr
M
Qr r
0
即
d(r. Mr ) dr
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1．中面变形 根据基本假设（1），变形后，中面成回转
曲面且仍保持中性，中面的径向应变和周 向应变为零，即 r 0
dw
dr
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2．离中面距离为z处的变形
根据基本假设（2），变形前过m、n两点的1-1和2-2
平面均垂直于中性面，变形后为1-1 和2-2，仍保持