薄板理论分析精品PPT课件
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机构力学课件-弹性薄板
NL = 荷載標誌 ( 0 - q , 1 - P )
E = 楊氏彈性模量 UM =泊桑比
T = 厚度
CAHS=圓心角
R = 半徑
5.5 平板殼體程式的使用
結點座標 IF (NH == 0) THEN
READ (8,*) MX,MY,XL,YL ELSE
READ (8,*) ((XY(I,J),I=1,2),J=1,NN) END IF
N1對x，y的偏導數在結點處均 為零。
2
考慮到撓度是非完全四此式，為
Mx1 My1
yz
w3 3
4 x
x3
y3
使自動滿足它點為零N1(j)=0 ，可設
N1 (1 )(1 )(a b c d 2 e 2 )
利用所有點N1的導數為零條件，P.125 經式(c)~(l) 的推導，再可由得本點處位移的條件，可得d=-1/8，由此
T
(
de 2
ABTDBdA - Aq(x,y)N dA) d
e
5.2 彈性薄板矩形（R12）單元
2) 薄板單元剛度方程
由總勢能的一階變分為零可得
式中
ke d e F Pe
ke ABTDBdA
P e AN Tq( x, y)dA
B
2 x 2
;
2 y 2
;2
2 xy
T
N
5.1 彈性薄板基本知識
由此可得薄板單位長度內力為Mx、My、Mxy= Myx
(dx=dy=1)，依此順序排列的列陣稱內力矩陣，記作
[M]。
將應力應變關係代入並對z進行積分，可得
[M]=[D][]
式中
[D]=（h3/12）[D]’
稱作薄板的彈性矩陣。
弹性力学圆形薄板.ppt
所以轴对称载荷的圆板弯曲的一般解为：
（解题思路→A、B、C、K）
A2 B2 ln C ln K q4
64D
3、典型问题的边界分析
※ 对于无孔圆板受均布载荷的问题
由于薄板中心无孔，所以B和C应当等于零。 否则板中心（R=0）处内力及挠度将无限大（参 考前内力公式）。而A、K 则由边界条件求解。
d2 d 2
d d
Εz
1 2
1
d d
d2 d 2
0
在弹性曲面微分方程解答中的ω1是任意一 个特解，可以根据载荷的分布按照弹性曲面微
分方程的要求来选择；A、B、C、K任意常数，
由边界条件来决定。
对于均布载荷q，取特解ω1=N ρ 4 代入微分 方程，可解得N=q/64D。
得特解 ω1=q ρ 4/64D
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx A
M yx A
M yx d x x
边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力 M yx d x
x
边界上的总的分布剪力为
Vy
Qy
M yx x
d
x
除此之外，在A和B 还有未被抵消的集中剪力（也
就是有集中反力）M yx A M yx B
yz
0
u w 0 w v 0
z x
y z
u w 0 v w
z x
z y
u
w x
z
f1 ( x,
y)
v
w y
z
f2 ( x,
（解题思路→A、B、C、K）
A2 B2 ln C ln K q4
64D
3、典型问题的边界分析
※ 对于无孔圆板受均布载荷的问题
由于薄板中心无孔，所以B和C应当等于零。 否则板中心（R=0）处内力及挠度将无限大（参 考前内力公式）。而A、K 则由边界条件求解。
d2 d 2
d d
Εz
1 2
1
d d
d2 d 2
0
在弹性曲面微分方程解答中的ω1是任意一 个特解，可以根据载荷的分布按照弹性曲面微
分方程的要求来选择；A、B、C、K任意常数，
由边界条件来决定。
对于均布载荷q，取特解ω1=N ρ 4 代入微分 方程，可解得N=q/64D。
得特解 ω1=q ρ 4/64D
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx A
M yx A
M yx d x x
边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力 M yx d x
x
边界上的总的分布剪力为
Vy
Qy
M yx x
d
x
除此之外，在A和B 还有未被抵消的集中剪力（也
就是有集中反力）M yx A M yx B
yz
0
u w 0 w v 0
z x
y z
u w 0 v w
z x
z y
u
w x
z
f1 ( x,
y)
v
w y
z
f2 ( x,
板壳理论 课件 chapter1 弹性薄板弯曲的基本理论汇总
0,
3w y 3
(2
)
3w x 2y
0
( y b)
(1.3.9)
在两条自由边的交点上，例如图1.4的B点处，有总 的集中反力
RB RBA RBC
M yx
B
M xy
B 2 Mxy
B
根据(1.2.4)式，上式又可写为
RB
2D1
2w xy
B
(1.3.10) (1.3.11)
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
因此，如果B点没有支承对板施加此集中力，板
微分方程的解还需要满足角点条件,即在x=a, y=b
处 2w 0 xy
(1.3.12)
如果在B点处有支座可以对薄板施加反力，则有
下述角点条件,即在x=a, y=b处
w0
(1.3.13)
此时反力大小由(1.3.11)式给出。
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
▪ 边界条件
y2 b2
2
1
(1.4.2)
显然，上式满足在边界上w = 0的边界条件。
在边界上有 考虑到
w x
4mx a2x2 a2y2 b210
w y
4my b2
x2 a2
y2 b2
1
0
w w x w y n x n y n
(1.4.3) (1.4.4)
可见挠曲函数同样满足了在边界上 w 0的条件。
如 图 1.4 所 示 ， 在 x=0 的边缘为简支边；y=0边 为 固 支 边 ； x=a 和 y=b 两 边为自由边。
图1.4 板的边界条件
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
▪ 简支边界
➢ 边界处没有外加弯矩
w Mx 0 ( x 0)
板壳理论 课件 chapter2 弹性薄板的稳定和振动
2D
2
(2.2.7)
其中
m r K r m
2
, r
a b
(2.2.8)
利用dK/dr=0，可知r=m当时K值最小，其最小值为K=4，因而最 小的临界屈曲应力为：
s x cr
4 2 D 2 b h
(2.2.9)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
应该注意到，当n=1, r=m时，sx具有最小值，这说明当板屈曲时， 在受压方向上可能形成几个半波，而在y轴方向则只有一个半波， 且(2.2.9)式仅当a/b为整数时才成立。 当a/b非常小时，(2.2.7)式括号内的第二项恒小于第一项，只要使括 号内的第一项取最小值m=1 ，即得sx的最小临界值。
(2.1.1)
y
Qx q0 x y
将(2.1.1)式的前两式一并代入第三式有：
2 M xy 2 M y 2M x 2 q0 x y x2 y2
(2.1.2)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
将(1.2.4)代入(2.1.2)式中有：
4 w 4w 4w D w D w D 4 2 2 2 q x x y y4
图2.3 单向受压板
第二章 弹性薄板的稳定和振动
如以受压为正，且取代入方程(2.1.13)中，即得这一问题的 屈曲控制方程为： 边界条件是：
2w D w N x 0 2 x
4
(2.2.1)
2w x 0, a: w 0 2 x 2w y 0, b: w 0 y2
2 xy 2 w 2 w 2 w x 2 2 x y x 2 y 2 x y y x
弹性薄板的小挠度弯曲课件
践指导。
06
参考文献
参考文献
总结词：详细描述了弹性力学的基本 原理，包括应力和应变的关系，以及 弹性薄板在受到外力作用时的弯曲变 形规律。
详细描述：在弹性力学中，薄板的小 挠度弯曲是指薄板在受到外力作用时 发生的弯曲变形，其弯曲变形程度较 小，可以忽略不计薄板的剪切变形和 转动惯性。这种变形情况下，薄板的 弯曲变形可以通过挠度（即变形量） 来描述。在弹性力学中，应力和应变 之间的关系由胡克定律（Hooke's Law）描述，即应力与应变成正比， 比例系数为材料的弹性模量。
详细描述
圆形薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形薄板类似，这种弯曲程度较 小，也称为小挠度弯曲。在圆形薄板中，各个方向的弯曲程度基本相同，因此圆心位置的应力最大。
实例三：不规则形状薄板的弯曲
总结词
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会发生小挠度弯曲。
详细描述
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形和圆形薄 板类似，这种弯曲程度较小，也称为小挠度弯曲。不规则形状薄板的弯曲情况较为复杂，需要考虑各 个方向的弯曲程度以及应力分布。
05
结论与展望
研究结论
结论一
弹性薄板在受到小挠度弯 曲时，其弯曲行为与材料 属性、几何尺寸等因素密 切相关。
结论二
通过理论分析和数值模拟， 我们得到了弹性薄板在小 挠度弯曲下的变形规律和 应力分布。
结论三
实验结果与理论预测和数 值模拟结果基本一致，验 证了理论的正确性和数值 方法的可靠性。小的单元，对每 个单元进行弯曲分析，通过求解每个 单元的平衡方程得到整体的挠度分布。
对于某些特定形状和载荷条件的薄板， 可以通过解析方法直接求解弯曲微分 方程，得到挠度分布的精确解。
06
参考文献
参考文献
总结词：详细描述了弹性力学的基本 原理，包括应力和应变的关系，以及 弹性薄板在受到外力作用时的弯曲变 形规律。
详细描述：在弹性力学中，薄板的小 挠度弯曲是指薄板在受到外力作用时 发生的弯曲变形，其弯曲变形程度较 小，可以忽略不计薄板的剪切变形和 转动惯性。这种变形情况下，薄板的 弯曲变形可以通过挠度（即变形量） 来描述。在弹性力学中，应力和应变 之间的关系由胡克定律（Hooke's Law）描述，即应力与应变成正比， 比例系数为材料的弹性模量。
详细描述
圆形薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形薄板类似，这种弯曲程度较 小，也称为小挠度弯曲。在圆形薄板中，各个方向的弯曲程度基本相同，因此圆心位置的应力最大。
实例三：不规则形状薄板的弯曲
总结词
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会发生小挠度弯曲。
详细描述
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形和圆形薄 板类似，这种弯曲程度较小，也称为小挠度弯曲。不规则形状薄板的弯曲情况较为复杂，需要考虑各 个方向的弯曲程度以及应力分布。
05
结论与展望
研究结论
结论一
弹性薄板在受到小挠度弯 曲时，其弯曲行为与材料 属性、几何尺寸等因素密 切相关。
结论二
通过理论分析和数值模拟， 我们得到了弹性薄板在小 挠度弯曲下的变形规律和 应力分布。
结论三
实验结果与理论预测和数 值模拟结果基本一致，验 证了理论的正确性和数值 方法的可靠性。小的单元，对每 个单元进行弯曲分析，通过求解每个 单元的平衡方程得到整体的挠度分布。
对于某些特定形状和载荷条件的薄板， 可以通过解析方法直接求解弯曲微分 方程，得到挠度分布的精确解。
板壳理论 课件 chapter1 弹性薄板弯曲的基本理论
2w 2w M x D 2 0 2 y x 2w 2w M y D 2 0 y x 2 2w D(1 )x M xy M yx D(1 ) x y ab Qx D 2 w 0, Q y D 2 w 0 x y M xy y 0, V y Q y M yx x 0
M yx M yx dx dx 内力 x
M
yx
dx
在D处作用由扭矩折算的横剪力
M yx M yx x dx M yx M yx x dx
单位长度的横剪力 M yx x
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
因此，可以认为在边界上任意一点处作用有一折算 M yx 剪力 Vy Qy (1.3.6) x 同时可以看到，此时在边界的两端有未被抵消的集 中剪力R RAB M yx A , RBA M yx B (1.3.7) 于是自由边上的边界条件可以表示为在y=b处：
(1.4.11)
Vx Qx
[练习]
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
应该注意的是虽然分布反力Vx和Vy都为零，但 是集中反力是存在的，其大小为
2w 2 D(1 )x RB 2 D(1 ) xy ab B
(1.4.12)
可见薄板在B点受有向下的反力，类似地不难 看出板在O点受有同样大小的向下的反力，而在A 和C点则受有同样大小的向上的反力。 [练习]
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
考虑任一边界（不一定是自由边界）上所受的扭矩Myx。 在微段CD上： 内力Myxdx
在C处有一集中力Myx 在D处有一反向集中力Myx 在D处有一集中力 M yx yx dx x M 在E处有一反向集中力 M x
M yx M yx dx dx 内力 x
M
yx
dx
在D处作用由扭矩折算的横剪力
M yx M yx x dx M yx M yx x dx
单位长度的横剪力 M yx x
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
因此，可以认为在边界上任意一点处作用有一折算 M yx 剪力 Vy Qy (1.3.6) x 同时可以看到，此时在边界的两端有未被抵消的集 中剪力R RAB M yx A , RBA M yx B (1.3.7) 于是自由边上的边界条件可以表示为在y=b处：
(1.4.11)
Vx Qx
[练习]
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
应该注意的是虽然分布反力Vx和Vy都为零，但 是集中反力是存在的，其大小为
2w 2 D(1 )x RB 2 D(1 ) xy ab B
(1.4.12)
可见薄板在B点受有向下的反力，类似地不难 看出板在O点受有同样大小的向下的反力，而在A 和C点则受有同样大小的向上的反力。 [练习]
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
考虑任一边界（不一定是自由边界）上所受的扭矩Myx。 在微段CD上： 内力Myxdx
在C处有一集中力Myx 在D处有一反向集中力Myx 在D处有一集中力 M yx yx dx x M 在E处有一反向集中力 M x
第三章 薄板理论
第三章 薄板理论1.研究平板时，常把平板分为薄板与厚板。
所谓薄板是指板的厚度S 与板面最小尺寸b 之比相当小的平板，其定义范围一般为0.01< S/b<0.2，以区别薄板与厚板。
S/b ≥0.2时为厚板。
比薄板挠度更大的壳体称为薄膜（大挠度薄板）。
2.薄板理论主要研究薄板在横向载荷作用下的应力、应变和位移问题。
在横向载荷作用下，平板内产生的内力分为薄膜力和弯曲力，薄膜力使平板中面尺寸改变，弯曲力使平面产生双向弯曲变形。
薄板弯曲后，中面由平板变为曲面，称为薄板的弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移w ，称为挠度。
3.如果挠度w 远小于板厚S ，可以认为弹性曲面内任意线段长度无变化，弹性曲面内薄膜力远小于弯曲力，故忽略不计，这类弯曲问题可用薄板小挠度理论求解。
4.中性面假设：板弯曲时，中面保持中性，即板中面内各点只有垂直位移w ，无平行于中面的位移。
直线法假设：弯曲变形前垂直于薄板中面的直线段，变形后仍为直线，且长度不变，仍垂直于弹性曲面。
不挤压假设：薄板各层纤维在变形前后均互相不挤压，即垂直于板面的应力分量z σ和应变分量z ξ略去不计。
5.受轴对称均布载荷的圆平板有如下的应力和变形特点：（1）板内为二向应力状态，且沿板厚呈线性分布，均为弯曲应力；应力沿半径方向的分布与周边支承方式有关；板内最大弯曲应力max σ与2(/)R S 成正比。
（2）两种支撑板，最大挠度均在板中心处，若取μ=0.3，周边简支板的最大挠度约为固支板的4倍。
（3）周边固支圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应力；周边简支圆平板的最大应力为板中心表面处的两向弯曲应力。
若取μ=0.3，周边简支板的最大弯曲应力约为固支板的1.65倍。
由此可见，周边固支板无论从强度还是从刚度，均比周边简支板为好。
6.试比较受横向均布载荷作用的圆板，在周边固支和周边简支情况下最大弯曲应力和最大挠度的大小与位置。
（1）在周边固支情况下最大弯曲应力为板边缘上、下表面处的径向应力，即2max 223()4r Rr sz qR Sσσ====± 最大挠度发生在板中心r=0处，4max 0()64r qR Dωω===（2）在周边简支情况下最大弯曲应力发生在板中心处，即200max 2223()()(3)8r r r ssz z qR Sθσσσμ=======+ 最大挠度仍发生在板中心r=0处，4m a x 05()164r qR Dμωωμ=+==+ 7.提高受横向均布载荷作用的圆板承载能力的有效措施有哪些？（1）通常最大挠度和最大应力与圆板的材料、半径、厚度有关，因此，若构成板材料和载荷已确定，则减小半径和增大厚度，都可以减小挠度和降低最大正应力。
薄板理论分析
及同心圆柱面上中面线段ac，bd均为单位长
度。
June 4, 2020
19
在ac面上作用径向应力 r ，离中性面为 z 处取微小
条d ，z 其上作用的力为 r d z ，所引起的力矩
在ac面上作用的总力矩为 d Mr r d z z
M r
S 2d
S 2
M
r
S
S
2
2
r
z
d
z
（f）
June 4, 2020
June 4, 2020
r R
(a)
r
0
3(3 ) pR2 8 S2
0
(b) 图 3-8 周边简支实心圆平板
36
代入式（3-13），得周边简支实心圆板在任
意半径r处的转角和挠度表达式
（3-21-a）
dw dr
qr 16D
3 1
R2
r2
（3-21-b） w qr4 3 qR2 r 2 5 qR4
或
r
1 E
r
1 E
r
r
E 1 2
r
E 1 2
r
(3-4)
几何方程：
r
z
d 2w dr 2
z r
dw dr
式中，为圆板材料的弹性模量和泊松比。
June 4, 2020
17
r 板内二向应力 r ， 均为 的函数，且沿板
厚线性分布。在中性面 z = 0处， r = =0；
20
在cd面上作用环向应力 ， 离中性面为 z 处的微小
条dz 上作用的力为， dz 所引起的力矩,
为 d M d z z
在cd面上作用的总力矩为
第三章薄板理论
r
(
)max
6M h2
（3-7-b）
d3 w 1 d2 w
1
dw
Qr
dr3 r dr2 r2 dr D
October 6, 2021
图3-5应力分布图
23
上式可改写为直接积分形式：
d dr
1 r
d dr
r
dw dr
Qr D
（3-８）
将平衡方程式（3-1）代入上式，得
1 r
d dr
w
r 0
qR 4 64 D
（3-16）
October 6, 2021
32
将C1代入式（3-14），得周边固支实心圆板 在任意半径处的弯矩表达式
Mr
q 16
1 R2
(3 )r 2
M
q 16
1 R2
(1 3)r 2
（3-17）
将式（3-15）代入式（3-4），得周边固支实 心圆板在任意半径处的应力表达式
3
研究平板时，常把平板分为薄板与厚板。所 谓薄板是指板的厚度S与板面最小尺寸之比相 当小的平板，其定义范围一般为
0.01 S b 0.2
以区别于薄膜与厚板。
平板的形式很多,有方形、矩形、圆形、椭圆
形等多种。对于圆形薄板，其定义范围是指
板的厚度与其直径之比在上述范围之内，即
0.01 S D 0.2
度。
October 6, 2021
19
在ac面上作用径向应力 r ，离中性面为 z 处取微小
条d ，z 其上作用的力为 r d z ，所引起的力矩
在ac面上作用的总力矩为 d Mr r d z z
M r
S 2d
S 2
薄板的屈曲ppt课件
D
4
1 a2
9 b2
2
px1
2 0 2
a
2 2
A13
0
由系数行列式为零，即可求出屈曲荷载。
19
第6章 薄板的屈曲
不同面内荷载作用下板的弹性失稳
单向非均匀受压板的弹性失稳
0 2 时，令 a/b ，则纯弯曲板的屈曲荷载为：
临界应力为：
k 2D px1,cr b2
主要内容:
薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
能量法计算板的弹性失稳荷载
不同面内荷载作用下板的弹性失稳 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件
板稳定理论在钢结构设计中的应用
1
第6章 薄板的屈曲
钢结构中板的分类：
厚板：t / b 1/ 5 ~1/ 8
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不 能忽略剪切变形的影响。
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
不同边界条件单向均匀受压板的屈曲系数
对于单向均匀受 压的狭长板，用 横向加劲肋减小 比值a/b从而提 高屈曲系数并无 明显效果； 如把加劲肋间距 取得小于2b又很 不经济。
屈曲系数 k 与 的关系
对于很宽的薄 板，采用纵向加 劲肋减小宽度b 是有效的。
4
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
弹性曲面微分方程
以弯曲变形后的状态建立x、y、z方向力的平衡方程和绕x轴、y轴的 力矩的平衡方程，合并后有：
4w 4w 4w 2w
2w 2w
D
x4
2 x22 y
《板壳力学》课件
板壳力学的重要性
总结词
板壳力学在工程实践中具有重要意义，广泛应用于航空航天、船舶、建筑、机械 等领域。
详细描述
板壳力学在工程实践中具有重要意义，是解决复杂结构问题的重要工具。它广泛 应用于航空航天、船舶、建筑、机械等领域，为各种工程结构的优化设计、安全 评估和故障诊断提供了理论基础。
板壳力学的历史与发展
06
板壳力学的未来发展与挑战
新材料与新结构的板壳力学
新材料
随着科技的发展，新型材料如碳纤维 复合材料、钛合金等在航空、航天、 汽车等领域的应用越来越广泛，对板 壳力学提出了新的挑战和要求。
新结构
新型结构如曲面壳体、变厚度板等不 断涌现，需要深入研究其力学性能和 设计方法，以满足工程实际需求。
多场耦合的板壳力学问题
采用一系列简化假设来分析其力学行为。
薄壳弯曲方程
02
描述薄壳在弯曲时的挠度和转角等参数的方程。
薄壳边界条件和载荷
03
分析薄壳在边界条件和各种载荷作用下的弯曲变形和应力分布
。
厚板与厚壳理论
厚板与厚壳定义
厚板和厚壳是指厚度与另外两个尺寸相比不可忽略的板状和壳状 结构。
厚板与厚壳弯曲方程
描述厚板和厚壳在弯曲时的挠度和转角等参数的方程，通常较为复 杂，需要考虑更多的因素。
《板壳力学》ppt课件
目录
• 板壳力学概述 • 板壳力学的基本理论 • 板壳力学的应用 • 板壳力学的数值分析方法 • 板壳力学的实验研究 • 板壳力学的未来发展与挑战
01
板壳力学概述
定义与特点
总结词
板壳力学是研究板和壳体在各种外力作用下的应力、应变和位移分布规律的科 学。
详细描述
板壳力学主要研究板和壳体在受到各种外力作用时的应力、应变和位移分布规 律，包括静力学和动力学问题。它涉及到弹性力学、塑性力学、断裂力学等领 域，是固体力学的一个重要分支。
板壳理论 课件 chapter1 弹性薄板弯曲的基本理论
材料选择与制备：研究新型材料在板壳结构中的应用，提高其强度、刚度和耐久性。
结构分析方法：研究更精确、高效的数值模拟方法，对板壳结构进行应力分析、振动分析和稳定性分析。
实验研究：通过实验手段，对板壳结构进行加载测试、疲劳测试和耐久性测试，验证理论分析的准确性。
汇报人：
安全可靠：实验设计应确保实验过程的安全性和可靠性，避免意外事故的发生
重复性：实验设计应具有重复性，以便验证实验结果的可靠性和可重复性
实验数据的处理与分析
实验数据的收集与整理
实验数据的分析技巧
实验结果的可视化展示
实验数据的处理方法
实验结果与理论预测的比较
实验结果：通过实验测量板壳理论的各项参数，如弹性模量、泊松比等，并记录实验数据。
核工程领域
电子工程领域
建筑与桥梁领域
机械工程领域
航空航天领域
船舶与海洋工程领域
弹性薄板的基本假设
弹性薄板在弯曲时，其材料性质不变
弹性薄板在弯曲时，其边界条件不变
弹性薄板在弯曲时，其厚度不变
弹性薄板在弯曲时，其长度和宽度不变
弹性薄板的弯曲方程
弹性薄板的基本假设
弹性薄板的弯曲方程推导
弹性薄板弯曲方程的意义和应用
是工程结构分析中的重要理论之一
适用于分析细长比大于10的薄板结构
主要研究板和壳的变形及内力分布规律
பைடு நூலகம்
板壳理论是弹性力学的一个分支
板壳理论的发展历程
早期发展：板壳理论的起源和基本概念
中期发展：板壳理论的完善和应用
近期发展：板壳理论的现代研究和应用
未来展望：板壳理论的未来发展趋势和挑战
板壳理论的应用领域
理论预测：根据板壳理论建立数学模型，对实验结果进行预测，并与实验结果进行比较。
结构分析方法：研究更精确、高效的数值模拟方法，对板壳结构进行应力分析、振动分析和稳定性分析。
实验研究：通过实验手段，对板壳结构进行加载测试、疲劳测试和耐久性测试，验证理论分析的准确性。
汇报人：
安全可靠：实验设计应确保实验过程的安全性和可靠性，避免意外事故的发生
重复性：实验设计应具有重复性，以便验证实验结果的可靠性和可重复性
实验数据的处理与分析
实验数据的收集与整理
实验数据的分析技巧
实验结果的可视化展示
实验数据的处理方法
实验结果与理论预测的比较
实验结果：通过实验测量板壳理论的各项参数，如弹性模量、泊松比等，并记录实验数据。
核工程领域
电子工程领域
建筑与桥梁领域
机械工程领域
航空航天领域
船舶与海洋工程领域
弹性薄板的基本假设
弹性薄板在弯曲时，其材料性质不变
弹性薄板在弯曲时，其边界条件不变
弹性薄板在弯曲时，其厚度不变
弹性薄板在弯曲时，其长度和宽度不变
弹性薄板的弯曲方程
弹性薄板的基本假设
弹性薄板的弯曲方程推导
弹性薄板弯曲方程的意义和应用
是工程结构分析中的重要理论之一
适用于分析细长比大于10的薄板结构
主要研究板和壳的变形及内力分布规律
பைடு நூலகம்
板壳理论是弹性力学的一个分支
板壳理论的发展历程
早期发展：板壳理论的起源和基本概念
中期发展：板壳理论的完善和应用
近期发展：板壳理论的现代研究和应用
未来展望：板壳理论的未来发展趋势和挑战
板壳理论的应用领域
理论预测：根据板壳理论建立数学模型，对实验结果进行预测，并与实验结果进行比较。
板壳理论ppt课件
– 弯矩和扭矩： N – 剪力： N/m
26
§1.3 薄板的内力和应力
各应力分量与薄板内力及横向载荷的关系：
x
12M x t3
z
y
12M y t3
z
xy
yx
12M xy t3
z
xz
6Qx t3
t2 4
z2
yz
6Qy t3
t2 4
M
xy
M xy x
dx
dx
变换为一个力偶，力为
F点合M成xy为 向Mx下xy 的dx 合力
u z w v z w 由几何方程得应x变分量：y
x
u x
z
2w x2
y
v y
z
2w y2
xy
v x
u y
2z
2w yx
11
§1.2 薄板弯曲的基本方程
由于是小挠度，所以弹性曲面的曲率和扭率用
w表示为：
x
2w x2
y
2w y2
xy
2
2w yx
应变分量用曲率和扭率表示为：
x zx y z y xy zxy x , y , xy 为板的广义应变。
12
§1.2 薄板弯曲的基本方程
由物理方程得应力分量为：
x
E
1 2
x y
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§1.2 薄板弯曲的基本方程
26
§1.3 薄板的内力和应力
各应力分量与薄板内力及横向载荷的关系：
x
12M x t3
z
y
12M y t3
z
xy
yx
12M xy t3
z
xz
6Qx t3
t2 4
z2
yz
6Qy t3
t2 4
M
xy
M xy x
dx
dx
变换为一个力偶，力为
F点合M成xy为 向Mx下xy 的dx 合力
u z w v z w 由几何方程得应x变分量：y
x
u x
z
2w x2
y
v y
z
2w y2
xy
v x
u y
2z
2w yx
11
§1.2 薄板弯曲的基本方程
由于是小挠度，所以弹性曲面的曲率和扭率用
w表示为：
x
2w x2
y
2w y2
xy
2
2w yx
应变分量用曲率和扭率表示为：
x zx y z y xy zxy x , y , xy 为板的广义应变。
12
§1.2 薄板弯曲的基本方程
由物理方程得应力分量为：
x
E
1 2
x y
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§1.2 薄板弯曲的基本方程
板壳理论--薄板小挠度弯曲问题及经典解法 ppt课件
PPT课件
z2(E 1 4 w 2)t4 2(z2 t)1 3(z38 t3 6(1E t3 2)(1 2zt)21zt4w
在薄板的上边界代入外荷载q
z
q
zt 2
Et3
12(1 2
)
4w
q
D
Et3
12(1
2)
称为薄板的弯曲刚度，量纲为[力][长度]
D4w q
薄板的弹性曲面微分方程
24
PPT课件
z z 2 ( 1 E 2 )(z 2 t4 2 ) ( x 4 w 4 x 2 4 w y 2 ) ( y 2 4 w x 2 y 4 w 4 )
z E (z2 t2) (4 w 2 4 w 4 w ) z 2 (1 2) 4 x4 x2 y2 y4
u w v w 积分 z x z y
uwz x
f1(x,
y)
vwz y
f2(x,
y)
13
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
uwz x
f1(x,
y)
w
v y
z
f2(x,
y)
u 0, z0
u w z x
v 0 z0 v w z y
14
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
x ux,y yv,z wz,xyxvuy,
Ez2
1 2
x
2w
F1
x,
y
zy
2
Ez2
1 2
y
2
w
F2
x,
y
zy z t 0 2
zx z t 0 2
F1x,y81Et22
2w x
F2x,y81Et22
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15
20 January 2021
几何方程：
r
d 2w z
dr 2
z r
dw dr
16
（三）物理方程
根据基本假设（3）， z 0 ，圆板上任意一点均处 于二向应力状态。在平面应力状态下，由广义虎克 定律，圆板轴对称问题的物理方程为
或
r
1 E
r
1 E
r
r
E 1 2
r
E 1 2
达到最大值，其应力为 2
( r ) max
ES
2(1
2
)
d2 w dr2
r
dw dr
(
) max
ES
2(1
2
)Leabharlann 1 rdw drd2 w dr2
（3-5）
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（四）圆板轴对称弯曲的挠度微分方程
微元体由取径向平面上中面线段ab，cd
及同心圆柱面上中面线段ac，bd均为单位长
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弹性薄板小挠度理论的基本假设
（1）中性面假设：板弯曲时，中面保持中性，即
板中面内各点只有垂直位移w，无平行于中面的位移，
即
(u)z0 (v) ， z0 0 (w) z0 w。(x, y)
（2）直法线假设：弯曲变形前垂直于薄板中面的直 线，变形后仍为直线，且长度不变，仍垂直于弹性
14
2）周向(环向)变形
变形前过m点的圆周，其周长为2 r ，变形后此圆
周为过m点的圆周，其周长为2 (r z)，则离中面
距离为 z 处的周向(环向)应变为
（c2） (r
z) 2 r
2
r
z
r
将式（a）代入式（b），（c），得
r
d2 w z
dr2
z r
dw dr
（3-3）
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薄板，简称圆板。圆板的轴对称问题，采用圆柱坐
标系（r 、 、z ）。
q
q
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q x
6
为了求得圆板在q(r) 作用下的各内力素，用相 距d的两个圆柱面，夹角为d的两个径向平面， 沿板厚截取一微小六面体abcd。
Mr－作用在圆柱面沿中面单位长度上的径向 弯矩；
M－作用在径向平面沿中面单位长度上的周 向弯矩；
12
1．中面变形 根据基本假设（1），变形后，中面成回转
曲面且仍保持中性，中面的径向应变和周 向应变为零，即 r 0
dw
dr
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2．离中面距离为z处的变形
根据基本假设（2），变形前过m、n两点的1-1和2-2
平面均垂直于中性面，变形后为1-1 和2-2，仍保持
r
(3-4)
几何方程：
r
z
d 2w dr 2
z r
dw dr
式中，为圆板材料的弹性模量和泊松比。
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r 板内二向应力 r ， 均为 的函数，且沿板
厚线性分布。在中性面 z = 0处， r = =0；
在板的上、下表面 z = S 处，两向应力分别
平面且垂直于中面，只是分别转过了角度
和 d 。这里有两个方向的变形：
（1）径向变形
变形前m、n两点间距离即微线段长度mn为dr ，变形 后微线段mn变为mn= dr z( d ) z 则离中面距离为z
处的径向应变为
r
dr
z(
d ) z
dr
dr
d
z dr
（b）
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度。
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在ac面上作用径向应力 r ，离中性面为 z 处取微小
条d ，z 其上作用的力为 r d z ，所引起的力矩
在ac面上作用的总力矩为 d M r r d z z
M r
S 2d
S 2
M
r
S
S
2
2
r
z
d
z
（f）
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3
研究平板时，常把平板分为薄板与厚板。所 谓薄板是指板的厚度S与板面最小尺寸之比相 当小的平板，其定义范围一般为
0.01 S b 0.2
以区别于薄膜与厚板。
平板的形式很多,有方形、矩形、圆形、椭圆
形等多种。对于圆形薄板，其定义范围是指
板的厚度与其直径之比在上述范围之内，即
0.01 S D 0.2
曲面。由此可知，板中面内任何点处的剪应变 xz、 yz
应等于零。
（3）不挤压假设：薄板各层纤维在变形前后均互不
挤压，即垂直于板面的应力分量 略去不计。
z
和应变分量
z
20 January 2021 上述假定统称为克希霍夫（Kirchhoff）假定。
5
第二节 圆板的轴对称问题
在化工设备中，应用最多的是受轴对称载荷的圆形
第三章 薄板理论
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1
第一节 薄板的基本概念及基本假定
平板是以两个平面为界，且两平面之间的距离
远较其它尺寸为小的物体，此两平面之间的距离为 平板的厚度S，与两平面等距离的中间面叫做平板 的中面，参考坐标系位于中面内。
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2
20 January 2021
Qr－作用在圆柱面沿中面单位长度上的横向 剪力。
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（一）平衡方程
由微元六面体的空间力系，根据平衡条件， 可列出六个平衡方程，其中
Fx 0 Fy 0 M x 0 M z 0
自然满足，只能得到下列两个平衡方程,
Fz 0
Mx 0
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8
q
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q
q x
9
20 January 2021
q
q x
10
沿z轴方向力的平衡方程 Fz 0
Qr
d Qr dr
d rr
d r d
Qr r d
q(r)r d r d
0
展开合并，略去高阶微量，得
即 Qr
r d Qr dr
rq(r)
d(rQr ) rq(r) dr
（3-1）
沿x轴方向力矩的平衡方程
Mx 0
Mr
d Mr dr
d rr
d r d
Mrr d
2 M
d r sin( d ) 2
Qr r d r d
q(r)r d r d
dr 2
0
因为d 是个小角度，sin d d ，略去高阶微量， 22
Mr
r
d Mr dr
M
Qr r
0
即
d(r. Mr ) dr
M
Qr .r
0
（3-2）
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11
（二）几何方程
圆板受轴对称横向载荷后，其基本变形特点 呈双向弯曲，即径向弯曲和周向弯曲，中面 弯曲成以对称轴为旋转轴的回转曲面，仍保 持中性。
（a）圆板中面的变形
（b） （a）中部放大图
20 January 2021 图3-3 受轴对称载荷圆板的几何变形