7[1].6 线性变换的值域与核

证毕
（A 的秩、零度与空间维数的关系） 的秩、零度与空间维数的关系） 定理 2 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换 则有 (1) A 的秩 + A 的零度 = n . (2) dimAV+ V+dim A -1(0)=dimV = (3) A V 的一组基的原像及 A -1(0)
的一组基合起来就是 V 的一组基. 的一组基.
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §5 对角矩阵 §2 线性变换的运算 §6线性变换的值域与核 §3 线性变换的矩阵 §7不变子空间 §4 特征值与特征向量
第六节 线性变换的值域与核
主要内容
值域与核的定义及性质
有关的性质定理 举例
一、定义
的一个线性变换, 定义 1 设 A 是线性空间 V 的一个线性变换,
证毕
小 结
1.值域与核的定义及性质 1.值域与核的定义及性质
2.有关的性质定理 2.有关的性质定理
这个式子说明， 这个式子说明， A ξ ∈ L(A ε1 , A ε2 , … , A εn ) , 这个式子还 因此 A V ⊂ L(A ε1 , A ε2 , … , A εn ) . 表明基像组的线性组合还是一个像， 表明基像组的线性组合还是一个像，也即 L(A ε1 , A ε2 , … , A εn ) ⊂ A V.
例 5 设 A 是一个 n × n 矩阵，A2 = A . 证明 矩阵，
A 相似于一个对角矩阵
1 1 ⋱ 1 . 0 ⋱ 0
(1)
证明
取一 n 维线性空间 V 以及 V 的一组基
ε1 , ε2 , …, εn . 定义线性变换 A 如下： 如下：
由
A α + A β = A (α + β ) ， k A α = A (kα)
可知， 可知， A V 对加法与数量乘法是封闭的，同时， 对加法与数量乘法是封闭的，同时， 的子空间. A V 是非空的，因此 A V 是 V 的子空间 是非空的， 由 A α =0 与 A β = 0 可知
A (α + β ) =0， A (kα) = 0 . ， 这就是说， 对加法与数量乘法是封闭的. 这就是说， A -1(0) 对加法与数量乘法是封闭的 又
则 D 的值域为 P[x]n-1 ， D 的核为子空间 P .
例 3 Vλ 是A的特征子空间，则 的特征子空间，
0
Vλ0 = ( A − λ0 E )−1 (0).
定义 2 设 A 是线性空间 V 的一个线性变换, 的一个线性变换, A V 的维数称为 A 的秩， A -1(0) 的维数称
为
A 的零度. 即 dimA V = A的秩， dimA dimA -1(0) = A的零度. dimA
A (ε1 , ε2 , …, εn ) = (ε1 , ε2 , …, εn ) A .
下面来证明， 下面来证明， A 在一组适当的基下的矩阵是 (1) . 这样，由 定理 4 这样， 也就证明了所要的结论. 也就证明了所要的结论 我们取 A V 的一 由 A2 = A，可知 A 2 ， =A 组基为 η1 ., η2 , … , ηr . 由
(2) 求 A 的值域 A V 和核 A -1(0) ； (3) 把 A V 的基扩充为 V 的基，并求 A 在这 的基， 组基下的矩阵； 组基下的矩阵； (4) 把 A -1(0) 的基扩充为 V 的基，并求 A 在 的基， 这组基下的矩阵. 这组基下的矩阵
(1) (2) (3) (4)
解 解 解 解
εr
= A ( l1 ε 1 + l2 ε 2 + … + lr ε r ) . 于是
A (α - l1 ε1 - l2 ε2 - … - lr εr ) = 0， ，
即
α - l1 ε1 - l2 ε2 - … - lr εr ∈ A -1(0) .
的基， 又因为 εr+1 , εr+2 , … , εs 是 A -1(0) 的基，必有一组 数 lr+1 , lr+2 , …, ls 使
若有 l1ε1 + l2ε2 + … + lrεr + lr+1εr+1 + … + lsεs = 0 . 去变它的两端的向量， 用 A 去变它的两端的向量，得 l1 A ε 1 + l2 A ε 2 + … + lr A ε r + lr+1 A εr+1 + … + ls A εs= A 0 = 0 . 因 εr+1 , εr+2 , … , εs 属于A -1(0) ，故
α - l1 ε1 - l2 ε2 - … - lr εr = lr+1 εr+1 + …+ ls εs
于是就有
α = l1 ε1 + l2 ε2 + … + lr εr + lr+1 εr+1 + …+ ls εs
的线性组合. 这就说明 α 是 ε1 , ε2 , …, εr , εr+1, …, εs 的线性组合 的一组基. 也就证明了 ε1 , ε2 , …, εr , εr+1, …, εs 是 V 的一组基 由 V 的维数为 n ，知 s = n . 又 r 是A V 的维 数也即 A 的秩， s - r = n - r 是 A -1(0) 的维数，即 的秩， 的维数，
−1
证明： 显然. 证明：ⅰ) 显然 ⅱ) 因为 A0 = 0,
−1 A为单射，则 A (0) = {0} . 若 为单射，
A−1 (0) = {0} , 任取 α、β ∈ V , 若 反之 ，若
Aα = Aβ ,
则
−1
A(α − β ) = Aα − Aβ = 0,
是单射. 即 α = β . 故 A 是单射
A 的全体像组成的集合称为A 的值域，用A V
表 示. 所有被 A 变成零向量的向量组成的集合称为 的核，用A -1(0) 表示. 表示. 若用集合的记号则
A V = { A ξ | ξ ∈ V } =ImA， A -1(0) = { ξ | A ξ =0 ，ξ ∈ V } =KerA.
性质 线性变换的值域与核都是 V 的子空间. 的子空间. 证明
2) A 的秩 = A 的秩. 的秩. （A 的值域的结构） 的值域的结构）
证明 1) 设 ξ 是 V 的任一向量，可用基表 的任一向量，
示为
ξ = x 1ε 1 + x 2ε 2 + … + x n ε n .
于是
A ξ = x1 A ε 1 + x2 A ε 2 + … + xn A ε n .
A εr+1 = A εr+2 = ，i = 1 , 2 ,… , r . 于是上式就变成 l 1η 1 + l 2η 2 + … + l r η r = 0 .
是线性无关的， 但 η1 , η2 , … , ηr 是线性无关的，有 l1 = l2 =…= lr = 0 . 于是等式 l1ε1 + l2ε2 + … + lrεr + lr+1εr+1 + … + lsεs = 0 就变成 lr+1εr+1 + … + lsεs = 0 . 的基也线性无关, 又因为 εr+1 , εr+2 , … , εs 是 A -1(0) 的基也线性无关 就有 lr+1 = …= ls = 0 . 是线性无关的. 这就证明了ε1 , ε2 , …, εr , εr+1, …, εs 是线性无关的
再证 V 的任一向量 α 是
ε1 , ε2 , …, εr , εr+1, …, εs
的线性组合. 的线性组合 由 η1 = A ε1 , … , ηr = A εr 是 A V 的 基，就有一组数 l1 , l2 , …, lr 使
A α = l1 A ε 1 + l2 A ε 2 + … + lr A
A η1 = η1 , … , A ηr = ηr ,
它们的原像也是 η1 , η2 , … , ηr .
再取 A -1(0) 的一组基为 ηr+1 , … , ηn . 由
定理 2
知： η1 , η2 , … , ηr , ηr+1 , … , ηn 是 V
的一组基. 在这组基下， 的一组基 在这组基下， A 的矩阵就是 (1) .
从而 α − β ∈ A (0) = {0} ,
定理3 对于有限维线性空间的线性变换， 定理3 对于有限维线性空间的线性变换，它是
单射的充分必要条件为它是满射. 单射的充分必要条件为它是满射.
证明 显然，当且仅当 A V = V，即 A 的秩 显然， ，
是满射； 为 n 时， A 是满射； 另外， 另外，当且仅当 A -1(0) = {0} 即 A 的零度为 0 时， A 是单射，于是由上述定理 是单射， 即可得出结论. 即可得出结论
证毕
三、举例
例 4 设线性变换 A 在三维线性空间 V 的一
组基 ε1 , ε2 , ε3 下的矩阵是
1 2 − 1 A = 2 1 0 . 3 0 1
(1) 求 A 在基 η1 , η2 , η3 下的矩阵，其中： 下的矩阵，其中：
η1 = 2ε1 + ε 2 + 3ε 3 , η2 = ε1 + ε 2 + 2ε 3 , η3 = −ε1 + ε 2 + ε 3 .
二、有关性质定理
定理 1 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变
换，ε1 , ε2 , … , εn 是 V 的一组基，在这组基下， 的一组基，在这组基下，
A 的矩阵是 A，则
1) A 的值域 A V 是由基像组生成的子空间， 是由基像组生成的子空间， 即
εn ) .
A V = L (A ε 1 , A ε 2 , … , A
A 的零度 因而 的零度. A 的秩 + A 的零度 = n . 证毕
注意
虽然子空间 A V 与 A -1(0) 的维数之和为n 的维数之和为n 但是 A V + A -1(0) 并不是整个空间. 并不是整个空间.
例如 在线性空间 P[x]n 中，令 D ( f (x) ) = f ′(x) . 则 D 的值域为 P[x]n-1 ， D 的核为子空间 P .
于是就有
A V = L(A ε1 , A ε2 , … , A εn ) .
2) 根据 1)， A 的秩等于基像组的秩 另一方 1)， 的秩等于基像组的秩. 是由基像组的坐标按列排列成的. 面，矩阵 A 是由基像组的坐标按列排列成的 在前 一章第八节中曾谈过， 一章第八节中曾谈过，若在 n 维线性空间 V 中取 定了一组基之后，把 V 的每一个向量与它的坐标 定了一组基之后， 对应起来， 的同构对应. 对应起来，就得到了 V 到 P n 的同构对应 同构对 应保持向量组的一切线性关系， 应保持向量组的一切线性关系，因此基像组与它 们的坐标组(即矩阵 的列向量组)有相同的秩 有相同的秩. 们的坐标组 即矩阵 A 的列向量组 有相同的秩
若令 V= P[x]n ，则
D V = P[x]n-1 ， D -1(0) = P， ， D 的秩 = n -1， D 的零度 = 1，但 ， ， D V + D -1(0) = P [x]n-1 + P = P [x]n-1
≠ P[x]n .
的线性变换， 引理 设A为n 维线性空间 的线性变换，则 为 维线性空间V的线性变换 ⅰ) A 是满射⇔ A (V ) = V ; ⅱ) A是单射 ⇔ A (0) = {0} . 是单射
因为 A (0) = 0，所以 0 ∈ A -1(0) ，即 A -1(0) 是非 ， 的子空间. 空的. 空的 所以 A -1(0) 是 V 的子空间
证毕
例 1 (1) 0V={0}, 0-1(0)=V; (0)=V (2)设A是V上的可逆变换，则AV=V,A-1(0)={0}. 上的可逆变换， 是 上的可逆变换 例 2 在线性空间 P[x]n 中，令 D ( f (x) ) = f ′(x) .
证明 设 A V 的一组基为 η1 , η2 , … , ηr , 它们
的原像为 ε1 , ε2 , … , εr , A εi = ηi ，i = 1 , 2 ,… , r . 又取 A -1(0) 的一组基为 εr+1 , εr+2 , … , εs . 现在来 的基. 证明 ε1 , ε2 , … , εr , εr+1 , εr+2 , … , εs 为 V 的基