信号与系统第4章 连续信号的频域分析
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4.5.1 基本周期信号的傅里叶变换 基本周期信号主要指的是正弦信号和复简谐信 号。周期信号都是功率信号，因此一定不满足绝对 可积条件，不能用定义求其傅里叶变换。为此，可 利用直流信号的傅里叶变换，根据频移性质求得。
21
4.4.6 卷积性质
图 4.4.6
22
4.4.7 时域微积分性质
式（4.4.10）称为时域微分性质，式（4.4.11 ）称为时域积分性质。若 f（t）的波形上下两部分 面积相等，则 F（j0）=0，时域积分性质从而可简 化为
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4.4.8 频域微积分性质
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4.5 周期信号的傅里叶变换 前面通过将周期信号展开为傅里叶级数，得到 了周期信号频谱的计算方法。而对非周期信号，通 过傅里叶变换得到了其频域描述方法，即频谱密度 。频谱和频谱密度虽然都是信号的频域描述，但根 据前面的定义，二者是有区别的。对实际系统进行 分析时，系统中的信号可能是周期信号，也可能是 非周期信号。如果对这两种信号采用不同的频域描 述，将对系统的分析造成诸多不便。因此，希望将 周期信号也用傅里叶变换或频谱密度来表示。
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③收敛性。理论上说周期信号中包含无穷多个 谐波分量，各谐波分量的幅度（即幅度谱）虽然不 一定随 n的增大而单调减小，但总的趋势都是按照 一定规律衰减的。当 n→∞ 时，|Fn|→0，这体现了 周期信号频谱的收敛性。
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4.3 非周期信号的频谱密度 4.3.1 非周期信号的傅里叶变换 非周期信号的时间函数表达式为非周期函数， 因此不能进行傅里叶级数展开。但是，可以将非周 期信号视为周期 T→∞ 的周期信号，从而得到类似 的分解表达式。 周期信号的傅里叶系数为
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图 4.1.1 周期信号的分解和合成
3
4.1.1 三角形式的傅里叶级数 用周期函数表示的连续时间周期信号 f（t）， 如果满足狄里赫利条件，则可表示为傅里叶级数展 开式的形式，即
式中，Ω =2π /T称为该周期信号的基波角频率 ，单位为 rad/s；T为其周期，单位为 s。An（n≥0 ）和 φn（n >0）的计算公式为
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图 4.1.3 周期矩形脉冲信号的分解和合成
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4.1.2 指数形式的傅里叶级数 根据欧拉公式，可以将式（4.1.1）所示三角 形式的傅里叶级数展开式改写为
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4.2 周期信号的频谱 4.2.1 频谱的概念 通过傅里叶级数可以将时域中的周期信号分解 为直流分量、基波分量和各次谐波分量之和，傅里 叶级数展开式中的 An，φn 或傅里叶系数 Fn 分别代 表了各分量的幅度和相位随谐波次数 n（角频率 nΩ）的变化关系，称为周期信号的频谱，其中 An 或 |Fn|称为幅度谱，φn 称为相位谱。
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4.4.1 线性性质
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4.4.2 时移性质
时移性质说明，信号在时域中沿着时间轴的平 移，只是使信号的频谱密度在相位谱密度上有附加 的相移 -ωt0，而幅度谱密度不会发生变化。
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4.4.3 尺度变换性质
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4.4.4 对称性质 若 f（t）F（jω），则
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4.4.5 频移性质
频移性质说明，在时域中将一个信号乘以频率 为 ω0 的复简谐信号，则其频谱密度的形状不变， 只是沿频率轴向右平移 ω0。利用欧拉公式和傅里 叶变换的线性性质，还可得到频移性质的另外两种 描述，即
第4章 连续信号的频域分析
信号和系统时域分析方法的基本思想是将任 意的输入信号分解为单位冲激信号的叠加。对 LTI 系统，只要知道了其单位冲激响应，即可通过卷 积积分求出任意输入信号作用下系统的零状态响 应。信号的分解并不是唯一的。例如，信号还可 以分解为一系列正交函数的线性组合。
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4.1 周期信号的傅里叶级数 所有具有各自不同频率的正弦函数 sin nΩt（n =1，2，…）和余弦函数 cosnΩt（n =0，1，2， …）在时间区间（ t0，t0+2π /Ω）范围内构成一个 完备的正交函数集。同样，所有虚指数函数ejnΩt （n = ±0，±1，±2，…）在此时间范围内也构 成一个正交函数集。傅里叶提出，一个周期信号可 以用以上两种正交函数集中相互正交的若干函数的 线性组合来表示。或者说，可以将周期信号分解为 这些正交函数的加权和。
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4.2.2 周期信号频谱的特点 观察前面的周期矩形脉冲信号和全波整流余弦 信号的频谱，可以发现其中有些共同的特点。实际 上，所有周期信号的频谱都具有如下特点： ①离散性。周期信号的频谱 An，φn 或 Fn 都以 整数变量 n为自变量，频谱图由离散的谱线和点构 成，这样的频谱称为离散谱。所有周期信号的频谱 都为离散谱。 ②谐波性。周期信号的频谱中自变量 n的取值 对应各分量的频率，n只能取整数，因此各分量的 频率只能为原周期信号基波频率的整数倍。
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4.3.3 典型信号的频谱密度 这里根据上述傅里叶变换的定义首先求取几个 满足绝对可积条件的非周期信号的频谱密度。
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4.4 傅里叶变换的性质 前面介绍了信号的频谱密度，并通过傅里叶变 换建立了信号的时域和频域描述之间的对应关系。 在信号分析时，经常需要对信号进行某种运算。在 时域中对信号进行运算和变换后得到新的信号，在 频域中其频谱密度有何变化？与原信号的频谱密度 之间又有何关系？反过来，如果信号的频谱密度发 生了变化，其在时间波形或时间函数表达式上又有 何变化？研究这些问题当然可以通过傅里叶变化的 定义进行，但是计算过程比较复杂。
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当 T→∞ 时，周期信号 f（t）变为非周期信号 。此时，基波角频率 Ω =2π /T 趋向于无穷小，记 为dω，而 nΩ 趋向于连续变量，记为 ω。另外取 t0= -T/2，则由上式得到
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4.3.2 非周期信号的频谱密度 通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的 复简谐信号的叠加，而信号的傅里叶变换F（jω）反 映了信号中各分量的幅度和相位随其频率 ω 的变 化关系，称为信号的频谱密度，又称为频谱密度函 数或频谱函数。与周期信号的频谱 Fn 相同，F（jω） 也是信号在频域中的一种描述方法，所以也称为信 号的频域表达式。
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4.5.1 基本周期信号的傅里叶变换 基本周期信号主要指的是正弦信号和复简谐信 号。周期信号都是功率信号，因此一定不满足绝对 可积条件，不能用定义求其傅里叶变换。为此，可 利用直流信号的傅里叶变换，根据频移性质求得。
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4.4.6 卷积性质
图 4.4.6
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4.4.7 时域微积分性质
式（4.4.10）称为时域微分性质，式（4.4.11 ）称为时域积分性质。若 f（t）的波形上下两部分 面积相等，则 F（j0）=0，时域积分性质从而可简 化为
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4.4.8 频域微积分性质
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4.5 周期信号的傅里叶变换 前面通过将周期信号展开为傅里叶级数，得到 了周期信号频谱的计算方法。而对非周期信号，通 过傅里叶变换得到了其频域描述方法，即频谱密度 。频谱和频谱密度虽然都是信号的频域描述，但根 据前面的定义，二者是有区别的。对实际系统进行 分析时，系统中的信号可能是周期信号，也可能是 非周期信号。如果对这两种信号采用不同的频域描 述，将对系统的分析造成诸多不便。因此，希望将 周期信号也用傅里叶变换或频谱密度来表示。
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③收敛性。理论上说周期信号中包含无穷多个 谐波分量，各谐波分量的幅度（即幅度谱）虽然不 一定随 n的增大而单调减小，但总的趋势都是按照 一定规律衰减的。当 n→∞ 时，|Fn|→0，这体现了 周期信号频谱的收敛性。
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4.3 非周期信号的频谱密度 4.3.1 非周期信号的傅里叶变换 非周期信号的时间函数表达式为非周期函数， 因此不能进行傅里叶级数展开。但是，可以将非周 期信号视为周期 T→∞ 的周期信号，从而得到类似 的分解表达式。 周期信号的傅里叶系数为
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图 4.1.1 周期信号的分解和合成
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4.1.1 三角形式的傅里叶级数 用周期函数表示的连续时间周期信号 f（t）， 如果满足狄里赫利条件，则可表示为傅里叶级数展 开式的形式，即
式中，Ω =2π /T称为该周期信号的基波角频率 ，单位为 rad/s；T为其周期，单位为 s。An（n≥0 ）和 φn（n >0）的计算公式为
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图 4.1.3 周期矩形脉冲信号的分解和合成
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4.1.2 指数形式的傅里叶级数 根据欧拉公式，可以将式（4.1.1）所示三角 形式的傅里叶级数展开式改写为
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4.2 周期信号的频谱 4.2.1 频谱的概念 通过傅里叶级数可以将时域中的周期信号分解 为直流分量、基波分量和各次谐波分量之和，傅里 叶级数展开式中的 An，φn 或傅里叶系数 Fn 分别代 表了各分量的幅度和相位随谐波次数 n（角频率 nΩ）的变化关系，称为周期信号的频谱，其中 An 或 |Fn|称为幅度谱，φn 称为相位谱。
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4.4.1 线性性质
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4.4.2 时移性质
时移性质说明，信号在时域中沿着时间轴的平 移，只是使信号的频谱密度在相位谱密度上有附加 的相移 -ωt0，而幅度谱密度不会发生变化。
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4.4.3 尺度变换性质
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4.4.4 对称性质 若 f（t）F（jω），则
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4.4.5 频移性质
频移性质说明，在时域中将一个信号乘以频率 为 ω0 的复简谐信号，则其频谱密度的形状不变， 只是沿频率轴向右平移 ω0。利用欧拉公式和傅里 叶变换的线性性质，还可得到频移性质的另外两种 描述，即
第4章 连续信号的频域分析
信号和系统时域分析方法的基本思想是将任 意的输入信号分解为单位冲激信号的叠加。对 LTI 系统，只要知道了其单位冲激响应，即可通过卷 积积分求出任意输入信号作用下系统的零状态响 应。信号的分解并不是唯一的。例如，信号还可 以分解为一系列正交函数的线性组合。
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4.1 周期信号的傅里叶级数 所有具有各自不同频率的正弦函数 sin nΩt（n =1，2，…）和余弦函数 cosnΩt（n =0，1，2， …）在时间区间（ t0，t0+2π /Ω）范围内构成一个 完备的正交函数集。同样，所有虚指数函数ejnΩt （n = ±0，±1，±2，…）在此时间范围内也构 成一个正交函数集。傅里叶提出，一个周期信号可 以用以上两种正交函数集中相互正交的若干函数的 线性组合来表示。或者说，可以将周期信号分解为 这些正交函数的加权和。
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4.2.2 周期信号频谱的特点 观察前面的周期矩形脉冲信号和全波整流余弦 信号的频谱，可以发现其中有些共同的特点。实际 上，所有周期信号的频谱都具有如下特点： ①离散性。周期信号的频谱 An，φn 或 Fn 都以 整数变量 n为自变量，频谱图由离散的谱线和点构 成，这样的频谱称为离散谱。所有周期信号的频谱 都为离散谱。 ②谐波性。周期信号的频谱中自变量 n的取值 对应各分量的频率，n只能取整数，因此各分量的 频率只能为原周期信号基波频率的整数倍。
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4.3.3 典型信号的频谱密度 这里根据上述傅里叶变换的定义首先求取几个 满足绝对可积条件的非周期信号的频谱密度。
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4.4 傅里叶变换的性质 前面介绍了信号的频谱密度，并通过傅里叶变 换建立了信号的时域和频域描述之间的对应关系。 在信号分析时，经常需要对信号进行某种运算。在 时域中对信号进行运算和变换后得到新的信号，在 频域中其频谱密度有何变化？与原信号的频谱密度 之间又有何关系？反过来，如果信号的频谱密度发 生了变化，其在时间波形或时间函数表达式上又有 何变化？研究这些问题当然可以通过傅里叶变化的 定义进行，但是计算过程比较复杂。
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当 T→∞ 时，周期信号 f（t）变为非周期信号 。此时，基波角频率 Ω =2π /T 趋向于无穷小，记 为dω，而 nΩ 趋向于连续变量，记为 ω。另外取 t0= -T/2，则由上式得到
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4.3.2 非周期信号的频谱密度 通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的 复简谐信号的叠加，而信号的傅里叶变换F（jω）反 映了信号中各分量的幅度和相位随其频率 ω 的变 化关系，称为信号的频谱密度，又称为频谱密度函 数或频谱函数。与周期信号的频谱 Fn 相同，F（jω） 也是信号在频域中的一种描述方法，所以也称为信 号的频域表达式。