高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）

1．重要不等式

当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式

(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b

2叫做正数a ，b 的算术平均数，

把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．

(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b

2

，当且仅当a ＝b 时，等号成立．

(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 2

2，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a

＝b 时等号成立)．

题型一：利用基本不等式比较大小

1.已知m ＝a ＋

1

a －2

(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m

D ．不确定

2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝1

2(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．

题型二：利用基本不等式证明不等式

3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c

3c ≥3.

4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1c －1≥8.

题型三：利用基本不等式求最值

5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．

6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．

7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9

y ＝1，求x ＋y 的最小值．

8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝1

6，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

题型四：利用基本不等式解应用题

9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：

(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？

(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

巩固练习：

1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1

lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋

1

x

≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1

x 的最小值为2 D ．当0

x 无最大值

2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.

1

x 2＋1

≤1 D ．x ＋1

x ≥2

3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2

D.1a ＋1b ≥2

4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d

2>bc

B.a ＋d

2

C.a＋d

2＝bc D.

a＋d

2≤bc

5．若x>0，y>0，且2

x＋

8

y＝1，则xy有()

A．最大值64B．最小值1 64

C．最小值1

2D．最小值64

6．若a>0，b>0，且1

a＋

1

b＝ab，则a

3＋b3的最小值为________．

7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

8．若对任意x>0，

x

x2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．

9．(1)已知x<3，求f(x)＝

4

x－3＋x的最大值；

参考答案：

1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋

1

a－2＝(a－2)＋

1

a－2＋2，所

以m≥2(a－2)·

1

a－2＋2＝4，由b≠0，得b

2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，

综上可知m>n.

2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，

所以Q＝1

2(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；

Q＝1

2(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab

a＋b

2＝R.

所以P

3.[证明]∵a，b，c均为正实数，

∴2b

a＋

a

2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，

3c a＋a

3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，